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Full text of "Die Mechanik in ihrer Entwickelung: historisch-kritisch dargestellt"

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Die Mechanik in ihrer Entwickelung 
historisch-kritisch dargestellt 



Ernst Mach 



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INTERNATIONALE 
WISSENSCHAFTUCHE BIBLIOTHEK. 



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GUSTAV E.STECHERT 
9EAST 16- STREET 
L NEW YORK J 









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INTERNATIONALE 
WISSENSCHAFTLICHE BIBLIOTHEK. 



LIX. BAND. 



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DIE MECHANIK 

IN IHRER ENTWICKELTJNG 

HISTORISCH-KRITISCH DARGESTELLT 



Du ERNST MACH, 

PROFESSOR AN DBB UNIVERSITÄT ZU WIEN. 



MIT 250 ABBILDUNGEN. 



DRITTE VERBESSERTE UND VERMEHRTE AUFLAGE. 




LEIPZIG: 
F. A. BROCKHAUS. 

1897. 



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LIBRARY OF THE 
LELAND STANFORD JR. UMFR8ITY. 



Das Recht der üebersetzung ist vorbehalten. 



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YORWORT ZUR ERSTEN AUFLAGE. 



Vorliegende Schrift ist kein Lehrbuch zur Einübung 
der Sätze der Mechanik. Ihre Tendenz ist vielmehr eine 
aufklärende oder, um es noch deutlicher zu sagen, eine 
antimetaphysische. 

Auch die Mathematik ist in dieser Schrift gänzlich 
Nebensache. Wer sich aber für die Fragen interessirt, 
worin der naturwissenschaftliche Inhalt der Mecha- 
nik besteht, wie wir zu demselben gelangt sind, aus 
welchen Quellen wir ihn geschöpft haben, wie weit 
derselbe als ein gesicherter Besitz betrachtet werden 
kann, wird hier hoffentlich einige Aufklärung finden. 
Eben dieser Inhalt, welcher für jeden Naturforscher, 
jeden Denker das grösste und allgemeinste Interesse 
hat, liegt eingeschlossen und verhüllt in dem intellec- 
tuellen Fachapparat der heutigen Mechanik. 

Der Kern der Gedanken der Mechanik hat sich fast 
durchaus an der Untersuchung sehr einfacher besonderer 
Fälle mechanischer Vorgänge entwickelt. Die histo- 
rische Analyse der Erkenntniss dieser Fälle bleibt auch 
stets das wirksamste und natürlichste Mittel, jenen Kern 
blosszulegen, ja man kann sagen, dass nur auf diesem 



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vi Vorwort. 

Wege ein volles Verständniss der allgemeinem Ergeb- 
nisse der Mechanik zu gewinnen ist. Der erwähnten 
Anschauung folgend, bin ich zu einer etwas breiten, 
dafür aber sehr verständlichen Darstellung gelangt. Bei 
der vorläufig noch nicht hinreichend entwickelten Genauig- 
keit der allgemeinen Verkehrssprache konnte ich von 
dem Gebrauch der kurzen und präcisen mathematischen 
Bezeichnung nicht überall absehen, sollte nicht stellen- 
weise die Sache der Form geopfert werden. 

Die Aufklärungen, welche ich hier bieten kann, sind 
im Keime theilweise schon enthalten in meiner Schrift: 
„Die Geschichte und die Wurzel des Satzes der Erhalt- 
tung der Arbeit" (Prag, Calve, 1872). Obgleich nun 
später von Kirchhoff („Vorlesungen über mathematische 
Physik. Mechanik", Leipzig 1874) und Helmholtz („Die 
Thatsachen in der Wahrnehmung", Berlin 1879) einiger- 
massen ähnliche Ansichten ausgesprochen wurden, und 
zum Theil sogar schon den Charakter von Schlagworten 
angenommen haben, scheint mir hiermit dasjenige, was 
ich zu sagen habe, doch nicht erschöpft, und ich halte 
meine Darstellung keineswegs für überflüssig. 

Mit meiner Grundansicht über die Natur aller Wissen- 
schaft als einer Oekonomie des Denkens, die ich 
in der oben citirten Schrift sowie in einer andern 
(„Die Gestalten der Flüssigkeit", Prag, Calve, 1872) an- 
gedeutet, und in meiner akademischen Festrede („Die 
ökonomische Natur der physikalischen Forschung", Wien, 
Gerold, 1882) etwas weiter ausgeführt habe, stehe ich 
nicht mehr allein. Sehr verwandte Ideen hat nämlich in 
seiner Weise R. Avenarius entwickelt („Philosophie als 
Denken der Welt gemäss dem Princip des kleinsten 
Kraftmaasses", Leipzig, Fues, 1876), was mir zu beson- 
derer Befriedigung gereicht. Die Achtung vor dem echt 



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Vorwort. vu 

philosophischen Streben, alles Wissen in einen Strom zu- 
sammenzuleiten, wird man in meiner Schrift überhaupt 
nicht vermissen, wenngleich dieselbe gegen Uebergriffe der 
speculativen Methode entschiedene Opposition macht 

Die hier behandelten Fragen haben mich schon in 
früher Jugend beschäftigt, und mein Interesse für die- 
selben wurde mächtig erhöht durch die wunderbaren Ein- 
leitungen von Lagrange zu den Kapiteln seiner analyti- 
schen Mechanik, sowie durch das klar und frisch geschrie- 
bene Schriftchen von Jolly („Principien der Mechanik" 
Stuttgart 1852). Das schätzbare Buch von Dühring 
(„Kritische Geschichte der Principien der Mechanik", Ber- 
lin 1873) hat auf meine Gedanken, welche bei dessen 
Erscheinen schon im wesentlichen abgeschlossen und 
auch ausgesprochen waren, keinen bemerkenswerthen Ein- 
fluss mehr geübt. Gleichwol wird man, wenigstens in 
Bezug auf die negative Seite der Kritik, manche Be- 
rührungspunkte finden. 

Die hier abgebildeten und beschriebenen neuen Demon- 
strationsapparate sind durchgängig von mir construirt und 
von Herrn F. Hajek, Mechaniker des unter meiner Leitung 
stehenden physikalischen Instituts, ausgeführt worden. 

In loserem Zusammenhange mit dem Text stehen die 
genauen Nachbildungen in meinem Besitz befindlicher 
alter Originale. Die eigenthümlichen und naiven Züge 
der grossen Forscher, welche sich in denselben aus- 
sprechen, haben aber auf mich beim Studium sehr er- 
frischend gewirkt, und ich wünschte, dass meine Leser 
dieses Vergnügen mit gemessen möchten. 

Pbag, im Mai 1883. 

E. MACH. 



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VORWORT ZUR ZWEITEN AUFLAGE. 



Infolge der freundlichen Aufnahme dieses Buches ist 
eine starke Auflage in weniger als fünf Jahren vergriffen 
worden. Dieser Umstand, sowie die seither erschienenen 
Schriften von E. Wohlwill, H. Streintz, L. Lange, J. Ep- 
stein, F. A. Müller, J. Popper, G. Helm, M. Planck, F. Poske 
u. A. beweisen die erfreuliche Thatsache, dass man gegen- 
wärtig Fragen der Erkenntnisstheorie mit Theilnahme 
verfolgt, die vor zwanzig Jahren fast noch niemand be- 
achtet hat. 

Da mir eine durchgreifende Aenderung meiner Dar- 
stellung noch nicht zweckmässig schien, habe ich mich, 
was den Text betrifft, auf Verbesserung von Druckfehlern 
beschränkt und habe die seither erschienenen Schriften, 
soweit mir dies möglich war, in einigen Zusätzen als 
„Anhang" berücksichtigt 
P&Act, im Juni 1888. 

E. MACH. 



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VORWORT ZUR DRITTEN AUFLAGE. 

Bei der sorgfältigen Revision, welche Herr Mc Cormack 
bei Gelegenheit der Uebersetzung des vorliegenden Buches 
ins Englische vorgenommen hat, wurden einige Versehen 
gefunden, die in dieser dritten Auflage beseitigt sind. 
Auch von Anderen gelegentlich bemerkte Fehler habe 
ich verbessert. 

Das Interesse für die Grundlagen der Mechanik ist 
noch immer im Zunehmen begriffen, wie die seit 1889 
erschienenen Schriften von Budde, P. und J. Friedländer, 
H. Hertz, P. Johannesson, K. Lasswitz, Mac Gregor, 
K. Pearson, J. Petzoldt, Rosenberger, E. Strauss, Vicaire, 
P. Volkmann, E. Wohlwill u. A. beweisen, von welchen 
viele, wenn auch in knapper Form, berücksichtigt werden 
mussten. 

Durch die Publication von K. Pearson („Grammar of 
Science", London 1892) habe ich einen Forscher kennen 
gelernt, mit dessen erkenntnisskritischen Ansichten ich 
mich in allen wesentlichen Punkten in Uebereinstimmung 
befinde, und welcher ausserwissenschaftlichen Tendenzen 
in der Wissenschaft frei und muthig entgegenzutreten 
weiss. Die Mechanik scheint gegenwärtig in ein neues 
Verhältniss zur Physik treten zu wollen, wie sich dies 
insbesondere in der Publication von H. Hertz ausspricht. 
Die angebahnte Umwandlung in der Auffassung der Fern- 
kräfte dürfte auch durch die interessanten Untersuchungen 



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x Vorwort. 

von H. Seeliger („Ueber das Newton'sche Gravitations- 
gesetz." Sitzungsber. d. Münchener Akad. 1896) beein- 
flusst werden, welcher die Unvereinbarkeit des strengen 
Newton'schen Gesetzes mit der Annahme einer unbe- 
grenzten Masse des Weltalls dargelegt hat. 

Wien, im Januar 1897. 

E. MACH. 



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INHALT. 



Seite 

Vorwort • . . r 

Einleitung 1 



ERSTES KAPITEL, 
Dit Enttoiekelung der Principien der Statik. 

1. Das Hebelprincip 8 

2. Das Princip der schiefen Ebene 23 

3. Das Princip der Zusammensetzung der Kräfte. . . 33 

4. Das Princip der virtuellen Verschiebungen. ... 47 

5. Rückblick auf die Entwicklung der Statik. ... 74 

6. Die Principien der Statik in ihrer Anwendung auf 

die flüssigen Körper 81 

7. Die Principien der Statik in ihrer Anwendung auf 

die gasförmigen Körper. . 103 

ZWEITES KAPITEL.. 
Die Enttoiekelung der Principien der Dynamik. 

1. Galilei's Leistungen 119 

2. Die Leistungen von Huyghens 148 

3. Newton's Leistungen 180 

4. Erörterung und Veranschaulichung des Gegen- 

wirkungsprineips 196 

5. Kritik des Gegenwirkungsprincips und des Massen- 

begriffes 210 

6. Newton's Ansichten über Zeit, Raum und Bewegung. 216 

7. Ueber8ichtliche Kritik der Newton'schen Aufstel- 

lungen . . . 237 

8. Rückblick auf die Entwickelung der Dynamik. . . 244 



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xii Inhalt 

DRITTES KAPITEL. 

Die wettere Verwendung der Principien und die deductive 
Entwicklung der Mechanik. 

Seite 

1. Die Tragweite der Newton'schen Principien. . . 257 

2. Die Rechnungsausdrücke und Maasse der Mechanik. 269 

3. Die Gesetze der Erhaltung der Quantität der Be- 

wegung, der Erhaltung des Schwerpunktes und der 

Erhaltung der Flächen. 283 

4. Die Gesetze des Stosses 300 

5. Der D'Alembert'sche Satz 325 

6. Der Satz der lebendigen Kräfte 337 

7. Der Satz des kleinsten Zwanges 344 

8. Der Satz der kleinsten Wirkung 358 

9. Der Hamilton'sche Satz 375 

10. Einige Anwendungen der Sätze der Mechanik auf 

hydrostatische und hydrodynamische Aufgaben. . 379 

VIERTES KAPITEL. 
Die formelle Entwickelung der Mechanik. 

1. Die Isoperimeterprobleme 415 

2. Theologische, animistische und mystische Gesichts- 

punkte in der Mechanik. 439 

3. Die analytische Mechanik 457 

4. Die Oekonomie der Wissenschaft 471 

FÜNFTES KAPITEL. 
Beziehungen der Mechanik zu andern Wissensgebieten. 

1. Beziehungen der Mechanik zur Physik 486 

2. Beziehungen der Mechanik zur Physiologie. . . 497 



Anhang. Belegstellen aus Galilei's Schriften ... 500 
Chronologische Uebersicht einiger hervorragender For- 
scher und ihrer für die Grundlegung der Mechanik 

wichtigern Schriften 501 

Register 504 



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Einleitung. 

1. Jener Theil der Physik, welcher der älteste und 
einfachste ist, und daher auch als Grundlage für das Ver- 
ständniss vieler anderer Theile der Physik betrachtet 
wird, beschäftigt sich mit der Untersuchung der Be- 
wegung und des Gleichgewichtes der Massen. Er führt 
den Namen Mechanik. 

2. Die Entwickelungsgeschichte der Mechanik, deren 
Kenntniss auch zum vollen Verständniss der heutigen 
Form dieser Wissenschaft unerlässlich ist, liefert ein 
einfaches und lehrreiches Beispiel der Processe, durch 
welche die Naturwissenschaft überhaupt zu Stande 
kommt. 

Die instinctive unwillkürliche Kenntniss der 
Naturvorgänge wird wol stets der wissenschaftlichen 
willkürlichen Erkenntniss, der Erforschung der Er- 
scheinungen vorausgehen. Erstere wird erworben durch 
die Beziehung der Naturvorgänge zur Befriedigung 
unserer Bedürfnisse. Die Erwerbung der elementarsten 
Erkenntnisse fällt sogar sicherlich nicht dem Indivi- 
duum allein anheim, sondern wird durch die Entwicke- 
lung der Art vorbereitet. 

In der That haben wir zu unterscheiden zwischen 
mechanischen Erfahrungen und Wissenschaft der Mechanik 
im heutigen Sinne. Mechanische Erfahrungen sind ohne 
Zweifel sehr alt. Wenn wir die altägyptischen oder 
assyrischen Denkmäler durchmustern, finden wir die 
Abbildung von mancherlei Werkzeugen und mechanischen 
Mach. 1 



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Einleitung. 



Vorrichtungen, während die Nachrichten über die wissen- 
schaftlichen Kenntnisse dieser Völker entweder fehlen, 
oder doch nur auf eine sehr niedere Stufe derselben 

schliessen lassen. Ne- 
ben sehr sinnreichen 
Geräthen bemerken 
wir wieder ganz rohe 
Proceduren, wie z. B. 
den Transport ge- 
waltiger Steinmassen 
durch Schlitten. Al- 
les trägt den Cha- 
rakter des Instinctiven , 
des Undurchgebilde- 
ten, des zufällig Ge- 
fundenen 

Auch die Gräber aus 
vorhistorischer Zeit 
enthalten viele Werk- 
zeuge, deren Anfer- 
tigung und Handha- 
bung eine nicht unbe- 
trächtliche technische 
Fertigkeit und man- 
cherlei mechanische 
Erfahrungen voraus- 
setzt. Lange bevor 
also an eine Theorie 
im heutigen Sinne ge- 
dacht werden kann, 
finden wir Werkzeuge, 
Maschinen , mechani- 
sche Erfahrungen und 
Kenntnisse. 

3. Zuweilen drängt 
sich der Gedanke auf, 
dass wir durch die un- 
vollständigen schrift- 




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Einleitung. 3 

liehen Nachrichten zu einem falschen Urtheil über die 
alten Völker verleitet werden. Es finden sich nämlich 
bei den alten Autoren einzelne Stellen, aus welchen viel 
tiefere Kenntnisse hervorzublicken scheinen, als man den 
betreffenden Völkern zuzuschreiben pflegt. Betrachten 
wir des Beispiels wegen nur eine Stelle bei Vitrüv, 
„De architectura", Lib. V, Cap. III, 6. Dieselbe lautet: 

„Die Stimme aber ist ein fliessender Hauch und in- 
folge der Luftbewegung durch das Gehör vernehmlich; 
sie bewegt sich in unendlichen kreisförmigen Rundungen 
fort, wie in einem stehenden Wasser, wenn man einen 
Stein hineinwirft, unzählige Wellenkreise entstehen, 
welche wachsend sich soweit als möglich vom Mittel- 
punkt ausbreiten, wenn nicht die beengte Stelle sie 
unterbricht, oder irgendeine Störung, welche nicht ge- 
stattet, dass jene kreislinienförmigen Wellen bis ans 
Ende gelangen; denn so bringen die ersten Wellen- 
kreise, wenn sie durch Störungen unterbrochen werden, 
zurückwogend die Kreislinien der nachfolgenden in Un- 
ordnung. Nach demselben Gesetz bringt auch die 
Stimme solche Kreisbewegungen hervor, aber im Wasser 
bewegen sich die Kreise auf der Fläche bleibend nur 
in der Breite fort; die Stimme aber schreitet einerseits 
in der Breite vor und steigt andererseits stufenweise 
in die Höhe empor." 

Meint man hier nicht einen populären Schriftsteller 
zu hören, dessen unvollkommene Auseinandersetzung auf 
uns gekommen ist, während vielleicht gediegenere 
Werke, aus welchen er geschöpft hat, verloren gegangen 
sind? Würden nicht auch wir nach Jahrtausenden in 
einem sonderbaren Lichte erscheinen, wenn nur unsere 
populäre Literatur, die ja auch der Masse wegen schwerer 
zerstörbar ist, die wissenschaftliche überdauern sollte? 
Freilich wird diese günstige Auffassung durch die Menge 
der andern Stellen wieder erschüttert, welche so grobe und 
offenbare Irrthümer enthalten, wie wir sie bei höherer 
wissenschaftlicher Cultur nicht für möglich halten können. 

4. Wann, wo und in welcher Art die Entwickelung 



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4 Einleitung. 

der Wissenschaft wirklich begonnen hat, ist jetzt histo- 
risch schwer zu ermitteln. Es scheint aber trotzdem 
natürlich, anzunehmen, dass die instinctive Sammlung 
von Erfahrungen der wissenschaftlichen Ordnung der- 
selben vorausgegangen sei. Die Spuren dieses Pro- 
cesses lassen sich an der heutigen Wissenschaft noch 
nachweisen, ja wir können den Vorgang an uns selbst 
gelegentlich beobachten. Die Erfahrungen, welche der 
auf Befriedigung seiner Bedürfnisse ausgehende Mensch 
unwillkürlich und instinctiv macht, verwendet er ebenso 
gedankenlos und unbewusst. Hierher gehören z. B. die 
ersten Erfahrungen, welche die Anwendung der Hebel 
in den verschiedensten Formen betreffen. Was man 
aber so gedankenlos und instinctiv findet, kann nie als 
etwas Besonderes, nie als etwas Auffallendes erscheinen, 
gibt in der Regel auch zu keinen weitern Gedanken 
Anlass. 

Der Uebergang zur geordneten, wissenschaftlichen 
Erkenntniss und Auffassung der Thatsachen ist erst 
dann möglich, wenn sich besondere Stände herausgebildet 
haben, die sich die Befriedigung bestimmter Bedürfnisse 
der Gesellschaft zur Lebensaufgabe machen. Ein solcher 
Stand beschäftigt sich mit besondern Klassen von 
Naturvorgängen. Die Personen dieses Standes wechseln 
aber; alte Mitglieder scheiden aus, neue treten ein. 
Es ergibt sich nun die Notwendigkeit, den neu Ein- 
tretenden die vorhandenen Erfahrungen mitzutheilen, 
die Notwendigkeit, ihnen zu sagen, auf welche Um- 
stände es bei der Erreichung eines gewissen Zieles eigent- 
lich ankommt, um den Erfolg im voraus zu bestimmen. 
Erst bei dieser Mittheilung wird man zu scharfer Ueber- 
legung genöthigt, wie dies jeder heute noch an sich 
selbst beobachten kann. Andererseits fallt dem neu ein- 
tretenden Mitgliede eines Standes dasjenige, was die 
übrigen gewohnheitsmässig treiben, als etwas Ungewöhn- 
liches auf, und wird so ein Anlass zum Nachdenken 
und zur Untersuchung. 

Will man einem Andern gewisse Naturerscheinungen 



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Einleitung. 5 

oder Vorgänge zur Kenntniss bringen, so kann man 
ihn dieselben entweder selbst beobachten lassen; dann 
entfallt aber der Unterricht; oder man muss ihm die 
Naturvorgänge auf irgendeine Weise beschreiben, um 
ihm die Mühe, jede Erfahrung selbst aufs neue zu 
machen, zu ersparen. Die Beschreibung ist aber nur 
möglich in Bezug auf Vorgänge, die sich immer wieder- 
holen, oder doch nur aus Theilen bestehen, die immer 
wiederkehren. Beschrieben, begrifflich in Gedanken 
nachgebildet, kann nur werden, was gleichförmig, gesetz- 
mässig ist, denn die Beschreibung setzt die Anwendung 
von Namen für die Elemente voraus, welche nur bei immer 
wiederkehrenden Elementen verständlich sein können. 

5. In der Mannigfaltigkeit der Naturvorgänge er- 
scheint manches gewöhnlich, anderes ungewöhnlich, ver- 
wirrend, überraschend, ja sogar dem Gewöhnlichen 
widersprechend. Solange dies der Fall ist, gibt es 
keine ruhige einheitliche Naturauffassung. Es entsteht 
somit die Aufgabe, die gleichartigen, bei aller Mannig- 
faltigkeit stets vorhandenen Elemente der Naturvorgänge 
aufzusuchen. Hierdurch wird einerseits die sparsamste, 
kürzeste Beschreibung und Mittheilung ermöglicht. Hat 
man sich andererseits die Fertigkeit erworben, diese 
gleichbleibenden Elemente in den mannigfaltigsten Vor- 
gängen wiederzuerkennen, sie in denselben zu sehen, 
so führt dies zur übersichtlichen, einheitlichen, 
widerspruchslosen und mühelosen Erfassung 
der Thatsachen. Hat man es dahin gebracht, überall 
dieselben wenigen einfachen Elemente zu bemerken, 
die sich in gewohnter Weise zusammenfügen, so treten 
uns diese als etwas Bekanntes entgegen, wir sind nicht 
mehr überrascht, es ist uns nichts mehr an den Erschei- 
nungen fremd und neu, wir fühlen uns in denselben zu 
Hause, sie sind für uns nicht mehr verwirrend, sondern 
erklärt. Es ist ein Anpassungsprocess der Gedanken 
an die Thatsachen, um den es sich hier handelt. 

6. Die Oekonomie der Mittheilung und Auffassung 
gehört zum Wesen der Wissenschaft, in ihr liegt das 



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6 Einleitung. 

beruhigende, aufklärende und ästhetische Moment der- 
selben, und sie deutet auch unverkennbar auf den 
historischen Ursprung der Wissenschaft zurück. An- 
fänglich zielt alle Oekonomie nur unmittelbar auf 
Befriedigung der leiblichen Bedürfnisse ab- Für den 
Handwerker und noch mehr für den Forscher wird die 
kürzeste, einfachste, mit den geringsten geistigen Opfern 
zu erreichende Erkenntniss eines bestimmten Gebietes 
von Naturvorgängen selbst zu einem ökonomischen Ziel, 
bei welchem, obgleich es ursprünglich Mittel zum Zweck 
war, wenn einmal die betreffenden geistigen Triebe ent- 
wickelt sind und ihre Befriedigung fordern, an das 
leibliche Bedürfniss gar nicht mehr gedacht wird. 

Was also in den Naturvorgängen sich gleichbleibt, 
die Elemente derselben und die Art ihrer Verbindung, 
ihrer Abhängigkeit voneinander, hat die Naturwissen- 
schaft aufzusuchen. Sie bestrebt sich, durch die über- 
sichtliche und vollständige Beschreibung das Abwarten 
neuer Erfahrungen unnöthig zu machen, dieselben zu 
ersparen, indem z. B. vermöge der erkannten Abhängig- 
keit der Vorgänge voneinander, bei Beobachtung eines 
Vorganges die Beobachtung eines andern, dadurch schon 
mitbestimmten und vorausbestimmten, unnöthig wird. 
Aber auch bei der Beschreibung selbst kann Arbeit ge- 
spart werden, indem man Methoden aufsucht, möglichst 
viel auf einmal und in der kürzesten Weise zu be- 
schreiben. Alles dies wird durch die Betrachtung 
des Einzelnen viel klarer werden, als es durch allge- 
meine Ausdrücke erreicht werden kann. Doch ist es 
zweckmässig, auf die wichtigsten Gesichtspunkte hier 
schon vorzubereiten. 

7. Wir wollen nun auf unsern Gegenstand näher 
eingehen und hierbei, ohne die Geschichte der Mechanik 
zur Hauptsache zu machen, die historische Entwickelung 
so weit beachten , als dies zum Verständniss der gegen- 
wärtigen Gestaltung der Mechanik nöthig ist, und als 
es den Zusammenhang in der Hauptsache nicht stört. 
Abgesehen davon, dass wir den grossen Anregungen 



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Einleitung. 7 

nicht aus dem Wege gehen dürfen, die wir von den 
bedeutendsten Menschen aller Zeiten erhalten können, 
und die zusammengenommen auch ausgiebiger sind, 
als sie die besten Menschen der Gegenwart zu bieten 
vermögen, gibt es kein grossartigeres, ästhetisch erheben- 
deres Schauspiel, als die Aeusserungen der gewaltigen 
Geisteskraft der grundlegenden Forscher. Noch ohne 
alle Methode, welche ja durch ihre Arbeit erst ge- 
schaffen wird, und die ohne Kenntniss ihrer Leistung 
immer unverstanden bleibt, fassen sie und bezwingen 
sie ihren Stoff, und prägen ihm die begrifflichen For- 
men auf. Jeder, der den ganzen Verlauf der wissen- 
schaftlichen Entwickelung kennt, wird natürlich viel 
freier und richtiger über die Bedeutung einer gegen- 
wärtigen wissenschaftlichen Bewegung denken als der- 
jenige, welcher, in seinem Urtheil auf das von ihm selbst 
durchlebte Zeitelement beschränkt, nur die augenblick- 
liche Bewegungsrichtung wahrnimmt. 



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ERSTES KAPITEL. 

Entwickelang der Principien der Statik. 

i. Das Hebelprincip. 

1. Die ältesten Untersuchungen über Mechanik, über 
welche wir Nachrichten haben, diejenigen der alten 
Griechen, bezogen sich auf die Statik, auf die Lehre 
vom Gleichgewicht. Auch als nach der Eroberung von 
Konstantinopel durch die Türken (1453) die flüchtigen 
Griechen durch • die mitgebrachten alten Schriften im 
Abendlande neue Anregungen gaben, waren es Unter- 
suchungen über Statik, welche, hauptsächlich durch die 
Werke des Archimedes hervorgerufen, die bedeutendsten 
Forscher beschäftigten. 

Die Untersuchungen über Mechanik beginnen bei 
den Griechen überhaupt spät, und halten mit den 
grossen Fortschritten dieses Volkes in der Mathematik, 
insbesondere in der Geometrie, nicht gleichen Schritt. 
Bezeichnend hierfür ist des Aristoteles (384 — 322 v. Chr.) 
Schrift „Mechanische Probleme" (deutsch nach Poselger, 
Hannover 1881). Aristoteles weiss Probleme zu er- 
kennen und zu stellen, sieht das Princip des Be- 
wegungs parallelogramms, kommt der Erkenntniss der 
Centrifugalkraft nahe, ist aber in der Lösung der 
Probleme nicht glücklich. Die ganze Schrift hat mehr 
einen dialektischen als naturwissenschaftlichen Charakter 
und begnügt sich, die „Aporieen", Verlegenheiten, zu 
beleuchten, welche sich in den Problemen aussprechen. 
Die Schrift charakterisirt übrigens sehr gut die intellec- 



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Erstes Kapitel. Entwickelung der Principien der Statik. 9 

tuelle Situation, welche den Anfang einer wissenschaft- 
lichen Untersuchung bedingt. 

„Wunderbar erscheint, was zwar naturgemäss erfolgt, 
wovon aber die Ursache sich nicht offenbart. . . . Solcher- 
lei ist, worin Kleineres das Grössere bewältigt, und ge- 
ringes Gewicht schwere Lasten, und beiläufig alle Pro- 
bleme, die wir mechanische nennen.... Zu den Aporieen 
aber von dieser Gattung gehören die den Hebel be- 
treffenden. Denn ungereimt erscheint es, dass eine 
grosse Last durch eine kleine Kraft, jene noch verbun- 
den mit einer grösseren Last bewegt werde. Wer ohne 
Hebel eine Last nicht bewegen kann, bewegt sie leicht, die 
eines Hebels noch hinzufügend. Von allem diesem liegt die 
Grundursache im Wesen des Kreises, und zwar sehr natür- 
lich: denn nicht ungereimt ist es, dass aus dem Wunder- 
baren etwas Wunderbares hervorgeht. Eine Verknüpfung 
aber entgegengesetzter Eigenschaften in Eins ist das 
Wunderbarste. Nun ist der Kreis wirklich aus solchen 
zusammengesetzt. Er wird sogar erzeugt durch etwas 
Bewegliches und etwas an seinem s Orte Verharrendes." 

Solche Betrachtungen bezeichnen die Anerkennung 
und Aufstellung eines Problems, führen aber noch bei 
weitem nicht zur Lösung desselben. 

2. Archimedes von Syrakus (287 — 212 v. Chr.) hat 
eine Anzahl von Schriften hinterlassen, deren einige 
vollständig auf uns gekommen sind. Wir wollen uns 
zunächst einen Augenblick mit dem Buch „De aequi- 
ponderantibus" beschäftigen, das Sätze über den Hebel 
und Schwerpunkt enthält. 

In demselben geht er von folgenden, von ihm als 
selbstverständlich angesehenen Voraussetzungen aus: 

a. Gleichschwere Grössen in gleicher Entfernung 
(vom Unterstützungspunkte) wirkend, sind im Gleich- 
gewicht. 

b. Gleichschwere Grössen, in ungleicher Entfernung 
(vom Unterstüzungspunkte) wirkend, sind nicht im 
Gleichgewicht, sondern die in grösserer Entfernung wir- 
kende sinkt. 



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10 Erstes Kapitel. 

Er leitet aus diesen Voraussetzungen den Satz ab : 

„Commensurable Grössen sind im Gleichgewicht, 
wenn sie ihrer Entfernung (vom Unterstützungspunkte) 
umgekehrt proportionirt sind." 

Es scheint, als ob an diesen Voraussetzungen nicht 
mehr viel zu analysiren wäre; dem ist aber, wenn man 
genau zusieht, nicht so. 

Wir denken uns eine Stange, von deren Gewicht wir 
absehen; dieselbe hat einen Unterstützungspunkt. (Fig. 2.) 
Wir hängen in gleicher Distanz 

von diesem zwei gleiche Gewichte i jr 1 

an. Dass diese jetzt im Gleichge- i-L r-U 

wicht sind, ist eine Voraussetzung, I— I I — I 

von der Archimedes ausgeht. Man 9 ' 

könnte meinen, dies sei (nach dem sogenannten Satze 
des zureichenden Grundes), abgesehen von aller Erfah- 
rung selbstverständlich, es sei bei der Symmetrie der 
ganzen Vorrichtung kein Grund, warum die Drehung eher 
in dem einen, als in dem andern Sinne eintreten sollte. 
Man vergisst aber hierbei, dass in der Voraussetzung schon 
eine Menge negativer und positiver Erfahrungen liegen, 
die negativen z. B., dass ungleiche Farben der Hebel- 
arme, die Stellung des Beschauers, ein Vorgang in der 
Nachbarschaft u. s. w., keinen Einfluss haben, die posi- 
tiven hingegen (wie in Voraussetzung 2 sich zeigt), dass 
nicht nur die Gewichte, sondern auch die Entfernungen vom 
Stützpunkte für die Gleichgewichtsstörung maassgebend 
sind, dass sie bewegungsbestimmende Umstände sind. 
Mit Hülfe dieser Erfahrungen sieht man allerdings ein, 
dass die Ruhe (keine Bewegung) die einzige durch die be- 
wegungsbestimmenden Umstände eindeutig bestimmte 
Bewegung ist. * 

Nun können wir aber unsere Kenntniss der maass- 



1 Würde man z. B. annehmen, dass das Gewicht rechter 
Hand sinkt, so würde die Gegendrehung in gleicher Weise 
bestimmt, wenn der einflusslose Beschauer sich auf die ent- 
gegengesetzte Seite stellt. 



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Entwicklung der Principien der Statik. 



11 



gebenden Umstände nur dann für zureichend hal- 
ten, wenn die letzteren einen Vorgang eindeutig be- 
stimmen. Unter Voraussetzung der erwähnten Erfah- 
rung, dass nur die Gewichte und ihre Abstände 
maassgebend sind, hat nun der Satz 1 des Archi- 
medes wirklich einen hohen Grad von Evidenz und 
eignet sich also sehr zur Grundlage für weitere Unter- 
suchungen. Stellt sich der Beschauer selbst in die Sym- 
metrieebene der betreffenden Vorrichtung, so zeigt sich 
der Satz 1 auch als eine sehr zwingende instinctive 
Einsicht, was durch die Symmetrie unsers eigenen Kör- 
pers bedingt ist. Die Aufsuchung derartiger Sätze ist 



ß. 



a 



El 



l 



;.u 2 



l 



Fig. 3. 



Fig. 4. 



auch ein vorzügliches Mittel, sich in den Gedanken an 
dieselbe Bestimmtheit zu gewöhnen, welche die Natur 
in ihren Vorgängen offenbart. 

3. Wir wollen nun in freier Weise den Gedanken- 
gang reproduciren, durch welchen Archimedes den all- 
gemeinen Hebelsatz auf den speciellen anscheinend selbst- 
verständlichen zurückzuführen sucht. Die beiden in a 
und b aufgehängten gleichen Gewichte (1) sind, wenn 
die Stange ab um den Mittelpunkt c drehbar ist, im 
Gleichgewicht. Hängt man das Ganze an einer Schnur 
in c auf, so wird dieselbe, vom Gewicht der Stange 
abgesehen, das Gewicht 2 zu tragen haben. Die 
gleichen Gewichte an dem Ende ersetzen also das 
doppelte Gewicht in der Mitte der Stange. 

An dem Hebel, dessen Arme sich wie 1 : 2 verhalten, 
sind Gewichte im Verhältniss 2 : l angehängt. Wir 
denken uns das Gewicht 2 durch 2 Gewichte 1 ersetzt, 



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12 



Erstes Kapitel. 



welche beiderseits in dem Abstand 1 von dem Auf- 
hängepunkte angebracht sind. Dann haben wir wieder 
vollkommene Symmetrie um den Aufhängepunkt und 
folglich Gleichgewicht. 

An den Hebelarmen 3 und 4 hängen die Gewichte 



"N /" 



_>\_ 



r c i «^ .-*-> 

l„J C.l U 



r^ , J i r^.^r 1 -, .-i-: r l i r L > I A ß ß 
Lj LJ i-.t i.j iJ c.i •..*]«.-• u *.-» 



*ty. 5. 

4 und 3. Der Hebelarm 3 werde um 4, der Arm 4 
um 3 verlängert, die Gewichte 4 und 3 beziehungs- 
weise durch 4 und 3 Paare symmetrisch angebrachter 
Gewichte x / a ersetzt, wie dies die Figur ersichtlich 
macht. Dann haben wir wieder vollkommene Symme- 
trie. Diese Betrachtung, die wir in speciellen Zah- 
len ausgeführt haben, kann leicht verallgemeinert 
werden. 

4. Es ist interessant zu sehen, in welcher Art die 
Betrachtungsweise von Archimedes nach dem Vorgange 
von Stevin durch Galilei modificirt worden ist. 

Galilei denkt sich ein horizontales homogenes schweres 
Prisma, und eine ebenso lange homogene Stange (Fig. 6), 

an der das Prisma an 
seinen Enden aufge- 
hängt ist. Die Stange 
ist in der Mitte mit ei- 
ner Aufhängung ver- 
sehen. In diesem Falle 
wird Gleichgewicht be- 
stehen; das lässt sich 
sofort einsehen. In die- 
sem Falle ist aber je- 
der andere Fall enthalten. Galilei zeigt dies auf fol- 
gende Weise. Setzen wir, es wäre die ganze Länge 
der Stange oder des Prismas 2 (w -f- n). Wir schnei- 











2m 


2 n 



Fig. 6. 



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Entwickelung der Principien der Statik. 13 

den nun das Prisma derart entzwei, dass das eine Stück 
die Länge 2 w, das zweite 2 n erhält. Wir können dies 
ohne Störung des Gleichgewichts thun, wenn wir zuvor die 
Enden der beiden Stücke hart an dem Schnitt durch Fäden 
an der Stange befestigen. Wir können nun auch alle vor- 
handenen Fäden entfernen, wenn wir zuvor die beiden 
Prismenstücke in deren Mitte an der Stange aufhängen. 
Da die ganze Länge der Stange 2 (ro + w), so beträgt 
eine jede Hälfte m + n. Es ist also die Distanz des Auf- 
hängepunktes des rechten Prismenstückes vom Auf- 
hängepunkte der Stange ♦», des linken aber n. Die 
Erfahrung, dass es auf das Gewicht und nicht auf die 



Üfc 



c 



i x i 



Fig. 7. 

Form der Körper ankommt, ist leicht gemacht. Somit 
ist klar, dass das Gleichgewicht noch besteht, wenn 
irgendein Gewicht von der Grösse 2w auf einer Seite 
in der Entfernung n und irgendein Gewicht von der 
Grösse 2 n auf der andern Seite in der Entfernung m 
aufgehängt wird. Die instinctiven Erkenntnisselemente 
treten bei dieser Ableitung noch mehr hervor als bei 
jener von Archimedes. 

Man kann übrigens an dieser schönen Betrachtung 
noch einen Rest der Schwerfälligkeit erkennen, die be- 
sonders den Forschern des Alterthums eigen ist. 

Wie ein neuerer Physiker dieselbe Sache aufgefasst 
hat, sehen wir an folgender Betrachtung von Lagrange. 
Er sagt: Wir denken uns ein homogenes horizontales 
Prisma in der Mitte aufgehängt. Dasselbe stellen wir 
uns in die Prismen von den Längen 2 m und 2 n ge- 
theilt vor. Beachten wir nun die Schwerpunkte dieser 
Stücke, in welchen wir uns Gewichte proportional 2 m 
und 2 n angreifend denken können, so haben dieselben 
die Abstände n und m vom Stützpunkt. Diese kurze 



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14 Erstes Kapitel. 

Erledigung ist nur der geübten mathematischen An- 
schauung möglich. 

5. Bas Ziel, welches Archimedes und seine Nach- 
folger in den angeführten Betrachtungen anstreben, be- 
steht darin, den complicirtern Hebelfall auf den ein- 
fachem, anscheinend selbstverständlichen, zurückzu- 
führen, in dem complicirtern den einfachem zu sehen 
oder auch umgekehrt. In der That halten wir einen 
Vorgang für erklärt, wenn es uns gelingt, in demselben 
bekannte einfachere Vorgänge zu erblicken. 

So überraschend uns nun auf den ersten Blick die 
Leistung von Archimedes und seinen Nachfolgern er- 
scheint, so steigen uns bei längerer Betrachtung doch 
Zweifel an der Richtigkeit derselben auf. Aus der 
blossen Annahme des Gleichgewichts gleicher Gewichte 
in gleichen Abständen wird die verkehrte Proportion 
zwischen Gewicht und Hebelarm abgeleitet! Wie ist 
das möglich? 

Wenn wir schon die blosse Abhängigkeit des Gleich- 
gewichts vom Gewicht und Abstand überhaupt nicht aus 
uns herausphilosophiren konnten, sondern aus der 
Erfahrung holen mussten, um wie viel weniger werden 
wir die Form dieser Abhängigkeit, die Proportionalität 
auf speculativem Wege finden können. 

Wirklich wird von Archimedes und allen Nachfolgern 
die Voraussetzung, dass die (gleichgewichtstörende) 
Wirkung eines Gewichts P im Abstände L von der Axe 
durch dasProduct P. L (das sogenannte statische Moment) 
gemessen sei, mehr oder weniger versteckt oder still- 
schweigend eingeführt. Wenn nämlich Archimedes ein 
grosses Gewicht durch eine Reihe paarweise symmetrisch 
angebrachter kleiner Gewichte, welche über den Stütz- 
punkt hinausgehen, ersetzt, so verwendet er die 
Lehre vom Schwerpunkt schon in ihrer allgemeinern 
Form, welche keine andere ist, als die Lehre vom 
Hebel in ihrer allgemeinern Form. 

Niemand vermag ohne die obige Annahme über die 
Bedeutung des Productes P. L nachzuweisen, dass eine 



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Entwicklung der Principien der Statik. 



15 



a 



"="5" 



Fig. 8. 



irgendwie auf die Stütze S gelegte Stange mit Hülfe 
eines in ihrem Schwerpunkte angebrachten über eine 
Rolle geführten Fadens durch ein ihrem eigenen Ge- 
wichte gleiches Gewicht 
getragen wird. Das 
liegt aber in der Ab- 
leitung von Archimedes, 
Stevin, Galilei und auch 
in jener von Lagrange. 
6. Huyghens tadelt 
auch dieses Verfahren 
und gibt eine andere 
Ableitung, in welcher er den Fehler vermieden zu ha- 
ben glaubt. Denken wir uns bei der Lagr ange' sehen 
Betrachtung die beiden Prismenstücke um durch ihre 

Schwerpunkte $,$' ge- 
legte verticale Axen um 
90°gedreht (Fig. 9a), und 
weisen wir nach, dass 
hierbei dasGleichgewicht 
fortbesteht, so erhalten 
wir die Huyghens'sche 
Ableitung. Sie ist ge- 
kürzt und vereinfacht fol- 
gende. Wir ziehen (Fig.9) 
in einer starren gewichts- 
losen Ebene durch den 
Punkt S eine Gerade, 
an welcher wir einerseits 
;J-| die Länge 1, anderer- 
seits 2 in A und B ab- 
schneiden. Auf die En- 
den legen wir senkrecht zu dieser Geraden, mit ihren 
Mitten, homogene, dünne, schwere Prismen CD und E F 
von den Längen und Gewichten 4 und 2. Ziehen wir 
die Gerade HS G (wobei AG = $AC), und die Par- 
allele C F, und transportiren das Prismenstück G durch 
Parallelverschiebung nach F H, so ist um die Axe G H 




Fig. 9. 



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16 



Erstes Kapitel. 



alles symmetrisch und es herrscht Gleichgewicht. Gleich- 
gewicht herrscht aber auch für die Axe AB, folglich 
für jede Axe durch S r also auch für die zu AB Senk- 
rechte, womit der neue Hebelfall gegeben ist. 




Fig. 9a. 



Fig. 9a. 



Hierbei wird nun scheinbar nichts vorausgesetzt , als 
dass gleiche Gewichte p, p in einer Ebene und in gleichen 



M 



A 4 



-o 
P 




Fig. 10. 



Fig. IL 



Abständen ?, I von einer Axe A A l (in dieser Ebene) 
sich das Gleichgewicht halten. Stellt man sich in die 
durch A A l senkrecht zu /, l gelegte Ebene etwa in den 



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Ent Wickelung der Principien der Statik. 17 

Punkt M und sieht man einmal nach A, dann nach A l 
hin, so gesteht man diesem Satz dieselbe Evidenz zu 
wie dem Ar chi med es' sehen Satz 1. Die Verhältnisse 
werden auch nicht geändert, wenn man Parallelver- 
schiehungen zur Axe mit den Gewichten vornimmt, was 
Huyghens auch thut. 

Der Fehler entsteht auch erst durch den Schluss: 
Wenn für 2 Axen der Ebene Gleichgewicht besteht, so 
besteht es auch für jede andere durch deren Durch- 
schnittspunkt geführte Axe. Dieser Schluss (soll er 
nicht ein blos instinetiver sein) kann nur gezogen wer- 
den, wenn den Gewichten ihren Entfernungen von der 
Axe proportionale störende Wirkungen zugeschrieben 
werden. Darin liegt aber der Kern der Lehre vom 
Hebel und Schwerpunkt. 

Wir beziehen die schweren Punkte einer Ebene auf 
ein rechtwinkeliges Coordinatensystem (Fig. 11). Die 
Coordinaten des Schwerpunktes eines Systems von Massen 
mm'm"... mit den Coordinaten xx'x". . . y y' y" .. . 
sind bekanntlich: 

5 ~~ ~2^T' *■ "" ~2^~ 

Drehen wir das Coordinatensystem um den Winkel a, 
so sind die neuen Coordinaten der Massen 

x x = x cos a — y sin a, y x = y cos a -f- x sin a 

und folglich die Coordinaten des Schwerpunktes 

«. 2i» (#cosa— y sina) 2mx . 2»iv 

s « = sm =C08a ^r- 8ma ^r 

= § cos a — yj sin a 
und analog 

Yj t = yj cos a + £ sin a 

Wir erhalten also die Coordinaten des neuen Schwer- 
punktes, indem wir die Coordinaten des frühern auf 
die neuen Axen einfach transformiren. Der Schwer- 
punkt bleibt also derselbe Punkt. Legen wir den 

Mach. 2 



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18 



Erstes Kapitel. 



Anfangspunkt in den Schwerpunkt, so wird 2 m rr 
= 2 my = o. Bei Drehung des Axensystems bleibt 
dies Yerhältniss bestehen. Wenn also für zwei zuein- 
ander senkrechte Axen der Ebene Gleichgewicht besteht, 
so besteht es auch, und nur dann besteht es auch, für 
jede andere Axe durch den Durchschnittspunkt. Folg- 
lich, wenn für irgend zwei Axen der Ebene Gleichge- 
wicht besteht, so besteht es auch für jede andere Axe 
der Ebene, welche durch deren Durchschnittspunkt geht. 
Diese Schlüsse sind aber unausführbar, wenn die Co- 
ordinaten des Schwerpunktes durch eine andere all- 
gemeinere Gleichung, etwa 

» mf(x) + m'/QeO + »"/(*") + - . . 
* tn + tn' + m" + .. 

bestimmt sind. 

Die Huyghens'sche Schlussweise ist also unzulässig, 
und enthält denselben Fehler, welchen wir bei Archi- 
medes bemerkten. 




Archimedes hat sich bei dem Streben, den compli- 
cirtern Hebelfall auf den instinctiv zu überblickenden 
zurückzuführen, wahrscheinlich getäuscht, indem er schon 



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Entwickekmg der Principien der Statik. 19 

vorher über den Schwerpunkt mit Hülfe des zu be- 
weisenden Satzes gemachte Studien unwillkürlich 
verwendete. Charakteristisch ist, dass er sich und viel- 
leicht auch andern die sich leicht darbietende Be- 
merkung über die Bedeutung des Products P • L nicht 
glauben will, und eine weitere Begründung sucht. . 

Thatsächlich kommt man nun, wenigstens auf dieser 
Stufe, nicht zum Yerstandniss des Hebels, wenn man 
nicht das Product P • L als das bei der Gleichgewichts- 
störung Maassgebende in den Vorgängen erschaut. 
Insofern Archimedes in seiner griechischen Beweissucht 
dies zu umgehen trachtet, ist seine Ableitung verfehlt. 
Betrachtet man abej auch die Bedeutung von P«£ als 
gegeben, so behalten die Archimedes' sehen Ableitungen 
immer noch einen beträchtlichen Werth, insofern die 
Auffassungen verschiedener Fälle aneinander gestützt 
werden, insofern gezeigt wird, dass ein einfacher Fall 
alle andern enthält, insofern dieselbe Auffassung für 
alle Fälle hergestellt wird. Denken wir uns ein ho- 
mogenes Prisma, dessen Axe AB sei, in der Mitte C 
gestützt. Um die für die Gleichgewichtsstörung maass- 
gebende Summe der Producte der Gewichte und Ab- 
stände anschaulich zu machen, setzen wir auf den Ele- 
menten der Axe, welche den Gewichtselementen pro- 
portional sind, die zugehörigen Abstände als Ordinaten 
auf, welche wir etwa rechts von (als positiv) nach 
aufwärts, links von C (als negativ) nach abwärts auf- 
tragen. Die Flächensumme der beiden Dreiecke 
ACD-{-CBJE = o veranschaulicht uns das Bestehen des 
Gleichgewichts. Theilen wir das Prisma durch M in 
zwei Theile, so können wir MTEB durch das Recht- 
eck MUWBuud TMCAD durch das Rechteck MVXA 
ersetzen, wobei TF=} I TE und TB = \ TD ist, und die 
Prismenstücke MB, MA durch Drehung um Q und S 
zu AB senkrecht gestellt zu denken sind. 

In der hier angedeuteten Richtung ist die Archi- 
medes'sche Betrachtung gewiss noch nützlich gewesen, 
als schon niemand mehr über die Bedeutung des Pro- 

2* 



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20 



Erstes Kapitel. 



ducts P • L Zweifel hegte, und die Meinung hierüber sich 
schon historisch und durch vielfache Prüfung festge- 
stellt hatte. 

7. Die Art nun, wie die Hebelgesetze, welche uns von 
Archimedes in einfacher Form Überliefert worden sind, 
von den modernen Physikern weiter verallgemeinert und 
behandelt wurden, ist sehr interessant und lehrreich. 
Leonardo da Vinci (1452 — 1519), der berühmte Maler 
und Forscher, scheint der erste gewesen zu sein, der die 
Wichtigkeit des allgemeinen Begriffes der sogenannten sta- 
tischen Momente gekannt hat. In seinen hinterlassenen 
Manuscripten finden sich mehrere Stellen, aus welchen dies 




hervorgeht. Er sagt z. B.: Wir setzen eine um A 
drehbare Stange AD, an derselben ein Gewicht P an- 
gehängt, und an einer Schnur, die über eine Rolle geht, 
ein zweites Gewicht Q (Fig. 13). Welches Verhältniss 
müssen die Kräfte einhalten, damit Gleichgewicht bestehe? 
Der Hebelarm für das Gewicht P ist nicht A 2>, son- 
dern der „potenzielle" Hebel ist AB. Der Hebel- 
arm für das Gewicht Q ist nicht AD, sondern der 
„potenzielle" Hebel ist AG. Auf welche Weise er 
zu dieser Anschauung gekommen ist, lässt sich aller- 
dings schwer angeben. Es ist aber klar, dass er er- 
kannt hat, wodurch die Wirkung der Gewichte be- 
stimmt ist. 



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Entwiokelung der Prinoipien der Statik. 



21 



Aehnliche Ueberlegungen wie bei Leonardo da Vinci 
finden wir bei Guido Ubaldi 

8. Wir wollen versuchen« 
uns klar zu machen, auf 
welche Weise man zum 
Begriff des statischen Mo- 
mentes, unter welchem be- 
kanntlich das Product ei- 
ner Kraft und der auf die 
Richtung derselben von der 
Axe aus gezogenen Senk- 
rechten verstanden wird, 
hatte kommen können, wenn auch der Weg, welcher zu 
demselben geführt hat, nicht mehr vollständig zu er- 
mitteln ist. Dass Gleichgewicht besteht, wenn man eine 
Schnur mit beiderseits gleicher Spannung über eine Rolle 
legt, wird unschwer eingesehen. Man findet immer eine 
Symmetrieebene der ganzen Vorrichtung, die Ebene, 




Fig. 14. 





Fig. 15. 



Fig. 16. 



welche auf der Schnurebene senkrecht steht und den 
Schnurwinkel halbirt (EE). Die Bewegung, welche 
hier noch eintreten könnte, liesse sich durch keine Regel 
eindeutig bestimmen, sie wird also auch nicht eintreten. 
Bemerkt man nun ferner, dass das Material der Rolle 
nur insofern wesentlich ist, als es die Art der Beweg- 
lichkeit der Angriffspunkte der Schnüre bestimmt, so 
sieht man leicht, dass ohne Gleichgewichtsstörung auch 
ein beliebiger Theil der Rolle fehlen kann. Wesentlich 
bleiben nur die starren Radien, welche zu den Tangen- 



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22 



Erstes Kapitel. 



tialpunkten der Schnur führen. Man sieht also, das» 
die starren Radien (oder Senkrechten auf die Schnur- 
richtungen) hier eine ähnliche Rolle spielen wie die 
Hebelarme beim Hebel des Archimedes. 

Betrachten wir ein sogenanntes Wellrad mit dem 
Radradius 2 und dem Wellenradius 1, und beziehungs- 
weise mit den Belastungen 1 und 2, so entspricht 
dasselbe vollständig dem Hebel des Archimedes. Legen 
wir noch in beliebiger Weise um die Welle eine zweite 
Schnur, welche wir beiderseits durch das Gewicht 2 
spannen, so stört dieselbe das Gleichgewicht nicht. Es 
ist aber klar, dass wir auch die beiden in der Fig. 16 
bezeichneten Züge als sich das Gleichgewicht haltend 
ansehen können, indem wir die beiden andern, als sich . 
gegenseitig zerstörend, nicht weiter beachten. Hiermit 
sind wir aber, von allem Unwesentlichen absehend, zu 
der Einsicht gelangt, dass nicht nur die durch die 
Gewichte ausgeübten Züge, sondern auch die auf die 
Richtungen derselben vom Drehpunkte aus gefällten 
Senkrechten bewegungsbestimmende Umstände sind. 
Maassgebend sind die Froducte aus den Gewichten und 
den zugehörigen Senkrechten, welche von der Axe aus 
auf die Richtungen der Züge gefällt werden, also die 
sogenannten statischen Momente. 

9. Was wir bisher betrachtet haben, ist die Ent- 
wicklung der Erkenntniss des Hebelprincips; ganz 
unabhängig davon ent- 
wickelte sich die Erkennt- 
niss des Princips der schie- 
fen Ebene. Man hat aber 
nicht nöthig, für das Ver- 
ständniss der Maschinen 
nach einem neuen Princip 
ausser dem des Hebels zu 
suchen, da dieses für sich 
ausreicht. Galilei erläutert 




Fig. 17. 



z. B. die schiefe Ebene in 
folgender Art durch den Hebel; Wir betrachten eine 
schiefe Ebene, auf dieser das Gewicht Q und dasselbe 



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Entwicklung der Principien der Statik. 23 

im Gleichgewichte gehalten durch das Gewicht P (Fig. 17). 
Galilei läset nun durchblicken, dass es nicht darauf an- 
kommt, dass Q gerade auf der schiefen Ebene liege, dass 
das Wesentliche vielmehr die Art der Beweglichkeit von 
Q ist. Wir können uns also das Gewicht auch an der 
zur Ebene senkrechten Stange AC, die um C drehbar 
ist, angebracht denken; wenn wir nämlich dann nur 
eine sehr kleine Drehung vornehmen, so ist das Ge- 
wicht in einem Bogenelemente , das in die schiefe 
Ebene fallt, beweglich. Dass sich die Bahn krümmt, 
wenn man weiter geht, hat keinen Einfiuss, weil jene 
Weiterbewegung im Gleichgewichtsfall nicht wirklich 
erfolgt, und nur die momentane Beweglichkeit maass- 
gebend ist. Halten wir uns aber die früher besprochene 
Bemerkung von Leonardo da Vinci vor Augen, so sehen 
wir leicht die Gültigkeit des Satzes Q*CB = P'CA 

■=?■ = 77= = — r- und damit das Gleichgewichtsgesetz 
P GB cb 

der schiefen Ebene ein. Hat man also das Hebel- 

princip erkannt, so kann man es leicht zur Erkenntniss 

der andern Maschinen verwenden. 



2. Bas Princip der schiefen Ebene. 

1. Stevin (1548 — 1 620) untersuchte zuerst die mechani- 
schen Eigenschaften der schiefen Ebene und zwar auf eine 
ganz originelle Weise. Liegt ein 
Gewicht auf einem horinzonta- 
len Tisch, so sieht man, weil der 
Druck senkrecht gegen die Ebene 
des Tisches ist, nach dem bereits 
mehrfach verwendeten Symme- 
^^^^^___^ trieprincip das Bestehen des 
Fig. 18. Gleichgewichts sofort ein. An 

einer verticalen Wand hingegen 
wird ein Gewicht an seiner Fallbewegung gar nicht 
gehindert. Die schiefe Ebene wird also einen Mittel- 
fall zwischen den beiden Grenzfallen darbieten. Das 




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24 



Erstes Kapitel. 



Gleichgewicht wird nicht von selbst bestehen, wie auf 
der horizontalen Unterlage, es wird aber durch ein ge- 
ringeres Gegengewicht zu erhalten sein, als an der 
verticalen Wand. Das statische Gesetz zu ermitteln, 
welches hier besteht, bereitete den filtern Forschern 
beträchtliche Schwierigkeiten. 




Fig. 19 



Fig. 20. 



Stevin geht etwa in folgender Art vor. Er denkt 
sich ein dreiseitiges Prisma mit horizontalen Kanten, 
dessen Querschnitt ABC in der Fig. 19 dargestellt ist. 
Hierbei soll beispielsweise AB = 2BC und A C hori- 
zontal sein. Um dieses Prisma legt Stevin eine in sich 
zurücklaufende Schnur mit 14 gleich schweren gleich 
weit abstehenden Kugeln. Wir können dieselbe mit 
Vortheil durch eine geschlossene gleichmässige Kette 
oder Schnur ersetzen. Die Kette wird entweder im 



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Entwickelung der Principien der Statik. 25 

Gleichgewichte sein oder nicht. Nehmen wir das 
letztere an, so muss die Kette, weil sich bei ihrer Be- 
wegung die Verhältnisse nicht ändern, wenn sie ein- 
mal in Bewegung ist, fortwährend in Bewegung blei- 
ben, also ein Perpetuum mobile darstellen, was Stevin 
absurd erscheint. Demnach ist nur der erste Fall denk- 
bar. Die Kette bleibt im Gleichgewicht. Dann kann 
der symmetrische Kettentheil AD G ohne Störung des 
Gleichgewichtes entfernt werden. Es hält also das 
Kettenstück AB dem Kettenstück BG das Gleichge- 
wicht. Auf schiefen Ebenen von gleicher Höhe wirken 
demnach gleiche Gewichte im umgekehrten Verhältniss 
der Längen der schiefen Ebenen. 

Denken wir uns in dem Prismenquerschnitt Fig. 20 A G 
horizontal, B G vertical und AB = 2 B 0, ferner die den 
Längen proportionalen Kettengewichte auf A B und B G 

Q und P, so folgt -^ = --^ = 2. Die Verallgemei- 

nerung ist selbstverständlich. 

2. In der Annahme, von welcher Stevin ausgeht, dass 
die geschlossene Kette sich nicht bewegt, liegt ohne 
Frage zunächst nur eine ganz instinctive Erkennt- 
niss. Er fühlt sofort, und wir mit ihm, dass wir etwas 
einer derartigen Bewegung Aehnliches nie beobachtet, 
nie gesehen haben, dass dergleichen nicht vorkommt. 
Diese Ueberzeugung hat eine solche logische Gewalt, 
dass wir die hieraus gezogene Folgerung über das 
Gleichgewichtsgesetz der schiefen Ebene ohne Wider- 
rede annehmen, während uns das Gesetz als blosses 
Ergebniss des Versuches oder auf eine andere Art dar- 
gelegt zweifelhaft erscheinen würde. Dies kann uns 
nicht befremden, wenn wir bedenken, dass jedes Versuchs- 
orgebniss durch fremdartige Umstände (Reibung) getrübt, 
und jede Vermuthung über die maassgebenden Umstände 
dem Irrthum ausgesetzt ist. Dass Stevin einer solchen 
instinctiven Erkenntniss eine höhere Autorität zuer- 
kennt als seiner einfachen klaren directen Beobachtung, 
könnte uns in Verwunderung versetzen, wenn wir selbst 



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26 Erstes Kapitel. 

nicht die gleiche Empfindung h&tten. Es drängt sich 
uns also die Frage auf: Woher kommt diese höhere 
Autorität? Erinnern wir uns, dass der wissenschaft- 
liche Beweis, die ganze wissenschaftliche Kritik nur aus 
der Erkenntniss der eigenen Fehlbarkeit der Forscher 
hervorgegangen sein kann, so liegt die Aufklärung nicht 
weit. Wir fühlen deutlich, dass wir selbst zu dem 
Zustandekommen einer instinctiven Erkenntniss nichts 
beigetragen, dass wir nichts willkürlich hineingelegt 
haben, sondern dass sie ganz ohne unser Zuthun da 
ist. Das Mistrauen gegen unsere eigene subjective 
Auffassung des Beobachteten fällt also weg. 

Die Stevin'sche Ableitung ist eine der werthvollsten 
Leitmuscheln in der Urgeschichte der Mechanik und 
wirft ein wunderbares Licht auf den Bildungsprocess 
der Wissenschaft, auf die Entstehung derselben aus in- 
stinctiven Erkenntnissen. Wir erinnern uns, dass Archi- 
medes ganz die gleiche Tendenz wie Stevin, nur mit 
viel weniger Glück verfolgt. Auch später noch wer- 
den instinctive Erkenntnisse häufig zum Ausgangspunkt 
von Untersuchungen genommen. Ein jeder Experimen- 
tator kann täglich an sich beobachten, wie er durch 
instinctive Erkenntnisse geleitet wird. Gelingt es ihm, 
begrifflich zu formuliren, was in denselben liegt, so hat 
er in der Regel einen erheblichen Fortschritt ge- 
macht. 

Stevin' s Vorgang ist kein Fehler. Läge darin auch 
ein Fehler, so würden wir ihn alle theilen. Ja es ist 
sogar gewiss, dass nur die Verbindung des stärksten 
Instincts mit der grössten begrifflichen Kraft den grossen 
Naturforscher ausmacht. Dies nöthigt uns aber keines- 
wegs, aus dem Instinctiven in der Wissenschaft eine 
neue Mystik zu machen, und dasselbe etwa für unfehl- 
bar zu halten. Dass letzteres nicht zutrifft, erfahrt 
man sehr leicht. Selbst instinctive Erkenntnisse von 
so grosser logischer Kraft wie das von Archimedes ver- 
wendete Symmetrieprincip können irreführen. Mancher 
Leser wird sich vielleicht erinnern, welche geistige Er- 



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Entwicklung der Principien der Statik. 27 

schütterung es ihm verursachte, als er zum ersten mal 
hörte, dass eine im magnetischen Meridian liegende 
Magnetnadel durch einen über derselben parallel hinge- 
führten Stromleiter in einem bestimmten Sinne aus dem 
Meridian abgelenkt wird» Das Instinctive ist ebenso 
fehlbar wie das klar Bewusste. Es hat vor allem nur 
Werth auf einem Gebiet, mit welchem man sehr ver- 
traut ist. 

Stellen wir uns, statt Mystik zu treiben, lieber die 
Frage: Wie entstehen instinctive Erkenntnisse, und was 
liegt in ihnen? Was wir an der Natur beobachten, prägt 
sich auch unverstanden und unanalysirt in unsern 
Vorstellungen aus, welche dann in den allgemeinsten 
und stärksten Zügen die Naturvorgänge nachahmen. 
Wir besitzen nun in diesen Erfahrungen einen Schatz, 
der immer bei der Hand ist, und von welchem nur der 
kleinste Theil in den klaren Gedankenreihen enthalten ist. 
Der Umstand, dass wir diese Erfahrungen leichter ver- 
wenden können als die Natur selbst, und dass sie doch 
im angedeuteten Sinn frei von Subjectivität sind, ver- 
leiht ihnen einen hohen Werth. Es liegt in der Eigen- 
tümlichkeit der instinctiven Erkenntniss, dass sie vor- 
wiegend negativer Natur ist. Wir können nicht sowol 
sagen, was vorkommen muss, als vielmehr nur, was nicht 
vorkommen kann, weil nur letzteres mit der unklaren 
Erfahrungsmasse, in welcher man das Einzelne nicht 
unterscheidet, in grellem Gegensatz steht. 

Legen wir den instinctiven Erkenntnissen auch einen 
hohen heuristischen Werth bei, so dürfen wir auf unserm 
Standpunkte doch bei der Anerkennung ihrer Autorität 
nicht stehen bleiben. Wir müsssn vielmehr fragen : Unter 
welchen Bedingungen konnte die gegebene instinctive 
Erkenntniss entstehen? Gewöhnlich finden wir dann, 
dass dasselbe Princip, zu dessen Begründung wir die 
instinctive Erkenntniss herangezogen haben, wieder die 
Grundbedingung für das Entstehen dieser Erkenntniss 
bildet. Das ist auch ganz unverfänglich. Die instinc- 
tive Erkenntniss leitet uns zu dem Princip, welches sie 



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28 Erstes KapiteL 

selbst erklärt, und welches durch deren Vorhandensein, das 
ja eine Thatsache für sich ist, wieder gestützt wird. So 
verhält es sich auch, wenn man genau zusieht, in dem 
Stevin'schen Fall. 

3. Die Betrachtung von Stevin erscheint uns so 
geistreich, weil das Resultat, zu welchem er gelangt, 
mehr zu enthalten scheint, als die Voraussetzung, von 
welcher er ausgeht. Während wir einerseits das Resul- 
tat zur Vermeidung von Widersprüchen gelten lassen 
müssen, bleibt andererseits ein Reiz übrig, der uns an- 
treibt, nach weiterer Einsicht zu streben. Hätte Stevin 
die ganze Thatsache nach allen Seiten klar gelegt, wie 
dies später Galilei gethan hat, so würde uns seine 
Ueberlegung nicht mehr geistreich erscheinen, wir wür- 
den aber einen viel mehr befriedigenden und klaren Ein- 
blick erhalten. In der geschlossenen Kette, welche auf 
dem Prisma nicht gleitet, liegt in der That schon alles. 
Wir könnten sagen, die Kette gleitet nicht, weil hier- 
bei kein Sinken der schweren Körper eintritt. Dies 
wäre nicht genau, denn manche Kettenglieder sinken 
wirklich bei der Bewegung der Kette, während andere 
dafür steigen. Wir müssen also genauer sagen, die 
Kette gleitet nicht, weil für jeden Körper, der sinken 
könnte, ein gleich schwerer, gleich hoch, oder ein Kör- 
per von doppeltem Gewicht zur halben Höhe u. s. w. 
steigen müsste. Dieses Verhältniss war Stevin, der es 
auch in seiner Lehre von den Rollen darlegte und be- 
nutzte, bekannt; er war aber offenbar zu mistrauisch 
gegen sich, das Gesetz auch ohne weitere Stütze als 
für die schiefe Ebene gültig hinzustellen. Bestünde 
aber ein solches Gesetz nicht allgemein, so hätte die 
instinctive Erkenntniss bezüglich der geschlossenen 
Kette gar nie entstehen können. Hiermit sind wir 
vollständig aufgeklärt. — Dass Stevin in seinen Ueber- 
legungen nicht so weit gegangen ist, und sich damit 
begnügt hat, seine (indirect gefundenen) Begriffe mit 
seinem instinctiven Denken in Uebereinstimmung zu 
bringen, braucht uns nicht weiter zu stören. 



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Entwickelung der Principien der Statik. 29 

Man kann den Stevin'schen Vorgang noch in etwas 
anderer Weise auffassen. Wenn es für den Instinkt fest- 
steht, dass eine geschlossene schwere Kette nicht rotirt, 
so sind die einzelnen einfachen, quantitativ leicht zu 
übersehenden Fälle der schiefen Ebene, welche Stevin 
erdenkt, als ebenso viele Specialerfahrungen aufzufassen. 
Denn es kommt nicht darauf an, ob das Experiment 
wirklich ausgeführt wird, wenn der Erfolg nicht zweifel- 
haft ist. Stevin experimentirt eben in Gedanken. Aus 
den entsprechenden physischen Experimenten mit mög- 
lichst ausgeschlossener Reibung hätte sich das Stevin'sche 
Ergebniss wirklich ableiten lassen. In analoger Weise 
kann die Archimedes'sche Hebelbetrachtung etwa in der 
Galilei'schen Form aufgefasst werden. Wenn die Reihe 
der fingirten Gedankenexperimente physisch ausgeführt 
worden wäre, hätte sich aus derselben in aller Strenge 
die lineare Abhängigkeit des Momentes vom Achsen- 
abstand der Last folgern lassen. Von dieser versuchs- 
weisen Anpassung quantitativer Specialauffassungen an 
allgemeine instinktive Eindrücke werden uns im Gebiete 
der Mechanik noch mehrere Beispiele bei den bedeutend- 
sten Forschern vorkommen. Auch in andern Gebieten 
treten diese Erscheinungen auf. In dieser Beziehung 
möchte ich auf meine Darstellung in „Principien der 
Wärmelehre", S. 151 verweisen. Man kann sagen, dass 
die bedeutendsten und wichtigsten Erweiterungen der 
Wissenschaft auf diese Weise zu Stande kommen. Das 
von den grossen Forschern geübte Verfahren des Zu- 
sammenstimmens der Ein zelvor Stellungen mit dem All- 
gemeinbilde eines Erscheinungsgebietes, die stete Rück- 
sicht auf das Ganze bei Betrachtung des Einzelnen, kann 
als ein wahrhaft philosophisches Verfahren bezeichnet 
werden. Eine wirklich philosophische Behandlung einer 
Specialwissenschaft wird immer darin bestehen, dass 
man deren Ergebnisse mit dem feststehenden Gesammt- 
wissen in Znsammenhang und Einklang bringt. Traum- 
hafte Ausschreitungen der Philosophie, sowie unglück- 
liche monströse Specialtheorien entfallen hierdurch. 



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30 



Erstes Kapitel. 



Der Dienst, den Stevin sich und seinen Lesern leistet, 
besteht also darin, dass er verschiedene, theils instinc- 
tive, theils klare Erkenntnisse gegeneinander hält, mit- 
einander in Verbindung und Einklang bringt, aneinander 




Fig. 21. 



stützt. Welche Stärkung seiner Anschauungen aber 
Stevin durch dieses Verfahren gewonnen hat, sehen wir 
aus dem. Umstände, dass das Bild der geschlossenen 
Kette auf dem Prisma als Titel Vignette sein Werk 
(Hyponmemata mathematica, Leyden 1605) ziert mit 



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Entwicklung der Prinoipien der Statik. 



31 



der Umschrift: „Wonder en is gheen wonder". Wirk- 
lich ist jeder aufklärende wissenschaftliche Fort- 
schritt mit einem gewissen Gefühl von Enttäuschung 
verbunden. Wir erkennen, dass was uns wunderbar 
erschienen ist, nicht wunderbarer ist, als anderes, das 
wir instinctiv kennen und für selbstverständlich halten, 
ja dass das Gegentheil viel wunderbarer wäre, dass 
überall dieselbe Thatsache sich ausspricht. Unser Pro- 
blem erweist sich dann als gar kein Problem mehr, es zer- 
fliesst in Nichts, und geht unter die historischen Schatten. 
4. Nachdem Stevin das Princip der schiefen Ebene 
gewonnen hatte, wurde es ihm leicht, dasselbe auch auf die 
übrigen Maschinen anzuwenden, und diese dadurch zu 
erläutern. Er macht hiervon z. B. auch folgende An- 
wendung. 

Wir hätten eine schiefe Ebene, und denken uns auf 
dieser die Last Q, ziehen einen Faden über eine Rolle 
A, und denken uns die Last Q durch die Last P im 
Gleichgewicht gehal- 
ten. Stevin nimmt 
nun einen ähnlichen 
Weg, wie ihn Galilei 
später eingeschlagen. 
Er bemerkt, es sei 
nicht nothwendig , 
dass die Last Q auf 
der schiefen Ebene ~ r r 

liege. Wenn nur die " . * t* 

Art ihrer Beweglich- Fi * 22 - 

keit beibehalten wird, so bleibt auch das Verhältniss 
von Kraft und Last dasselbe. Wir können uns also die 
Last auch angebracht denken an einem Faden, der über 
eine Rolle D geführt wird und den wir entsprechend 
belasten, und zwar ist dieser Faden normal gegen die 
schiefe Ebene. Führen wir dies aus, so haben wir 
eigentlich eine sogenannte Seilmaschine vor uns. Nun 
sehen wir, dass wir den Gewichtsantheil, mit dem der 
Körper auf der schiefen Ebene nach abwärts strebt, sehr 




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32 



Erstes Kapitel. 



leicht ermitteln können. Wir brauchen nämlich nur eine 
Verticale zu ziehen, und auf dieser ein der Last Q ent- 
sprechendes Stück a b aufzutragen. Ziehen wir nachher 

auf a A die Senkrechte b c } so haben wir — = -r-= = — -> 

(J AB a o 

es stellt also a c die Spannung der Schnur a A vor. Nun 
hindert uns nichts, die beiden Schnüre ihre Function 
in Gedanken wechseln zu lassen, und uns die Last Q 
auf der (punktirt dargestellten) schiefen Ebene ED F 
liegend zu denken. Dann finden wir analog a d für 
die Spannung B des zweiten Fadens. Stevin gelangt 
also auf diese Weise indirect zur Kenntniss des stati- 
schen Verhältnisses der Seilmaschine und des sogenann- 
ten Kräftenparallelogramms, freilich zunächst nur für 
den speciellen Fall gegeneinander senkrechter Schnüre 
(oder Kräfte) a c, ad. 

Allerdings verwendet Stevin später das Princip der 
Zusammensetzung und Zerlegung der Kräfte in allge- 
meinerer Form; doch ist der Weg, auf dem er hierzu 





Fig. 23. 



Fig. 24. 



gelangt, nicht recht deutlich oder wenigstens nicht über- 
sichtlich. Er bemerkt z. B., dass bei drei unter be- 
liebigen Winkeln gespannten Schnüren AB, A C, AD, 
an deren ersterer die Last P hängt , die Spannungen auf 
folgende Art ermittelt werden können. Man verlängert 
(Fig. 23) A B nach X und trägt darauf ein Stück A E 



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Entwiokelung der Prinoipien der Statik. 



33 




ab. Zieht man von E aus EF parallel zu iD und 
E G parallel zu A C, so sind 
die Spannungen von A B,AC, 
A JD beziehungsweise pro- 
portional A E, AF, AG. 

Mit Hülfe dieses Construc- 
tionsprincips löst er dann 
schon recht complicirte Auf- 
gaben. Er bestimmt z. B. die 
Spannungen an einem System F%9 ' 25 ' 

von verzweigten Schnüren Fig. 24, wobei er selbstver- 
ständlich von der gegebenen Spannung der verticalen 
Schnur ausgeht. 

Die Spannungsverhältnisse an einem Seilpolygon wer- 
den ebenfalls durch Construction ermittelt, wie dies in 
Fig. 25 angedeutet ist. 

Man kann also mit Hülfe des Princips der schiefen 
Ebene in ähnlicher Weise die Verhältnisse der übrigen 
einfachen Maschinen aufzuklären suchen, als dies durch 
das Princip des Hebels versucht worden ist. 



3. Bas Princip der Zusammensetzung der Kräfte. 

1. Der Satz des Kräftenparallelogramms, zu dem 
Stevin gelangt und welchen er verwendet, ohne ihn 
übrigens ausdrücklich zu formuliren, besteht bekannt- 
lich in Folgendem. Wenn ein Körper A von zwei 
Kräften ergriffen wird, deren Richtungen mit den 
Linien A B und A G zusammenfallen und deren Grössen 
den Längen AB, AG proportional sind, so sind beide 
Kräfte in ihrer Wirkung 

durch eine einzige Kraft ^ =P 

ersetzbar, welche nach der 
Diagonale AD des Paralle- 
logramms ABC D wirkt 
und derselben proportional 
ist. Würden also z. B. an Fig ' 26 ' 

Schnüren AB, AG Gewichte ziehen, welche den Längen 




Mach. 



3 



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34 



Erstes Kapitel 



AB, AG proportional wären , so würde ein an der 
Schnur AD ziehendes der Länge AD proportionales 
Gewicht deren Wirkung ersetzen. Die Kräfte A B und 
A C werden die Componenten , A D die Eesultirende 
genannt. Selbstverständlich ist auch umgekehrt eine 
Kraft durch zwei oder mehrere Kräfte ersetzbar. 

2. Wir wollen an Stevin's Untersuchungen an- 
knüpfend uns vergegenwärtigen, auf welche Weise man 
zu dem allgemeinen Satz des Kräftenparallelogramms 
hätte gelangen können. Die von Stevin gefundene 
Beziehung zweier zueinander rechtwinkeligen Kräfte zu 
einer dritten ihnen das Gleichgewicht haltenden setzen 
wir als (indirect) gegeben voraus. Wir nehmen an, es wir- 
ken an drei Schnüren X, F, Z Züge, welche sich 
das Gleichgewicht halten. Versuchen wir) diese Züge zu 
bestimmen. Jeder Zug hält den beiden andern das 
Gleichgewicht. Den Zug OY ersetzen wir (nach dem 
Stevin'schen Princip) durch zwei rechtwinkelige Züge 
nach Ou (der Verlängerung von OX) und senkrecht 
dazu nach Ov. Ebenso zerlegen wir den Zug OZ nach 

Ou und Ow. Die 
Summe der Züge nach 
Ou muss dem Zuge 
OX das Gleichgewicht 
halten , während die 
Züge nach Ov und Ow 
sich zerstören müssen. 
Nehmen wir letztere 
gleich und entgegenge- 
setzt, stellen sie durch 
Om, On dar, so be- 
stimmen sich dadurch 
die Componenten Op } 
Oq parallel Ou } sowie 
die Züge Or, Os. Die 
Summe p -f- q ist 
gleich und entgegenge- 
setzt dem Zuge nach OX. Ziehen wir $ t parallel 07, 




Fig. 27. 



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Entwiokelung der Principien der Statik. 



35 



1 


: a 


\ 


-A 


D B 



Fig. 28. 



oder rt parallel ÖZ, so schneiden beide Linien das 
Stück Ot=Op + Oq ab, und 
damit ist das allgemeinere 
Princip des Kräftenparallelo- 
gramms gefunden. 

Noch auf eine andere Art 
kann man aus der Zusammen- 
setzung rechtwinkeliger Kräfte 
die allgemeinere Zusammen- 
setzung ableiten. Es seien A und OB die beiden an 
angreifenden Kräfte. Wir ersetzen OB durch eine 
parallel zu OA wirkende Kraft 00 und eine zu OA 
senkrechte OD. Dann wirken für OA und OB die bei- 
den Kräfte OE = OA+OC und OD, deren Resul- 
tirende OF zugleich auch die Diagonale des über 
OA, OB construirten Parallelogramms OAFB ist. 

3. Der Satz des Kräftenparallelogramms stellt sich, 
wenn man auf dem Wege Stevin's zu demselben gelangt, 
als etwas indirect Gefundenes dar. Er zeigt sich als 
eine Folge und als Bedingung bekannter Thatsachen. 
Man sieht aber nur, dass er besteht, noch nicht warum 
er besteht, d. h. man kann ihn nicht (wie in der Dynamik) 
auf noch einfachere Sätze zurückführen. In der Statik 
gelangte der Satz zu eigentlicher Geltung auch erst 
durch Varignon, als die Dynamik, welche direct zu dem 
Satze führt, bereits so weit fortge- 
schritten war, dass eine Entlehnung 
desselben ohne Schwierigkeit statt- 
finden konnte. Der Satz des Kräften- 
parallelogramms wurde zuerst von 
Newton in seinen „Principien der Natur- 
philosophie" klar ausgesprochen. Im 
selben Jahre hat auch Varignon un- 
abhängig von Newton in einem der 
Pariser Akademie vorgelegten, aber erst 
nach Varignon' s Tode gedruckten Werke 
den Satz ausgesprochen, und mit Hülfe 
eines geometrischen Theorems zur Verwendung gebracht« 

3* 




Fig. 29. 



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36 



Erstes Kapitel. 



Der geometrische Satz ist folgender: Wenn wir ein 
Parallelogramm betrachten, dessen Seiten p und q, dessen 
Diagonale r ist, und wir ziehen von irgendeinem Punkte 
m der Ebene des Parallelogramms Senkrechte auf 
diese drei Geraden, die wir mit w, v und w bezeichnen, 
so ist p*u-\~q'V = r»w. Dies ist leicht nachzu- 
weisen, wenn man von m aus Gerade zu den End- 
punkten der Diagonale und der Parallelogrammseiten 
zieht, und die Flächen der so entstandenen Dreiecke 
betrachtet, welche den Hälften jener Producte ent- 
sprechen. Wenn man m in das Parallelelogramm hin- 
einlegt, und jetzt Senkrechte zieht, so übergeht der 
Satz in die Form: p *u — q> v = r • w. Fällt endlich 
m in die Richtung der Diagonale und ziehen wir jetzt 
Senkrechte, so ist, da die Senkrechte auf die Dia- 
gonale die Länge Null hat: p>u — q»v = o oder 
p . u = q . v. 

Mit Hülfe der Bemerkung, dass die Kräfte den von 
ihnen in gleichen Zeiten hervorgebrachten Bewegungen 




Fig. 30. 




Fig. 31. 



proportionirt sind, gelangt Varignon leicht von der Zu- 
sammensetzung der Bewegungen zur Zusammensetzung der 
Kräfte. Kräfte, welche auf einen Punkt wirkend, der Grösse 
und Richtung nach durch die Parallelogrammseiten dar- 



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Entwickelang der Principien der Statik. 37 

gestellt werden, sind durch eine Kraft ersetzbar, welche 
in gleicher Weise durch die Diagonale des Parallelo- 
gramms dargestellt ist. 

Stellen nun in dem obigen Parallelogramm p, q 
die zusammenwirkenden Kräfte (Componenten) und r 
die Kraft vor, welche beide zu ersetzen vermag (die 
Resultirende), so heissen die Producte pu, qv , rw 
Momente dieser Kräfte in Bezug auf den Punkt m. 
Liegt der Punkt m in der Richtung der Resultirenden, 
so sind für ihn die beiden Momente pu und qv ein- 
ander gleich. 

4. Mit Hülfe dieses Satzes kann nun Varignon die 
Maschinen in viel einfacherer Weise behandeln, als dies 
seine Vorgänger zu thun vermochten. Betrachten wir z. B. 
einen starren Körper (Fig. 31), der um eine durch 
hindurchgehende Axe drehbar ist. Wir legen zu der- 
selben eine senkrechte Ebene, und wählen darin zwei 
Punkte A, B, an welchen in der Ebene die Kräfte P, Q 
angreifen. Wir erkennen mit Varignon, dass die Wir- 
kung der Kräfte nicht geändert wird, wenn die An- 
griffspunkte derselben in der Kraftrichtung verschoben 
werden, da ja alle Punkte derselben Richtung miteinander 
in starrer Verbindung sind und einer den andern drückt 
und zieht. Demnach können wir P irgendwo in der Rich- 
tung A X, Q irgendwo in der Richtung B F, also auch 
im Durchschnittspunkte M angreifen lassen. Wir con- 
struiren mit den nach M verschobenen Kräften ein 
Parallelogramm und ersetzen die Kräfte durch deren 
Resultirende. Auf die Wirkung derselben kommt es 
nun allein an. Greift sie an beweglichen Punkten an, 
so besteht kein Gleichgewicht. Geht aber deren Rich- 
tung durch die Axe, durch den Punkt hindurch, 
welcher nicht beweglich ist, so kann auch keine Be- 
wegung eintreten, es besteht Gleichgewicht. Im letztern 
Falle ist nun ein Punkt der Resultirenden, und wenn 
wir von demselben auf die Richtungen der Kräfte j>, q 
die Senkrechten u und v fällen, so ist nach dem er- 
wähnten Satze p • u = q • v. Wir haben hiermit das 



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38 



Erstes Kapitel. 



Hebelgesetz aus dem Satze des Kräftenparallelogramms 
abgeleitet. 

In ähnlicher Weise erklärt Varignon andere Gleich- 
gewichtsfälle aus der Aufhebung der Resultirenden 
durch irgendein Hinderniss. An der schiefen Ebene 
z. B. besteht Gleichgewicht, wenn die Resultirende senk- 
recht gegen die Ebene ausfällt. Die ganze Statik 
Varignon's ruht in der That auf dynamischer Grund- 
lage, sie ist für ihn ein specieller Fall der Dynamik. 
Immer schwebt ihm der allgemeinere dynamische Fall 
vor und er beschränkt sich in der Untersuchung frei- 
willig auf den Gleichgewichtsfall. Wir haben es mit 
einer dynamischen Statik zu thun, wie sie nur nach 
den Untersuchungen von Galilei möglich war. Neben- 
bei sei bemerkt, dass von Varignon die meisten der 
Sätze und Betrachtungsweisen herrühren, welche die 
Statik der heutigen Elementarbücher ausmachen. 

5. Wie wir gesehen haben, können auch rein statische 
Betrachtungen zum Satze des Kräftenparallelogramms 
führen. In speciellen Fällen lässt sich der Satz auch 
sehr leicht bestätigen. Man erkennt z. B. ohne weiteres, 
dass eine beliebige Anzahl gleicher, in einer Ebene auf einen 
Punkt (ziehend oder drückend) 
wirkender Kräfte, von welchen 
je zwei aufeinanderfolgende 
gleiche Winkel einschliessen, 
sich das Gleichgewicht halten. 
Lassen wir z. B. auf den Punkt 
die drei gleichen Kräfte OA, 
OB, 00 unter Winkeln von 120° 
angreifen, so halten je zwei der 
dritten das Gleichgewicht. Man 
sieht sofort, dass die Resul- 
tirende von OA und OB der 
G gleich und entgegengesetzt ist. Sie wird durch 
OD dargestellt und ist zugleich die Diagonale des 
Parallelogramms OADB, wie sich leicht daraus ergibt, 
dass der Kreisradius zugleich die Sechseckseite ist. 




Fig. 32. 



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B'. 



ß 

1 


C 

c 


-*--^ -— — — — " — ~" J " 1 ~~ ~""""*-*^-^ 


0' 

Fig. 33» 


Ä 



Entwicklung der Principien der Statik. 39 

6. Fallen die zusammenwirkenden Kräfte in dieselbe 
oder in die entgegengesetzte Richtung, so entspricht dieRe- 
sultirende der Summe 

oder der Differenz der A 

Componenten. Beide 
Fälle erkennt man ohne 
Schwierigkeit als Spe- 
cialfälle des Satzes vom 
Kräftenparallelogramm. 
Denkt man sich in den 
beiden Zeichnungen (Fig. 33) den Winkel A B all- 
mählich zu dem Werthe 0°, den Winkel A! 0* B' zu 
dem Werthe 180° übergeführt, so erkennt man, dass 
OC in OA + AC=OA + OB und 0' C in 0' A' — 
A! C = 0'A' — O'B' übergeht. Der Satz des Kräften- 
parallelogramms enthält also die Sätze schon in sich, 
welche gewöhnlich als besondere Sätze demselben vor- 
ausgeschickt werden. 

7. Der Satz des Kräftenparallelogramms stellt sich 
in der Form, in welcher derselbe von Newton und 
Varignon gegeben wird, deutlich als ein Erfahrungs- 
satz dar. Ein von zwei Kräften ergriffener Punkt führt 
zwei voneinander unabhängige Bewegungen mit den 
Kräften proportionalen Beschleunigungen aus. Darauf 
gründet sich die Farallelogrammconstruction. Daniel 
Bernoulli war nun der Meinung, dass der Satz des 
Kräftenparallelogramms eine geo- 
metrische (von physikalischen 
Erfahrungen unabhängige) Wahr- 
heit sei. Er versuchte auch ei- 
nen geometrischen Beweis zu lie- 
fern, dessen Hauptpunkte wir in 
Augenschein nehmen wollen, da die 
Bernoulli'sche Ansicht noch immer 
nicht ganz verschwunden ist. 

Wenn zwei gleiche Kräfte, deren 
Richtungen einen rechten Winkel einschliessen, auf einen 
Punkt wirken, so kann nach Bernoulli kein Zweifel ob- 




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40 



Erstes Kapitel. 



walten, dass die Halbirungslinie des Winkels (nach dem 
Symmetrieprincip) die Richtung der Resultirenden r sei. 
Um auch die Grösse derselben geometrisch zu bestimmen, 
wird jede der Kräfte p in zwei gleiche Kräfte q parallel 
und senkrecht zu r zerlegt. Hierbei ist nun die Grössen- 
beziehung von p und q dieselbe wie jene von r und p. 
Wir haben demnach: 

p = jx . q und r = [t.p, folglich r = y. 2 q. 

Da sich aber die zu r senkrechten Kräfte q heben, 
die zu r parallelen aber die Resultirende vorstellen, so 
ist auch 

r = 2 2, also jjl = V^T und r = V2~..p. 

Die Resultirende wird also auch der Grösse nach 
durch die Diagonale des über p als Seite construirten 
Quadrats dargestellt. 

Analog lässt sich die Grösse der Resultirenden für 
rechtwinkelige ungleiche Componenten bestimmen. Hier 
ist aber über die Richtung der Resultirenden r von vorn- 
herein nichts bekannt. Zerlegt man die Componenten 
p, q parallel und senkrecht zu der noch unbestimmten 
Richtung r in die Kräfte w, s beziehungsweise v, t, so 
bilden die neuen Kräfte mit den Componenten p, q die- 
selben Winkel, welche p % q mit r einschliessen. Es sind 
dadurch auch folgende Grössenbeziehungen bestimmt: 




^- = *und 



" »' 

q 
-• --, aus welchen 

zwei letztern Gleichungen folgt 

IL. 
r 

Andererseits ist aber auch 



^=^undl 
q 8 p 






r=zu + v = — + -?- 
r r 

r 8 =2? a + q*. 



oder 



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Entwickelang der Prinoipien der Statik. 41 

Die Diagonale des über p und q construirten Recht- 
ecks stellt also die Grösse der Resultirenden vor. 

Für alle Rhomben ist nun die Richtung, für alle 
Rechtecke die Grösse der Resultirenden, für das Qua- 
drat die Grösse und Richtung bestimmt. Bernoulli löst 
dann die Aufgabe, zwei unter einem Winkel wirkende 
gleiche Kräfte durch andere gleiche, unter einem an- 
dern Winkel wirkende äquivalente Kräfte zu ersetzen, 
und gelangt schliesslich durch umständliche und auch 
mathematisch nicht ganz einwurfsfreie Betrachtungen, 
die Foisson später verbessert hat, zu dem allgemeinen 
Satz. 

8. Betrachten wir nun die physikalische Seite der 
Sache. Der Satz des Kräftenparallelogramms war Ber- 
noulli als ein Erfahrungssatz bereits bekannt. Was 
Bernoulli thut, besteht also darin, dass er sich vor 
sich selbst unwissend stellt und den Satz aus möglichst 
wenigen Voraussetzungen herauszuphilosophiren sucht. 
Diese Arbeit ist keineswegs sinnlos und zwecklos. Im 
Gegentheil, man findet durch dieses Verfahren, wie 
wenige und wie unscheinbare Erfahrungen den Satz 
schon geben. Nur darf man nicht wie Bernoulli sich 
selbst täuschen, man muss sich alle Voraussetzungen 
gegenwärtig halten, und darf keine Erfahrung über- 
sehen, die man unwillkürlich verwendet. Welche Voraus- 
setzungen liegen nun in Bernoulli's Ableitung? 

9. Die Statik kennt die Kraft zunächst nur als einen 
Zug oder Druck, der stets, woher er auch stammen 
mag, durch den Zug oder Druck eines Gewichtes er- 
setzt werden kann. Alle Kräfte können als gleich- 
artige Grössen betrachtet und durch Gewichte ge- 
messen werden. Die Erfahrung lehrt ferner, dass das 
Gleichgewichts- oder Bewegungsbestimmende einer Kraft 
nicht nur in deren Grösse, sondern auch in deren 
Richtung liegt, welche durch die Richtung der ein- 
tretenden Bewegung, durch die Richtung einer ge- 
spannten Schnur u. s. w. kenntlich wird. Andern eben- 
falls durch die physikalische Erfahrung gegebenen 



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p 



42 Erstes Kapitel. 

Dingen, wie der Temperatur, der Potentialfun ction, 
können wir wol Grösse, aber keine Richtung zuschreiben. 
Dass an einer einen Punkt ergreifenden Kraft Grösse 
und Richtung maassgebend ist, ist schon eine wichtige, 
wenn auch unscheinbare Erfahrung. 

Wenn die Grösse und Richtung der einen Punkt 
ergreifenden Kräfte allein maassgebend ist, so erkennt 
man, dass zwei gleiche entgegegesetzte Kräfte im 
Gleichgewicht sind, weil sie keine Bewegung eindeutig 
bestimmen können. Auch senkrecht zu ihrer Richtung 
kann eine Kraft p eine Bewe- 
gungswirkung nicht eindeutig 
bestimmen. Ist aber eine Kraft p 
schief gegen eine andere Richtung 
ss' (Fig. 36), so kann sie nach der- 
selben eine Bewegung bestimmen. 
Allein nur die Erfahrung kann 

lehren, dass die Bewegung nach 

e i ß s' s und nicht nach s s' bestimmt 

Figt 36m ist , also nach der Seite des 

spitzen Winkels oder nach der 

Seite hin, nach welcher p auf s' s eine Projection 

ergibt. 

Diese letztere Erfahrung wird nun gleich zu Anfang 
von Bernoulli benutzt. Der Sinn der Resultirenden 
zweier gleicher zueinander rechtwinkeliger Kräfte lässt 
sich nämlich nur auf Grund dieser Erfahrung angeben. 
Aus dem Symmetrieprincip folgt nämlich nur, dass die 
Resultirende in die Ebene der Kräfte und in die 
Halbirungslinie des Winkels, nicht aber dass sie in 
den spitzen Winkel hineinfällt. Gibt man aber diese 
Bestimmung auf, so ist die ganze Beweiserei schon vor 
dem Beginn zu Ende. 

10. Wenn wir uns überzeugt haben, dass wir den 
Einfluss der Richtung einer Kraft überhaupt nur aus 
der Erfahrung kennen, so werden wir noch weniger 
glauben, dass wir die Art dieses Einflusses auf einem 
andern Wege zu ermitteln vermögen. Dass eine Kraft 



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Entwickelung der Principien der Statik. 43 

p nach einer Richtung s, welche mit ihrer eigenen den 
Winkel a einschliesst , so wirkt , wie eine Kraft p cos a 
in der Richtung s, was mit dem Satz des Kräften- 
parallelogramms gleichbedeutend ist, kann man nicht 
errathen. Auch Bernoulli wäre dies nicht im Stande 
gewesen. Er verwendet aber in kaum merklicher Weise 
Erfahrungen, welche dieses mathematische Yerhältniss 
schon mitbestimmen. 

Derjenige, welchem die Zusammensetzung und Zer- 
legung der Kräfte bereits geläufig ist, weiss, dass 
mehrere an einem Punkt angreifende Kräfte in ihrer 
Wirkung in jeder Beziehung und nach jeder Richtung 
durch eine Kraft ersetzt werden können. In Ber- 
noulli's Beweisverfahren spricht sich diese Kenntniss 
darin aus, dass die Kräfte p, q als solche betrachtet 
werden, welche die Kräfte s, u, und t, v vollständig, 
sowol nach der Richtung r als auch nach jeder an- 
dern Richtung zu ersetzen vermögen. Ebenso wird r 
als ein Aequivalent von p und q betrachtet. Es wird 
ferner als gleichgültig angesehen, ob man s, u, t, v zu- 
erst nach den Richtungen p, q, und p, q alsdann nach 
der Richtung r schätzt, oder ob s, u, t, v direct nach 
der Richtung r geschätzt werden. Das kann aber nur 
derjenige wissen, der schon eine sehr ausgedehnte Er- 
fahrung über die Zusammensetzung und Zerlegung der 
Kräfte gewonnen hat. Am einfachsten gelangt man zu 
dieser Kenntniss, wenn man weiss, dass eine Kraft p 
nach einer Richtung, welche den Winkel a mit ihrer 
eigenen einschliesst , mit dem Betrage p • cos a wirkt. 
Thatsächlich ist man auch auf diesem Wege zu 
dieser Einsicht gelangt. 

In einer Ebene mögen die Kräfte P, P', P" .... 
unter den Winkeln a, a', a" . . . . gegen eine gegebene 
Richtung X an einem Punkt angreifen. Dieselben 
sollen ersetzbar sein durch eine Kraft II, welche irgend- 
einen Winkel [x mit X einschliesst. Nach dem bekannten 
Princip hat man dann 

2 P • cos a = II cos jx. 



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44 ' Erstes Kapitel. 

Soll II der Ersatz für das Kraftsystem bleiben, 
welche Richtung auch X annimmt, wenn es um den 
beliebigen Winkel 8 gedreht wird, so ist ferner 

2 P cos (a + 5) = II cos ([* + &), 

oder 

(SPcosa - IIcos{jl)cosS - (SP sina-IIsinfji) sin5 = 0. 

Setzen wir 

2 P cos a — II cos p, = A, 

— (2 P sin a — II sin p.) = B, 

B 
tang t = -j-, 

so folgt 

A cos 5 + B sin 5 = V Ä 2 -j- 5 2 "sin (8 + t) = 0, 
welche Gleichung für j e d e s 8 nur bestehen kann, wenn 

A = 2 P cos a — II cos [x = 

und 

B = (2 P sin a — II sin p.) = ist. 

Hieraus ergibt sich 

II cos p. = 2 P cos a 

II sin p. = 2 P sin a. 

Aus diesen Gleichungen folgen für II und p. die be- 
stimmten Werthe 



H = V[(2 P sin a) 2 + (SP cos a) 2 ] 

und 

2 P sin a 

tang p. = — . 

^ 2Pcosa 

Kann man also die Wirkung einer Kraft in einer 
gegebenen Richtung durch die Projection auf diese 
Richtung messen, so ist wirklich jedes an einem Punkt 
angreifende Kraftsystem durch eine Kraft von be- 
stimmter Grösse und Richtung ersetzbar. Die an- 
gestellten Betrachtungen lassen sich aber nicht aus- 
führen, wenn man an die Stelle von cos a irgendeine 



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Entwickelung der Principien der Statik. 45 

allgemeine Winkelfunction 9(a) setzt. Thut man aber 
dies, und betrachtet gleichwol die Resultirende als eine 
bestimmte, so ergibt sich, wie z. B. aus Poisson's Ab- 
leitung ersichtlich ist, für 9 (a) die Form cos a. Die 
Erfahrung, dass mehrere auf einen Punkt wirkende 
Kräfte in jeder Beziehung stets durch eine ersetzbar 
sind, ist also mathematisch gleichwerthig mit 
dem Princip des Kräftenparallelogramms oder mit dem 
Projectionsprincip. Das Parallelogramm- oder Projec- 
tionsprincip ist aber viel leichter durch Beobachtung 
zu gewinnen, als jene allgemeinere Erfahrung durch 
statische Beobachtungen gewonnen werden kann. Wirk- 
lich ist auch das Parallelogrammprincip früher ge- 
wonnen worden. Es würde auch ein beinahe über- 
menschlicher Scharfsinn dazu gehören, aus der allge- 
meinen Ersetzbarkeit mehrerer Kräfte durch eine, ohne 
Leitung durch anderweitige Kenntniss des Sachverhaltes, 
das Parallelogrammprincip mathematisch zu folgern. 
An Bernoulli's Ableitung setzen wir demnach aus, 
dass das leichter Beobachtbare auf das schwerer Beob- 
achtbare zurückgeführt wird. Darin liegt ein Verstoss 
gegen die Oekonomie der Wissenschaft. Ausserdem 
täuscht sich Bernoulli darin, dass er meint, überhaupt 
von keiner Beobachtung auszugehen. 

Wir müssen noch die Bemerkung hinzufügen, dass auch 
die Unabhängkeit der Kräfte voneinander, welche 
sich in dem Princip der Zusammensetzung ausspricht, eine 
Erfahrung ist, welche von Bernoulli fortwährend still- 
schweigend verwendet wird. Solange wir mit regel- 
mässigen oder symmetrischen Kraftsystemen zu thun 
haben, in welchen jede Kraft gleichwerthig ist, kann 
jede von den übrigen auch im Falle einer gegenseitigen 
Abhängigkeit nur in derselben Weise beeinflusst wer- 
den, Schon bei drei Kräften, von welchen zwei zur 
dritten symmetrisch sind, wird die Betrachtung sehr 
schwierig, sobald man die Möglichkeit einer gegen- 
seitigen Abhängigkeit der Kräfte zugibt. 

11. Sobald man direct oder indirect zu dem Princip 



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46 



Erstes Kapitel. 



des Kräftenparallelogramms geführt worden ist, und 
dasselbe erschaut hat, ist dasselbe so gut eine Beob- 
achtung, als jede andere. Ist die Beobachtung neu, so 
geniesst sie selbstverständlich noch nicht das Vertrauen 
wie alte, vielfach erprobte Beobachtungen. Man sucht 
dann die neue Beobachtung durch die alten zu stützen 
und ihre Uebereinstimmung nachzuweisen. Nach und 
nach wird die neue Beobachtung den altern ebenbürtig. 
Es ist dann nicht mehr nöthig, jene fortwährend auf 
diese zurückzuführen. Eine solche Ableitung ist nur 




Fig. 37. 

dann zweckmässig, wenn hierbei schwer unmittelbar zu 
gewinnende Beobachtungen auf einfachere und leichter 
zu gewinnende zurückgeführt werden können, wie dies 
mit dem Princip des Kräftenparallelogramms in der 
Dynamik geschieht. 

12. Man hat den Satz des Kräftenparallelogramms 
auch durch besonders zu diesem Zwecke angestellte 
Versuche veranschaulicht. Eine hierzu sehr geeignete Vor- 
richtung ist von Cauchy angegeben worden. Der Mittel- 
punkt eines horizontalen getheilten Kreises (Fig. 37) ist 



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Entwickelung der Prinoipien der Statik. 47 

durch eine Spitze bezeichnet. Drei miteinander ver- 
knüpfte Fäden /,/',/" sind über Rollen r,r', r" gelegt, 
welche an einer beliebigen Stelle des Kreisumfanges 
festgestellt werden können, und werden durch Gewichte 
P>P',P n belastet. Wenn z. B. drei gleiche Gewichte 
aufgelegt, und die Rollen auf die Theilungspunkte 0, 
120, 240 gestellt sind, so stellt sich der Knotenpunkt 
der Fäden auf den Kreismittelpunkt ein. Drei gleiche 
Kräfte unter Winkeln von 120° sind also im Gleich- 
gewicht. 

Will man einen andern Fall darstellen, so kann man 
auf folgende Art verfahren. Man denkt 
sich zwei beliebige Kräfte p, q unter einem 
beliebigen Winkel a, stellt dieselben durch 
Linien dar und construirt über denselben 
als Seiten ein Parallelogramm. Man fügt 
ferner eine der Resultirenden r gleiche 
und entgegengesetzte Kraft hinzu. Die 
drei Kräfte p, q, -r halten sich unter 
den aus der Construction ersichtlichen 
Winkeln das Gleichgewicht. Man stellt 
die Rollen des getheilten Kreises auf die 
Theilungspunkte o, a, a -f" ß, und belastet die zugehö- 
rigen Fäden mit den Gewichten p, q, r. Der Ver- 
knüpfungspunkt stellt sich auf den Kreismittelpunkt ein. 

4. Das Princip der virtuellen Verschiebungen. 

1. Wir gehen nun zur Besprechung des Princips 
der virtuellen (möglichen) Verschiebungen über. Die 
Gültigkeit dieses Princips wurde zuerst von Stevin zu 
Ende des 16. Jahrhunderts bei Untersuchung des Gleich- 
gewichts der Rollen und Rollensysteme bemerkt. Zunächst 
behandelt Stevin die Rollensysteme in der noch jetzt ge- 
wöhnlichen Weise. In dem Falle a (Fig. 39) herrscht 
aus bereits bekannten Gründen Gleichgewicht bei beider- 
seits gleicher Belastung P. Bei b hängt das Gewicht P 
an zwei parallelen Schnüren, deren jede also das Ge- 



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48 



Erstes Kapitel. 



wicht — trägt, womit im Gleichgewichtsfalle auch das 

freie Ende der Schnur belastet sein muss. Bei c hängt 

P an sechs Schnüren, und die Belastung des freien 

P 
Endes mit — stellt das Gleichgewicht her. Bei d, bei 
6 

dem sogenannten Archimedes'schen oder Potenzflaschen- 
zug, hängt P zunächst an zwei Schnüren, deren jede 

P 

— trägt, die eine von beiden hängt wieder an zwei 

ab c d 



fl 



HS 



D 

_P 
2 




Fig. 39. 



Schnüren u. ß. w., sodass das freie Ende durch die Be- 

P 
lastung — im Gleichgewicht erhalten wird. Ertheilt 

8 
man diesen Bollensystemen Verschiebungen, bei welchen 
das Gewicht P um die Höhe h sinkt, so bemerkt man, 
dass wegen der Anordnung der Schnüre 
in a das Gegengewicht P um die Höhe h \ 

P 
n " » jj ~^~ » »> >> a tl\ 

p > steigt. 




6 
P_ 

8 



6ä| 
8Ä 



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Entwicklung der Principien der Statik. 49 

Im Gleichgewichtsfalle sind also an einem Rollen- 
system die Producte aus den Gewichten und den zu- 
gehörigen Verschiebungsgrössen beiderseits gleich. („Ut 
spatium agentis ad spatium patientis, sie potentia pa- 
tientis ad potentiam agentis", Stevini, „Hypomnemata", 
T. IV, Hb. 3, p. 172.) In dieser Bemerkung liegt nun 
der Keim des Principe der virtuellen Verschiebungen. 

2. Galilei hat bei einer andern Gelegenheit, bei 
Untersuchung des Gleichgewichts auf der schiefen Ebene, 
die Gültigkeit des Principe erkannt, und auch schon 
eine etwas allgemeinere Form desselben gefunden. Auf 
einer schiefen Ebene, deren Länge AB der doppelten 
Höhe BC gleich ist, wird eine 
auf AB liegende Last Q durch 
die längs der Höhe BC wir- 
kende Last P im Gleichge- 

Q 
wicht gehalten, wenn P = — 

ist. Wird der ganze Appa- 
rat in Bewegung gesetzt, so Fig ' 4(k 

sinkt etwa J? = — um die Höhe Ä, und um dieselbe 

Strecke h steigt Q auf der Länge AB auf. Indem nun 
Galilei die Erscheinung auf sich wirken lässt, erkennt 
er, dass das Gleichgewicht nicht nur durch die Ge- 
wichte, sondern auch durch deren mögliche Annähe- 
rung und Entfernung von dem Erdmittelpunkt 

bestimmt ist. Während nämlich -^- längs der Höhe 

um h sinkt, steigt Q längs der Länge um Ä, in ver- 

h 

ticalem Sinne aber nur um — auf, so zwar, dass 

h Q 

die Producte Q • — und ~- • h beiderseits gleich aus- 

fallen. Man kann kaum genug hervorheben, wie auf- 
klärend die Bemerkung Galilei' s ist, und welches 
Licht sie verbreitet. Dabei ist die Bemerkung so na- 

Mach. 4. 



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50 Erstes Kapitel. 

türlich und ungezwungen, dass man dieselbe gern 
acceptirt. Was kann einfacher erscheinen, als dass 
in einem System von schweren Körpern keine Bewegung 
eintritt, wenn im ganzen keine schwere Masse sinken 
kann. Das scheint uns instinctiv annehmbar. 

Die Auffassung der schiefen Ebene durch Galilei 
erscheint uns viel weniger geistreich als die Stevin'sche, 
aber wir erkennen sie als natürlicher und tiefer. Darin 
zeigt sich Galilei als ein so grosser wissenschaftlicher 
Charakter, dass er den i nt eil ec tu eilen Muth hat, in 
einer längst untersuchten Sache mehr zu sehen als 
seine Vorgänger, und seiner Beobachtung zu vertrauen. 
Mit der ihm eigenen Offenheit gibt er seine Ansicht 
sammt den Motiven, die ihn zu derselben geführt haben, 
dem Leser preis. 

3. Torricelli bringt das Galilei'sche Princip durch 
Verwendung des Begriffes „Schwerpunkt" in eine Form, 
in welcher es dem Gefühl noch näher liegt, in welcher 
es übrigens gelegentlich auch schon von Galilei ver- 
wendet wird. Nach Torricelli besteht an einer Maschine 
Gleichgewicht, wenn bei Verschiebung derselben der 
Schwerpunkt der angehängten Lasten nicht sinken kann. 
Bei einer Verschiebung an der obigen schiefen Ebene 
sinkt z. B. P um die Strecke Ä, dafür steigt Q um 
li • sin a vertical auf. Soll der Schwerpunkt nicht sinken, 
so ist 

P'h — Q'h sin a . _ , ~ , . Ä 
J* = 0, oder P • h — Q • h sin a = 0, 

p + y 

oder -d n • n BC 

Stehen die Lasten in einem andern Verhältniss, so 
kann der Schwerpunkt bei einer oder der andern Ver- 
schiebung sinken, und es besteht kein Gleichgewicht. 
Wir erwarten instinctiv Gleichgewicht, wenn der 
Schwerpunkt eines Systems schwerer Körper nicht 
sinken kann. Es enthält aber der Torricelli'sche Aus- 
druck durchaus nicht mehr als der Galilei'sche. 



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Entwickelung der Principien der Statik. 51 

4. So wie an den Rollensystemen nnd an der schiefen 
Ebene lässt sich die Gültigkeit des Princips der vir- 
tuellen Verschiebungen leicht auch an andern Maschinen, 
z. B. dem Hebel, dem Wellrad u. s. w. nachweisen. Am 
"Wellrade z. B. mit den Radien JR, r und den zugehö- 
rigen Lasten P, Q besteht bekanntlich Gleichgewicht, 
wenn PE = Qr. Dreht man das Wellrad um den 
Winkel a, so sinkt etwa P um J?a, und es steigt Q 
um ra. Nach Stevin's und Galilei's Auffassung ist im 
Gleichgewichtsfall P • JRol = Q • r a, welche Gleichung 
dasselbe besagt wie die obige. 

5. Wenn wir ein System von schweren Körpern, an 
welchem Bewegung auftritt, vergleichen mit einem ähn- 
lichen im Gleichgewicht befindlichen System, so drängt 
sich uns die Frage auf: Was ist das Unterscheidende 
beider Fälle? Worin liegt das Bewegungsbestimmende 
(Gleichgewichtstörende), welches in dem einen Falle 
vorhanden ist, in dem andern aber fehlt. Indem Galilei 
sich diese Frage stellte, erkannte er als bewegungs- 
bestimmend nicht nur die Gewichte, sondern auch deren 
Fall tiefen (deren verticale Ver&chiebungsgrössen). 

Nennen wir P, P', P" die Gewichte eines Systems 

schwerer Körper, und 7>, /*', /*"... . die zugehörigen 
verticalen, gleichzeitig möglichen Verschiebungsgrössen, 
wobei Verschiebungen abwärts positiv, Verschiebungen 
aufwärts negativ gerechnet werden. Galilei findet nun, 
dass in der Erfüllung der Bedingung Ph + P' V + 
P" h" -+- . . . = das Merkmal des Gleichgewichtsfalles 
liegt. Die Summe Ph + P' h' + P" h" + ... ist das 
Gleichgewichtstörende, das Bewegungsbestimmende. Man 
hat diese Summe ihrer Wichtigkeit wegen in neuerer 
Zeit mit dem besondern Namen Arbeit bezeichnet. 

6. Während die altern Forscher bei Vergleichung 
von Gleichgewichts- und Bewegungsfällen ihre Aufmerk- 
samkeit auf die Gewichte und deren Abstände von der 
Drehaxe richteten, und die statischen Momente als 
maassgebend erkannten, beachtet Galilei die Gewichte 
und die Falltiefen und erkennt die Arbeit als 



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52 Erstes Kapitel. 

maassgebend. Es kann natürlich dem Forscher nicht 
vorgeschrieben werden, auf welche Merkmale des 
Gleichgewichts er zu achten hat, wenn mehrere zur 
Auswahl vorliegen. Nur der Erfolg kann darüber ent- 
scheiden, ob er die richtige Wahl getroffen hat. So 
wenig man aber, wie wir gesehen haben, die Bedeutung 
der statischen Momente als etwas unabhängig von der 
Erfahrung Gegebenes, logisch Einleuchtendes darstellen 
darf, ebenso wenig darf dies mit der Arbeit geschehen. 
Pascal ist im Irrthum, und diesen Irrthum theilen 
manche moderne Forscher, wenn er bei Anwendung 
des Princips der virtuellen Verschiebungen auf die 
Flüssigkeiten sagt: „etant clair, que c'est la meme chose 
de faire faire un pouce de chemin ä cent livres d'eau, que 
de faire faire cent pouces de chemin ä une livre d'eau" . . . 
Das ist nur dann richtig, wenn man schon die Arbeit 
als maassgebend anerkennt, was nur die Erfahrung 
lehren kann. 

Wenn wir einen gleicharmigen, beiderseits gleich- 
belasteten Hebel vor uns haben, so erkennen wir das 
Gleichgewicht desselben als die einzige eindeutig be- 
stimmte Wirkung, ob wir nun die Gewichte und die 
Abstände, oder die Gewichte und die Falltiefen als 
bewegungsbestimmend ansehen. Diese oder ähnliche 
Erfahrungserkenntnisse müssen aber vorausgehen, wenn 
wir überhaupt ein Urtheil über den Fall haben sollen. 
Die Form der Abhängigkeit der Gleichgewichtsstörung 
von den angeführten Umständen, also die Bedeutung 
des statischen Momentes (PL) oder der Arbeit (Ph) 
kann man noch weniger herausphilosophiren als die 
Abhängigkeit überhaupt. 

7. Wenn zwei gleiche Gewichte mit gleichen entgegen- 
gesetzten Verschiebungsgrössen einander gegenüber- 
stehen, so erkennen wir das Bestehen des Gleichge- 
wichts. Wir könnten nun versucht sein, den allge- 
meinern Fall der Gewichte P, P' mit den Verschiebungs- 
grössen h, h\ wobei PÄ = P' h' ist, auf den einfachem 
zurückzuführen. Wir hätten z. B. die Gewichte 3P 



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Entwiokelung der Principien der Statik. 



53 




Fig. 4L 



und 4P an einem Wellrade mit den Radien 4 und 3. 
Wir zerfallen die Gewichte in lauter gleiche Stücke 
von der Grösse P, die 
wir durch a, b, c, d, e, 
f, g bezeichnen. Nun 
führen wir a, b, c auf 
das Niveau -f~ 3, und 
d, e 9 f auf das Niveau 
— 3. Diese Verschie- 
bung werden die Ge- 
wichte weder von selbst 
eingehen, noch werden 
sie derselben wider- 
stehen. Wir fassen jetzt 

das Gewicht g auf dem Niveau mit dem a auf + 3 
zusammen, schieben ersteres auf — 1 und letzteres auf 
+ 4, dann in gleicher Weise g auf — 2 und b auf 
-|- 4, g auf — 3 und c auf + 4. Allen diesen Ver- 
schiebungen leisten die Gewichte keinen Widerstand, 
und bringen sie auch selbst nicht hervor. Schliesslich 
erscheinen aber a, b, c (oder 3 P) auf dem Niveau -f- 4 
und d, e,/, £ (oder 4P) auf dem Niveau — 3. Auch 
diese Verschiebung bringen also die Gewichte nicht 
selbst hervor und widerstehen ihr auch nicht, d. h. bei 
diesem Verschiebungsverhältniss sind die Gewichte im 
Gleichgewicht. Die Gleichung 4 • 3 P — 3-4P=0 ist 
also für das Gleichgewicht in diesem Fall charakte- 
ristisch. Die Verallgemeinerung (Ph — P'A' = 0) liegt 
auf der Hand. 

Bei genügender Aufmerksamkeit erkennt man un- 
schwer, dass man den Schluss nicht machen kann, wenn 
man* nicht die Gleichgültigkeit der Ordnung der 
Operationen und des Ueberführungsweges vor- 
aussetzt, d. h. wenn man nicht die Arbeit schon als 
das Maassgebende erschaut hat. Man würde, den Schluss 
acceptirend, denselben Fehler machen, den Archimedes 
in seiner Ableitung des Hebelgesetzes begangen hat, 
wie dies genauer auseinandergesetzt worden ist, und in 



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54 Erstes Kapitel. 

diesem Fall nicht ebenso ausführlich zu geschehen 
braucht. Nichtsdestoweniger ist die angeführte Ueber- 
legung insofern nützlich, als sie die Verwandtschaft der 
einfachen und der complicirten Fälle fühlbar macht. 

8. Die allgemeine Bedeutung des Princips der vir- 
tuellen Verschiebungen für alle Gleichgewichtsfalle hat 
Joh. Bernoulli erkannt, und er hat seine Entdeckung 
(1717) in einem Briefe an Varignon mitgetheilt. Wir 
wollen nun das Princip in seiner allgemeinsten Form 
aussprechen. An den Punkten A, 2?, C . . . . mögen die 

Kräfte P, P,' P" . . . . an- 

A P' B F greifen. Wir ertheilen den 

P/fv i/v" * Punkten irgendwelche un- 

p /^ r endlich kleine, mit der Natur 

/ v/fn" ^ er Verbindungen verträg- 

X //r liehe (sogenannte virtuelle) 

Verschiebungen t?, t/, v" .... 
und bilden von denselben 
die Projectionen p,p',p". . . . 
Fig. 42, auf die Richtungen der 

Kräfte. Diese Projectionen 
betrachten wir als positiv, wenn sie in die Richtung 
der Kraft fallen, als negativ, wenn sie in die entgegen- 
gesetzte Richtung fallen. Die Producte P\p, P'*p' 9 
P" • p" . . . . heissen virtuelle Momente und haben in 
den beiden eben erwähnten Fällen ein entgegengesetztes 
Zeichen. Das Princip sagt nun, dass für den Fall des 

Gleichgewichts P . p + P' . p' + P" . p" + = 0, 

oder kürzer 2 P • p = 0. 

9. Gehen wir nun auf einige Punkte näher ein. Vor 
Newton dachte man sich unter einer Kraft fast immer 
nur den Zug oder Druck eines schweren Körpers. Alle 
mechanischen Untersuchungen dieser Zeit beschäftigen 
sich fast nur mit schweren Körpern. Als nun in der 
Newton'schen Zeit die Verallgemeinerung des Kraft- 
begriffes eintrat, konnte man alle für schwere Körper 
bekannte mechanischen Sätze sofort auf beliebige Kräfte 
übertragen. Man konnte sich jede Kraft durch den 



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Entwickelung der Principien der Statik. 



55 



l 



Zug eines schweren Körpers an einer Schnur ersetzen. 
In diesem Sinne kann man auch das zunächst nur für 
schwere Körper gefundene Princip der virtuellen Ver- 
schiebungen auf beliebige Kräfte anwenden. 

Virtuelle Verschiebungen nennt man solche, welche 
mit der Natur der Verbindungen des Systems und mit- 
einander verträglich sind. Wenn z. B. die beiden Sy- 
stempunkte A und 2?, an welchen Kräfte angreifen, 
durch einen rechtwinkeli- 
gen, um C drehbaren Win- 

kelhebel verbunden sind, A 1 

so sind für CB = 20 A 
alle virtuellen Verschie- 
bungen von B und A stets ' 
Kreisbogenelemente, welche u ** 
zu C als Mittelpunkt ge- Fi 9- **• 
hören, die Verschiebungen 

von B sind stets doppelt so gross als jene von A, 
und beide stets zueinander senkrecht. Sind die Punkte 
AB durch einen Faden von der Länge l verbunden, 
welcher durch die festen Singe G und D hindurch- 
gleiten kann, so sind alle jene Verschiebungen von A 
und B virtuell, bei welchen sich diese Punkte auf oder 
innerhalb zweier, mit den Radien r x und r 2 um C und 
D (als Mittelpunkte) beschriebenen Kugelflächen be- 
wegen, wobei r x -f- r 2 -f- CD = l. 

Die Anwendung der unendlich kleinen Verschiebun- 
gen, statt der endlichen von Ga- 
lilei betrachteten, rechtfertigt sich 
durch folgende Bemerkung. Wenn 
zwei Gewichte an der schiefen 
Ebene im Gleichgewicht sind, so 
wird dieses nicht gestört, wenn 
die Ebene, wo sie mit den Kör- Fig. 44. 

pern nicht in unmittelbarer Be- 
rührung ist, in eine Fläche von anderer Form übergeht. 
Es kommt also auf die augenblickliche Verschiebbai keit 
bei der augenblicklichen Conformation des Systems an. 




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56 Erstes Kapitel. 

Zur Beurtheilung des Gleichgewichts dürfen die Ver- 
schiebungen nur verschwindend klein angenommen wer- 
den, weil sonst das System in eine ganz andere Nach- 
barconformation übergeführt würde, für welche vielleicht 
das Gleichgewicht nicht mehr besteht. 

Dass nicht die Verschiebungen überhaupt, sondern nur 
soweit sie im Sinne der Kräfte stattfinden, also derön 
Projectionen auf die Kraftrichtungen maassgebend sind, 
hat schon Galilei an dem Fall der schiefen Ebene hin- 
reichend klar erkannt. 

Was den Ausdruck des Princips betrifft, so bemerken 
wir, dass gar keine Aufgabe vorliegt, wenn alle Punkte 
des Systems, auf welche Kräfte wirken, voneinander 
unabhängig sind. Jeder solche Punkt kann dann nur im 
Gleichgewicht sein, wenn er im Sinne der Kraft nicht 
beweglich ist. Für jeden solchen Punkt ist einzeln 
das virtuelle Moment gleich Null. Sind einige Punkte 
voneinander unabhängig, andere aber in ihren Ver- 
schiebungen voneinander abhängig, so gilt für erstere 
die eben gemachte Bemerkung. Für die letztern gilt 
eben der von Galilei gefundene 
Grundsatz, dass die Summe ihrer 
virtuellen Momente gleich Null ist. 
Demnach ist die Gesammtsumme 
der virtuellen Momente wieder 
gleich Null. 

10; Wir wollen uns nun die Be- 
deutung des Princips zunächst an 
einigen einfachen Beispielen erläu- 
tern, und zwar an solchen, welche 
nicht nach dem gewöhnlichen Schema 
des Hebels, der schiefen Ebene u.s.w. 
behandelt werden können. 

Der Differentialflaschenzug von 
Weston (Fig. 45) besteht aus zwei 
Ft9 ' 45% conaxialen, miteinander fest verbun- 

denen Bollen von den wenig verschiedenen Radien r t 
und r 2 <C r x . Ueber diese Rollen ist eine Schnur oder 




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Entwickelung der Principien der Statik. 



57 



Kette in der angedeuteten Weise geführt. Zieht man 
in der Richtung des Pfeiles mit der Kraft P, und findet 
eine Drehung um den Winkel 9 statt, so wird das an- 
gehängte Gewicht Q etwas gehoben. Im Gleichgewichts- 
falle besteht zwischen den beiden virtuellen Momenten 
die Gleichung 



Q 



(v 



^9 = 



Fr x 9, oder P = Q^ ^ 



2 r 1 r> - 2 r x 

Ein Wellrad (Fig. 46) vom Gewicht Q, welches sich beim 
Abwickeln der Schnur mit dem Gewichte P an einer um 
die Welle gewickelten Schnur 
aufwindet und erhebt, liefert 
im Gleichgewichtsfalle für die 
virtuellen Momente die Glei- 
chung 





Fig. 46. 



Fig. 47. 



P(B — r)9 = Qr<p, oder P = 



Qr 



B—r 

In dem Specialfall B — r = haben wir für das Gleich- 
gewicht auch Q r = zu setzen , oder bei endlichen 
Werthen von r ist Q = 0. In der That verhält sich 
dann der Faden wie eine Schlinge, in welcher sich das 
Gewicht Q befindet. Letzteres kann, wenn es von Null 
verschieden ist, sich immer abwärts winden, ohne das 
Gewicht P zu bewegen. Setzen wir aber bei B = r 
auch Q = 0, so folgt P== g, ein unbestimmter Werth. 
Wirklich hält jedes Gewicht P den Apparat im Gleich- 
gewicht, weil bei B = r keins sinken kann. 

Eine Doppelrolle (Fig. 47) von den Eadien r, B liegt mit 
Reibung auf einer horizontalen Unterlage, während an 



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58 



Erstes Kapitel. 



dem Faden mit der Kraft Q gezogen wird. Nennen 
wir P den Widerstand der Reibung, so besteht Gleich- 

1? y» 7?«_f» 

gewicht, wenn P = — — - Q. Wird P > — — • Q , so 

wickelt sich beim Zug die Rolle an dem Faden auf. 
Die Robervarsche Wage besteht aus einem Parallelo- 
gramm mit veränder- 
lichen Winkeln, in wel- 
chem zwei gegenüber- 
liegende Seiten um de- 
ren Mittelpunkte .A, B 
drehbar sind. An den 
beiden andern, stets ver- 
ticalen Seiten sind hori- 
zontale Stäbe befestigt. 
Fig . 48. Hängt man an diese 

Stäbe zwei gleiche Ge- 
wichte P, so besteht unabhängig von der Aufhängungs- 
stelle Gleichgewicht, weil bei einer Verschiebung die 






Fig. 49. 



Fig. 50. 



Senkung des einen Gewichtes stets gleich ist der Er- 
hebung des andern. 

In drei fixen Punkten A, B, C seien Rollen ange- 
bracht, über welchen drei mit gleichen Gewichten be- 
lastete, und bei verknüpfte Schnüre gelegt sind. Bei 
welcher Lage der Schnüre besteht Gleichgewicht? Wir 
nennen die drei Schnurlängen AO = s li BO = s 2 , 
CO = S 3 . Um die Gleichgewichtsgleichung zu gewinnen, 



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Entwickelung der Prinoipien der Statik. 59 

verschieben wir den Punkt nach den Richtungen s t 
und s z um die unendlich kleinen Stücke 5s a und &£ 3 , 
und bemerken, dass wir hierdurch jede Verschiebungs- 
richtung in der Ebene AB C (Fig. 50) herstellen können. 
Die Summe der virtuellen Momente ist 

Phs 2 — J?8s 2 cosa + Pos 2 cos(a + ß)| __ ft 
+ Phs B — Phs 3 cosß + Pos 3 cos(a + ß)J ~~ U ' 
oder 

[1 — cos a + cos (a + ß)] 8s 3 + [1 — cos ß 
+ cos (a + ß)] 5*3=0. 

Da jede der Verschiebungen bs 3 , hs n willkürlich, von 
der andern unabhängig ist, und für sich = genom- 
men werden kann, so folgt 

1 — cos a + cos (a + ß) = 
1 — cos ß -f- cos (a + ß) = 0. 
Es ist somit 

cos a = cosß, 
und wir können statt jeder der Gleichungen setzen 
1 — cos ol -f- cos 2a = 0, 
oder cos a = £ , 
also a + ß = 120°. 
Jede der Schnüre bildet also im Gleichgewichtsfalle 
mit den andern Winkel von 120°, was auch unmittel- 
bar einleuchtet, da drei gleiche Kräfte nur bei dieser 
Anordnung im Gleichgewicht sein können. Wenn dies 
einmal bekannt ist, so kann man die Lage des Punktes 
in Bezug auf ABC auf verschiedene Weise finden. 
Man kann z. B. auf folgende Art verfahren. Man 
construirt über AB, BC, CA als Seiten je ein gleich- 
seitiges Dreieck. Umschreibt man diesen Dreiecken 
Kreise, so ist der gemeinschaftliche Durchschnittspunkt 
derselben der gesuchte Punkt 0, was sich aus der be- 
kannten Beziehung der Centri- und Peripheriewinkel 
leicht ergibt. 

Eine Stange OA ist in der Ebene des Papiers um 
drehbar, und schliesst mit einer festen Geraden X 



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60 



Erstes Kapitel. 



den veränderlichen Winkel a ein. Bei A greift eine 
Kraft P an, die mit X den Winkel y einschliesst, und 
bei B an einem längs der Stange verschiebbaren Bing 
eine Kraft Q unter dem Winkel ß gegen OX Wir 
ertheilen der Stange eine unendlich kleine Drehung, 
wodurch B und A um hs und hs x senkrecht gegen 
OA fortschreiten, und verschieben den Ring um hr 
längs der Stange. Die variable Strecke OB nennen 
wir r, und OA = a. Für den Gleichgewichtsfall ha- 
ben wir 

Q hr cos (ß— a) + Q hs sin (ß— a) + P hs t sin (a— y) = 0. 
Da die Verschiebung hr auf die übrigen Verschie- 
bungen gar keinen Einfluss hat, so muss das betreffende 




Fig. 51. 



Fig. 52. 



virtuelle Moment für sich = sein, und wegen der be- 
liebigen Grösse von hr auch der Coefficient desselben. 
Es ist also 

<>cos(ß— a) = 0, 
oder wenn Q von Null verschieden, 
ß — OL = 90°. 
Ferner haben wir mit Rücksicht darauf, dass 

hs. = — 8 s auch r • Q sin (ß — <x) + a P sin (a — y) 

1 r 
= 0, oder weil 

sm(ß— a) = 1, rQ + aP sin(a — y) = 0, 
wodurch die Beziehung der beiden Kräfte gegeben ist. 

11. Ein nicht zu übersehender Vortheil, den jedes all- 
gemeinere Princip, und so auch das Princip der vir- 
tuellen Verschiebungen gewährt, besteht darin, dass es 



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Entwickelang der Principien der Statik. 61 

uns das Nachdenken über jeden nenen speciellen Fall 
grossentheils erspart. Im Besitz dieses Princips brau- 
chen wir uns z. B. um die Einzelheiten einer Maschine 
gar nicht zu kümmern. Wenn etwa eine neue Maschine 
in einem Kasten (Fig. 52) so eingeschlossen wäre, dass 
nur zwei Hebel als Angriffspunkte für die Kraft P und 
die Last P' hervorragten, und wir fanden die gleich- 
zeitigen Verschiebungen derselben h und Ä', so wüssten 
wir sofort, dass im Gleichgewichtsfalle Ph = P' h' sei, 
welche Beschaffenheit die Maschine sonst auch haben 
möchte. Jedes derartige Princip hat also einen gewissen 
ökonomischen Werth. 

12. Wir kehren noch einmal zu dem allgemeinen 
Ausdruck des Princips der virtuellen Verschiebungen 
zurück , um an denselben weitere Betrachtungen zu 
knüpfen. Wenn an den Punkten A, 2?, .... die 
KräfteP ? P',P".... 
angreifen und p, 
p', p" . . . . die 
Projectionen un- 
endlich kleiner 
miteinander ver- 
träglicher Ver- 
schiebungen sind, 
so haben wir für 
den Fall des 
Gleichgewichts 

Pp + P'p' + P" p" + . . . = 0. 

Ersetzt man die Kräfte durch Schnüre, die über Rollen 
in den Richtungen der Kräfte führen, und hängt die ent- 
sprechenden Gewichte an, so sagt der Ausdruck nur, dass 
der Schwerpunkt des ganzen Systems von Gewichten 
nicht sinken kann. Wenn aber bei gewissen Verschiebungen 
der Schwerpunkt steigen könnte, so wäre das System 
noch immer im Gleichgewicht, da die schweren Körper, 
sich selbst überlassen, diese Bewegung nicht eingehen 
würden. In diesem Falle wäre die obige Summe negativ, 




Fig. 53. 



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62 Erstes Kapitel. 

oder kleiner als Null. Der allgemeine Ausdruck der 
Gleichgewichtsbedingung lautet also 

P.p + P' -p' + P" .y . . . < 0. 

Wenn für jede virtuelle Verschiebung eine gleiche und 
entgegengesetzte existirt, wie dies z. B. bei den Ma- 
schinen der Fall ist, so können wir uns auf das obere 
Zeichen, auf die Gleichung beschränken. Denn wenn 
bei gewissen Verschiebungen der Schwerpunkt steigen 
könnte, so müsste er wegen der vorausgesetzten Um- 
kehrbarkeit aller virtuellen Verschiebungen auch sinken 
können. Es ist also in diesem Falle auch eine mög- 
liche Erhebung des Schwerpunktes mit dem Gleich- 
gewicht unverträglich. 

Anders gestaltet sich die Sache, wenn nicht alle Ver- 
schiebungen umkehrbar sind. Zwei durch Fäden mit- 
einander verbundene Körper können sich zwar einander 
nähern, sie können sich aber nicht über die Länge der 
Fäden voneinander entfernen. Ein Körper kann auf 
der Oberfläche eines andern Körpers gleiten oder rollen, 
sodass er sich von dieser Oberfläche zwar entfernen, 
dieselbe aber nicht durchdringen kann. In diesen 
Fällen können also gewisse Verschiebungen nicht um- 
gekehrt werden. Es kann also für gewisse Verschie- 
bungen eine Schwerpunkterhebung stattfinden, wäh- 
rend die entgegengesetzten Verschiebungen, welchen die 
Schwerpunkt Senkung entspricht, gar nfeht ausführbar 
sind. Dann müssen wir also die allgemeinere Gleich- 
gewichtsbedingung festhalten und sagen, die Summe 
der virtuellen Momente ist gleich oder kleiner als 
Null. 

13. Lagrange hat in seiner analytischen Mechanik 
eine Ableitung des Princips der virtuellen Verschie- 
bungen versucht, die wir jetzt betrachten wollen. Auf 

die Punkte A, B, C wirken die Kräfte P, P', P" 

Wir denken uns an den Punkten Ringe angebracht, und 
in den Richtungen der Kräfte ebenfalls Ringe A\ B', 
C . . . . befestigt. Wir suchen ein gemeinschaftliches 



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Entwicklung der Principien der Statik. 63 

Maass -^- der Kräfte P, P', P" . . . ., sodass wir setzen 
können: 

2n 4 = P, 

2«'-|- = - p '» 
2n"-|- = P", 

wobei n, n # , tt" . . . . ganze Zahlen sind. Wir befestigen 
ferner einen Faden an dem Hinge ^4.', führen ihn «mal 
zwischen A' und A hin und her, nachher durch B\ 




n' mal zwischen B' und B hin und her, durch C", 

n" mal zwischen C und (7 hin und her, lassen ihn 

schliesslich bei C herabhängen, und bringen daselbst 

Q 
das Gewicht — an. Da nun die Schnur in allen Theilen 

Q 

die Spannung — hat, so ersetzen wir durch diese 

idealen Flaschenzüge alle im System vorhandenen Kräfte 

Q 

durch die eine Kraft — . Sind nun die virtuellen (mög- 
z 

liehen) Verschiebungen bei einer gegebenen Conforma- 

tion des Systems solche, dass bei denselben ein Sinken 



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64 Erstes Kapitel 

Q 

des Gewichtes — eintreten kann, so wird das Gewicht 

wirklich sinken, und jene Verschiebungen hervorrufen, 
es wird also kein Gleichgewicht bestehen. Dagegen 
wird keine Bewegung eintreten, wenn die Verschie- 

Q 

bungen das Gewicht -— - an Ort und Stelle lassen, oder 
Z 

dasselbe erheben. Der Ausdruck dieser Bedingung, 

wenn wir die Projectionen der virtuellen Verschiebungen 

im Sinne der Kräfte positiv rechnen, ist mit Rücksicht 

auf die Zahl der Schnurwindungen in jedem Flaschenzug 

2np + 2n'p' + 2n"p"+ ...<0. 

Mit dieser Bedingung gleichbedeutend ist aber 

2"-|-i> + **'-f-JP' + 2n" -|-j>" + . . . < 0, 

oder 

P .p + P' -p' -f P" -p" + . . . < 0. 

14. Die Lagrange'sche Ableitung hat wirklich etwas 
Ueberzeugendes, wenn man sich über die etwas fremd- 
artige Fiction der Flaschenzüge hinwegsetzt, weil das 
Verhalten eines einzigen Gewichtes unserer Erfahrung 
viel näher liegt und leichter zu übersehen ist, als das 
Verhalten mehrerer Gewichte. Dass aber die Arbeit 
für die Gleichgewichtsstörung maassgebend ist, wird 
durch die Lagrange'sche Ableitung nicht bewiesen, 
sondern vielmehr durch die Anwendung der Flaschen- 
züge schon vorausgesetzt. In der That enthält jeder 
Flaschenzug schon die Thatsache, welche durch das 
Princip der virtuellen Verschiebungen ausgesprochen 
und anerkannt wird. Die Ersetzung aller Kräfte durch 
ein Gewicht, welches dieselbe Arbeit leistet, setzt eben 
die Kenntniss der Bedeutung der Arbeit schon voraus, 
und kann nur unter dieser Voraussetzung vorgenommen 
werden. Dass manche Fälle uns geläufiger sind, und 
unserer Erfahrung näher* liegen, bringt mit sich, dass 
wir dieselben unanalysirt hinnehmen, und als Grund- 



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Entwickelung der Prinoipien der Statik. 65 

läge einer Ableitung gelten lassen, ohne uns deren In- 
halt ganz klar zu machen. 

Im Entwickelungsgange der Wissenschaft kommt es 
oft vor, dass ein neues Princip, welches ein Forscher 
in einer Thatsache erblickt, nicht sofort in seiner vollen 
Allgemeinheit erkannt und geläufig wird. Es werden 
dann, wie billig und natürlich, alle Mittel, welche helfen 
können, aufgeboten. Es werden die verschiedensten 
Thatsachen, in welchen die Forscher das Princip noch 
gar nicht erkennen, obgleich es in denselben enthalten 
ist, welche Thatsachen aber dafür von anderer Seite 
geläufiger sind, zur Stütze der neuen Auffassung heran- 
gezogen. Der reifen Wissenschaft ziemt es nicht, 
sich durch solche Vorgänge täuschen zu lassen. Wenn wir 
ein Princip, welches nicht bewiesen, aber als bestehend 
erkannt werden kann, durch alle Thatsachen klar hin- 
durchseh en, so sind wir in der widerspruchslosen Auf- 
fassung der Natur viel weiter gekommen, als wenn wir 
uns durch einen Scheinbeweis imponiren lassen. Haben 
wir diesen Standpunkt gewonnen, so sehen wir die 
Lagrange' sehe Ableitung allerdings mit andern Augen 
an; sie interessirt uns aber noch immer, und erregt 
unser Gefallen dadurch, dass sie die Gleichartigkeit 
der einfachen und complicirten Fälle fühlbar macht. 

15. Maupertuis hat einen auf das Gleichgewicht be- 
züglichen interessanten Satz gefunden, welchen er unter 
dem Namen „Loi de repos" 1740 der pariser Akademie 
mitgetheilt hat. Derselbe ist 1751 von Euler in den 
Abhandlungen der berliner Akademie weiter discutirt 
worden. Wenn wir an einem System unendlich kleine 
Verschiebungen vornehmen, so entspricht denselben eine 
Summe virtueller Momente Pp -\- P' p 1 + P" p" + ...., 
welche nur im Gleichgewichtsfalle = ist. Diese 
Summe ist die den Verschiebungen entsprechende Ar- 
beit, oder da sie für unendlich kleine Verschiebungen 
selbst unendlich klein ist, das entsprechende Arbeits- 
element. Fahren wir mit den Verschiebungen fort, bis 
eine endliche Verschiebung zu Stande kommt, so sum- 

Mach. n 



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66 



Erstes Kapitel. 



miren sich auch die Arbeitselemente zu einer endlichen 
Arbeit. Wenn wir von einer gewissen Anfangsconfor- 
mation des Systems ausgehen, und bis zu einer belie- 
bigen Endeonformation übergehen, so entspricht dieser 
Procedur eine gewisse geleistete Arbeit. Maupertuis 
hat nun bemerkt, dass diese geleistete Arbeit für eine 
Endeonformation, welche eine Gleich gewichtsconforma- 
tion ist, im allgemeinen ein Maximum oder Minimum 
ist, d. h. wenn wir das System durch die Gleichgewichts - 
conformation hindurchführen, so ist die geleistete Ar- 
beit vor- und nachher kleiner, oder vor- und nachher 




2 








Fig. 55. 

grösser als in der Gleichgewichtsconformation selbst. Für 
die Gleichgewichtsconformation ist 

p.p + p' . p ' + P» . p « + . . . = 0, 
d. h. das Element der Arbeit oder das Differential 
(correcter die Variation) der Arbeit ist gleich Null. 
Wenn das Differential einer Function gleich Null gesetzt 
werden kann, so hat die Function im allgemeinen einen 
Maximal- oder Minimalwerth. 

16. Wir können uns die Bedeutung des Maupertuis'- 
schen Satzes in sehr anschaulicher Weise klar machen. 

Wir denken uns in einem System die Kräfte durch 

die Lagrange' sehen Flaschenzüge und das Gewicht -2— 



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Entwicklung der Prinoipien der Statik. 67 

ersetzt. Gesetzt, es könnte sich jeder Punkt des Sy- 
stems nur auf einer bestimmten Curve bewegen, und 
zwar so, dass, wenn ein Punkt auf seiner Curve eine 
bestimmte Lage hat, alle übrigen Punkte auf ihren zu- 
gehörigen Gurren ebenfalls eindeutig bestimmte Lagen 
einnehmen. Die Maschinen sind in der Regel solche 
Systeme. Wir können dann, während wir das System 
verschieben, an dem mit einem Schreibstift versehenen, 

Q 

vertical auf- und abgehenden Gewicht — , ein Blatt 

Papier horizontal vorbeiführen, wobei der Stift eine 
Curve schreibt. Befindet sich der Stift in den Punkten 
a, c, d der Curve, so gibt es Nachbarlagen der System- 

Q 
punkte, für welche das Gewicht — höher oder tiefer 

steht, als bei der gegebenen Conformation. Das Ge- 
wicht wird dann auch, wenn das System sich selbst 
überlassen wird, in diese tiefere Lage übergehen, und 
das System mit verschieben. Demnach besteht in 
solchen Fällen kein Gleichgewicht. Steht der Stift 
bei e, so gibt es nur Nachbarconformationen, für welche 

Q 

das Gewicht -~ höher steht. In diese Conformationen 
2 

wird aber das System nicht von selbst übergehen. Es 
wird im Gegentheil jede Verschiebung dahin, durch die 
Eigenschaft des Gewichtes, sich abwärts zu bewegen, 
wieder rückgängig gemacht. Einer tiefsten Lage 
des Gewichtes, oder einem Maximum von ge- 
leisteter Arbeit im System, entspricht also 
stabiles Gleichgewicht. Steht der Stift bei b, so 
sehen wir, dass jede merkliche Verschiebung das Ge- 
wicht -5p tiefer bringt, dass also das Gewicht diese Ver- 

Schiebung fortsetzen wird. Bei unendlich kleinen Ver- 
schiebungen bewegt sich aber der Stift in der horizon- 
talen Tangente an &, wobei also das Gewicht nicht 
sinken kann. Einem höchsten Stand des Ge- 

5* 



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68 Erstes Kapitel. 

Q 
wichtes — , oder einem Minimum von geleiste- 
z 

ter Arbeit im System, entspricht also labiles 
Gleichgewicht. Dagegen bemerkt man, dass nicht 
umgekehrt jedem Gleichgewicht ein Maximum oder 
Minimum von geleisteter Arbeit entspricht. Befindet 
sich der Stift in /, in einem Punkte mit horizontaler 
InfLexionstangente , so ist für unendlich kleine Ver- 
schiebungen ein Sinken des Gewichtes ebenfalls aus- 
geschlossen. Es besteht Gleichgewicht, obgleich die 
geleistete Arbeit weder ein Maximum noch ein Mini- 
mum ist. Das Gleichgewicht ist in dem gegebenen 
Falle ein sogenanntes gemischtes. Es ist für manche 
Störungen stabil, für andere labil. Es steht nichts im 
Wege, das gemischte Gleichgewicht als zu dem labilen 
gehörig zu betrachten. Wenn der Stift bei g steht, 
wo die Curve eine endliche Strecke horizontal verläuft, 
so besteht ebenfalls Gleichgewicht. Eine kleine Ver- 
schiebung wird bei der betreffenden Conformation we- 
der fortgesetzt, noch rückgängig gemacht. Dieses 
Gleichgewicht, welchem ebenfalls kein Maximum oder 
Minimum entspricht, nennt man indifferent. Hat die 

Q 

von ~- beschriebene Curve eine Spitze nach oben, so 

bietet dieselbe ein Minimum von geleisteter Arbeit, aber 
kein Gleichgewicht (auch kein labiles) dar. Einer Spitze 
nach unten entspricht ein Maximum und stabiles Gleich- 
gewicht. Die Summe der virtuellen Momente ist in 
diesem Gleichgewichtsfall nicht gleich Null, sondern 
negativ. 

17. Wir haben bei unserer Ueberlegung voraus- 
gesetzt, dass mit der Bewegung eines Systempunktes 
auf einer Curve die Bewegung aller übrigen Punkte 
auf den zugehörigen Curven bestimmt ist. Die Ver- 
schiebbarkeit des Systems wird nun mannichfaltiger, 
wenn jeder Punkt auf einer zugehörigen Fläche ver- 
schiebbar ist, jedoch so, dass mit der Lage eines Punktes 



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Entwickelung der Principien der Statik. 69 

auf der zugehörigen Fläche die Lagen aller übrigen 
Punkte eindeutig bestimmt sind. Wir dürfen in diesem 

Falle nicht mehr die von -^- beschriebene Curve be- 

2 Q 

trachten, sondern müssen uns eine von — - beschrie- 
bene Fläche vorstellen. Ist jeder Punkt in analoger 
Weise in einem zugehörigen Räume beweglich, so ver- 
schwindet die Möglichkeit, uns die Bewegung des Ge- 
wichtes — - in rein geometrischer Weise zu veran- 
schaulichen. Um so mehr ist dies der Fall, wenn die 
Lage eines Systempunktes noch nicht alle übrigen 
Lagen mitbestimmt, sondern die Beweglichkeit des Sy- 
stems noch mannichfaltiger ist. In allen diesen Fällen 

kann uns aber die von — (Fig. 55) beschriebene Curve 

als ein Symbol der zu betrachtenden Vorgänge nützen. 
Wir finden auch in diesen Fällen die Maupertuis'schen 
Sätze wieder. 

Wir haben bisher noch vorausgesetzt, dass in dem System 
constante (unveränderliche), von der Lage der System-^ 
punkte unabhängige Kräfte wirken. Nehmen wir an, 
dass die Kräfte von der Lage der Systempunkte (nicht 
aber von der Zeit) abhängen, so können wir 
zwar nicht mehr mit einfachen Flaschen- 
zügen operiren, sondern müssen Apparate 

fingiren, deren durch — - ausgeübte Kraft 
z 

sich mit der Verschiebung ändert, die ge- 
wonnenen Ansichten bleiben aber beste- 
hen. Die Tiefe des Gewichtes -^- misst 

2 

immer die geleistete Arbeit, welche bei 

derselben Gonformation des Systems immer 

dieselbe, und von dem Ueberführungsweg unabhängig 

bleibt. Eine Vorrichtung, welche durch ein constantes 




Fig. 56. 



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70 Erstes Kapitel. 

Gewicht eine mit der Verschiebung veränderliche Kraft 
entwickeln würde, wäre z. B. ein Wellrad Fig. 66 mit 
nicht kreisrundem Rade. Es verlohnt sich jedoch nicht 
der Mühe, auf die Einzelheiten der angedeuteten Ueber- 
legung einzugehen, da man ihre Durchführbarkeit sofort 
einsieht. 

18. Kennt man die Beziehung zwischen der geleisteten 
Arbeit und der sogenannten lebendigen Kraft eines 
Systems, welche in der Dynamik constatirt wird, so 
kommt man leicht zu dem von Courtivron 1749 der 
pariser Akademie mitgetheilten Satze: Für die Con- 

formationen des i a ij:i eil Gleichgewichts, für welche die 
geleistete Arbeit ein Mnunmm ^ , * 8 ^ aucn ^ e l eDen " 

dige Kraft des bewegten Systems ein ]\ß n i mum De i m 

Durchgang durch diese Conformationen. 

19. Ein homogenes, schweres, dreiaxiges Ellipsoid, 
welches auf einer horizontalen Ebene ruht, ist sehr 
geeignet, die verschiedenen Gleichgewichtsarten an- 
schaulich zu machen. Buht das Ellipsoid auf dem End- 
punkte der kleinsten Axe, so ist es im stabilen Gleich- 
gewicht, denn jede Verschiebung hebt den Schwerpunkt. 
Buht es auf der grossen Axe, so ist das Gleichgewicht 

labil. Steht das Ellip- 
soid auf der mittlem 
Axe, so ist das Gleich- 
gewicht gemischt. Eine 
homogene Kugel, oder 
ein homogener Kreis- 
cylinder auf einer hori- 
zontalen Ebene erläu- 
tern das indifferente 
Gleichgewicht. In der Fig. 57 sind die Bahnen des 
Schwerpunktes für einen auf der Horizontalebene um 
eine Kante rollenden Würfel dargestellt. Der Schwer- 




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Entwickelung der Principien der Statik. 71 

punktslage a entspricht stabiles, der Lage b labiles 
Gleichgewicht. 

20. Wir wollen nun ein Beispiel betrachten, welches 
auf den ersten Blick sehr complicirt scheint, aber durch 
das Princip der virtuellen Verschiebungen sofort auf- 
geklärt wird. Johann und Jakob Bernoulli stiessen 
bei Gelegenheit eines Gesprächs über mathematische 
Dinge, auf einem Spaziergange in Basel, auf die Frage, 
welche Form wol eine an den beiden Enden befestigte, 
frei aufgehängte Kette annehmen möchte. Sie kamen 
bald und leicht in der Ansicht überein, dass die Kette 
diejenige Gleichgewichtsform annimmt, bei welcher ihr 
Schwerpunkt möglichst tief liegt. In der That sieht 
man ein, dass Gleichgewicht besteht, wenn alle Ketten- 
glieder so tief gesunken sind, als dies möglich ist, wenn 
keins mehr sinken kann, ohne eine entsprechende Masse 
vermöge der Verbindungen gleich hoch oder höher zu 
heben. Wenn der Schwerpunkt so tief als möglich ge- 
sunken ist, wenn so viel geschehen ist, als geschehen kann, 
besteht stabiles Gleichgewicht. Der physikalische 
Theil der Aufgabe ist hiermit erledigt. Die Bestimmung 
der Curve, welche bei gegebener Länge zwischen den 
beiden Punkten A, B den tiefsten Schwerpunkt hat, 
ist nur mehr eine mathematische Aufgabe. (Fig. 58.) 

21. Fassen wir alles zusammen, so sehen wir, dass 
in dem Princip der virtuellen Verschiebungen nur die 
Anerkennung einer Thatsache liegt, die uns längst in- 
stinctiv geläufig war, nur dass wir sie nicht so scharf 
und klar erfassten. Die Thatsache besteht darin, dass 
schwere Körper sich von selbst nur abwärts bewegen. 
Wenn mehrere untereinander verbunden sind, sodass 
sie sich nicht unabhängig voneinander verschieben 
können, so bewegen sie sich nur, wenn hierbei im 
ganzen schwere Masse sinken kann, oder wie dies das 
Princip, nach vollkommenerer Anpassung der Gedanken 
an die Thatsachen, eben schärfer ausdrückt, wenn hierbei 
Arbeit geleistet werden kann. Uebertragen wir nach Er- 
weiterung des Kraftbegriffes das Princip auch auf andere 



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72 



Erstes Kapitel. 




Fig. 58. 



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Entwickelung der Prinoipien der Statik. 73 

als Schwerkräfte, so liegt darin wieder die Anerkennung 
der Thatsache, dass die betreffenden Naturvorgänge nur 
in einem bestimmten Sinne und nicht im entgegen- 
gesetzten von selbst ablaufen. So wie die schweren 
Körper abwärts sinken, können sich die elektrischen 
und Temperaturdifferenzen von selbst nicht vergrössern, 
sondern nur verkleinern u. s. w. Sind derartige Vor- 
gänge so aneinander gebunden, dass sie nur im ent- 
gegengesetzten Sinne ablaufen können, so constatirt 
das Princip eben genauer, als dies die instinctive Auf- 
fassung zu thun vermag, die Arbeit als bestimmend 
und ausschlaggebend für die Richtung der Vorgänge. 
Die Gleichgewichtsgleichung des Princips lässt sich 
immer auf den trivialen Ausdruck bringen: Es ge- 
schieht nichts, wenn nichts geschehen kann. 

22. Es ist wichtig, sich klar zu machen, dass es 
sich bei dem Princip lediglich um Constatirung einer 
Thatsache handelt. Unterlässt man dies, so fühlt 
man immer einen Mangel, und sucht nach einer Be- 
gründung, die nicht zu finden ist. Jacobi führt in 
seinen „Vorlesungen über Dynamik" an, Gauss hätte 
(mündlich) gesagt, Lagrange' s Bewegungsgleichungen 
seien nicht bewiesen, sondern nur historisch ausge- 
sprochen worden. In der That scheint uns diese Auffassung 
auch in Bezug auf das Princip der virtuellen Ver- 
schiebungen die richtige zu sein. 

Die Aufgabe der altern, in einem Gebiete grund- 
legenden Forscher ist eine ganz andere als jene der 
spätem. Die erstem haben nur die wichtigsten That- 
sachen aufzusuchen und zu constatiren, und hierzu ge- 
hört, wie die Geschichte lehrt, mehr Geist, als man 
gewöhnlich glaubt. Sind einmal die wichtigsten That- 
sachen gegeben, dann kann man dieselben in der mathe- 
matischen Physik deductiv und logisch verwerthen, kann 
das Gebiet ordnen, kann zeigen, dass in der Annahme 
einer Thatsache schon eine ganze Reihe anderer ein- 
geschlossen ist, die man in der erstem nur nicht gleich 
sieht. Die eine Aufgabe ist so wichtig als die andere. 



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74 Erstes Kapitel. 

Man darf beide aber nicht miteinander vermengen. Man 
kann nicht mathematisch beweisen, dass die Natur so 
sein müsse, wie sie ist. Man kann aber beweisen, dass 
die beobachteten Eigenschaften eine Reihe anderer, oft 
nicht direct sichtbarer, mit bestimmen. 

Schliesslich sei bemerkt, dass das Princip der vir- 
tuellen Verschiebungen, wie jedes allgemeinere Princip, 
durch die Einsicht, die es gewährt, enttäuschend und 
aufklärend zugleich wirkt. Enttäuschend wirkt es, 
insofern wir in demselben nur längst bekannte und 
instinctiv erkannte Thatsachen, wenngleich schärfer und 
bestimmter wiedererkennen. Aufklärend wirkt es, in- 
dem es uns gestattet, überall dieselben einfachen That- 
sachen durch die complicirtesten Verhältnisse hindurch 
zu sehen. 

5. Bückblick auf die Entwickelung der Statik. 

1. Nachdem wir die Principien der Statik einzeln in 
Augenschein genommen haben, können wir die ganze 
Entwickelung der Statik noch einmal kurz überblicken. 
Die Statik, als der ältesten Periode der Mechanik an- 
gehörend, welche im griechischen Alterthum beginnt 
und schon in der Zeit des Aufschwunges der modernen 
Mechanik durch Galilei und dessen jüngere Zeitgenossen 
ihren Abschluss findet, erläutert vorzüglich den Bildungs- 
process der Wissenschaft. Hier liegen alle Anschauun- 
gen, alle Methoden in der einfachsten Form, in ihrer 
Kindheit vor. Diese Anfange weisen deutlich auf ihren 
Ursprung aus den Erfahrungen des Handwerkes hin. Dem 
Bedürfniss, diese Erfahrungen in mittheilbare Form 
zu bringen, und dieselben über die Grenzen des Standes 
und des Handwerkes hinaus zu verbreiten, verdankt die 
Wissenschaft ihren Ursprung. Dem Sammler solcher 
Erfahrungen, der dieselben schriftlich aufzubewahren 
sucht, liegen viele verschiedene oder für verschieden 
gehaltene Erfahrungen vor. Er ist in der Lage, die- 
selben öfter, in wechselnder Ordnung und unbefangener 



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Entwicklung der Principien der Statik. 75 

zu überblicken, als der auf ein kleines Gebiet be- 
schränkte Arbeiter. Die Thatsachen und ihre Regeln 
treten sich in seinem Kopfe und in seiner Schrift zeit- 
lich und räumlich näher, und haben Gelegenheit, ihre 
Verwandtschaft, ihren Zusammenhang, ihren allmählichen 
Uebergang ineinander zu offenbaren. Der Wunsch, die 
Mittheilung zu vereinfachen und zu kürzen, drängt nach 
derselben Richtung hin. So werden also bei dieser 
Gelegenheit aus ökonomischen Gründen viele That- 
sachen und deren Regeln zusammengefasst und auf 
einen Ausdruck gebracht. 

2. Ein derartiger Sammler hat auch Gelegenheit, eine 
neue Seite der Thatsachen zu beachten, welcher frühere 
Beobachter keine Aufmerksamkeit geschenkt haben. 
Eine Regel, welche aus der Beobachtung von That- 
sachen gewonnen wird, kann nicht die ganze Thatsache 
in ihrem unendlichen Reichthum, in ihrer unerschöpf- 
lichen Mannichfaltigkeit fassen, sondern gibt vielmehr 
nur eine Skizze der Thatsache, einseitig dasjenige her- 
vorhebend, was für den technischen (oder wissenschaft- 
lichen) Zweck wichtig ist. Welche Seiten einer That- 
sache beachtet werden, wird also von zufälligen Umstän- 
den, ja von der Willkür des Beobachters abhängen. 
Demnach wird sich der Anlass finden, eine neue Seite 
der Thatsache zu bemerken, welche zur Aufstellung 
neuer, den alten ebenbürtiger oder überlegener Regeln 
führt. So hat man z. B. am Hebel zuerst die Gewichte 
und Arme (Archimedes) , dann die Gewichte und die 
senkrechten Abstände der Zugrichtungen von der Axe, 
die statischen Momente (da Vinci, Ubaldi), dann die 
Gewichte und die Verschiebungsgrössen (Galilei), end- 
lich die Gewichte und die Zugrichtungen in Bezug auf 
die Axe (Varignon) als gleichgewichtsbestimmende Um- 
stände ins Auge gefasst, und demnach die Gleichge- 
wichtsregeln gebildet. 

3. Derjenige, welcher eine derartige neue Beobachtung 
macht, und eine neue Regel aufstellt, weiss gewöhnlich, 
dass man auch irren kann, wenn man eine Thatsache 



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76 Erstes Kapitel. 

in Vorstellungen und Begriffen nachzubilden sucht, um 
dies Bild als Ersatz stets zur Hand zu haben, wo die 
fragliche Thatsache ganz oder: theilweise unzugänglich 
ist. Wirklich sind die Umstände, auf welche man zu 
achten hat, von so vielen andern Nebenumständen be- 
gleitet, dass es oft schwer wird, die für den Zweck 
wesentlichen auszuwählen und zu beachten. Man denke 
z. B. an die Reibung, Steifigkeit der Schnüre u. s. w. bei 
Maschinen, welche das reine Verhältniss der untersuchten 
Umstände trüben und verwischen. Kein Wunder also, 
wenn der Entdecker oder Prüfer einer neuen Regel, 
vom Mistrauen gegen sich selbst getrieben, nach einem 
Beweis der Regel sucht, deren Gültigkeit er bemerkt 
zu haben glaubt. Der Entdecker oder Prüfer vertraut 
der Regel nicht sofort, oder er traut nur einem Theil 
derselben. So zweifelt z. B. Archimedes, dass die Ge- 
wichte proportional mit ihren Hebelarmen wirken, 
er lässt aber ohne Bedenken den Einfluss der Hebel- 
arme überhaupt gelten. Daniel Bernoulli bezweifelt 
nicht den Einfluss der Kraftrichtung überhaupt, sondern 
nur die Art ihres Einflusses u. s. w. In der That ist 
es weit leichter zu beobachten, dass ein Umstand in 
einem gegebenen Falle überhaupt Einfluss habe, als 
zu ermitteln, welchen Einfluss er hat. Man ist bei 
letzterer Untersuchung viel mehr dem Irrthum ausge- 
setzt. Das Verhalten der Forscher ist also vollkommen 
natürlich und berechtigt. 

Der Beweis der Richtigkeit einer neuen Regel kann 
dadurch erbracht werden, dass diese Regel oft ange- 
wandt, mit der Erfahrung verglichen und unter den 
verschiedensten Umständen erprobt wird. Dieser 
Process vollzieht sich im Laufe der Zeit von selbst. 
Der Entdecker wünscht aber rascher zum Ziel zu kom- 
men. Er vergleicht das Ergebniss seiner Regel mit 
allen ihm geläufigen Erfahrungen, mit allen altern 
bereits vielfach erprobten Regeln, und sieht nach, ob er 
auf keinen Widerspruch stösst. Die grösste Autorität 
wird hierbei wie billig den ältesten geläufigsten Er- 



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Entwickelung der Principien der Statik. 77 

fahrungen, den am meisten erprobten Regeln einge- 
räumt. Unter den Erfahrungen nehmen wieder die 
instinctiven, welche ohne alles persönliche Zuthun 
lediglich durch die Wucht und die Häufung der auf 
den Menschen eindringenden Thatsachen entstehen, eine 
Sonderstellung ein, was wieder ganz gerechtfertigt ist, 
wo es sich eben um das Ausschliessen der subjectiven 
Willkür und des persönlichen Irrthums handelt. 

Archimedes beweist in der angedeuteten Art sein 
Hebelgesetz, Stevin sein Gesetz des schiefen Druckes, 
Daniel Bernoulli das Kräftenparallelogramm, Lagrange 
das Princip der virtuellen Verschiebungen. Nur Galilei 
ist sich bei letzterm Satz vollkommen klar darüber, 
dass seine neue Beobachtung und Bemerkung jeder an- 
dern altern ebenbürtig sei, dass sie aus derselben 
Erfahrungsquelle stamme. Er versucht gar keinen Be- 
weis. Archimedes verwendet bei seinem Beweis Kennt- 
nisse über den Schwerpunkt, die er wol selbst mit 
Hülfe des Hebelsatzes schon abgeleitet hat, die ihm 
aber wahrscheinlich auch von anderer Seite her als alte 
Erfahrungen so geläufig waren, dass er nicht mehr an 
denselben zweifelte, ja ihre Verwendung bei dem Be- 
weis vielleicht nicht einmal bemerkte. Auf die in- 
stinctiven Elemente in den Betrachtungen von Archi- 
medes und Stevin ist gehörigen Orts schon ausführlich 
eingegangen worden. 

4. Es ist ganz in der Ordnung, dass bei Gelegen- 
heit einer neuen Entdeckung alle Mittel herangezogen 
werden, welche zur Prüfung einer neuen Regel dienen 
können. Wenn aber die Regel nach Verlauf einer ent- 
sprechenden Zeit genügend oft direct erprobt worden 
ist, geziemt es der Wissenschaft zu erkennen, dass ein 
anderer Beweis ganz unnöthig geworden ist, dass es 
keinen Sinn hat, eine Regel für mehr gesichert zu hal- 
ten, indem man sie auf andere stützt, welche (hur etwas 
früher) auf ganz demselben Wege der Beobachtung ge- 
wonnen worden sind, dass eine besonnene und erprobte 
Beobachtung so gut ist als eine andere. Wir können 



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78 Erstes Kapitel. 

heute das Hebelprincip , die statischen Momente, das 
Princip der schiefen Ebene, das Princip der virtuellen 
Verschiebungen, das Kräftenparallelogramm, als durch 
gleichwertige Beobachtungen gefunden ansehen. 
Ohne Belang ist gegenwärtig, dass manche dieser 
Funde direct, andere auf Umwegen und nebenher bei 
Gelegenheit anderer Beobachtungen gemacht worden sind. 
Es entspricht auch vielmehr der Oekonomie des Den- 
kens und der Aesthetik der Wissenschaft, wenn wir ein 
Princip, wie z. B. das der statischen Momente, direct 
als den Schlüssel zum Verständniss aller Thatsachen 
eines Gebietes erkennen, und dasselbe alle Thatsachen 
im Geiste durchdringen sehen, als wenn wir es 
nöthig finden, dasselbe zuvor flickend und hinkend, 
unscheinbare uns zufällig schon geläufige dasselbe 
Princip enthaltende Sätze zur Grundlage wählend, erst 
zu beweisen. Diesen Process kann die Wissenschaft 
und das Individuum (beim historischen Studium) einmal 
durchmachen. Beide dürfen sich aber nachher auf einen 
freiem Standpunkt stellen. 

5. In der That führt diese Sucht zu beweisen in der 
Wissenschaft zu einer falschen und verkehrten 
Strenge. Einige Sätze werden für sicherer gehalten, 
und als die nothwendige und unanfechtbare Grundlage 
anderer angesehen, während ihnen nur der gleiche oder 
zuweilen sogar nur ein geringerer Grad der Sicherheit 
zukommt. Eben die Klarstellung des Grades der 
Sicherheit, welchen die strenge Wissenschaft anstrebt, 
wird hierbei nicht erreicht. Solche Beispiele falscher 
Strenge finden sich fast in jedem Lehrbuche. Die Ab- 
leitungen des Archimedes leiden, von ihrem historischen 
Werth abgesehen, an dieser falschen Strenge. Das auf- 
fallendste Beispiel aber liefert Daniel Bernoulli mit seiner 
Ableitung des Kräftenparallelogrammes. (Comment. Acad. 
Petrop. T. I.) 

6. Es ist schon besprochen worden, dass die instinctiven 
Erkenntnisse ein ganz besonderes Vertrauen gemessen. 
Wir wissen nicht mehr, wie wir sie erworben haben, 



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Entwickelung der Principien der Statik. 79 

und können daher an der Art der Erwerbung nichts 
mehr bemängeln. Wir haben nichts zu ihrer Ent- 
stehung beigetragen. Sie treten uns mit einer Macht 
entgegen, welche dem Ergebniss einer willkürlichen 
reflectirenden Erfahrung, bei welcher wir immer unser 
Eingreifen fühlen, niemals zukommt. Sie erscheinen 
uns als etwas von Subjectivität Freies, Fremdes, das 
wir aber doch stets zur Hand haben, und das uns näher 
liegt als die einzelnen Naturthatsachen. 

Alles dies hat zuweilen dazu geführt, diese Art Er- 
kenntnisse aus einer ganz andern Quelle abzuleiten, 
dieselben wol gar als a priori (vor aller Erfahrung) 
vorhanden zu betrachten. Dass diese Ansicht nicht 
haltbar sei, wurde bei Besprechung der Stevin'schen 
Leistungen ausführlicher erläutert. Auch die Autorität 
solcher instinctiver Kenntnisse, mögen dieselben für die 
Entwickelungsprocesse noch so wichtig sein , muss 
schliesslich jener eines klar und mit Absicht beob- 
achteten Princips nachgeben. Auch die instinctiven 
Erkenntnisse sind Erfahrungserkenntnisse und können, 
wie dies schon berührt worden ist, bei plötzlicher Er- 
öffnung eines neuen Erfahrungsgebietes sich als ganz 
unzureichend und ohnmächtig erweisen. 

7. Das wahre Verhältniss der verschiedenen Prin- 
cipien ist ein historisches. Eins reicht weiter auf 
diesem, ein anderes weiter auf jenem Gebiet. Mag 
immerhin ein Princip, wie das der virtuellen Ver- 
schiebungen, mit Leichtigkeit eine grössere Anzahl ver- 
schiedener Fälle beherrschen als die übrigen Principien, 
so kann ihm doch nicht verbürgt werden, dass es stets 
die Oberhand behalten werde, und nicht durch ein neues 
zu übertreffen sei. Alle Principien fassen mehr oder 
weniger willkürlich bald diese, bald jene Seiten der- 
selben Thatsachen heraus, und enthalten eine skizzen- 
hafte Regel zur Nachbildung der Thatsachen in Ge- 
danken. Niemals kann man behaupten, dass dieser Pro- 
cess vollkommen gelungen und dass er abgeschlossen 



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80 Erstes Kapitel. 

sei. Wer dieser Anschauung huldigt, wird den Fort- 
schritt der Wissenschaft nicht hindern. 

8. Werfen wir schliesslich noch einen Blick auf den 
Kraftbegriff der Statik. Die Kraft ist ein Umstand, 
welcher Bewegung im Gefolge hat. Mehrere derartige 
Umstände, von welchen jeder einzelne Bewegung bedingt, 
können zusammen auch ohne Bewegung vorkommen. 
Die Statik untersucht eben die hierzu nöthige Ab- 
hängigkeit dieser Umstände voneinander. Um die be- 
sondere Art der Bewegung, welche durch eine Kraft 
bedingt ist, kümmert sich die Statik weiter nicht. Die- 
jenigen bewegungsbestimmenden Umstände, die uns am 
besten bekannt sind, sind unsere eigenen Willensacte, 
die Innervationen. Bei den Bewegungen, welche wir 
selbst bestimmen, sowie bei jenen, zu welchen wir durch 
äussere Umstände gezwungen sind, empfinden wir stets 
einen Druck. Dadurch stellt sich die Gewohnheit her, 
jeden bewegungsbestimmenden Umstand als etwas einem 
Willensact Verwandtes und als einen Druck vorzu- 
stellen. Die Versuche, diese Vorstellung als subjectiv, 
animistisch, unwissenschaftlich zu beseitigen, misglücken 
uns immer. Es kann auch nicht nützlich sein, wenn 
man seinen eigenen natürlichen Gedanken Gewalt an- 
thut, und sich zu freiwilliger Armuth derselben ver- 
dammt. Wir werden bemerken, dass auch noch bei 
Begründung der Dynamik die erwähnte Auffassung eine 
Bolle spielt. 

Wir können in vielen Fällen die in der Natur vor- 
kommenden bewegungsbestimmenden Umstände durch 
unsere Innervationen ersetzen, und dadurch die Vor- 
stellung einer Intensitätsabstufung der Kräfte gewinnen. 
Allein bei Beurtheilung dieser Intensität sind wir ganz 
auf unsere Erinnerung angewiesen, und können unsere 
Empfindung nicht mittheilen. Da wir aber jeden be- 
wegungsbestimmenden Umstand auch durch ein Gewicht 
darstellen können, so gelangen wir zu der Einsicht, dass 
alle bewegungsbestimmenden Umstände (Kräfte) gleich- 
artig seien, und durch Gewichtsgrössen ersetzt und ge- 



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Entwicklung der Principien der Statik. gl 

messen werden können. Das messbare Gewicht leistet uns 
bei Verfolgung der mechanischen Vorgänge als sicheres, 
bequemes und mittheilbares Merkmal analoge Dienste 
wie das unsere Wärmeempfindung in exacter Weise ver- 
tretende Thermometer bei Verfolgung der Wärmevor- 
gänge. Wie wir schon bemerkt haben, kann die Statik 
sich nicht jeder Kenntniss der Bewegungs Vorgänge ent- 
schlagen. Dies zeigt sich besonders deutlich bei Be- 
stimmung der Richtung einer Kraft durch die Richtung 
der Bewegung, welche dieselbe, wenn sie allein vorhan- 
den ist, bestimmt. Als Angriffspunkt können wir jenen 
Körperpunkt bezeichnen, dessen Bewegung durch die 
Kraft auch dann noch bestimmt ist, wenn derselbe von 
seinen Verbindungen mit andern Körpertheilen be- 
freit wird. 

Die Kraft ist also ein bewegungsbestimmender Um- 
stand, dessen Merkmale sich in folgender Art angeben 
lassen. Die Richtung der Kraft ist die Richtung der 
von der gegebenen Kraft allein bestimmten Bewegung. 
Der Angriffspunkt ist derjenige Punkt, dessen Bewegung 
auch unabhängig von seinen Verbindungen bestimmt ist. 
Die Grösse der Kraft ist das Gewicht, welches nach 
der bestimmten Richtung (an einer Schnur) wirkend, 
an dem gegebenen Punkt angreifend, dieselbe Bewegung 
bestimmt oder dasselbe Gleichgewicht erhält. Die 
übrigen Umstände, welche die Bestimmung einer Be- 
wegung modificiren, aber eine solche für sich allein nicht 
bestimmen können, wie die virtuellen Verschiebungen, 
die Hebelarme u. s. w., können als bewegungs- oder als 
gleichgewichtsbestimmende Nebenumstände bezeichnet 
werden. 

6. Die Principien der Statik in ihrer Anwendung 
auf die flüssigen Körper. 

1. Die Betrachtung der flüssigen Körper hat zwar 
der Statik nicht viele wesentlich neue Gesichtspunkte 
geliefert, doch haben sich dabei zahlreiche Anwendungen 

Mach. a 



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82 Erstes Kapitel. 

and Bestätigungen der bereits bekannten Sätze ergeben, 
und die physikalische Erfahrung wurde durch die be- 
treffenden Untersuchungen sehr bereichert. Wir wollen 
deshalb diesem Gegenstande einige Blätter widmen. 

2. Auch im Gebiete der Statik der Flüssigkeiten hat 
Archimedes den Grund gelegt. Von ihm rührt der be- 
kannte Satz über den Auftrieb (oder Gewichtsverlust) 
der in Flüssigkeiten eingetauchten Körper her, über 
dessen Auffindung Vitruv, „De architectura", lib. 9, Fol- 
gendes berichtet: 

„Von all den vielen wunderbaren und mannichfachen, 
wol auch unendlich sinnreichen Entdeckungen des Ar- 
chimedes aber will ich nur die anführen, welche auf 
eine überaus kluge Weise gewonnen sein dürfte. Als 
nämlich Hiero, nachdem er zu königlicher Macht er- 
hoben worden, für seine glücklichen Thaten einen gol- 
denen Kranz, den er gelobt hatte, in irgendeinem 
Heiligthum weihen wollte, Hess er diesen gegen Arbeits- 
lohn fertigen, und wog das dazu nöthige Gold dem 
Unternehmer genau vor. Dieser überlieferte seinerzeit 
das zur vollen Zufriedenheit des Königs gefertigte Werk, 
und auch das Gewicht des Kranzes schien genau zu 
entsprechen. 

„Als aber später die Anzeige gemacht wurde, es sei 
Gold unterschlagen und dafür ebenso viel Silber bei- 
gemischt worden, da beauftragte Hiero, aufgebracht 
darüber, hintergangen worden zu sein, ohne einen Weg 
finden zu können, jene Unterschlagung zu erweisen, den 
Archimedes, die Ausfindigmachung eines solchen Ueber- 
führungsweges auf sich zu nehmen. Dieser, damit eifrig 
beschäftigt, kam nun zufallig in ein Bad, und als er 
dort in die Wanne hinabstieg, bemerkte er, dass das 
Wasser in gleichem Maasse über die Wanne austrete, 
in welchem er seinen Körper mehr und mehr in die- 
selbe niederliess. Sobald er nun auf den Grund dieser 
Erscheinung gekommen war, verweilte er nicht länger, 
sondern sprang von Freude getrieben aus der Wanne, 
und nackend seinem Hause zulaufend zeigte er mit 



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Entwickelung der Principien der Statik. 



83 



lauter Stimme an, er habe gefunden, was er suche. 
Denn im Laufe rief derselbe griechisch aus: Supifjxa, 
eupYjxa (ich habe es gefunden!)" 

3. Die Bemerkung, welche Archimedes zu seinem Satz 
führte, war demnach die, dass ein ins Wasser einsinken- 
der Körper ein entsprechendes Wasserquantum heben 
niuss, gerade so, als wenn der Körper auf einer, das 
Wasser auf der andern Schale einer Wage läge. Diese 
Auffassung, welche auch heute noch die natürlichste 
und directeste ist, tritt auch in den Schriften des 
Archimedes „Ueber die schwimmenden Körper" hervor, 
welche leider nicht vollstän- 
dig erhalten sind, und theil- 
weise von F. Comandinus 
restituirt wurden. 

Die Voraussetzung, von 
welcher Archimedes ausgeht, 
lautet: 

„Man setze als wesentliche 
Eigenschaft einer Flüssigkeit 
voraus, dass bei gleichförmiger 
und lückenloser Lage ihrer 
Theile der minder gedrückte 
durch den mehr gedrückten in die Höhe getrieben werde. 
Jeder Theil derselben aber wird von der nach senk- 
rechter Richtung über ihm befindlichen Flüssigkeit ge- 
drückt, wenn diese im Sinken begriffen ist, oder doch 
von einer andern gedrückt wird." 

Nun denkt sich Archimedes, um es kurz zu sagen, 
die ganze kugelförmige Erde flüssig, und schneidet aus 
derselben Pyramiden heraus, deren Scheitel im Centrum 
liegen. Alle diese Pyramiden müssen im Gleichgewichts- 
fall gleiches Gewicht haben, und die gleichliegenden 
Theile derselben müssen den gleichen Druck erleiden. 
Taucht man in eine der Pyramiden den Körper a vom 
selben specifischen Gewicht wie Wasser, so sinkt er voll- 
kommen ein, und vertritt im Gfleichg^wichtsfall den 
Druck des verdrängten Wassers durch seinen eigenen 

6* 




Fig. 59. 



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84 Erstes Kapitel. 

Druck. Der Körper b vom geringern specifischen Ge- 
wichte kann ohne Gleichgewichtsstörung nur so weit 
einsinken, dass das Wasser unter ihm denselben Druck 
durch das Gewicht des Körpers erleidet, als wenn der 
Körper beseitigt und der eingetauchte Theil durch 
Wasser ersetzt würde. Der Körper c von grösserm 
specifischen Gewicht sinkt so tief als er kann. Dass er im 
Wasser um das Gewicht des verdrängten Wassers weniger 
wiegt, sieht man, wenn man sich diesen Körper mit einem 
zweiten von geringerm specifischen Gewicht so verbun- 
den denkt, dass ein Körper vom specifischen Gewicht des 
Wassers entsteht, welcher eben vollkommen einsinkt. 
4. Von den Arbeiten des Archimedes wurden, als 
•» man im 16. Jahrhundert wieder an 

deren Studium ging, kaum die Sätze 
begriffen. Das volle Verständniss der 
•—-zfr l-^b ^""H l Ableitungen war damals nicht mög- 
lu3ALE^Z2] lieh. 

Stevin fand auf seinem eigenen 
Wege die wichtigsten Sätze der 
Fi 60 Hydrostatik und deren Ableitungen 

wieder. Es sind hauptsächlich zwei 
Gedanken, aus welchen Stevin seine fruchtbaren 
Folgerungen schöpft. Der eine Gedanke ist ganz ähn- 
lich demjenigen betreffend die geschlossene Kette. Der 
andere besteht in der Annahme, dass die Erstarrung 
der im Gleichgewicht befindlichen Flüssigkeit das 
Gleichgewicht nicht stört. 

Zunächst stellt Stevin den Satz auf: Eine beliebige ge- 
gebene WassermengeJ. bleibt im Wasser eingetaucht über- 
all im Gleichgewicht. Würde A vom umgebenden Wasser 
nicht getragen, sondern etwa sinken, so müssten wir an- 
nehmen, dass das hierbei an die Stelle von A tretende in 
denselben Verhältnissen befindliche Wasser ebenfalls 
sinkt. Diese Annahme fuhrt also zu einer fortwährenden 
Bewegung, zu einem perpetuum mobile, was unserer 
Erfahrung und unserer instinetiven Erkenntniss wider- 
spricht. 



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Entwickelung der Principien der Statik. 85 

Das Wasser verliert also ins Wasser eingetaucht sein 
ganzes Gewicht. Denken wir uns nun die Oberfläche 
des eingetauchten Wassers erstarrt, das Oberflächenge- 
fass (vas superficiarium), wie Stevin sich ausdrückt, so 
wird dieses noch immer denselben Druckverhältnissen 
unterliegen. Das leere Oberflächengefass wird einen 
dem verdrängten Wassergewicht gleichen Auftrieb 
in der Flüssigkeit erfahren. Erfüllen wir das Ober- 
flächengefass mit einem andern Körper von beliebigem 
specifischen Gewicht, so erkennen wir die Verminderung 
des Körpergewichtes um das Gewicht der verdrängten 
Flüssigkeit beim Eintauchen. 

In einem rechtwinkelig parallelepipedi sehen mit 
Flüssigkeit gefüllten Gefäss 
mit verticalen Wänden fin- 
det sich der Druck auf den 
horizontalen Boden gleich 
dem Gewichte der Flüssig- 
keit. Dieser Druck ist auch 
für alle Bodentheile von 
gleicher Fläche derselbe. 
Denkt sich nun Stevin be- 
liebige Flüssigkeitstheile ng, 6i. 
herausgeschnitten,und durch 

starre eingetauchte Körper von demselben specifischen 
Gewicht ersetzt, oder was dasselbe ist, denkt er sich 
einen Theil der Flüssigkeit erstarrt, so werden die Druck- 
verhältnisse hierdurch nicht geändert. Mit Leichtigkeit 
übersieht man aber dann die Unabhängigkeit des Boden- 
druckes von der Gefassform, die Druckgesetze in com- 
municirenden Gefassen u. s. w. 

5. Galilei behandelt das Gleichgewicht der Flüssig- 
keiten in communicirenden Gefassen und die verwandten 
Fragen mit Hülfe des Princips der virtuellen Ver- 
schiebungen. Ist NN das gemeinschaftliche Niveau 
der im Gleichgewicht befindlichen Flüssigkeit in zwei 
communicirenden Gefassen, so erklärt er das Gleichge- 
wicht dadurch, dass bei einer Störung die Verschiebungen 




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86 



Erstes Kapitel. 



der Säulen sich umgekehrt wie die Querschnitte und 
Säulengewichte verhalten, also wie hei den Maschinen 
im Gleichgewicht. Dies ist aher nicht ganz correct. 
Der Fall entspricht nicht genau den von Galilei unter- 
suchten Gleichgewichtsfallen an Maschinen, welche ein in- 
differentes Gleichgewicht darbieten. Bei den Flüssig- 
keiten in communicirenden Röhren bringt nämlich jede 
Störung des gemeinschaftlichen Flüssigkeitsspiegels eine 
Schwerpunktserhebung hervor. In dem Falle der 
Figur 61 wird der Schwerpunkt S, der in A aus dem 
schraffirten Raum verdrängten Flüssigkeit nach S' ge- 
hoben, während man die übrige Flüssigkeit als unbe- 
wegt betrachten kann. Der Schwerpunkt liegt also im 
Gleichgewichtsfall am tiefsten. 

6. Pascal verwendet ebenfalls das 
Princip der virtuellen Verschiebungen, 
aber in correcter Weise, denn er sieht 
von dem Gewicht der Flüssigkeit ab, 
und betrachtet nur den Oberflächen- 
druck. Denkt man sich zwei com- 
municirende Gefässe mit Kolben ver- 
schlossen, und werden diese Kolben, 
durch ihren Flächen proportionale 
Gewichte belastet, so besteht Gleich- 
gewicht, weil vermöge der Un Veränderlichkeit des 
Flüssigkeitsvolums bei jeder Störung die Verschiebungen 
den Gewichten verkehrt proportionirt sind. Für Pascal 
folgt also aus dem Princip der virtuellen Verschiebungen, 
dass im Gleichgewichtsfalle jeder Druck auf einen Ober- 
fläch entheil der Flüssigkeit sich auf jeden andern wie 
immer orientirten gleichen Oberflächentheil in gleicher 
Grosse fortpflanzt. Es ist nichts dagegen einzuwenden, 
dass auf diesem Wege der Satz gefunden werde. 
Wir werden jedoch sehen, dass die natürlichere und 
befriedigendere Auffassung darin besteht, den Satz als 
direct gegeben zu betrachten. 

7. Wir wollen nun nach dieser historischen Skizze 
die wichtigsten Fälle des Flüssigkeitsgleichgewichts 




Fig 62. 



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Entwicklung der Principien der Statik. 87 

nochmals betrachten, und hierbei je nach Bequemlich- 
keit verschiedene Gesichtspunkte verwenden. 

Die durch die Erfahrung gegebene Grundeigenschaft 
der Flüssigkeit besteht in der Verschiebbarkeit ihrer 
Theile durch die geringsten Druckkräfte. Stellen wir 
uns ein Volumelement der Flüssigkeit vor, von deren 
Schwere wir absehen, etwa ein kleines Würfelchen. 
Wenn auf eine der Würfelflächen der geringste Ueber- 
druck ausgeübt wird, weicht die Flüssigkeit und tritt 
nach allen Richtungen durch die übrigen fünf Würfel- 
flächen aus. Ein starres Würfelchen kann etwa auf 
die obere und untere Fläche einen andern Druck er- 
fahren als auf die Seitenflächen. Ein flüssiges Würfel- 
chen kann hingegen nur bestehen, wenn normal auf alle 
Seitenflächen derselbe Druck ausgeübt wird. Eine ähn- 
liche Ueberlegung lässt sich für jedes andere Polyeder 
anstellen. In dieser geometrisch geklärten Vorstellung 
liegt nichts als die rohe Erfahrung, dass die Theilchen 
der Flüssigkeit dem kleinsten Druck nachgeben, und 
dass sie diese Eigenschaft im Innern der Flüssigkeit auch 
behalten, wenn diese unter einem hohen Druck steht, 
indem z. B. kleine schwere Körperchen noch immer in 
derselben untersinken u. s. w. 

Mit der Verschiebbarkeit der Theilchen verbinden die 
Flüssigkeiten noch eine andere Eigenschaft, die wir 
jetzt betrachten wollen. Die Flüssigkeiten erfahren 
durch Druck eine Volumsverminderung, welche dem auf 
die Oberflächeneinheit ausgeübten Druck proportional ist. 
Jede Druckänderung führt eine proportionale Volums- 
und Dichtenänderung der Flüssigkeit mit sich. Nimmt 
der Druck ab, so wird das Volum wieder grösser, die 
Dichte wieder kleiner. Das Flüssigkeitsvolum verklei- 
nert sich also bei Druckzuwachs so weit, bis durch 
die geweckte Elasticität diesem Druckzuwachs das 
Gleichgewicht gehalten wird. 

8. Die altern Forscher, wie z. B. jene der florentiner 
Akademie, waren der Meinung, dass die Flüssigkeiten 
überhaupt incompressibel seien. Erst John Canton be- 



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88 



Erstes Kapitel. 



c- 



a 

-b 



Fig. 63. 



schrieb 1763 einen Versuch, durch welchen die Com- 
pressibilität des Wassers nachgewiesen wurde. Ein 
Thermometergefass wird mit Wasser gefüllt, ausgekocht, 
und dann zugeschmolzen. Die Flüssigkeit reicht bis a. 
Da aber der Kaum ober a luftleer ist, so trägt die- 
selbe den Luftdruck nicht. Wird die zugeschmolzene 
Spitze abgebrochen, so sinkt die Flüssigkeit bis b. Nur 
ein Theil der Verschiebung kommt aber auf Rechnung 
der Compression der Flüssigkeit durch den 
Atmosphärendruck. Setzt man nämlich das 
Gefäss vor dem Abbrechen unter die Luft- 
pumpe und evacuirt, so sinkt dadurch die 
Flüssigkeit bis c. Dies geschieht dadurch, 
dass der Druck, welcher auf dem Gefäss lastet 
und dessen Capacität vermindert, aufhört. 
Beim Abbrechen der Spitze wird dieser Aussen- 
druck der Atmosphäre durch den Innendruck 
compensirt, und es tritt wieder eine Capacitätsvermehrung 
des Gefasses ein. Der Theil cb entspricht also der 
eigentlichen Compression der Flüssigkeit 
durch den Atmosphärendruck. 

Oersted hat zuerst genauere Versuche 
über die Compressibilität des Wassers an- 
gestellt, und hierbei eine sehr sinnreiche 
Methode angewandt. Ein Thermometer- 
gefass A ist mit ausgekochtem Wasser ge- 
T füllt, und taucht mit der offenen Capillar- 
röhre in Quecksilber ein. Neben dem- 
selben befindet sich eine mit Luft gefüllte, 
Fig. 64. m jt dem offenen Ende ebenfalls ins Queck- 
silber tauchende Manometerröhre B. Der ganze Apparat 
wird in ein mit Wasser gefülltes Gefäss gebracht, das mit 
Hülfe einer Pumpe comprimirt wird. Hierbei wird das 
Wasser in A ebenfalls comprimirt und der Quecksilber- 
faden, welcher in der Capillarröhre ansteigt, zeigt diese 
Compression an. Die Capacitätsänderung, welche das 
Gefäss A nun noch erfährt, entsteht nur mehr durch das 
Zusammendrücken der allseitig gepressten Glaswände 




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Elitwickelung der Principien der Statik. 89 

Die feinsten Versuche über diesen Gegenstand sind 
von Grassi mit einem von Regnault construirten Appa- 
rat ausgeführt, und mit Hülfe von Lame's Corrections- 
formeln berechnet worden. Um ein anschauliches Bild 
der Compressibilität des Wassers zu haben, bemerken 
wir, dass Grassi (für ausgekochtes) Wasser von 0° bei 
einer Atmosphäre Druckzuwachs eine Verminderung 
um etwa 5 Hunderttausendtheile des ursprünglichen 
Volums beobachtet hat. Denken wir uns also das Ge- 
fass A als Litergefass (1000 ccm), und daran eine 
Capillarröhre von 1 qmm Querschnitt, so steigt der 
Quecksilberfaden beim Druck einer Athmosphäre um 
5 cm. 

9. Der Oberflächendruck bringt also eine physika- 
lische Aenderung (Dichtenänderung) der Flüssigkeit mit 
sich, welche durch hinreichend feine Mittel (z. B. auch 
optische) wahrgenommen werden kann. Wir dürfen uns 
immer vorstellen, dass stärker gedrückte Flüssigkeits- 
theile (wenn auch wenig) dichter sind als schwächer 
gedrückte Theile. 

Denken wir uns nun in einer Flüssigkeit (in deren 
Innerem keine Kräfte wirken, von deren Schwere wir 
also absehen) zwei Theile von ungleichem Druck anein- 
ander grenzend. Der stärker gedrückte dichtere Theil 
wird sich ausdehnen, und den schwächer gedrückten so 
lange comprimiren, bis an der Grenzfläche die einer- 
seits geschwächte, andererseits gesteigerte Elasticitäts- 
kraft das Gleichgewicht herstellt, und beide gleich com- 
primirt sind. 

Versuchen wir nun unsere Vorstellung der beiden 
Thatsachen, der leichten Verschiebbarkeit und der Com- 
pressibilität der Flüssigkeitstheile quantitativ so zu 
klären, dass sie den verschiedensten Erfahrungen sich 
anpasst, so gelangen wir zu dem Satz : In einer Flüssig- 
keit (in deren Innerem keine Kräfte wirken, von deren 
Schwere wir absehen) entfällt im Gleichgewichtsfall 
überall auf jedes beliebig gestellte (orientirte) gleiche 
Flächenelement der gleiche Druck. Der Druck ist also 



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90 Erstes Kapitel. 

in allen Punkten derselbe, und er ist von der Richtung 
unabhängig. 

Besondere Experimente zum Nachweis des Satzes 
sind wol nie in der nöthigen Genauigkeit angestellt 
worden. Der Satz ist aber durch die Erfahrungen über 
Flüssigkeiten sehr nahe gelegt, und macht diese sofort 
verständlich. 

10. Ist eine Flüssigkeit in einem Gefass eingeschlossen, 
das mit einem Stempel A, dessen Querschnitt der 
Flächeneinheit gleich ist, versehen ist, und wird der- 
selbe, während der Stempel B befestigt ist, mit dem 
Druck p belastet, so herrscht (von der Schwere abge- 
sehen) überall im Gefasse derselbe Druck p. Der 
Stempel dringt so weit ein, und die 
Gefässwände werden so weit deformirt, 
dass sich die Elasticitätskräfte der 
starren und flüssigen Körper überall 
das Gleichgewicht halten. Denkt man 
sich nun den Stempel B von dem 
Querschnitte/ beweglich, so kann nur 
der Druck / • p ihn im Gleichgewicht 
erhalten. 

Wenn Pascal den erwähnten Satz 
aus dem Princip der virtuellen Ver- 
schiebungen ableitet, so ist zu bemerken, dass das von 
ihm erkannte Verschiebungsverhältniss nur durch die 
leichte Verschiebbarkeit der Theile und durch die 
Gleichheit des Druckes in allen Theilen der Flüssigkeit 
bedingt ist. Könnte in einem Flüssigkeitstheil eine 
stärkere Compression eintreten als in einem andern, so 
wäre das Verschiebungsverhältniss gestört und die Pas- 
cal'sche Ableitung nicht mehr zulässig. Wir können 
um die Eigenschaft der Druckgleichheit als einer ge- 
gebenen nicht herumkommen, wie wir auch erkennen, 
wenn wir bedenken, dass auch bei Gasen, bei welchen 
von einem constanten Volum auch nicht annähernd die 
Rede sein kann, dasselbe Gesetz besteht, welches Pascal 
für tropfbare Flüssigkeiten ableitet. Unserer Auf- 




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Entwickelung der Principien der Statik. 



91 



fassung bereitet dieser Umstand keine Schwierigkeit, 
wohl aber der Pascal'schen. Auch beim Hebel wird, 
nebenbei bemerkt, das Verhältniss der virtuellen Ver- 
schiebungen durch die Elasticitätskräfte des Hebel- 
körpers gesichert, welche eine starke Abweichung von 
diesem Verhältniss nicht gestatten. 

11. Wir wollen nun das Verhalten der Flüssigkeiten 
unter dem Einfluss der Schwere in Augenschein nehmen. 
Die Oberfläche der Flüssigkeit ist im Gleichgewichtsfall 
horizontal NN. Dies wird sofort verständlich, wenn 
man bedenkt, dass jede Veränderung dieser Oberfläche 
den Schwerpunkt der Flüssigkeit hebt, die Masse aus 
dem schraffirten Raum unter NN mit dem Schwer- 



in. 66. 



1 



P td p 



Fig. 67. 



punkt S in den schraffirten Kaum ober NN mit dem 
Schwerpunkt S' befördert. Diese Veränderung wird 
also durch die Schwere wieder rückgängig gemacht. 

Eine schwere Flüssigkeit mit horizontaler Oberfläche 
befinde sich in einem Gefässe im Gleichgewicht. Wir 
betrachten ein kleines rechtwinkeliges Parallelepiped 
im Innern derselben. Dasselbe soll die horizontale 
Grundfläche a und die verticalen Kanten von der Länge 
dh haben. Das Gewicht desselben ist also a •£?/*•$, wo- 
bei s das specifische Gewicht bedeutet. Wenn das 
Parallelepiped nicht fällt, so ist dies nur dadurch 
möglich, dass auf der untern Fläche ein grösserer 
Eigendruck der Flüssigkeit lastet als auf der obern. 
Den Druck auf die obere und untere Fläche bezeichnen 
wir beziehungsweise durch <xp und <x.(p-\-dp). Das 



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92 Erstes Kapitel. 

Gleichgewicht besteht, wenn adh • s = ddp oder 

dp 

—£- = s, wobei h nach abwärts positiv gerechnet wird. 

d h 

Man sieht hieraus, dass für gleiche Zuwüchse von h ver- 
tical abwärts auch der Druck p gleiche Zuwüchse er- 
fährt. Es ist p = h s + q, und wenn g, der Druck in 
der freien Oberfläche (der gewöhnlich dem Atmosphären- * 
druck entspricht) = o wird , noch einfacher p = Ä s, 
d. h. der Druck ist proportional der Tiefe unter dem 
Spiegel. Stellt man sich vor, die Flüssigkeit sei ein- 
gegossen, und dieses Verhältniss sei noch nicht erreicht, 
dann wird jedes Flüssigkeitstheilchen etwas sinken, bis 
das darunter befindliche comprimirte Theilchen dem 
Gewichte des obern durch seine Elasticität die Wage 
hält. 

Aus der angeführten Betrachtung ersieht man auch, 
dass die Druckzunahme in einer Flüssigkeit nur in 
dem Sinne stattfindet, in welchem die Schwerkraft 
wirkt. Nur an der untern Grundfläche des Parallel- 
epipeds muss ein elastischer Ueb erdruck der unterhalb 
liegenden Flüssigkeit dem Gewicht des Parallelepipeds 
die Wage halten. Zu beiden Seiten der verticalen 
Grenzflächen des Parallelepipeds befindet sich aber 
Flüssigkeit von gleicher Compression, da in der Grenz- 
fläche keine Kraft wirkt, welche eine stärkere Compression 
auf einer Seite bedingen würde. 

Denkt man sich den Inbegriff aller Punkte der 
Flüssigkeit, welche demselben Druck p entsprechen, so 
erhält man eine Fläche, die sogenannte Niveaufläche. 
Verschiebt man ein Theilchen in der Richtung der 
Schwerkraft, so erfährt es eine Druckänderung. Ver- 
schiebt man es senkrecht zur Schwerkraft, so findet 
keine Druckänderung statt. Im letzt ern Falle bleibt es 
in derselben Niveaufläche, und das Element der Niveau- 
fläche steht also zur Richtung der Schwerkraft senk- 
recht. 

Denken wir uns die Erde kugelförmig und flüssig, 
so sind die Niveauflächen concentrische Kugeln, und die 



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Entwiokelung der Prinoipien der Statik. 



93 



Richtungen der Schwerkräfte (die Radien), stehen anf den 

Kugelflächenelementen senkrecht. Analoge Bemerkungen 

könnte man machen, wenn an 

Stelle der Schwerkraft die Flüssig- 

keitstheile von andern Kräften, 

z. B. magnetischen angetrieben 

würden. 

Die Niveauflächen bilden in 
gewisser Art die Kraftverhält- 
nisse ab, unter welchen die 
Flüssigkeit steht, welche Betrach- 
tung die analytische Hydrostatik 
weiter ausführt. 

12. Die Zunahme des Druckes 
mit der Tiefe unter dem Spiegel 
einer schweren Flüssigkeit kann 
man durch einige Experimente 
anschaulich machen , welche 
grösstenteils von Pascal her- 
rühren. Man kann bei dieser 
Gelegenheit auch die Unab- 
hängigkeit des Druckes von der 
Richtung wahrnehmen. In 1 ist 
ein leeres unten abgeschliffenes 
und mit einer aufgelegten Me- 
tallplatte pp verschlossenes Glas- 
rohr g dargestellt, welches in Q 
Wasser eingesenkt ist. Bei ge- 
nügender Tiefe des Eintauchens 
kann man den Faden loslassen, 
ohne dass die vom Eigendruck 
der Flüssigkeit getragene Platte 
herabfällt. In 2 ist die Platte 
durch ein Quecksilbersäulchen 
ersetzt. Taucht man eine offene 
mit Quecksilber gefüllte Heberröhre ins Wasser, so 
sieht man (3) durch den Druck bei a das Queck- 
silber in dem längern Schenkel steigen. In 4 sehen 




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94 



Erstes Kapitel. 



wir eine Röhre, die am untern Ende durch einen 
Lederbeutel verschlossen und mit Quecksilber gefüllt 
ist. Tieferes Eintauchen treibt das Quecksilber 
weiter in die Höhe. Das Holzstück h wird (5) 
durch den Wasserdruck in den kürzern Schenkel 
der leeren Heberröhre hinabgetrieben. Ein Holzstück 
H bleibt unter Quecksilber auf dem Boden des Ge- 
fasses haften und wird an denselben angedrückt, so- 
lange das Quecksilber nicht unter dasselbe gelangt. 

13. Hat man sich klar gemacht, dass der Druck im 
Innern der schweren Flüssigkeit proportional der Tiefe 
unter dem Spiegel zunimmt, so erkennt man leicht die 
Unabhängigkeit des Bodendrucks von der Gefässform. 
Der Druck nimmt nach unten in gleicher Weise zu, 
ob das Gefäss die Form ab cd oder ebcf hat. In 
beiden Fällen werden die Gefasswände, wo sie die 

Flüssigkeit berühren, so weit 
deformirt, dass sie durch 
ihre Elasticität dem Flüssig- 
keitsdruck das Gleichgewicht 
halten, also die angrenzende 
Flüssigkeit in Bezug auf den 
Druck ersetzen. Hierdurch 
rechtfertigt sich direct die 
Stevin'sche Fiction der erstarrten, die Gefasswände er- 
setzenden Flüssigkeit. Der Bodendruck bleibt immer 

P = A h s, wobei A 

-1 2 3 die Bodenfläche, h 

die Tiefe des hori- 
zontalen ebenen Bo- 
dens unter dem Ni- 
veau und s das spe- 
cifische Gewicht der 
Flüssigkeit bedeutet. 
Dass die Gefasse 1, 2, 3 bei gleicher Bodenfläche und 
Druckhöhe (von den Gefässwänden abgesehen) auf der 
Wage ein ungleiches Flüssigkeitsgewicht anzeigen, steht 
natürlich mit den erwähnten Druckgesetzen nicht im 




Fig. 69. 




*TI 


H \ 


,_pEiSi 


^■♦Jtei. 


[pr -1 


tI3 


i i 


Fig. 10. 





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Entwickelung der Prinoipien der Statik. 



95 



Widerspruch. Beachtet man den Seitendruck, so er- 
gibt dieser bei 1 noch eine Gomponente nach unten, 
und bei 3 noch nach oben, sodass der resultirende 
Oberflächendruck immer dem Gewicht gleich wird. 

14. Das Princip der virtuellen Verschiebungen ist sehr 
geeignet, um derartige Fälle klar zu überblicken, wes- 
halb wir dasselbe verwenden wollen. Zuvor bemerken 
wir aber Folgendes. Wenn das Gewicht q von 1 nach 

2 sinkt, während dafür ein gleich grosses von 2 nach 

3 sich begibt, so ist die hierbei geleistete Arbeit 
qh x + qh 2 = q(h t +Ä 2 ), also dieselbe, als ob das 
Gewicht q direct von 1 nach 3 übergegangen, das Ge- 
wicht in 2 aber an seiner Stelle geblieben wäre. 



t 



■& 



M 




Fig. IL 



Fig. 72. 



Die Bemerkung lässt sieht leicht verallgemeinern. 

Betrachten wir ein homogenes schweres rechtwinkeliges 
Parallelepiped mit verticalen Kanten von der Länge Ä, 
der Basis A und dem speeifischen Gewicht s. Das- 
selbe (oder der Schwerpunkt desselben) sinke um dJu 
Die Arbeit ist dann Ahs • dh oder auch A dh • s • h. 
Bei dem erstem Ausdruck denken wir uns das ganze 
Gewicht Ahs um die Höhe dh verschoben, bei dem 
zweiten Ausdruck hingegen das Gewicht Adhs aus dem 
obern schraffirten Raum in den untern um die Höhe h 
gesenkt, während wir den übrigen Körper gar nicht 
beachten. Beide Auffassungen sind zulässig und gleich- 
werthig. 

15. Mit Hülfe dieser Bemerkung erhalten wir einen 
klaren Einblick in das von Pascal gefundene Paradoxon, 



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96 



Erstes Kapitel. 




Fig. 13. 



welches in Folgendem besteht. Das Gefäss^, an einem 
besondern Ständer befestigt und aus einem engen obern 
und einem sehr weiten untern Cylinder bestehend, ist 
durch einen beweglichen Kolben am Boden geschlossen, 
welcher mit Hülfe eines Fadens durch die Axe der 
Cylinder an der Wage aufgehängt ist. Wird g mit 

Wasser gefüllt , so 
müssen trotz der ge- 
ringen Wassermenge auf 
die andere Wagschale 
beträchtliche Gewichte 
gelegt werden , deren 
Summe Alis ist, wo- 
bei A die Stempel- 
fläche, h die Flüssig- 
keitshöhe und s deren 
specifisches Gewicht ist. 
Friert nun die Flüssigkeit mit Loslösung von den Ge- 
fässwänden, so genügt sofort eine sehr kleine Belastung 
zur Erhaltung des Gleichgewichts. 

Achten wir auf die virtuellen Verschiebungen in beiden 
Fällen. (Fig. 74.) Im ersten 
Fall ist bei der Stempeler- 
hebung dh das virtuelle 
Moment A dh s • h oder 
Ahs • dh, also dasselbe, als 
wenn die vom Stempel ver- 
drängte Masse um die ganze 
Fig. 74. Druckhöhe bis zum Spiegel 

der Flüssigkeit, oder als ob 
das ganze Gewicht A hs um d h gehoben würde. Im zwei- 
ten Fall tritt die vom Stempel verdrängte Masse nicht 
bis an den Spiegel, sondern erfährt eine viel kleinere 
Verschiebung, die Verschiebung des Stempels. Sind A, a 
die Querschnitte des weitern und engern Cylinders, k, l 
die zugehörigen Höhen, so ist das entsprechende vir- 
tuelle Moment Adhs- k + adhs- 1 = (Ak + al)s- dh, 



dh xasm 



vzzzzk 



dh 



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Entwiokelung der Principien der Statik. 



97 



es entspricht also der Erhebung des viel kleinern Ge- 
wichts {Ah + al)s um die Höhe dh. 

16. Die Gesetze des Seitendrucks der Flüssigkeiten sind 
nur geringfügige Modificationen der Gesetze des Boden- 
drucks. Hat man z. B. ein würfelförmiges Gefass von 
1 Decimeter Seite, also ein Litergefass, so ergibt sich bei 
vollständiger Füllung mit Wasser der Druck auf eine 
verticale Seitenwand AB CD sehr leicht. Je tiefer 
das Wandelement unter dem Spiegel, einen desto höhern 
Druck erfahrt es. Man bemerkt leicht, dass der Druck 
derselbe ist, als ob auf der horizontal gestellten Wand 
der Wasserkeil AB CD HI ruhen würde, wobei 
ID± auf BD und 
ID = HC=AC ist. ^ v 



Der Seitendruck beträgt 
also ein halbes Kilo- 




gramm. 

Um den Angriffs- 
punkt des resultirenden 
Drucks zu ermitteln, 
denken wir uns wieder 
AB CD horizontal mit Fig. 75. 

dem darauf lastenden 

Keil. Schneiden wir AK = BL = $AC ab, ziehen die 
Grade K L und halbiren wir M, so ist M der gesuchte 
Angriffspunkt, denn durch diesen Punkt geht die den 
Schwerpunkt des Keiles passirende Verticale hindurch. 

Eine schiefe ebene Figur, welche den Boden eines 
mit Flüssigkeit gefüllten Gefässes bildet, theilen wir in 
Elemente a, q', a" ... mit den Tiefen h, h' y h" — 
unter dem Niveau. Der Bodendruck ist 

(afi + a'Ä' + a"Ä / '+...)s 
Nennen wir A die Gesammtfläche und H die Tiefe 
ihres Schwerpunkts unter dem Spiegel, so ist 
q h + q ; h' + ol" h" + . . . _ q h 4- g'.h' + 

ol + cl' + ol" + ... ~~ A 

demnach der Bodendruck AHs. 



:=# 



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98 Erstes Kapitel. 

17. Das Princip des Archimedes kann in sehr ver- 
schiedener Weise abgeleitet werden. Nach dem Vor- 
gange von Stevin denken wir uns im Innern der Flüssig- 
keit einen Theil derselben erstarrt. Er wird wie zuvor 
von der umgebenden Flüssigkeit getragen. Die Resul- 
tirende der Oberflächendruckkräfte greift also im Schwer- 
punkte der vom starren Körper verdrängten Flüssigkeit 
an, und ist deren Gewicht gleich und entgegengesetzt. 
Bringen wir nun an die Stelle der erstarrten Flüssig- 
keit irgendeinen andern starren Körper von derselben 
Form, aber anderm specifischen Gewicht, so bleiben die 
Oberflächendruckkräfte dieselben. Es wirken also zwei 
Kräfte an dem Körper, das Gewicht des Körpers, an- 
greifend im Schwerpunkt des Körpers, 
und der Auftrieb, die Resultirende der 
Oberflächendruckkräfte, angreifend im 
Schwerpunkt der verdrängten Flüssig- 
keit. Nur bei homogenen starren Kör- 
pern fallen beide Schwerpunkte zu- 
ig ' sammen. 

Taucht man ein rechtwinkeliges Parallelepiped von der 
Höhe h und der Basis a mit verticalen Kanten in eine 
Flüssigkeit vom specifischen Gewicht s, so ist, wenn die 
obere Basisfläche die Tiefe k unter dem Niveau hat, 
der Druck auf dieselbe afts, auf die untere Fläche 
hingegen a(Jc + h) s. Da sich nun die Seitendruck- 
kräfte aufheben, verbleibt ein Ueberdruck oths oder 
v • s nach oben, wobei v das Volum des Parallelepipeds 
bedeutet. 

Mit Hülfe des Princips der virtuellen Verschiebungen 
kommen wir der Auffassung am nächsten, von welcher 
Archimedes selbst ausgegangen ist. Ein Parallelepiped 
vom specifischen Gewicht a, der Basis a und der Höhe /* 
sinke um dh. Dann ist das virtuelle Moment der 
Uebertragung aus dem obern in den untern schraffirten 
Baum adh •eh. Dafür steigt die Flüssigkeit aus dem 
untern in den obern Baum, und deren Moment ist 
adhsh. Das gesammte virtuelle Moment ist also 




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- ~~~=L. ~ lr 




r — ~ 


- =, 




— 


1/ 


j. 


%M. 





~ 


— 


,--, r 





Entwickelang der Principien der Statik. 99 

a h (c — s) d h = (p — q) dh, wobei p das Gewicht des 
Körpers, q jenes der verdrängten Flüssigkeit bedeutet. 

18. Man könnte sich die Frage stellen, ob der Auf- 
trieb eines Körpers in einer Flüssigkeit durch Ein- 
tauchen der letztern in eine andere Flüssigkeit alterirtwird. 
In der That hat man sich gelegentlich diese absonderliche 
Frage gestellt. Es sei also ein Körper k in eine Flüssig- 
keit A und letztere mit ihrem Gefäss abermals in eine 
Flüssigkeit B eingetaucht. Sollte bei Bestimmung 
des Gewichtsverlustes in A der Gewichtsverlust des 
A in B in Anschlag kommen, so müsste der Gewichts- 
verlust von K vollständig verschwinden, wenn die 
Flüssigkeit B mit A identisch wird. Es hätte also 
K in A eingetaucht einen Ge- 
wichtsverlust und auch keinen. n 

Eine derartige Regel hat also kei- a 
nen Sinn. 

Mit Hülfe des Princips der vir- 
tuellen Verschiebungen überblickt 
man die verwickeitern Fälle dieser 
Art sehr leicht. Taucht ein Kör- 
per allmählich zuerst in B ein, jr, y . 77. 
dann theilweise in B und in A, 
endlich in A allein, so kommen (bei Beachtung der vir- 
tuellen Momente) im zweiten Falle beide Flüssigkeiten 
nach Maassgabe des eingetauchten Volums in Betracht. 
Sobald aber der Körper ganz in A eingetaucht ist, 
steigt bei weiterer Verschiebung der Spiegel von A 
nicht mehr, und B ist also weiter nicht von Belang. 

19. Das Princip von Archimedes lässt sich durch einen 
hübschen Versuch zur Anschauung bringen. Man hängt 
Fig. 78 auf eine Seite einer Wage einen Hohlwürfel J/und 
unter denselben einen Massivwürfel Jf, welcher in den 
Hohlwürfel genau hineinpasst, und setzt die Wage ins 
Gleichgewicht. Taucht man, ein unterhalb stehendes 
Gefäss erhebend, M ins Wasser, so wird das Gleichge- 
wicht gestört, aber sofort wiederhergestellt, wenn man 
H mit Wasser füllt. 

7* 



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100 



Erstes Kapitel. 



Ein Gegenversuch ist folgender- Auf einer Seite der 
Wage bleibt H. Auf die andere Wagschale wird ein 
Gefäss mit Wasser gesetzt, und oberhalb desselben, auf 
einem von der Wage unabhängigen Stativ, M mit Hülfe 
eines dünnen Drahtes aufgehängt. Die Wage wird 
äquilibrirt. Senkt man nun M so, dass es ins Wasser 
taucht, so tritt wieder eine Gleichgewichtsstörung auf, 
welche beim Anfüllen von H mit Wasser verschwindet. 
Dieser Versuch scheint auf den ersten Blick etwas 
paradox. Man fühlt aber zunächst in- 
stinctiv, dass man M nicht ins Wasser 
tauchen kann, ohne einen Druck auszu- 
üben, der die Wage afficiren muss. Be- 
denkt man, dass der Spiegel des Wassers 
im Gefäss steigt, und dass der starre 
Körper M dem Oberflächendruck des 
umgebenden Wassers eben das Gleich- 
gewicht hält, also ein gleiches Volum 
Wasser vertritt und ersetzt, so ver- 
schwindet alles Paradoxe an dem Ver- 
such, 

20. Die wichtigsten statischen Sätze 
sind bei Betrachtung des Gleichgewichts 
starrer Körper gewonnen worden. Die- 
ser Gang ist zufällig der historische, er 
ist aber keineswegs der einzig mögliche 
und nothwendige. Die verschie- 
denen Wege, welche Archimedes, Stevin, Galilei u. A. 
eingeschlagen haben, legen uns diesen Gedanken nahe 
genug. Wirklich hätten allgemeine statische Prin- 
cipien, mit Zuhülfenahme ganz einfacher Sätze aus der 
Statik starrer Körper, bei Betrachtung der Flüssigkeiten 
gefunden werden können. Stevin war diesem Fund 
jedenfalls sehr nahe. Wir wollen hierauf einen Augen- 
blick eingehen. 

Wir stellen uns eine Flüssigkeit vor, von deren 
Schwere ..wir absehen. Dieselbe sei in einem Gefäss 
eingeschlossen, und stehe unter einem gegebenen Druck. 




Fig. 18. 



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Entwickelnd der Prinoipien der Statik. 101 

Ein Theil der Flüssigkeit möge erstarren. Auf die ge- 
schlossene Oberfläche wirken den Flächenelementen 
proportionale Normalkräfte, und wir sehen ohne Schwierig- 
keit, dass ihre Resultirende stets — ist. 

Grenzen wir einen Theil der geschlossenen Oberfläche 
durch eine geschlossene Curve ab, so 
erhalten wir eine nicht geschlossene 
Oberfläche. Alle Oberflächen, welche 
durch dieselbe (doppelt gekrümmte) 
Curve begrenzt werden, und aufweiche 
den Flächenelementen proportionale 
Kormalkräfte (in demselben Sinne) 
wirken, geben die gleiche Resulti- 

rende - . . . Fig. VJ. 

Es möge nun ein durch irgendeine 
geschlossene Leitlinie bestimmter flüssiger Cylinder er- 
starren. Von den beiden zur Axe senkrechten Basis- 
flächen können wir absehen. Statt der Mantelfläche 
kann die blosse Leitlinie betrachtet werden. Es er- 
geben sich hierdurch ganz analoge Sätze für die den 
Elementen einer ebenen Curve proportionalen Normal- 
kräfte. 

Uebergeht die geschlossene Curve in ein Dreieck, so 
gestaltet sich die Betrachtung in fol- 
gender Weise. Wir stellen die in den * 
Seitenmittelpunkten angreifenden re- \^ 
sultirenden Normalkräfte der Grösse, 
Richtung und dem Sinne nach durch t 
Linien dar. Die betreffenden Geraden Fig 80 
schneiden sich in einem Punkt, dem 
Mittelpunkt des dem Dreieck umschriebenen Kreises. 
Ferner bemerkt man, dass sich durch blosse Parallel- 
verschiebung der die Kräfte darstellenden Linien ein 
dem gegebenen Dreieck ähnliches Dreieck bilden lässt, 
dessen Umfang in demselben Sinn durchlaufen wird, 
wenn man den Sinn der Kräfte beachtet. 

Es ergibt sich somit der Satz : 

Drei Kräfte, welche an einem Punkt angreifen, welche 



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102 Erstes Kapitel. 

den Seiten eines Dreiecks proportionirt und parallel 
gerichtet sind, die ferner durch Parallelverschiebung zu 
einem Dreieck mit übereinstimmendem Umlaufssinn 
sich schliessen, sind im Gleichgewicht. Man erkennt ohne 
Schwierigkeit in diesem Satz nur eine andere Form des 
Satzes vom Kräftenparallelogramm. 

Denkt man sich statt des Dreiecks ein Polygon, so 
gelangt man zu dem bekannten Satze des Kräftenpo- 
lygons. 

Nun denken wir uns in einer schweren Flüssigkeit 
vom specifischen Gewichte x einen Theil erstarrt. Auf 
ein Element a der geschlossenen Oberfläche wirkt nun 
eine Normalkraft <x x #, wenn z der Abstand des Ele- 
mentes vom Spiegel der Flüssigkeit ist. Das Resultat 
ist uns in vorhinein bekannt. 

Wirken auf eine geschlossene Oberfläche Normalkräfte 
einwärts, welche durch ax# bestimmt sind, wobei a 
das Flächenelement und z dessen senkrechten Abstand 
von einer gegebenen Ebene E bedeutet, so ist die Re- 
sultirende F»x, in welchem Ausdruck V das einge- 
schlossene Volum vorstellt. Die Resultirende greift im 
Schwerpunkt des Volums an, ist senkrecht zur genannten 
Ebene und gegen dieselbe gerichtet. 

Es sei unter denselben Umständen eine starre krumme 
Oberfläche durch eine ebene Curve begrenzt, welche auf 
der Ebene die Fläche A einschliesst. Die Resultirende der 
auf die krumme Fläche wirkenden Kräfte ist i?, wobei 
B*= (4Zx) 2 +(Fx) 2 -24Z7x 2 cos v. Dabei bedeutet 
Z den Abstand des Schwerpunktes der Fläche A von E, 
ferner v den Normalenwinkel von E und A. 

Mathematisch geübtere Leser haben in dem vorletzten 
Satze schon einen Specialfall des Green'schen Satzes der 
Potentialtheorie erkannt, welcher im wesentlichen in 
der Zurückführung von Oberflächenintegrationen auf 
Volumintegrationen (oder umgekehrt) besteht. 

Man kann also in das Kraft System einer im Gleich- 
gewicht befindlichen Flüssigkeit mehr oder minder com- 
. plicirte Kraftsysteme hin einsehen oder, wenn man will, 



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Entwiokelung der Principien der Statik, 103 

aus demselben heraussehen, und dadurch auf kurzem 
Wege (a posteriori) Sätze gewinnen. Es ist ein blosser 
Zufall, dass Stevin diese Sätze nicht gefunden hat. Die 
hier befolgte Methode entspricht ganz der seinigen« Noch 
immer können auf diese Weise neue Entdeckungen ge- 
macht werden. 

21. Das Paradoxe, welches sich bei Untersuchung 
der Flüssigkeiten ergeben hat, hat als Reiz zu weiterm 
Nachdenken angetrieben. Auch darf nicht unbemerkt blei- 
ben, dass die Vorstellung eines physikalisch-mecha- 
nischen Continuums zuerst bei Untersuchung der 
Flüssigkeiten sich gebildet hat. Es hat sich hierdurch eine 
viel freiere und reichere mathematische Anschauung 
entwickelt, als dies durch Betrachtung selbst eines 
Systems von mehrern starren Körpern möglich war. 
In der That lässt sich der Ursprung wichtiger moderner 
mechanischer Begriffe, wie z. B. des Potentials, bis auf 
diese Quelle zurückverfolgen. 



7. Die Principien der Statik in ihrer Anwendung avf 
die gasförmigen Körper. 

1, Mit nur geringen Veränderungen lassen sich bei gas- 
förmigen Körpern dieselben Betrachtungen anwenden 
wie bei Flüssigkeiten. Insofern bietet also die Unter- 
suchung der Gase keine sehr reiche Ausbeute für die 
Mechanik. Gleichwol haben die ersten Schritte, welche 
auf diesem Gebiete gethan worden sind, eine hohe cultur- 
historische und allgemeine wissenschaftliche Bedeutung. 

Wenngleich der gewöhnliche Mensch durch den Wider- 
. stand der Luft, durch den Wind, durch das Einschliessen 
derselben in eine Blase Gelegenheit findet zu erkennen, 
dass die Luft die Natur eines Körpers hat, so zeigt 
sich dies doch viel zu selten und niemals so äugen* 
fällig und handgreiflich wie bei den starren Körpern 
und den Flüssigkeiten. Diese Erkenntniss ist zwar da, 



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104 



Erstes Kapitel. 




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Entwickelung der Principien der Statik. 105 

«Hein sie ist nicht geläufig und populär genug, um eine 
erhebliche Rolle zu spielen. An das Vorhandensein der 
Luft wird im gewöhnlichen Leben fast gar nicht ge- 
dacht. 

Obgleich die Alten, wie aus Vitruv's Beschreibungen 
zu ersehen ist, Instrumente hatten, welche auf der Ver- 
dichtung der Luft beruhten (wie die sogenannten 
Wasser orgeln), obgleich die Erfindung der Windbüchse 
bis auf Ktesibius zurückgeführt wird, und dieses In- 
strument auch Guericke bekannt war, so waren doch 
noch im 17. Jahrhundert die Vorstellungen über die 
Natur der Luft höchst sonderbare und ungeklärte. Wir 
dürfen uns daher nicht wundern über die geistige Be- 
wegung, welche die ersten bedeutendem Versuche in 
dieser Richtung hervorgebracht haben. Wir begreifen 
die begeisterte Beschreibung, die Pascal von den Boyle 7 - 
schen Luftpumpenexperimenten gibt, wenn wir uns leb^ 
haft in die damalige Zeit zurückversetzen. Was konnte 
auch wunderbarer sein als die plötzliche Erkenntniss, 
dass ein Ding, welches wir nicht sehen, kaum fühlen, 
und fast gar nicht beachten, uns immer und überall 
umgibt, alles durchdringt, dass es die wichtigste Be- 
dingung des Lebens, Brennens und gewaltiger mecha- 
nischer Vorgänge ist. Vielleicht zum ersten mal bei 
dieser Gelegenheit wurde es durch einen grossen Er- 
folg klar, dass die Naturwissenschaft nicht auf die 
Untersuchung des Handgreiflichen, grob Sinnenfälligen 
beschränkt sei. 

2. Zu Galilei' s Zeit erklärte man die Saugwirkung, 
die Wirkung der Spritzen und Pumpen durch den so- 
genannten horror vacui, den Abscheu der Natur vor 
dem leeren Räume. Die Natur sollte die Eigenschaft 
haben, die Entstehung des leeren Raumes dadurch zu 
verhindern, dass sie das erste beliebige nächstliegende 
Ding zur sofortigen Ausfüllung eines solchen sich bil- 
denden leeren Raumes verwendete. Abgesehen von dem 
unberechtigten speculativen Element in dieser Ansicht, 
muss man zugeben, dass sie die Vorgänge bis zu einer 



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106 



Erstes Kapitel. 




Guericke'8 erste Versuche (Experira. Magdeb.). 



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Entwicklung der Principien der Statik. 107 

gewissen Grenze wirklich darstellt. Wer befähigt war 
sie aufzustellen, musste in der That ein Princip in den 
Vorgängen erschaut haben. Dieses Princip passt jedoch 
nicht in allen Fällen. Galilei soll auch sehr überrascht 
gewesen sein, als er von einer neu angelegten Pumpe 
mit zufällig sehr langem Saugrohr hörte, welche nicht 
im Stande war, das Wasser über 18 italienische Ellen 
zu heben. Er dachte zunächst daran, dass der horror 
vacui (oder die resistenza del vacuo) eine messbare 
Kraft habe. Die grösste Höhe, auf welche das Wasser 
durch Saugen gehoben werden konnte, nannte er altezza 
limitatissima. Galilei suchte auch direct die Last zu be- 
stimmen, welche im Stande wäre, den wohlanschliessen- 
den auf den Boden gesetzten Kolben aus einem ver- 
schlossenen Pumpenstiefel herauszuziehen. 

3. Torricelli kam auf den Einfall, die Resistenz des 
Vacuums statt durch eine Wassersäule durch eine Queck- 
silbersäule zu messen, und erwartete eine Säule von etwa 
1 / 14 der Länge der Wassersäule zu finden. Seine Er- 
wartung bestätigte sich durch den von Viviani 1643 
in der bekannten Weise ausgeführten Versuch, welcher 
heute den Namen des Torricelli' sehen Versuches führt. 
Eine etwa 1 m lange, einerseits zugeschmolzene mit 
Quecksilber gefüllte Glasröhre wird am offenen Ende 
mit dem Finger geschlossen, mit diesem Ende nach 
unten in Quecksilber gebracht, und vertical aufgestellt. 
Entfernt man den Finger, so fallt die Quecksilbersäule, 
und bleibt auf einer Höhe von etwa 76 cm stehen. 
Es war hierdurch sehr wahrscheinlich geworden , dass ein 
ganz bestimmter Druck die Flüssigkeiten in das Vacuum 
treibt. Welcher Druck dies sei, errieth Torricelli sehr bald. 

Galilei hatte schon versucht das Gewicht der Luft zu be- 
stimmen, indem er eine nur Luft enthaltende Glasflasche 
abgewogen und, nachdem die Luft durch Erwärmung theil- 
weise vertrieben war, dieselbe nochmals abgewogen hatte. 
Dass die Luft schwer sei, war also bekannt. Der horror 
vacui und das Gewicht der Luft lagen sich aber für die 
meisten Menschen sehr fern. Bei Torricelli mochten 



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108 



Erstes Kapitel. 



beide Gedanken sich einmal nahe genug begegnen, um ihn 
zu der Ueberzeugung zu führen, dass alle dem horror 




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Ouerloke'« Luftpumpe (Experim. Magdeb.). 

vacui zugeschriebenen Erscheinungen sich in einfacher 
und consequenter Weise durch den Gewichtsdruck einer 
Flüssigkeitssäule, der Luftsäule, erklären lassen, Torri- 



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Entwicklung der Prinoipien der Statik. 109 

celli entdeckte also den Luftdruck, und er beobachtete 
auch zuerst mit Hülfe seiner Quecksilbersäule die Ver- 
änderungen des Luftdruckes. 

4. Die Nachricht über den Torricelli'schen Versuch 
wurde durch Mersenne in Frankreich verbreitet, und ge- 
langte zur Eenntniss Pascal' s im Jahre 1644. Die Mit- 
theilungen über die Theorie des Versuches waren ver- 
muthlich so unvollständig, dass Pascal sich veranlasst 
sah, selbst über den Versuch nachzudenken. (Pesanteur 
de Vair. Paris 1663.) 

Er wiederholte den Versuch mit Quecksilber und mit 
einer 40 Fuss langen Röhre mit Wasser oder vielmehr 
mit Rothwein. Bald überzeugte er sich durch Neigen 
der Röhre, dass der Raum über der Flüssigkeitssäulo 
wirklich leer sei, und sah sich genöthigt, diese Ansicht 
gegen heftige Angriffe seiner Landsleute zu vertheidigen. 
Die leichte Herstellung des für unmöglich gehaltenen 
Vacuums demonstrirte Pascal an einer Glasspritze, deren 
Mündung unter Wasser mit dem Finger verschlossen, 
und deren Stempel hierauf ohne besondere Mühe zurück- 
gezogen wurde. Nebenbei zeigte Pascal, dass ein 40 
Füss hoher, mit Wasser gefüllter (gekrümmter) Heber 
nicht fliesst, hingegen durch genügende Neigung gegen 
die Verticale zum Fliessen gebracht werden kann. Das- 
selbe Experiment wurde in kleinern Dimensionen mit 
Quecksilber angestellt. Derselbe Heber fliesst und fliesst 
nicht, je nachdem er geneigt oder vertical aufgestellt wird. 
In einer spätem Arbeit weist Pascal ausdrücklich 
auf die Wägungen der Luft, auf den Gewichtsdruck der 
Luft hin. Er zeigt, dass kleine Thiere (Fliegen) in 
Flüssigkeiten einen hohen Druck ohne Schaden ertragen, 
wenn derselbe nur allseitig ist, und wendet dies sofort 
auf die Fische und die in der Luft lebenden Thiere 
' an. Das Hauptverdienst Pascal's ist der Nachweis der 
vollständigen Analogie der durch Flüssigkeitsdruck 
(Wasserdruck) und Luftdruck bedingten Vorgänge. 

5. Durch eine Reihe von Versuchen zeigt Pascal, 
dass das Quecksilber durch den Luftdruck in den luffc- 



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Erstes Kapitel. 



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leeren Kaum eindringt, gerade so wie das Quecksilber 
durch den Wasserdruck in den wasserleeren Kaum auf- 
steigt. Wird in ein sehr tiefes Gefäss mit Wasser 
eine Röhre versenkt, an deren unterm Ende ein Leder- 
beutel mit Quecksilber sich befindet, jedoch so, dass das 
obere Ende der Röhre aus dem Wasser hervorragt und 
die Röhre wasserleer bleibt, so steigt das Queck- 
silber durch den Wasserdruck in der wasserleeren 
Röhre desto höher auf, je tiefer man 
die Röhre einsenkt. Der Versuch kann 
auch mit einer Heberröhre oder einer 
unten offenen Röhre angestellt werden. 
Die aufmerksame Betrachtung des Vor- 
ganges führte Pascal offenbar auf den 
Gedanken, dass die Barometersäule auf 
dem Gipfel eines Berges tiefer stehen 
müsse als am Fusse, und dass sie dem- 
Fig. 81. nach zur Bestimmung der Höhe der Berge 
verwendbar sei. Er theilte diese Idee seinem Schwager 
Perier mit, welcher den Versuch alsbald mit günstigem 
Erfolge auf dem Puy de Dome ausführte. (19. Sept 1 648.) 
Die Erscheinungen an Adhäsionsplatten führt Pascal 
auf den Luftdruck zurück, und erläutert sie durch den 
Widerstand, den man empfindet, wenn man einen auf 
dem Tische flach aufliegenden (grossen) Hut rasch auf- 
hebt. Das Haften des Holzes am Boden unter Queck- 
silber ist eine analoge Erscheinung. 

Das Fliessen des Hebers durch den Luftdruck ahmt 
Pascal mit Hülfe des Wasserdruckes nach. Eine Röhre 
ab c (Fig. 82) wird mit den beiden offenen Schenkeln a 
und b, die ungleich lang sind, in Quecksilbergefässe e 
und d getaucht. Wird die ganze Vorrichtung in ein 
sehr tiefes Wassergefass getaucht, jedoch so, dass die 
lange offene Röhre noch immer über den Spiegel her- 
vorragt, so erhebt sich allmählich das Quecksilber in a 
und (, die Säulen vereinigen sich, und es beginnt das 
Ueberfliessen aus d nach-e-durch den oben offenen Heber. 



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Entwicklung der Principien der Statik. 



111 



Den Torricelli'schen Versuch hat Pascal in einer sehr 
sinnreichen Weise abgeändert. Eine Röhre von der 
Form ab cd (Fig. 83), und beiläufig der doppelten Länge 
einer gewöhnlichen Barometerröhre wird mit Quecksilber 
gefüllt. Die Oeffnungen a und b 
werden mit den Fingern geschlossen 
und die Röhre wird mit dem Ende 
a unter Quecksilber gebracht. Oeff- 
net man nun a, so fallt das Queck- 
silber in cd ganz in die Er- 
weiterung bei c, und das Queck- 
silber in ab sinkt zur Höhe der 
gewöhnlichen Barometersäule herab. 
Bei b entsteht ein Vacuum, wodurch 
der verschliessende Finger schmerz- 
haft angedrückt wird. 




d 



Fig. 82. 

Oeffnet man auch b, so fällt 
die Säule in ab ganz herab, dafür steigt aber das Queck- 
silber aus der Erweiterung e, welches 
nun dem Luftdruck ausgesetzt ist, in c d 
zur Höhe der Barometersäule auf. Es war 
kaum möglich, den Versuch und Gegen- 
versuch ohne Luftpumpe in einfacherer 
und sinnreicherer Weise zu combiniren, als 
dies Pascal gethan hat. 

6. Was das Pascal'sche Bergexperiment 
betrifft, wollen wir kurz und ergänzend 
noch Folgendes bemerken. Es sei b der 
Barometerstand an der Meeresfläche, welcher 
bei der Erhebung um m Meter auf kb 
sinkt, wobei k ein echter Bruch. Bei einer 
weitern Erhebung um m Meter haben wir 
den Barometerstand k • kb zu erwarten, 
da wir nun eine Luftschicht durchsetzen, 
deren Dichte sich zu jener im ersten Fall 
wie k : 1 verhält. Erheben wir uns um 
h = n • m Meter, so ist der entsprechende Barometer- 
stand 



l 71 * 



Fig. 83. 

die Höhe 



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112 Erstes Kapitel. 

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oder 



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Das Princip der Methode ist also ein sehr einfaches; 
sie wird nur schwierig durch die manniehfaltigen zu be- 
achtenden Nebenumstände und Correctionen. 

7. Die urwüchsigsten und ausgiebigsten Leistungen 
auf dem Gebiete der Aerostatik rühren von Otto von 
Guericke her. Die Triebfeder seiner Versuche scheinen 
hauptsächlich philosophische Betrachtungen gewesen zu 
sein. Er ist auch durchaus selbständig vorgegangen, 
und hat erst auf dem Reichstage zu Regensburg (1654), 
wo er seine um das Jahr 1650 erfundenen Versuche 
demonstrirte, durch Valerianus Magnus von dem Torri- 
celli' sehen Versuch gehört. Hierzu passt auch die von 
der Torricelli* sehen ganz verschiedene Methode, durch 
welche er seine Wasserbarometer darstellte. 

Guericke' s Buch (Experim. Magdeburg. Amstelod. 1672) 
bringt uns den beschränkten Standpunkt seiner Zeit leb« 
haft zur Anschauung. Dass er im Stande war, allmählich 
diesen Standpunkt zu verlassen, und durch eigene Arbeit 
einen bessern zu gewinnen, spricht eben für seine geis- 
tige Energie. Mit Erstaunen sehen wir, welche kurze 
Spanne Zeit uns von der wissenschaftlichen Barbarei 
trennt, und wir dürfen uns daher nicht wundern, dass 
die sociale Barbarei noch so schwer auf uns lastet. 

In der Einleitung des Buches und an verschiedenen 
andern Stellen, mitten unter den experimentellen Unter- 
suchungen spricht Guericke von den der Bibel ent* 
nommenen Einwürfen gegen das Kopernikanische System, 
(welche er zu entkräften sucht), von dem Ort des 
Himmels, von dem Ort der Hölle, von dem jüngsten 
Gericht. Philosopheme über den leeren Raum nehmen 
einen beträchtlichen Platz ein. 

Die Luft betrachtet Guericke als den Duft oder Ge-. 
ruch der Körper, welchen wir nur deshalb nicht wahr- 



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Entwicklung der Prinoipien der Statik. 113 

nehmen, weil wir ihn von Jugend auf gewöhnt sind. 
Die Luft ist für ihn kein Element. Er kennt ihre 
Volumveränderung durch Wärme und Kälte, ihre Com- 
pressibilität durch den Heronsball, gibt auf Grund 
eigener Versuche ihren Druck zu 20 Ellen Wasser an, 
und betont ihr Gewicht, durch welches die Flammen in 
die Höhe getrieben werden. 

8. Zur Herstellung des Vacuums bediente sich Guericke 
zuerst eines hölzernen mit Wasser gefüllten Fasses. An 
das untere Ende wurde die Pumpe einer Feuerspritze 
befestigt. Das Wasser sollte, dem Kolben und seiner 
Schwere folgend, fallen und herausgepumpt werden. 
Guericke erwartete das Zurückbleiben eines leeren 
Raumes. Die Befestigung der Pumpe zeigte sich wieder- 
holt nicht stark genug, da, wegen des auf dem Kolben 
lastenden Luftdruckes, ein bedeutender Zug angewandt 
werden musste. Nach stärkerer Befestigung brachten 
endlich drei starke Männer das Auspumpen zu Stande. 
Gleichzeitig drang aber die Luft mit Getöse durch alle 
Fugen des Fasses ein, sodass kein Vacuum erzielt wurde. 
Bei einem weitern Versuch wurde ein kleines mit Wasser 
gefülltes auszupumpendes Fass in ein grösseres Wasser- 
fass eingeschlossen. Allein auch hier drang das äussere 
Wasser allmählich in das kleine Fass ein. 

Nachdem sich auf diese Art Holz als ein ungenügen- 
des Material gezeigt, und Guericke bei dem letzten 
Versuch bereits Anzeichen des Gelingens bemerkt hatte, 
nahm er eine grosse Hohlkugel aus Kupfer, und wagte 
nun schon direct die Luft auszupumpen. Anfangs ging 
auch das Pumpen gut und leicht von statten. Nach 
mehrern Kolbenzügen wurde aber das Pumpen so 
schwierig, dass kaum zwei vierschrötige Männer (viri 
quadrati) den Kolben bewegen konnten. Als aber das 
Auspumpen schon ziemlich weit fortgeschritten war, 
wurde plötzlich die Kugel mit einem heftigen Knall zer- 
drückt. Mit Hülfe eines Kupfergefässes von voll- 
kommener Kugelgestalt gelang endlich die Herstellung 

Mach. 8 



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114 Erstes KapiteL 

des Vacuums. Guericke beschreibt, mit welcher Gewalt 
die Luft beim Oeffhen des Hahnes eindringt. 

9. Nach diesen Experimenten construirt Guericke 
eine besondere Luftpumpe. Eine grosse Glaskugel wird 
durch eine Fassung und einen grossen abnehmbaren 
Zapfen mit einem Hahn geschlossen. Durch diese Oeffnung 
können die zu untersuchenden Gegenstände in die Eugel 
gebracht werden. Die Kugel steht des bessern Schlusses 
wegen mit dem Hahn unter Wasser auf einem Dreifuss. 
unter dem sich die eigentliche Pumpe befindet. Später 
werden auch noch besondere Nebengefässe verwendet, 
welche mit der ausgepumpten Kugel in Verbindung ge- 
setzt werden. 

Die Erscheinungen, die Guericke mit seinem Apparat 
beobachtet, sind schon sehr mannichfaltig. Das Geräusch, 
welches luftfreies Wasser beim Anschlagen an die Glas- 
wände verursacht, das heftige Eindringen der Luft und 
des Wassers in die Gefasse beim plötzlichen Oeffnen 
derselben, das Entweichen der in Flüssigkeiten absor- 
birten Gase beim Evacuiren, das Freigeben des Duftes, 
wie Guericke sich ausdrückt, fällt zunächst auf. Eine 
brennende Kerze verlischt beim Evacuiren, weil sie, 
wie Guericke vermuthet, aus der Luft ihre Nahrung be- 
zieht. Das Brennen ist, wie ausdrücklich bemerkt wird, 
keine Vernichtnng, sondern eine Umwandlung der Luft. 

Die Glocke tönt im Vacuum nicht. Vögel sterben 
im Vacuum, manche Fische schwellen daselbst an, und 
bersten schliesslich. Eine Traube erhält sich über ein 
halbes Jahr frisch. 

Durch Ansetzen eines langen ins Wasser tauchenden 
Rohres an einen luftleeren Kolben wird ein Wasser- 
barometer hergestellt. Die gehobene Säule ist 19 — 20 
Ellen hoch. Alle dem horror vacui zugeschriebenen 
Wirkungen werden durch den Luftdruck erklärt. 

Ein wichtiger Versuch besteht in dem Abwägen eines 
lufterfüllten und nachher leergepumpten Recipienten. 
Das Gewicht der Luft variirt nach den Umständen 
(Temperatur und Barometerstand). Ein bestimmtes 



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Entwicklung der Principien der Statik. X15 

Gewichts verhältniss von Luft und Wasser gibt es nach 
Guericke nicht. 

Den grössten Eindruck auf die Zeitgenossen machten 
die auf den Luftdruck bezüglichen Experimente. Eine 
aus zwei aneinandergelegten Hälften bestehende leerge- 
pumpte Kugel wird durch die Kraft von 16 Pferden 
mit einem gewaltigen Knall zerrissen. Dieselbe Kugel 
wird aufgehängt und an die untere Hälfte eine Wag- 
schale mit grosser Belastung befestigt. — Ein grosser 
Pumpenstiefel ist durch einen Kolben geschlossen. An 
letzterm befindet sich ein Strick, der über eine Rolle 
führt und in zahlreiche Zweige sich theilt, an welchen 
viele Männer ziehen. Sobald der Stiefel mit einem 
leergepumpten Recipienten in Verbindung gesetzt wird, 
werden sämmtliche Männer hingestreckt. — Auf ana- 
loge Weise wird ein grosses Gewicht gehoben. 

Die Verdichtungswindbüchse erwähnt Guericke als 
etwas Bekanntes, und construirt selbst ein Instrument, 
das man passend eine Verdünnungswindbüchse nennen 
könnte. Eine Kugel wird durch den äussern Luftdruck 
durch ein plötzlich evacuirtes Rohr getrieben, schlägt 
am Ende die dasselbe verschli essende aufgelegte Leder- 
platte weg, und fliegt mit beträchtlicher Geschwindig- 
keit fort. 

Verschlossene Gefässe, auf den Gipfel eines Berges 
gebracht und geöffnet, geben Luft von sich, in gleicher 
Weise abwärts transportirt, saugen sie Luft auf. Durch 
diese und andere Versuche erkennt Guericke die Luft 
als elastisch. 

10. R. Boyle in England hat Guericke' s Untersuchungen 
weiter geführt. Er hatte nur wenige neue Versuche 
hinzuzufügen. Er beachtet die Fortpflanzung des 
Lichtes im Vacuum und die Durchwirkung des Magneten 
durch den leeren Raum, entzündet Zunder mit Hülfe des 
Brennglases, bringt das Barometer unter den Recipienten 
der Luftpumpe, und führt zuerst ein Wagemanometer 
aus. Das Sieden warmer Flüssigkeiten und das Frieren des 
Wassers beim Evacuiren wird von ihm zuerst beobachtet. 

8* 



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116 



Erstes Kapitel. 




Von den gegenwärtig gebräuchlichen Luftpumpenver- 
suchen erwähnen wir noch den Fallversuch, der Galilei's 
Ansicht, dass schwere und leichte Körper mit derselben 
Beschleunigung fallen, wenn der Luftwiderstand elimi- 
nirt ist, in einfacher Weise bestätigt. In einer ausge- 
pumpten Glasröhre befindet sich eine Bleikugel und 
ein Stückchen Papier. Bei Verticalstellung und rascher 
Umdrehung der Röhre um 180° (um eine horizontale 
Axe) kommen beide Körper gleichzeitig am untern Ende 

der Röhre an. 

Von den quantita- 
tiven Daten wollen wir 
erwähnen, dass der 
Luftdruck , welcher 
eine Quecksilbersäule 
von 76 cm trägt, sich 
durch das specifische 
Gewicht des Queck- 
silbers 13,59 leicht 

Fig. 84. ZU 1,0328 kg auf 

1 qcm berechnet. Das 
Gewicht von 1000 ccm Luft von 0° C. und 760 mm 
Druck ergibt sich zu 1,293 g und das entsprechende 
specifische Gewicht auf Wasser bezogen zu O,ooi293. 

11. Guericke kannte nur eine Luft. Man kann sich 
also vorstellen, welches Aufsehen es erregte, als Black 
1765 die Kohlensäure (fixe Luft) und Cavendish 1766 
den Wasserstoff (die brennbare Luft) entdeckte, welcher 
Entdeckung bald andere analoge nachfolgten. Die ver- 
schiedenen physikalischen Eigenschaften der Gase sind 
sehr auffallend. Die grosse Ungleichheit des Gewichtes 
hat Faraday durch einen schönen Vorlesungsversuch zur 
Anschauung gebracht. Hängt man zwei Bechergläser 
A, B, das eine aufrecht, das andere mit der Oeffnung 
nach unten an eine Wage und äquilibrirt dieselbe, so 
kann man in das erstere die schwere Kohlensäure von 
oben, in das letztere den leichten Wasserstoff von unten 
eingiessen. In beiden Fällen schlägt die Wage im 








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Entwickelung der Prinoipien der Statik. H7 

Sinne des Pfeiles aus. Bekanntlieh lässt sich heutzu- 
tage durch die optische Schlierenmethode das Eingiessen 
der Gase auch direct sichtbar machen. 

12. Bald nach der Erfindung des Torricelli'schen Ver- 
suches hat man sich bemüht, das hierbei auftretende 
Vacuum zu benutzen. Man wollte also sogenannte Queck- 
silberluftpumpen construiren. Bekanntlich hat dieses 
Bestreben erst in unserm Jahrhundert einen nennens- 
werthen Erfolg gehabt. Die gegenwärtig gebräuch- 
lichen Quecksilberluftpumpen sind eigentlich Barometer 
mit grossen Erweiterungen der Röhrenenden und ver- 
änderlicher Niveaudifferenz dieser Enden. Das Queck- 
silber vertritt die Stelle des Kolbens der gewöhnlichen 
Luftpumpe. 

13. Die von Guericke beobachtete Spannkraft der 
Luft wurde von Boyle und später von Mariotte ge- 
nauer untersucht. Das Gesetz, welches beide fanden, 
besteht in Folgendem. Nennt man V das Volum einer 
gegebenen Luftmenge und P ihren Druck auf die 
Oberflächeneinheit der Gefässwand, so ist das Product 
V • P = einer constanten Grösse. Wird nämlich das 
Luftvolum auf die Hälfte reducirt, so übt die Luft den 
doppelten Druck auf die Flächeneinheit aus, wird das 
Volum derselben Menge verdoppelt, so sinkt der Druck 
auf die Hälfte u. s. w. Es ist richtig, was einige eng- 
lische Autoren in neuerer Zeit hervorgehoben haben, 
dass nicht Mariotte, sondern Boyle als der Entdecker 
des Gesetzes zu betrachten ist, welches gewöhnlich den 
Namen des Mariotte'schen führt. Ja, es muss noch hinzu- 
gefügt werden, dass Boyle schon wusste, dass das Ge- 
setz nicht genau gelte, während dies Mariotte entgangen 
zu sein scheint. 

Die von Mariotte bei Ermittelung des Gesetzes be- 
folgte Methode war sehr einfach. Erfüllte Torricelli'- 
sche Röhren nur theilweise mit Quecksilber, maass das 
übrigbleibende Luftvolum ab, und führte mit den 
Röhren den Torricelli'schcn Versuch aus. Hierbei er- 
gab sich das neue Luftvolum und, durch Abzug der 



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118 



Erstes Kapitel. Prinoipien der Statik. 



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Quecksilbersäule vom Barometerstand, der neue Druck, 
unter welchem dieselbe Luft jetzt stand. 

Zur Verdichtung der Luft verwendete 
Mariotte eine Heberröhre mit verticalen 
Schenkeln. Ein kürzerer, in welchem die 
Luft sich befand, war am obern Ende ge- 
schlossen, ein längerer, in welchen Queck- 
silber eingegossen wurde, war am obern 
Ende offen. Das Luftvolum wurde an der 
getheilten Röhre abgelesen, und zur beob- 
achteten Niveaudiflferenz des Quecksil- 
bers in beiden Schenkeln wurde der Ba- 
rometerstand hinzuaddirt. Gegenwärtig 
führt man beide Versuchsreihen in 
der einfachsten Weise aus , indem 
man eine oben geschlossene cylindrische 
Glasröhre rr an einem verticalen Maas- 
r * stab feststellt und mit einer zweiten 
offenen Glasröhre r' r', die an demsel- 
ben Maasstab verschiebbar ist, durch 
einen Kautschuckschlauch Je Je verbindet. 
Füllt man die Röhren theilweise mit 
Quecksilber, so kann man durch Ver- 
schiebung von r 1 r 1 jede beliebige Niveau- 
differenz der beiden Quecksilberspiegel 
hervorbringen und die zugehörigen Vo- 
lumsänderungen der in rr eingeschlosse- 
nen Luft beobachten. 

Mariotte fällt es bei Gelegenheit sei- 
ner Untersuchungen auf, dass auch ein 
kleines Luftquantum, welches von der 
übrigen Luft ganz abgeschlossen ist, also* 
von deren Gewicht nicht direct afßcirt 
wird, doch die Barometersäule erhält, 
wenn man z. B. den offenen Schenkel 
der Barometerröhre verschliesst. Die einfache Auf- 
klärung, die er natürlich sofort findet, liegt darin, dass 
die Luft vor dem Verschluss so weit comprimirt war, dass 




Fig. 86. 



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Zweites Kapitel. Frincipien der Dynamik. HQ 

sie dem Gewichtsdruck der Luft das Gleichgewicht halten, 
also denselben Elasticitätsdruck ausüben musste. 

Auf die Einzelheiten in der Einrichtung und im 
Gebrauch der Luftpumpen, welche durch das Boyle- 
Mariotte'sche Gesetz leicht zu verstehen sind, wollen 
wir hier nicht eingehen. 

14. Es bleibt uns nur die Bemerkung übrig, dass die 
aerostatischen Entdeckungen des Neuen und Wunderbaren 
so viel boten, dass der von denselben ausgehende intellec- 
tuelle Beiz nach keiner Richtung hin zu unterschätzen ist. 



ZWEITES KAPITEL. 

Die Entwickelung der Frincipien der Dynamik. 

i. Galilei' 8 Leistungen. 

1. Wir gehen nun an die Besprechung der Grund- 
lagen der Dynamik. Dieselbe ist eine ganz moderne 
Wissenschaft. Alles, was die Alten, namentlich die 
Griechen, in Bezug auf Mechanik dachten, gehört der 
Statik an. Gegründet wurde die Dynamik erst durch 
Galilei. Dass diese Behauptung richtig sei, erkennen 
wir leicht, wenn wir nur einige Sätze der Aristoteliker 
der Galilei'schen Zeit betrachten. Zur Erklärung des 
Sinkens der schweren und des Steigens der leichten 
Körper (z. B. in Flüssigkeiten) wurde angenommen, 
dass jedes Ding seinen Ort suche, der Ort schwerer 
Körper sei aber unten, der leichter Körper oben. Die 
Bewegungen wurden eingetheilt in natürliche, wie die 
Fallbewegung, und gewaltsame, wie z. B. die Wurf- 
bewegung. Aus einigen wenigen oberflächlichen Er- 
fahrungen und Beobachtungen wurde herausphilosophirt, 
dass schwere Körper rascher fallen, leichtere langsamer, 
oder genauer, dass Körper von grösserm Gewicht 
rascher, solche von kleinerm Gewicht langsamer fallen. 
Uieraus geht deutlich genug hervor, dass die dyna- 



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120 Zweites Kapitel. 

mischen Kenntnisse der Alten, namentlich der Griechen 
sehr unbedeutend waren, und dass hier erst die moderne 
Zeit den Grund zu legen hatte. Es ist oft und von 
verschiedenen Seiten darauf hingewiesen worden, dass 
Galilei mit seinem Denken an bedeutende Vorgänger 
angeknüpft hat. Es soll dies hier auch gar nicht in 
Abrede gestellt, doch aber betont werden, dass Galilei 
alle um ein Bedeutendes überragt. Der grösste Vor- 
gänger Galilei's, von dem schon an anderer Stelle die 
Rede war, ist Leonardo da Vinci (1452 — 1519). Dessen 
Arbeiten konnten aber rechtzeitig auf den Gang der 
Wissenschaft keinen Einfluss nehmen, da dieselben erst 
durch die Publication von Venturi (1797) theilweise be- 
kannt geworden sind. Leonardo kannte das Fallzeiten- 
verhältniss für die Länge und Höhe der schiefen Ebene. 
Es wird ihm zuweilen auch die Kenntniss des Trägheits- 
gesetzes zugeschrieben. Eine gewisse instinktive Kennt- 
niss der Beharrung einer eingeleiteten Bewegung wird 
wohl keinem normalen Menschen abzusprechen sein. 
Leonardo scheint etwas weiter gelangt zu sein. Er weiss, 
dass man aus einer Säule von Bretspielsteinen einen 
herausschlagen kann, ohne die übrigen zu bewegen; er 
weiss, dass ein in Bewegung gesetzter Körper bei ge- 
ringerem Widerstand sich länger bewegt, denkt aber, 
dass der Körper die dem Impulse angemessene Weg länge 
vollenden wolle, und spricht nirgends ausdrücklich von 
der Beharrung bei vollkommen beseitigtem Widerstand. 
(Vgl. Wohlwill, „Bibliotheca mathematica", Stockholm 
1888, S. 19.) Benedetti (1530—1590) kennt die Be- 
schleunigung der Fallbewegung und führt dieselbe auf 
Summation der Schwereimpulse zurück („Divers, speculat. 
math. et physic. liber", Taurini 1585). Die Fortbewegung 
eines geworfenen Körpers schreibt er, nicht wie die Peri- 
patetiker, dem Einfluss des Mediums, sondern einer „virtus 
impressa" zu, ohne jedoch in Bezug auf diese Probleme 
zur vollen Klarheit zu gelangen. An Benedetti scheint 
nun Galilei wirklich angeknüpft zu haben, da dessen 
Jugendarbeiten jenen Benedetti's verwandt sind. Auch 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 121 




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122 Zweites Kapitel. 

Galilei nimmt eine „virtus impressa" an, die er sich aber 
noch abnehmend denkt, und erst nach 1604 scheint er 
(nach Wohlwill) im vollen Besitz der Fallgesetze zu sein. 

2. Die Schrift „Discorsi e dimostrazioni matematiche", 
in der Galilei die erste dynamische Untersuchung über 
die Fallgesetze mittheilte, erschien 1638. Der moderne 
Geist, den Galilei bekundet, äussert sich gleich darin, dass 
er nicht fragt: warum fallen die schweren Körper, son- 
dern dass er sich die Frage stellt, wie fallen die schweren 
Körper, nach welchem Gesetze bewegt sich ein frei fal- 
lender Körper? Um nun dieses Gesetz zu ermitteln, 
schlägt er den Weg ein, dass er verschiedene Annahmen 
macht, nicht aber bei ihnen ohne weiteres bleibt, wie 
Aristoteles, sondern, dass er durch den Versuch zu er- 
fahren sucht, ob sie auch richtig sind, dass er sie prüft. 

Die erste Ansicht, auf die er verfallt, ist die fol- 
gende. Es scheint ihm annehmbar, dass sich ein frei 
fallender Körper so bewegt, da seine Geschwindigkeit 
augenscheinlich fortwährend zunimmt, dass diese die 
doppelte wird nach Zurücklegung des doppelten, die 
dreifache nach Zurücklegung des dreifachen Weges, 
kurz, dass die erlangten Geschwindigkeiten proportional 
den zurückgelegten Fallräumen wachsen. Bevor er an 
die Prüfung dieser Annahme durch das Experiment geht, 
überlegt er sie logisch, verwickelt sich aber hierbei in 
einen Fehlschluss. Er sagt, wenn ein Körper im ein- 
fachen Fallraume eine gewisse Geschwindigkeit erlangt 
hat, im doppelten Fallraume die doppelte u. s. w., wenn 
also die Geschwindigkeit im zweiten Falle doppelt so 
gross ist als im ersten, so wird der doppelte Weg in der 
gleichen Zeit zurückgelegt wie der einfache. Denken wir 
uns bei dem doppelten Fallraum zunächst die erste Hälfte 
durchlaufen, so scheint auf die zweite Hälfte gar keine 
Zeit zu entfallen. Es scheint die Fallbeweguug dann über- 
haupt momentan vorzugehen, was nicht nur der Annahme, 
sondern auch dem Augenschein widerspricht. Wir kommen 
auf diesen eigenthümlichen Trugschluss später zurück. 

3. Nachdem Galilei gefunden zu haben glaubt, dass 



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Die Entwiokelung der Prineipien der Dynamik. 123 

diese Annahme nicht haltbar sei, macht er eine zweite, 
nach welcher nämlich die erlangte Geschwindigkeit pro- 
portional ist der Fallzeit. Wenn also ein Körper fällt, 
und ein zweites mal durch die doppelte Zeit fallt, so 
soll er im zweiten Falle die doppelte Geschwindigkeit 
erreichen wie im ersten. Einen Widerspruch fand er 
in dieser Ansicht nicht; er ging darum an die Unter- 
suchung durch das Experiment, ob sich die Annahme 
mit den beobachteten Thatsachen vereinigen lasse. Die 
Annahme, dass die erlangte Geschwindigkeit proportional 
der Fallzeit sei, war schwer direct zu prüfen. Dagegen 
war es leichter, zu untersuchen, nach welchem Gesetze 
der Fallraum mit der Fallzeit wächst; er leitete darum 
aus seiner Annahme die Beziehung zwischen Fallraum 
und Fallzeit ab, und diese wurde durch das Experiment 
geprüft. Diese Ableitung ist einfach, anschaulich und 

vollkommen correct. Er 
zieht eine gerade Linie und 
schneidet auf dieser Stücke 
ab, die ihm die verflossenen 
Zeiten repräsentiren. An 
den Endpunkten derselben 
errichtet er Senkrechte (Or- 
dinaten), und diese repräsen- 
tiren die erlangten Geschwin- 
digkeiten. Irgend ein Stück G der Linie A bedeutet 
also die verflossene Fallzeit und die zugehörige Senk- 
rechte G H die erlangte Geschwindigkeit. 

Wenn wir den Verlauf der Geschwindigkeiten ins 
Auge fassen, so bemerken wir mit Galilei Folgendes. 
Betrachten wir den Moment 0, in welchem die Hälfte 
C der Fallzeit A verflossen ist, so sehen wir , dass 
die Geschwindigkeit CD auch die Hälfte der Endge- 
schwindigkeit A B ist. 

Betrachten wir nun zwei von dem Moment C gleich 
weit abstehende Zeitmomente E und G vor und nach 
demselben, so erkennen wir, dass die Geschwindigkeit 
HG die mittlere CD um denselben Betrag übersteigt 




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124 Zweites Kapitel. 

als E F hinter derselben zurückbleibt. Für jeden Mo- 
ment vor C findet sich ein entsprechender gleich weit 
abstehender nach 0. Was also in der ersten Hälfte 
der Bewegung gegen die gleichförmige Bewegung 
mit der halben Endgeschwindigkeit versäumt wird, wird 
in der zweiten Hälfte nachgeholt. Wir können den 
Fallraum als mit der halben Endgeschwindigkeit in 
gleichförmiger Bewegung zurückgelegt ansehen. Setzen 
wir also die Endgeschwindigkeit v proportional der 
Fallzeit t, so erhalten wir v = gt, wobei g die in der 
Zeiteinheit erlangte Endgeschwindigkeit (die sogenannte 
Beschleunigung) bedeutet. Der Fallraum 8 ist daher 

4 42 

gegeben durch s = — • t oder s = -^-. Wir nennen 
2 2 

eine solche Bewegung, bei welcher nach der Voraus- 
setzung in gleichen Zeiten stets gleiche Geschwindig- 
keiten zuwachsen, eine gleichförmig beschleunigte 
Bewegung. 

Wenn wir die Fallzeiten, die Endgeschwindigkeiten und 
die zurückgelegten Wege zusammenstellen, so erhalten 
wir folgende Tabelle. 



t 


V. 




8. 


1. 


lff. 


1X1« 


9 
2 


2. 


2g. 


2X2- 


9 
2 


3. 


Sg- 


3X3 


9 
2 


4 


±9 


4X4 


9 
2 


: 


: 






t 


tg. 


txt 


9 

' 2 



4. Der Zusammenhang zwischen t und s lässt sich 



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Die Entwickelang der Principien der Dynamik. 125 

experimentell prüfen, und dies hat Galilei in der sofort 
zu beschreibenden Art ausgeführt. 

Wir müssen zuvor bemerken, dass damals alle die 
Kenntnisse und Begriffe, die uns jetzt geläufig sind, 
nicht vorhanden waren, sondern dass Galilei dieselben 
erst für uns entwickeln musste. Demnach konnte er 
nicht so verfahren, wie wir es heute thun, sondern er 
musste einen andern Weg, einschlagen. Er strebte zu- 
erst die Fallbewegung zu verlangsamen, um sie genauer 
beobachten zu können. Er beobachtete Kugeln, die auf 
einer schiefen Ebene (Fallrinne) herabrollten, indem 
er annahm, dass nur die Geschwindigkeit der Bewegung 
hierbei verringert, die Form des Fallgesetzes aber nicht 
alterirt werde. Wurden vom obern Ende der Fallrinne 
an die Längen 1, 4, 9, 16 . . . abgeschnitten, so sollten 
die zugehörigen Fallzeiten durch die Zahlen 1, 2, 3, 
4 . . . . dargestellt werden, was sich auch bestätigte. Die 
Beobachtung dieser Zeiten hat Galilei auf eine höchst 
sinnreiche Weise ausgeführt. Uhren von der heutigen 
Form gab es damals nicht, diese sind erst durch die 
von Galilei begründeten dynamischen Kenntnisse mög- 
lich geworden. Die mechanischen Uhren, die gebraucht 
wurden, waren sehr ungenau, und nur zur Messung 
grösserer Zeiträume brauchbar. Ausserdem waren meist 
Wasser- und Sanduhren im Gebrauch, wie sie von den 
Alten überliefert worden waren. Galilei stellte nun 
eine solche Uhr in der einfachsten Weise her und 
richtete sie zur Messung kleiner Zeiträume besonders 
ein, was damals nicht üblich war. Sie bestand aus 
einem Wassergefäss von grossem Querschnitte mit einer 
feinen Bodenöffnung, die durch den Finger verschlossen 
wurde. Sobald die Kugel auf der schiefen Ebene ihre 
Bewegung begann, öffnete er das Gefass, und Hess das 
Wasser auf eine Wage ausfiiessen; kam sie am Ende 
der Bahn an, so schloss er es. Da sich die Druckhöhe 
der Flüssigkeit wegen des grossen Querschnittes nicht 
merklich änderte, so waren die ausgeflossenen Wasser- 
gewichte proportional der Zeit. Es zeigte sich hierbei 



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126 Zweites Kapitel. 

wirklich, dass die Zeiten blos einfach wuchsen, wäh- 
rend die Fallräume quadratisch fortschritten. Damit 
war also die Folgerung aus Galilei's Annahme und sonach 
auch die Annahme selbst durch das Experiment bestätigt. 
5. Um sich eine Vorstellung über das Verhältniss 
der Bewegungen auf der schiefen Ebene und im freien 
Falle zu bilden, macht Galilei die Annahme, dass ein 
Körper, der durch die Höhe der schiefen Ebene fallt, 
dieselbe Endgeschwindigkeit erreicht, wie ein Körper, 
der ihre Länge durchfallt. Das ist eine Annahme, die 
uns etwas gewagt erscheint; in der Weise aber, wie sie 
Galilei aufgestellt und durchgeführt hat, ist sie ganz na- 
türlich. Wir wollen versuchen, den Weg, auf dem er 
dazu geführt wurde, einfach auseinanderzusetzen. Er 
sagt: Wenn ein Körper frei herabfallt, so nimmt dessen 
Geschwindigkeit proportional der Fallzeit zu. Wenn 
nun der Körper unten angekommen ist, so denken wir 
uns die Geschwindigkeit umgekehrt und aufwärts ge- 
richtet, wir sehen dann, dass der Körper aufwärts steigt. 
Wir machen die Wahrnehmung, dass seine jetzige Be- 
wegung sozusagen ein Spiegelbild der frühern ist. Wie 
die Geschwindigkeit vorher proportional der Fallzeit 
zugenommen hat, so wird sie jetzt umgekehrt abnehmen. 
Wenn der Körper ebenso lange steigt, als er gefallen 
ist, und wenn er die ursprüngliche Höhe wieder erreicht 
hat, so ist seine Geschwindigkeit auf Null reducirt. 
Wir erkennen also, dass ein Körper vermöge der er- 
langten Fallgeschwindigkeit gerade so hoch steigt, als 
er herabgefallen ist. Wenn nun ein Körper auf der 
schiefen Ebene fallend eine Geschwindigkeit erlangen 
könnte, mit welcher er, auf eine anders geneigte Ebene 
gesetzt, höher zu steigen vermöchte, als er herabge- 
fallen ist, so könnte man durch die Schwere selbst 
eine Erhebung der Körper hervorbringen. Es liegt also 
in dieser Annahme, dass die erlangte Fallgeschwindig- 
keit lediglich von der vertic alen Fallhöhe abhängt und 
von der Neigung der Bahn unabhängig ist, nichts wei- 
ter als die widerspruchslose Auffassung und Anerkennung 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 127 

der That sache, dass die schweren Körper nicht das 
Bestreben haben zu steigen, sondern das zu sinken. 
Würden wir also annehmen, dass ein Körper auf der 
Länge der schiefen Ebene fallend, etwa eine grössere 
Geschwindigkeit erlangt als der vertical die Höhe durch- 
fallende, so könnten wir denselben mit der erlangten 
Geschwindigkeit auf eine andere schiefe oder verticale 
Ebene tibergehen lassen, auf welcher er zu einer grössern 
Verticalhöhe aufsteigen würde. Würde hingegen die 
erlangte Geschwindigkeit auf der schiefen Ebene kleiner 
sein, so brauchten wir den Process nur umzukehren, um 
dasselbe zu erreichen. In beiden Fällen könnte ein 
schwerer Körper bei passender Anordnung von schiefen 
Ebenen lediglich durch sein eigenes Gewicht fort und 
fort in die Höhe getrieben werden, was unserer instinc- 
tiven Kenntniss der Natur der schweren Körper durch- 
aus widerspricht. 

6. Galilei ist wieder nicht blos bei der philosophischen 
und logischen Erörterung seiner Annahme stehen geblie- 
ben, sondern hat dieselbe mit der Erfahrung verglichen. 

Er nimmt ein einfaches Fadenpendel, mit einer 
schweren Kugel. Erhebt er dieselbe, das Pendel elon- 
girend, bis zu einem gewissen Niveau, zu einer gewissen 
Horizontalebene, und lässt er sie dann fallen, so steigt 
sie auf der andern Seite zum selben Niveau. Wenn 
dies auch nicht genau zutrifft, so erkennt doch Galilei 
leicht den Luftwiderstand als Ursache des Zurück- 
bleibens. Man ersieht dies schon daraus, dass ein 
Korkkügelchen mehr, ein schwererer Körper weniger 
zurückbleibt. Allein abgesehen davon erreicht der 
Körper wieder dieselbe Höhe. Man kann die Bewegung 
des Pendelkörpers auf einem Kreisbogen, als Fall auf 
einer Reihe von schiefen Ebenen ungleicher Neigung 
betrachten. Leicht können wir nun mit Galilei den 
Körper auf einem andern Bogen, einer andern Folge 
von schiefen Ebenen aufsteigen lassen. Wir erreichen 
dies, indem wir auf einer Seite neben dem vertical 
hängenden Faden einen Nagel / oder g einschlagen, der 



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128 



Zweites Kapitel. 



einen Theil des Fadens hindert an der einen Hälfte der 
Bewegung theil zunehmen. Sobald der Faden in. der 
Gleichgewichtslage an diesem Nagel ankommt, wird 
die Kugel, welche durch b a gefallen ist, in einer an- 
dern Reihe von schiefen Ebenen, den Bogen am oder 
a n. beschreibend, steigen. Wenn nun die Neigung der 
Ebenen Einfluss auf die Fallgeschwindigkeit hätte, so 
könnte der Körper nicht zur selben Horizontalebene 
steigen, von der er herabgefallen ist. Dies geschieht 
aber. Man kann das Pendel für eine Halbschwingung 
beliebig verkürzen, indem man den Nagel beliebig tief 
einschlägt; die Erscheinung bleibt aber stets dieselbe. 
Schlägt man den Nagel h so tief ein, dass der Rest des 




E b 



Fadens nicht mehr zur Ebene E hinaufreicht, so über- 
schlägt sich die Kugel und wickelt den Faden um den 
Nagel herum, weil sie noch einen Rest von Geschwindig- 
keit übrig hat, wenn sie die grösste Höhe, die sie er- 
reichen kann, erreicht hat. 

7. Wenn wir nun voraussetzen, dass auf der schiefen 
Ebene dieselbe Endgeschwindigkeit erreicht wird, ob 
der Körper die Höhe oder die Länge der schiefen Ebene 
durchfällt, worin weiter nichts liegt, als die Annahme, 
dass ein Körper vermöge der erlangten Geschwindigkeit 



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Die Entwicklung der Principien der Dynamik. 129 

gerade so hoch steigt, als er gefallen ist, so kommt 
man mit Galilei sehr leicht zur Einsicht, dass die Fall- 
zeiten auf der Höhe und der Länge der schiefen Ebene 
einfach proportional sind der Höhe und der Länge dieser 
Ebene, also die Beschleunigungen verkehrt proportionirt 
dieser Fallzeit. Es wird sich also die Beschleunigung 
auf der Höhe zur Beschleunigung auf der Länge ver- 
halten, wie die Länge zur Höhe. Es sei A B die Höhe 
und A G die Länge der schiefen Ebene. Beide werden 
in gleichförmig beschleunigter Bewegung in den Zeiten 
t und t' mit der Endgeschwindigkeit v durchfallen. 
Deshalb ist 

AT* v * a An V 4 AB i 

Heissen g und g x die Beschleunigungen auf der Höhe 
und Länge, so ist 

* a 4 i 9 X t AB . 

v = gt und v=g t ^, also -±- = -- = -— = 8 in a. 

g *i A o 

Auf diese Weise ist man im Stande aus der Be- 



ArJ) 





Fig. 89. 



Fig. 90. 



schleunigung auf der schiefen Ebene die Beschleunigung 
für den freien Fall abzuleiten. 

Hieraus zieht nun Galilei einige Folgesätze, welche 
zum Theil in die elementaren Lehrbücher übergegangen 
sind. Die Beschleunigungen auf Höhe und Länge ver- 
halten sich umgekehrt proportionirt wie diese selbst. 
Lässt man also einen Körper auf der Länge der schiefen 
Ebene und zugleich einen andern frei durch die Höhe 
herabfallen, und fragt, welche Wegstücke in gleichen 
Zeiten von beiden zurückgelegt werden, so findet man 

Mach. 9 



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130 



Zweite« Kapitel. 




die Auflösung sehr einfach, indem man von B aus eine 
Senkrechte auf die Länge zieht. Während also der 
eine Körper die Höhe durchfallt, legt der andere auf 
der schiefen Ebene das Stüc£ AD zurück. 

Wenn wir um AB als Durchmesser einen Kreis 
beschreiben, so geht 
dieser durch D hin- 
durch, weil wir bei D 
einen rechten Winkel 
haben. Wir sehen nun, 
dass wir uns eine be- 
liebige Anzahl von an- 
ders geneigten schiefen 
Ebenen A E, A F durch 
A gelegt denken können, 
und dass stets die vom 
obern Durchmesserendpunkt aus gezogenen Sehnen 
AG, AH in jenem Kreise vom fallenden Körper in 
gleicher Zeit zurück- 
gelegt werden, wie A 
der verticale Durch- 
messer selbst. Da 
hierbei natürlich nur 
die Längen und 
Neigungen wesentlich 
sind, so können wir 
die Sehnen auch vom 
untern Durchmesser- 
ende aus ziehen, und 
allgemein sagen: Der 
verticale Durchmesser 
eines Kreises wird in 
derselben Zeit durchfallen wie jede von einem Durch- 
messerendpunkte in diesem Kreise gezogene Sehne. 

Wir führen noch einen weitern Folgesatz an, der 
in der hübschen Form, wie ihn Galilei gegeben hat, ge- 
wöhnlich nicht mehr in die Elementardarstellungen auf- 
genommen wird. Wir denken uns in einer Vertical- 




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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 131 

ebene) von demselben Punkt A ausgehend unter den 
verschiedensten Neigungswinkeln gegen den Horizont 
Binnen; wir legen in ihren Endpunkt A schwere Körper 
und lassen sie gleichzeitig ihre Fallbewegung beginnen. 
Es zeigt sich nun, dass zur selben Zeit sämmtliche 
Körper stets einen Kreis erfüllen. Nach Verlauf einer 
grössern Zeit befinden sie sich in einem Kreise von 
grösserm Radius, und zwar wachsen die Radien pro- 
portional dem Quadrat der Zeit. Wenn man sich die 
Rinnen nicht nur eine Ebene, sondern den Raum unter 
der durch A geführten Horizontalen vollständig ausfüllend 
denkt, so erfüllen die Körper stets eine Kugel, und die 
Kugelradien wachsen proportional dem Quadrat der 
Zeit. Man erkennt das, wenn man sich die Figur um 
die Verticale A V gedreht denkt. 

8. Wir sehen nun, wie nochmals kurz bemerkt wer- 
den soll, dass Galilei nicht etwa eine Theorie der 
Fallbewegung gegeben, sondern vielmehr das Thatsäch- 
liche der Fallbewegung vorurtheilslos untersucht und 
constatirt hat. 

Bei dieser Gelegenheit hat er seine Gedanken allmäh- 
lig denThatsachen anpassend, und dieselben überall con- 
sequent festhaltend, eine Ansicht gefunden, die viel- 
leicht weniger ihm selbst als vielmehr seinen Nachfolgern 
als ein besonderes neues Gesetz erschienen ist. Galilei 
befolgte bei allen seinen Ueberlegungen, zum grössten 
Vortheil der Naturwissenschaft, ein Princip, welohe3 man 
passend das Princip der Continuität nennen könnte. 
Hat man für einen speciellen Fall eine Ansicht ge- 
wonnen, so modificirt man allmählich in Gedanken die 
Umstände dieses Falles, soweit es überhaupt angeht, und 
sucht hierbei die gewonnene Ansicht möglichst festzu- 
halten. Es gibt kein Verfahren, welches sicherer zur 
einfachsten, mit dem geringsten Gemüths- und Ver- 
standesaufwand zu erzielenden Auffassung aller Natur- 
vorgänge führen würde. 

Der besondere Fall wird deutlicher als die allge- 
meine Bemerkung zeigen, was wir meinen. Galilei be- 

9* 



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132 Zweites Kapitel. 

trachtet einen Körper, welcher auf der schiefen Ebene 
A B herabfallt, und mit der erlangten Fallgeschwindig- 
keit auf eine andere, z. B. B C gesetzt, auf derselben 
wieder aufsteigt. Er steigt auf allen Ebenen B C, 
BD u. s. w. bis zur Horizontalebene durch A auf. So 
wie er aber auf BD mit geringerer Beschleunigung 
fallt als auf B C, so steigt er auch auf BD mit geringerer 
Verzögerung. Je mehr sich die Ebenen BC,BD, BE y 
BF der Horizontalebene nähern, desto geringer ist 
auf denselben die Verzögerung des Körpers, desto 
länger und weiter bewegt er sich auf denselben. Auf 
der Horizontalebene BH verschwindet die Verzögerung 
ganz (natürlich abgesehen von der Reibung und dem 




Fig. 93. 

Luftwiderstande), der Körper bewegt sich unendlich 
lange und unendlich weit mit constanter Geschwindig- 
keit. Indem nun Galilei bis zu diesem Grenzfall fort- 
schreitet, findet er das sogenannte Gesetz der Träg- 
heit, nach welchem ein Körper, der nicht durch be- 
sondere bewegungsändernde Umstände (Kräfte) daran 
gehindert ist, seine Geschwindigkeit (und Richtung) fort- 
während beibehält. Wir kommen hierauf alsbald zurück. 
E. Wohlwill hat in einer sehr eingehenden Unter- 
suchung („Die Entdeckung des Beharrungsgesetzes", in: 
Zeitschrift für Völkerpsychologie, 1884, XIV, S.365— 410; 
XV, S. 70—135, 337—387) gezeigt, dass die Vorgänger 
und Zeitgenossen Galilei's, ja Galilei selbst nur sehr 
allmählich, von^den aristotelischen Vorstellungen sich 
befreiend, zur Erkenntniss des Beharrungsgesetzes gelangt 
sind. Auch bei Galilei nimmt die gleichförmige Kreis- 



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Die Entwickelang der Principien der Dynamik. 133 

bewegung und die gleichförmig horizontale Be- 
wegung noch eine Sonderstellung ein. Wohlwill's Unter- 
suchung ist sehr dankenswerth und zeigt, dass Ga- 
lilei in seinen eigenen bahnbrechenden Gedanken schwer 
die volle Klarheit erreichte und häufigen Bückfallen in 
ältere Anschauungen ausgesetzt war, was von vornherein 
sehr wahrscheinlich ist. 

Uebrigens wird der Leser auch aus meiner Darstel- 
lung die Ansicht schöpfen, dass Galilei das Beharrungs- 
gesetz nicht in der Klarheit und Allgemeinheit vor- 
schwebte, welche es später gewonnen hat. (Vgl. „Er- 
haltung der Arbeit' 4 , S. 47.) Mit der eben gegebenen 
Darlegung glaube ich aber immer noch, entgegen der 
Meinung von Wohlwill und Poske, denjenigen Punkt 
bezeichnet zu .haben, der sowol Galilei als seinen Nach- 
folgern den Uebergang von der alten Vorstellung zu 
der neuen am deutlichsten zum Bewusstsein bringen 
musste. Wie wenig zur vollen Einsicht fehlte, ergibt 
sich daraus, dass Baliani ohne Schwierigkeit aus Galilei's 
Darstellung die Unzerstörbarkeit einer einmal erlangten 
Geschwindigkeit herausliest, worauf Wohlwill selbst (1. c, 
S. 112) hinweist. Es ist nicht eben auffallend, dass 
Galilei, wo es sich fast ausschliesslich um die Bewegung 
schwerer Körper handelt, das Trägheitsgesetz vor- 
wiegend auf horizontale Bewegungen anwendet. Er 
weiss jedoch, dass eine schwerlose Flintenkugel gerad- 
linig in der Richtung des Laufes fortfliegen würde („Dia- 
log über die beiden Weltsysteme", Leipzig 1891, S. 184). 
Das Zögern mit dem allgemeinen Ausdruck eines auf den 
ersten Blick so befremdlichen Satzes ist nicht wunderbar. 

9. Die Fallbewegung also, die Galilei als thatsäch- 
lich bestehend gefunden hat, ist eine Bewegung mit 
proportional der Zeit zunehmender Geschwindigkeit, 
eine sogenannte gleichförmig beschleunigte Bewegung. 

Es wäre ein Anachronismus und gänzlich unhistorisch, 
wollte man die gleichförmig beschleunigte Fallbewegung, 
wie dies mitunter geschieht, aus der constanten Wirkung 
der Schwerkraft ableiten. „Die Schwere ist eine cön- 



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134 Zweites Kapitel 

stante Kraft, folglich erzeugt sie in jedem gleichen 
Zeitelement den gleichen Geschwindigkeitszuwacha, und 
die Bewegung wird eine gleichförmig beschleunigte." 
Eine solche Darstellung wäre deshalb unhistorisch, und 
würde die ganze Entdeckung in ein falsches Licht 
stellen, weil durch Galilei erst der heutige Kraftbegriff 
geschaffen worden ist. Vor Galilei kannte man die 
Kraft nur als einen Druck. Nun kann niemand, der 
es nicht erfahren hat, wissen, dass Druck überhaupt 
Bewegung mit sich bringt, noch viel weniger aber wie 
Druck in Bewegung übergeht, dass durch den Druck 
keine Lage und auch keine Geschwindigkeit , sondern 
eine Beschleunigung bestimmt ist. Das lässt sich nicht 
herausphilosophiren. Es lassen sich darüber Ver- 
muthungen aufstellen. Die Erfahrung allein kann aber 
darüber endgültig belehren. 

10* Dass also die bewegungsbestimmenden Umstände 
(Kräfte) Beschleunigungen bestimmen, ist durchaus 
nicht selbstverständlich. Ein Blick auf andere physi- 
kalische Gebiete macht das sofort deutlich. Die Tem- 
peraturdifferenzen der Körper bestimmen auch Ver- 
änderungen. Durch die Temperaturdifferenzen sind 
aber nicht Ausgleichs b es chleunigungen r sondern 
Ausgleichsgeschwindigkeiten bestimmt. 

Dass durch die bewegungsbestimmenden Umstände 
Beschleunigungen gesetzt werden, hat Galilei in den 
Naturvorgängen erschaut. Auch andere vor ihm ha- 
ben manches erschaut. Wenn man sagt, dass jedes 
Ding seinen Ort suche, so liegt darin auch eine richtige 
Beobachtung. Die Beobachtung gilt nur nicht überall 
und ist nicht erschöpfend. Wenn wir z. B. einen Stein 
aufwärts werfen, so sucht er seinen Ort, welcher unten 
ist, nicht mehr. Die Beschleunigung gegen die Erde, 
die Verzögerung der Aufwärtsbewegung, die Galilei zu- 
erst gesehen hat, ist aber immer noch vorhanden. Seine 
Beobachtung bleibt immer richtig, sie gilt allgemeiner, sie 
erfasst viel mehr mit einem Blick. 

11. Wir haben schon erwähnt, dass Galilei ganz 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 135 

nebenher das sogenannte Gesetz der Trägheit gefunden 
hat. Ein Körper, auf welchen, wie man zn sagen 
pflegt, keine Kraft wirkt, behält seine Richtung und 
Geschwindigkeit unverändert bei. Mit diesem Gesetz 
der Trägheit ist es sonderbar zugegangen. Bei Galilei 
scheint es nie eine besondere Bolle gespielt zu haben. 
Die Nachfolger aber, namentlich Huyghens und Newton 
haben es als ein besonderes Gesetz formulirt. Ja man 
hat sogar aus der Trägheit eine allgemeine Eigenschaft 
der Materie gemacht. Man erkennt aber leicht, dass 
das Trägheitsgesetz gar kein besonderes Gesetz ist, 
sondern in der Galilei'schen Anschauung, dass alle be- 
wegungsbestimmenden Umstände (Kräfte) Beschleuni- 
gungen setzen, schon mit enthalten ist. 

In der That, wenn eine Kraft keine Lage und keine 
Geschwindigkeit, sondern eine Beschleunigung, eine 
Geschwindigkeitsänderung bestimmt, so versteht es sich, 
dass wo keine Kraft ist, auch keine Aenderung der 
Geschwindigkeit stattfindet. Man hat nicht nöthig das 
besonders auszusprechen. Nur die Befangenheit des 
Anfängers, die sich auch der grossen Forscher der 
Fülle des neuen Stoffes gegenüber bemächtigte, konnte 
bewirken, dass sie sich dieselbe Thatsache als zwei ver- 
schiedene Thatsachen vorstellten und dieselbe zwei- 
mal formulirten. 

Die Trägheit als selbstverständlich darzustellen, oder 
sie aus dem allgemeinen Satze „die Wirkung einer 
Ursache verharrt" abzuleiten, ist jedenfalls durchaus 
verfehlt. Nur ein falsches Streben nach Strenge kann 
auf solche Abwege fuhren. Mit scholastischen Sätzen, 
wie mit dem angefahrten, ist auf diesem Gebiete nichts 
zu verrichten. Man überzeugt sich leicht, dass auch 
der entgegengesetzte Satz, „cessante causa cessat effectus", 
ebenso gut passt. Nennt man die erlangte Geschwin- 
digkeit „Wirkung", so ist der erste Satz richtig, nennt 
man die Beschleunigung „Wirkung", so gilt der zweite 
Satz. 

12. Wir wollen nun die Galilei'schen Untersuchungen 



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136 



Zweites Kapitel. 



noch von einer andern Seite betrachten. Er begann 
dieselben mit den seiner Zeit geläufigen, namentlich 
durch die Technik entwickelten Begriffen. Ein solcher 
Begriff ist der Begriff Geschwindigkeit, welcher sehr 
leicht an der gleichförmigen Bewegung gewonnen wird. 
Legt ein Körper in jeder Zeitsecunde den gleichen Weg 
c zurück, so ist der nach t Secunden zurückgelegte 
Weg 8 = ct. Den in der Secunde zurückgelegten Weg 
c nennen wir die Geschwindigkeit, und finden dieselbe 
auch durch Beobachtung eines beliebigen Wegstückes 
und der zugehörigen Zeit mit Hülfe der Gleichung 

c = — , also indem wir die Maasszahl des zurückgelegten 




Weges durch die Maasszahl der verflossenen Zeit divi- 
diren. 

Galilei konnte nun seine Untersuchungen nicht voll- 
enden, ohne den hergebrachten Begriff der Geschwin- 
digkeit stillschweigend zu modificiren und zu erweitern. 
Stellen wir uns der Anschaulichkeit wegen in 1 eine 
gleichförmige, in 2 eine ungleich örmige Bewegung dar, 
indem wir nach A als Abscissen die verflossenen Zei- 
ten, nach AB als Ordinaten die zurückgelegten Wege 
auftragen. In 1 erhält man nun, man mag was immer 
für einen Wegzuwachs durch den zugehörigen Zeitzu- 
wachs dividiren, für die Geschwindigkeit c denselben 
Werth. Wollte man hingegen in 2 ebenso verfahren, 
so würde man die verschiedensten Werthe erhalten, und 



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Die Entwicklung der Prinoipien der Dynamik. 137 

der gewöhnliche Begriff „Geschwindigkeit" hat also in 
diesem Fall keinen bestimmten Sinn. Betrachtet man 
aber das Wachsthum des Weges in einem hinreichend 
kleinen Zeitelement, wobei das Curvenelement in 2 sich 
der Geraden nähert, so kann man dasselbe als gleich- 
förmig ansehen. Man kann dann als Geschwindigkeit 

As 
in diesem Bewegungselement den Quotienten -— des Zeit- 
Ar 

elementes in das zugehörige Wegelement definiren. Noch 

genauer definirt man die Geschwindigkeit in einem 

As 
Moment als den Grenzwerth, welchen der Quotient — 

Af 

bei unendlich klein werdenden Elementen annimmt^ 

ds 
welchen man durch — bezeichnet. Dieser neue Begriff 
at 

enthält den frühern als speciellen Fall in sich, und er 
ist ohne weiteres auch auf die gleichförmige Bewegung 
anwendbar. Wenngleich die ausdrückliche Formulirung 
dieses erweiterten Begriffes erst lange nach Galilei 
stattgefunden hat, so sieht man doch, dass er diesen 
Begriff in seinen Gedanken anwendet. 

13. Ein ganz neuer Begriff, auf den Galilei geführt 
wurde, war der Begriff Beschleunigung. Bei der 
gleichförmig beschleunigten Bewegung wachsen die Ge- 
schwindigkeiten mit der Zeit nach demselben Gesetz, 
wie bei der gleichförmigen die Wege mit den Zeiten. 
Nennen wir v die nach der Zeit t erlangte Geschwin- 
digkeit, so ist v = gt. Hierbei bedeutet g den Ge- 
schwindigkeitszuwachs in der Zeiteinheit oder die Be- 
schleunigung, die man auch durch die Gleichung 

v 
g = j erhält. Dieser Begriff der Beschleunigung musste 

eine ähnliche Erweiterung erfahren wie der Begriff der 
Geschwindigkeit, als man anfing, ungleichförmig be- 
schleunigte Bewegungen zu untersuchen. Denken wir 
uns in 1 und 2 wieder die Zeiten als Abscissen, aber 
die Geschwindigkeiten als Ordinaten aufgetragen, 



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188 



Zweites Kapitel. 



so können wir die ganze frühere Betrachtung wieder- 
holen, und die Beschleunigung definiren durch — , wo- 

dt 

bei dv einen unendlich kleinen Geschwindigkeitszuwachs, 
dt den entsprechenden Zeitzuwachs bedeutet. In der 
Bezeichnung der Differentialrechnung haben wir für 
die Beschleunigung einer geradlinigen Bewegung auch 
__ do d*s 

9 -"dt-~d7*' 

Die eben entwickelten Begriffe entbehren auch nicht 
der Anschaulichkeit. Trägt man die Zeiten als Abscissen 
und die Wege als Ordinaten auf, so erkennt man, dass 
für jeden Moment die Steigung der Wegcurve die 





Geschwindigkeit misst. Stellt man in ähnlicher Weise 
Zeiten und Geschwindigkeiten zusammen, so wird die 
momentane Beschleunigung durch die Steigung der Ge- 
schwindigkeitscurye gemessen. Den Verlauf dieser letz- 
tern Steigung erkennt man aber auch schon an der 
Krümmung der Wegcurve, wie man durch folgende 
Ueberlegung sieht. Denken wir uns in gewohnter 
Weise durch die Gerade ÖGD eine gleichförmige Be- 
wegung dargestellt. Vergleichen wir hiermit eine Be- 
wegung OCE, deren Geschwindigkeit in der zweiten 
Hälfte der Zeit grösser und eine andere Bewegung 
OCF, deren Geschwindigkeit entsprechend kleiner ist. 
Wir haben also für die Zeit OB= 20 A im ersten Fall 
mehr als BD=2AC, im zweiten Fall weniger als Or- 
dinate aufzutragen. Wir erkennen nun ohne Schwierig- 



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Die Entwicklung der Prinoipien der Dynamik. 139 

keit, dass der beschleunigten Bewegung eine gegen die 
Zeitabscissenaxe convexe, der verzögerten eine concave 
Wegcurve entspricht. Denken wir uns einen in verti- 
caler Richtung irgendwie bewegten Schreibstift, an 
welchem während der Bewegung das Papier von rechts 
nach links gleichmässig vorbeigeschoben würde, und 
welcher die Zeichnung Fig. 96 ausgeführt hätte, so 
können wir an derselben die Eigentümlichkeiten der 
Bewegung ablesen. Bei a war die Geschwindigkeit des 
Stiftes aufwärts gerichtet, bei b war sie grösser, bei c 
war sie = o, bei d abwärts gerichtet, bei e wieder = o. 
Die Beschleunigung ist bei a, 6, el, e aufwärts, bei c 
abwärts gerichtet; bei c und e ist sie am grössten. 

14. Wenn wir, was Galilei gefunden hat, übersicht- 
lich zusammenstellen, so wird dies am deutlichsten durch 
die Tabelle, welche ein Verzeichniss der zusammenge- 



t . 


V ' 


8 


1 


9 


>l 


2 


2g 


.4 


3 


Sff 


•§■ 


t 


tff 


i'i 



2 

hörigen Zeiten, erlangten Geschwindigkeiten und der zu- 
rückgelegten Wege enthält. Da aber der Inhalt der Tabelle 
nach einem so einfachen Gesetz fortschreitet, welches man 
sofort erkennt, so steht nichts im Wege, die ganze 
Tabelle durch eine Herstellungsregel der Tabelle zu 
ersetzen. Betrachtet man den Zusammenhang der ersten 
und zweiten Columne, so ist dieser darstellbar durch 
die Gleichung v=gt, die im Grunde nichts ist als eine 
Anweisung, die Tabelle zu bilden. Der Zusammen- 



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140 Zweites Kapitel. 

hang der ersten und dritten Columne wird durch 

t 2 
$ = — - gegeben. Der Zusammenhang der zweiten und 

dritten Columne lässt sich durch 8 = -^— darstellen. 

2g 

Von den drei Beziehungen 

v = gt 

verwendet Galilei eigentlich nur die beiden ersten. 
Die dritte hat erst Huyghens mehr gewürdigt, und da- 
durch bedeutende Fortschritte begründet. 

15. An die Tabelle können wir gleich eine Bemer- 
kung anknüpfen, welche sehr aufklärend ist. Es wurde 
schon gesagt, dass ein Körper vermöge der erlangten 
Fallgeschwindigkeit wieder zur ursprünglichen Höhe 
aufsteigen kann, wobei seine Geschwindigkeit in der- 
selben Weise (der Zeit und dem Räume nach) ab- 
nimmt, als sie beim Herabfallen zugenommen hat. Ein 
frei fallender Körper erhält nun in der doppelten Fall- 
zeit die doppelte Geschwindigkeit, fallt aber in dieser 
doppelten Fallzeit durch die vierfache Fallhöhe. Ein 
Körper also, dem wir die doppelte Geschwindigkeit 
vertical aufwärts ertheilen, wird doppelt so lange 
Zeit, aber viermal so hoch vertical aufsteigen als ein 
Körper mit der einfachen Geschwindigkeit. 

Man hat sehr bald nach Galilei bemerkt, dass in der 
Geschwindigkeit eines Körpers etwas einer Kraft Ent- 
sprechendes steckt, d. h. etwas, wodurch eine Kraft 
überwunden werden kann, eine gewisse „Wirkungs- 
fähigkeit", wie dieses Etwas passend genannt worden 
ist. Nur darüber hat man gestritten, ob diese Wirkungs- 
fahigkeit proportional der Geschwindigkeit oder pro- 
portional dem Quadrate der Geschwindigkeit zu 



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nPtR 



Die Entwicklung der Principien der Dynamik. 141 

schätzen sei. Die Cartesianer glaubten das erstere, 
die Leibnitzianer das letztere. Man erkennt nun, dass 
darüber gar nicht zu streiten ist. Der Körper mit der 
doppelten Geschwindigkeit überwindet eine gegebene 
Kraft durch die doppelte Zeit, aber durch den vier- 
fachen Weg. Der Zeit nach ist also seine Wirkungs- 
fahigkeit der Geschwindigkeit, dem Wege nach dem 
Quadrate der Geschwindigkeit proportional. D'Alembert 
hat auf dieses Misverständniss, wenngleich in nicht sehr 
deutlichen Ausdrücken, aufmerksam gemacht. Es ist 
jedoch hervorzuheben, dass schon Huyghens über dieses 
Verhältniss durchaus klar dachte. 

16. Das experimentelle Verfahren, durch welches 
gegenwärtig die Fallgesetze geprüft 
werden, ist von jenem Galilei's etwas 
verschieden. Man kann zwei Wege ein- 
sehlagen. Entweder man verlangsamt 
die rasche und schwer direct zu beob- 
achtende Fallbewegung ohne Aenderung 
des Gesetzes derart, dass sie bequem 
beobachtbar wird, oder man ändert die p jl 
Fallbewegung gar nicht, und verfeinert . 

die Beobachtungsmittel. Auf dem ersten v * 

Princip beruht die Galilei'sche Fallrinne und die At- 
wood'sche Maschine. Die Atwood'sche Maschine besteht 
aus einer leichten Bolle (Fig. 97), über welche ein Faden 
gelegt ist, dessen Enden mit zwei gleichen Gewichten 
P versehen sind. Legt man dem einen Gewicht P ein 
kleines Gewichtchen p zu, so beginnt durch das Ueber- 
gewicht eine gleichförmig beschleunigte Bewegung mit 

P 

der Beschleunigung g, was sich leicht ergeben 

2 P + p 
wird, wenn wir den Begriff „Masse" erörtert haben 
werden. Es ist nun leicht an einer mit der Bolle ver- 
bundenen Messleiste nachzuweisen, dass in den Zeiten 
1, 2, 3, 4 die Wege 1, 4, 9, 16 zurück- 
gelegt werden. Die einer gegebenen Fallzeit ent- 
sprechende Endgeschwindigkeit untersucht man, indem 



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142 Zweites Kapitel 

man das längliche Zuleggewicht p durch einen Ring 
abfasst und die Bewegung ohne Beschleunigung fort- 
setzen lässt. 

Auf einem andern Princip beruht der Apparat von 
Morin. Ein mit einem Schreibstift versehener Körper 
beschreibt auf einem durch ein Uhrwerk gleichmässig 
vorbeigeschobenen verticalen Papierblatt eine horizon- 
tale Gerade. Fällt der Körper ohne Papierbewegung, 
so zeichnet er eine verticale Gerade. Werden beide 
Bewegungen combinirt, so entsteht eine Parabel, in 
welcher die horizontalen Abscissen den verflossenen 
Zeiten, die verticalen Ordinaten den zurückgelegten 
Fallräumen entsprechen. Für die Abscissen 1, 2, 3, 4 
erhält man die Ordinaten 1, 4, 9, 16 ... . Nebensäch- 
lich ist es, dass Morin statt des ebenen Papierblattes 
eine rasch rotirende cylindrische Trommel mit verti- 
caler Axe verwendet, neben welcher ein Körper an einer 
Drahtführung herabfallt. Ein anderes Verfahren nach 
demselben Princip haben unabhängig voneinander La- 
borde, Lippich und v. Babo angewendet. Eine berusste 
Glasschiene, Fig«98a, fällt frei vertioal herab, während ein 
horizontal schwingender verticaler Stab, der beim ersten 
Durchgang durch seine Gleichgewichtslage die Fallbe- 
wegung auslöst, eine Curve auf der Schiene verzeichnet. 
Wegen der constanten Schwingungsdauer des Stabes und 
der zunehmenden Fallgeschwindigkeit, werden die vom 
Stabe verzeichneten Wellen immer länger. Es ist Fig. 98 
b c = Sab, cd = 5 ab, de = 7 ab u. s. w. Das Fall- 
gesetz zeigt sich hierin deutlich, da a5+ci = 4a&, 
o6-|-Jc+cd = 9aJu. s. w. Das Geschwindigkeits- 
gesetz bestätigt sich durch die Tangentenneigungen in 
den Punkten ö, &, c, d u. s. w. Bestimmt man die 
Schwingungsdauer des Stabes, so ergibt sich aus einem 
derartigen Versuch der Werth von g mit beträchtlicher 
Genauigkeit. 

Wheatstone hat zur Messung kleiner Zeiten ein rasch 
laufendes Uhrwerk (Chronoskop) verwendet, welches zu 
Anfang der zu messenden Zeit in Gang gesetzt, zu Ende 



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Die Entwickelang der Principien der Dynamik. 143 

derselben wieder angehalten wird. Hipp hat dieses 
Verfahren dahin zweckmässig modificirt, dass in das 
rasch laufende, durch eine hochtönende Feder (statt der 




Fig. 98 a. 

Unruhe) regulirte Uhrwerk nur ein Zeiger von geringer 
Masse ein- und ausgeschaltet wird. Die Ausschaltung 
geschieht durch einen elektrischen Strom. Wird nun, 



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144 Zweites Kapitel. 

sobald der Körper zu fallen beginnt, der Strom unter- 
brochen (also der Zeiger eingeschaltet), und sobald der 
Körper am Ziel ankommt, der Strom wieder geschlossen 
(also der Zeiger wieder ausgeschaltet), so kann man an 
dem vom Zeiger zurückgelegten Weg die Fallzeit ab- 
lesen. 

17. Von den fernem Arbeiten Galilei' s haben wir 
noch zu erwähnen seine Gedanken über die Pendel- 
bewegung, seine Widerlegung der Meinung, dass Körper 
von grösserm Gewicht rascher fallen als Körper von 
geringerm Gewicht. Auf beide Punkte kommen wir 
noch bei einer andern Gelegenheit zurück. Hier mag 
noch bemerkt werden, dass Galilei die constante Dauer 
der Pendelschwingungen erkennend, das einfache Faden- 
pendel sofort zu Pulszählungen am Krankenbett, sowie 
zu astronomischen Beobachtungen in Vorschlag gebracht, 
und theilweise auch selbst verwendet hat. 

18. Von grösserer Wichtigkeit sind noch die Unter- 
suchungen über den Wurf. Ein freier Körper erfahrt 
nach der Galilei'schen Vorstellung stets eine Vertical- 
beschleunigung g gegen die Erde. Ist er schon zu 
Anfang der Bewegung mit einer Verticalgeschwindigkeit 
c behaftet, so wird nach der Zeit t seine Geschwindig- 
keit v == c -f- g t. Hierbei hätte man eine Anfangsge- 
schwindigkeit aufwärts negativ zu rechnen. Der nach 
der Zeit t zurückgelegte Weg ist dargestellt durch 

s = a -f- et H — , wobei c t und — — dieWegantheile 

2 2 

sind, welche beziehungsweise der gleichförmigen und der 
gleichförmig beschleunigten Bewegung entsprechen. Die 
Constante a ist = o zu setzen, wenn wir den Weg von dem 
Punkte an zählen, welchen der Körper zur Zeit t = o 
passirt. Nachdem Galilei bereits seine Hauptgesichts- 
punkte gewonnen hatte, erkannte er sehr leicht den 
horizontalen Wurf als eine Combination zweier vonein- 
ander unabhängiger Bewegungen, einer horizontalen 
gleichförmigen und einer verticalen gleichförmig beschleu- 
nigten. Er brachte dadurch das Princip des Bewegung s- 



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Die Entwiokehmg der Prinoipien der Dynamik. 145 

Parallelogramms in Gebrauch. Auch der schiefe Wurf 
konnte ihm keine wesentlichen Schwierigkeiten mehr 
bereiten. 

Erhält ein Körper eine Horizontalgeschwindigkeit e, 
so legt er in der Zeit t in horizontaler Richtung den 
Weg y = et zurück, während er in verticaler Richtung 

et 3 



um die Strecke x = — sinkt 
2 



Verschiedene bewe- 



gungsbestimmende Umstände beeinflussen sich gegen- 
seitig nicht, und die durch dieselben bestimmten Be- 
wegungen gehen unabhängig voneinander vor. Zu 
dieser Annahme ist Galilei durch aufmerksame Betrachtung 




Fig. 99. 



Fig. 100. 



der Vorgänge geführt worden, und sie hat sich be- 
währt. 

Für die Curve, welche ein Körper bei Combi- 
nation der beiden Bewegungen beschreibt, findet man 
durch Verwendung der beiden angeführten Gleichungen 

\ r 2 c 2 

V = y x. Sie ist eine Apollonische Parabel mit 

c* 
dem Parameter — und mit verticaler Axe, wie Galilei 

9 
wusste. 

Leicht erkennen wir mit Galilei, dass der schiefe 
Wurf keinen neuen Fall darbietet. Die Geschwindig- 

Mach. 10 



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146 Zweites Kapitel. 

keit c, welche unter dem Winkel a gegen den Hori- 
zont einem Körper ertheilt wird, zerlegt sich in die 
Horizontalcomponente c • cos a und in die Verticalcom- 
ponente c • sin a. Mit letzterer steigt der Körper durch 
dieselbe Zeit t auf, welche er benöthigen würde, um vertical 
herabfallend diese Geschwindigkeit zu erlangen. Es ist 
also c • sin a = g t. Dann hat er seine grösste Höhe er- 
reicht, die Verticalcomponente seiner Anfangsgeschwindig- 
keit ist verschwunden, und die Bewegung setzt sich von S 
aus als horizontaler Wurf fort. Betrachtet man Mo- 
mente, welche um gleiche Zeiten von dem Durchgang 
durch S vor und nachher abstehen, so sieht man, dass 
der Körper in beiden von dem Loth durch S gleich 
weit absteht, und gleich tief unter der Horizontalen 
durch S sich befindet. Die Curve ist also symmetrisch 
in Bezug auf die Yerticale durch S. Sie ist eine Pa- 
rabel mit verticaler Axe und dem Parameter — . 

9 
n Um die sogenannte Wurfweite 

zu finden, brauchen wir nur die 
Horizontalbewegung während 
der Zeit des Auf- und Ab- 
steigens zu betrachten. Diese 
Fig. 101. 2 e ft .^ ^ £ fts aufsteigen nach 

dem Obigen t = 1!^L? und dieselbe für das Absteigen. 

Mit der Horizontalgeschwindigkeit c • cos a wird also 
der Weg zurückgelegt: 

c sin ol c* Ä . g* . ck 

w = c cos a • 2 = — 2 ein a cos a = — sm J a 

9 9 9 

Die Wurfweite ist demnach am grössten für a = 45 °, und 
gleich gross für die beiden Winkel a = 45 ° ± ß °. 

19. Wichtig ist die Erkenntniss der Unabhängigkeit 
der in der Natur vorkommenden bewegungsbestimmen- 
den Umstände (Kräfte) voneinander, welche bei der 
Untersuchung des Wurfes gewonnen wurde, und zum 
Ausdrucke kam. Ein Körper kann sich nach AB be- 




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Die Entwickeluog der Principien der Dynamik. 147 

wegen (Fig. 101), während der Raum, in welchem diese 
Bewegung stattfindet, sich nach A C verschiebt. Der 
Körper gelangt dann von A nach D. Das findet nun 
auch statt, wenn die beiden Umstände, welche die Be- 
wegungen A B und A G in derselben Zeit bestimmen, 
aufeinander keinen Einfluss haben. Es ist leicht ersicht- 
lich, dass man nach dem Parallelogramm nicht allein 
stattgehabte Verschiebungen, sondern auch augenblicklich 
statthabende Geschwindigkeiten und Beschleunigungen 
zusammensetzen kann. 

Galilei's Auffassung der Wurfbewegung, als eines aus 
zwei verschiedenen voneinander unabhängigen Bewegungen 
zusammengesetzten Vorganges, leitet eine ganze Reihe 
analoger wichtiger Erkenntnissprocesse ein. Man kann 
sagen, dass es ebenso wichtig ist, die Unabhängigkeit 
zweier Umstände A und B voneinander, als die Ab- 
hängigkeit zweier Umstände A und C zu erkennen. 
Denn ersteres befähigt uns erst, den letzteren Zusammen- 
hang ungestört zu verfolgen. Man bedenke, wie sehr 
die mittelalterliche Naturforschung durch die Annahme 
nicht bestehender Abhängigkeiten behindert war. Analog 
dem Galilei'schen Fund ist der Satz des Kräftenparallelo- 
gramms von Newton, die Zusammensetzung der Saiten- 
schwingungen von Sauveur, die Zusammensetzung der 
Wärmebewegungen von Fourier. Durch letztern Forscher 
dringt die Methode der Zusammensetzung einer Erschei- 
nung aus voneinander unabhängigen Theilerscheinungen, 
in Form der Darstellung des allgemeinen Integrals als 
Summe von partieulären Integralen, in alle Gebiete der 
mathematischen Physik ein. Die Zerlegung der Vor- 
gänge in voneinander unabhängige Theile hat P. Volk- 
mann in treffender Weise als Isolation, die Zusammen- 
setzung eines Vorganges aus solchen Theilen als Super- 
position bezeichnet. Beide Processe zusammen gestatten 
uns erst stückweise zu begreifen, oder in Gedanken 
zu reconstruiren , was uns auf einmal unfassbar ist. 

„Nur in den seltensten Fällen tritt uns die Natur 
mit ihrer Fülle der Erscheinungen einheitlich gegenüber, 

10* 



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148 Zweites Kapitel. 

in der Mehrzahl der Fälle trägt die Erscheinungswelt 
im Gegentheil einen durchaus zusammengesetzten 
Charakter . . . ., dann wird es eine der Aufgaben unserer 
Erkenntniss sein müssen, die Erscheinungen, wie sie sich 
bieten, aus einer Reihe von Theilerscheinungen zusammen- 
gesetzt aufzufassen und zunächst diese Theilerscheinungen 
in ihrer Reinheit zu studiren. Erst wenn wir wissen, 
welchen Antheil jeder Umstand einzeln an der Gesammt- 
ersch einung trägt, dann beherrschen wir das Ganze . . . ." 
Vgl. Volkmann, „Erkenntnisstheoretische Grundzüge der 
Naturwissenschaft", 1896, S. 70. — Vgl. ferner „Prin- 
cipien der Wärmelehre", S. 123, 151, 452. 

2. Die Leistungen von Huyghens. 

1. Huyghens ist in allen Stücken als ein ebenbürtiger 
Nachfolger Galilei's ^zu betrachten. War vielleicht auch 
seine philosophische Begabung etwas geringer als jene 
Galilei's, so übertraf er denselben wieder durch 
sein geometrisches Talent. Huyghens führte die von 
Galilei begonnenen Untersuchungen nicht nur weiter, 
sondern löste auch die ersten Aufgaben der Dynamik 
mehrerer Massen, während sich Galilei durchweg nur 
auf die Dynamik eines Körpers beschränkt hatte. 

Die Fülle der Leistungen von Huyghens zeigt sich 
schon in seinem 1673 erschienenen „Horologium oscil- 
latorium". Die wichtigsten darin zum ersten mal be- 
handelten Themen sind: die Lehre vom Schwingungs- 
mittelpunkt, die Erfindung und Construction der Pen- 
deluhr, die Erfindung der Unruhe, die Bestimmung der 
Schwerebeschleunigang g durch Pendelbeobachtungen, 
ein Vorschlag betreffend die Verwendung der Länge des 
Secundenpendels als Längeneinheit, die Sätze über die 
Centrifugalkraft, die mechanischen und geometrischen 
Eigenschaften der Cycloide, die Lehre von den Evoluten 
und dem Krümmungskreis. 

2. Was die Form der Darstellung betrifft, so ist zu 
bemerken, dass Huyghens mit Galilei die erhabene und 
unübertreffliche vollkommene Aufrichtigkeit theilt. Er 



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Die Entwickelung der Prineipien der Dynamik. 149 



ist ganz offen in Darlegung 
der Wege, welche ihn zu 
seinen Entdeckungen ge- 
leitet haben, und führt da- 
durch den Leser in das 
volle Verständniss seiner 
Leistungen ein. Er hat 
auch keine Ursache diese 
Wege zu verbergen. Wird 
_man auch nach einem Jahr- 
tausend noch sehen, dass 
er ein Mensch war, so wird 
man doch zugleich bemer- 
ken, was für ein Mensch 
er war. In Bezug auf 
unsere Besprechung der 
Huyghens'schen Leistungen 
müssen wir aber etwas an- 
ders verfahren als bei Ga- 
lilei. Galilei's Betrach- 
tungen in ihrer classischen 
Einfachheit konnten wir 
fast unverändert mitthei- 
len. Das geht bei Huyghens' 
Arbeiten nicht an. Der- 
selbe behandelt viel com- 
plicirtere Aufgaben, seine 
mathematischen Methoden 
und Bezeichnungen fan- 
gen an unzureichend und 
schwerfällig zu werden. 
Wir wenden also Wer Kürze 
wegen) alles in modernerer 
Form aber mit Festhal- 
tung der wesentlichen und 
maassgebenden Gedanken 
wiedergeben. 

3. Wir beginnen mit den 




Huyghens' Pendeluhr. 



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150 



Zweites Kapitel. 




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Die Entwickelung der Prineipien der Dynamik. 151 

Untersuchungen über die Centrifugalkraft. Hat man ein- 
mal die Galilei'sche Erkenntniss, dass die Kraft eine 
Beschleunigung bestimmt, in sich aufgenommen, so ist 
es unvermeidlich, jede Abänderung einer Geschwindig- 
keit, und folglich auch jede Abänderung einer Bewegungs- 
richtung (weil diese durch drei zueinander senk- 
rechte Geschwindigkeitscomponenten bestimmt ist) auf 
eine Kraft zurückzuführen. Wenn ajso ein Körper 
(etwa ein Stein) an einem Faden gleichmässig im Kreise 
geschwungen wird, so ist diese krummlinige Bewegung 
nur durch eine fortwährende aus der geradlinigen Bahn 
ablenkende Kraft verständlich. Die Spannung des 
Fadens ist diese Kraft, durch dieselbe wird der Körper 
fortwährend aus der geradlinigen Bahn gegen den 
Mittelpunkt des Kreises abgelenkt. Diese Spannung 
stellt also eine Centripetalkraft vor. Andererseits wird 
durch die Fadenspannung auch die Axe oder der feste 
Mittelpunkt des Kreises ergriffen, und insofern zeigt 
sich diese Fadenspannung als Centrifugalkraft. 

"Wir denken uns nun einen Körper, dem einmal eine 
Geschwindigkeit ertheilt wurde, und der nun durch eine 
stets nach dem Kreismittelpunkt gerichtete Beschleunigung 
in der gleichförmigen Kreisbewegung erhalten wird. Wo- 
von diese Beschleunigung abhängt, wollen wir jetzt unter- 
suchen. Wir denken uns zwei gleiche Kreise (Fig. 102) von 
zwei Körpern gleichmässig durchlaufen, die Geschwindig- 
keiten in I und II sollen sich wie 1 : 2 vergalten. Be- 
trachten wir in beiden dasselbe dem sehr kleinen Win- 
kel ol entsprechende Bogenelement , so ist auch das 
entsprechende Wegelement s, um welches sich die 
Körper vermöge der Centripetalbeschleunigung aus der 

geradlinigen Bahn (der Tangente) entfernt haben, das- 

selbe. Nennen wir cp t und qp a die zugehörigen Be- 

schleunigungen, x und — die betreffenden Zeitele- 

mentefür den Winkel a, so finden wir nach Galilei' s Gesetz: 

?i = ^7-> ?2 = 4 -^r also 92 = 4 ?*• 



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152 Zweites Kapitel. 

In gleichen Kreisen findet sich also, durch Verallge- 
meinerung der Betrachtung, die Centripetalbeschleunigung 
proportional dem Quadrate der Bewegungsgeschwindig- 
keit. 

Betrachten wir nun die Bewegung in den Kreisen I 
und II (Fig. 103), deren Radien sich wie 1 : 2 verhalten, und 
nehmen wir für das Verhältniss der Bewegungsgeschwindig- 
keiten ebenfalls 1 : 2, sodass also ähnliche Bogenelemente 
in gleichen Zeiten durchlaufen werden. 9,, 9 2 , 5 > 2 s 
bezeichnen die Beschleunigungen und Wegelemente, 
T ist das für beide Fälle gleiche Zeitelement. 

2s 4 s . 

9i = ^T ' ?2 = ^T' also 92 = 2 (fr. 

Reducirt man nun die Bewegungsgeschwindigkeit in 
II auf die Hälfte, sodass die Geschwindigkeit in I und 





Fig. 102. Fig. 103. 

II gleich wird, so wird dadurch q> 2 auf den vierten 

Theil, also auf — reducirt. Verallgemeinernd finden 

Jt 
wir die Centripetalbeschleunigung bei gleicher Be- 
wegungsgeschwindigkeit dem Kreisradius umgekehrt 
proportional. 

4. Die alten Forscher fanden durch ihre Betrachtungs- 
weise die Sätze meist in der schwerfalligen Form von Pro- 
portionen. Wir wollen nun einen andern Weg einschlagen. 
Auf ein Bewegliches von der Geschwindigkeit v wirke eine 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 153 

Kraft, welche ihm senkrecht zur Bewegungsrichtung die 
Beschleunigung 9 ertheilt, durch das Zeitelement ? ein. 
Die neue Geschwindigkeitscomponente wird $t, und die 
Zusammensetzung mit der frühem Geschwindigkeit er- 
gibt eine neue Bewegungsrichtung, welche den Winkel 
ol mit der ursprünglichen einschliesst. Hierbei ergibt 
sich, indem wir die Bewegung als in einem Kreise vom 
Radius r vorgehend denken, und wegen der Kleinheit 
des "Winkelelementes tang a= a setzen, 



21 = 

V 



tang a = a = — oder © = — 
r T r 



als vollständiger Ausdruck für die Centripetalbeschleu- 
nigung einer gleichförmigen Kreisbewegung. 





Fig. 104. 



Fig. 105. 



Die Vorstellung einer gleichförmigen durch eine con- 
stante Centripetalbeschleunigung bedingten Kreisbewe- 
gung hat etwas Paradoxes. Das Paradoxe liegt in der 
Annahme einer fortwährenden Beschleunigung gegen das 
Centrum ohne wirkliche Annäherung, und ohne Ge- 
schwindigkeitszuwachs. Dasselbe vermindert sich, wenn 
man bedenkt, dass ohne diese Centripetalbeschleunigung 
eine fortwährende Entfernung des Beweglichen vom 
Centrum auftreten würde, dass die Richtung der Be- 
schleunigung sich fortwährend ändert, und dass eine 
Geschwindigkeitsänderung (wie sich bei Besprechung 
des Princips der lebendigen Kräfte zeigen wird) an 



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154 Zweites Kapitel. 

eine Annäherung der einander beschleunigenden Körper 
geknüpft ist, die hier nicht stattfindet. Der com- 
plicirtere Fall der elliptischen Centralbewegung ist 
in dieser Richtung aufklärend. 

5. Der Ausdruck für die Centripetal- oder Centri- 

v 2 
fugalbeschleunigung 9 = — kann leicht noch in eine 

andere Form gebracht werden. Nennen wir die Um- 
laufszeit der Kreisbewegung T , so ist v T = 2 r K und 

4 r 7c 2 
demnach <p = — =j— , in welcher Form wir den Aus- 
druck später verwenden werden. Bewegen sich mehrere 
Körper mit der gleichen Umlaufszeit in Kreisen, so sind 
die zugehörigen Centripetalbeschleunigungen, durch 
welche sie in diesen Bahnen erhalten werden, wie es 
aus dem letzten Ausdruck ersichtlich ist, den Radien 
proportional. 

6. Die Erscheinungen, welche die ausgeführten Be- 
trachtungen erläutern, wie das Abreissen nicht genügend 
starker Fäden, an welchen Körper geschwungen werden, 
die Abplattung weicher rotirender Kugeln u. s. w. wollen 
wir als bekannt voraussetzen. Huyghens konnte mit 
Hülfe seiner Anschauung sofort eine ganze Reihe von Er- 
scheinungen erklären. Als z. B. eine Pendeluhr, welche 
durch Richer (1671 — 1673) von Paris nach Cayenne 
gebracht worden war, einen verzögerten Gang annahm, 
leitete Huyghens aus der bedeutendem Centrifugal- 
beschleunigung der rotirenden Erde am Aequator die 
scheinbare Verminderung der Schwerebeschleunigung 
g ab, wodurch die Beobachtung sofort verständlich 
wurde. 

Ein hierher gehöriges Experiment wollen wir seines 
historischen Interesses wegen noch erwähnen. Als Newton 
seine Theorie der allgemeinen Gravitation entwickelte, 
gehörte Huyghens zu der grossen Zahl derjenigen, welche 
sich mit dem Gedanken einer Fernwirkung nicht zu 
befreunden vermochten. Er meinte vielmehr die Gravi- 



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Die Entwickelung der Prinoipien der Dynamik. 155 

tation durch die rasch bewegten Theile eines Mediums 
erklären zu können. Schliesst man in ein gänzlich 
mit Flüssigkeit erfülltes Gefäss einige leichtere Körper, 
etwa Holzkugeln in Wasser, ein, und versetzt das Ge- 
fass um eine Axe in Rotation, so sieht man alsbald die 
Holzkugeln der Axe zueilen. Setzt man z. B. die Glas- 
röhre B JR mit den Holzkugeln K K mit Hülfe des 
Zapfens Z auf einen Rotationsapparat, und rotirt um 
die verticale Axe, so laufen die Kugeln, sich von der 
Axe entfernend, alsbald bergan. Wird aber die Röhre 
mit Wasser gefüllt, so treibt jede Rotation die an den 
Enden E E schwimmenden Kugeln gegen die Axe. Die 
Erscheinung erklärt sich einfach durch ein Analogon des 
Princips von Archimedes. Die Kugeln erhalten einen 
centripetalen Auftrieb, welcher der an der verdräng- 
ten Flüssigkeit wirkenden 
Centrifugalkraft gleich 
und entgegengesetzt ist. 
Schon Descartes dachte 
daran, den centripetalen 
Auftrieb schwimmender 
Körper in einem wirbeln- 
den Medium auf diese 
Weise zu erklären. Huy- 
ghens bemerkt aber mit 
Recht, dass man dann F{ + m - 

annehmen müsste, dass dann die leichtesten Körper 
den stärksten centripetalen Auftrieb erfahren müssten, 
und dass überhaupt alle schweren Körper leichter sein 
müssten als das wirbelnde Medium. Huyghens bemerkt 
ferner, dass analoge Erscheinungen an beliebigen 
Körpern auftreten müssen, welche die Wirbelbewegung 
nicht mitmachen, also ohne Centrifugalkraft in einem 
wirbelnden, also mit Centrifugalkraft behafteten Medium 
sich befinden. Eine Kugel z. B. aus beliebigem Stoff, 
nur auf einem fixen Radius (Draht) beweglich, wird 
in dem wirbelnden Medium gegen die Rotationsaxe 
getrieben. 




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156 Zweites Kapitel. 

Huyghens legt in ein geschlossenes Gefäss mit Wasser 
Siegellackstückchen, die etwas schwerer sind als Wasser, 
und die deshalb den Boden berühren. Rotirt das Ge- 
fäss, so drängen sich die Siegellackstückchen an den 
äussern Band des Gefässes. Bringt man hingegen das 
Gefäss plötzlich zu Ruhe, so rotirt das Wasser weiter, 
während die den Boden berührenden und rascher an der 
Bewegung verhinderten Siegellackstückchen nun nach 
der Axe des Gefässes getrieben werden. In diesem 
Vorgang sah Huyghens ein Bild der Schwere. Ein in 
einem Sinne herumwirb ein der Aether schien seinem 
Bedürfniss nicht zu entsprechen. Derselbe hätte nach 
seiner Meinung schliesslich alles mit sich reissen müssen. 
Er nahm deshalb rasch nach allen Richtungen bewegte 
Aethertheilchen an, bei welchen jedoch, wie er meinte, 
ein Uebergewicht kreisförmiger Bewegungen gegenüber 
den radialen in einem abgeschlossenen Räume sich von 
selbst herstellen müsste. Dieser Aether schien ihm zur 
Erklärung der Schwere ausreichend. Die ausführliche 
Darstellung dieser kinetischen Theorie der Schwere findet 
sich in Huyghens* Abhandlung „Ueber die Ursache der 
Schwere" (deutsch von Mewes, Berlin 1893). Vgl. auch 
Lasswitz, „Geschichte der Atomistik", 1890, II.Bd., S.344. 

7. Bevor wir zu den Huyghens'schen Untersuchungen 
über den Schwingungsmittelpunkt übergehen, wollen wir 
einige freiere ganz elementare, dafür aber sehr anschau- 
liche Betrachtungen über die Pendelbewegung und die 
schwingende Bewegung überhaupt anstellen. 

Schon Galilei kannte manche Eigenschaften der Pen- 
delbewegung. Dass er sich die folgende Vorstellung ge- 
bildet hatte, oder dass ihm dieselbe wenigstens sehr nahe 
lag, ist aus manchen zerstreuten Andeutungen in seinen 
Dialogen zu ermitteln. Der Körper eines Fadenpendels 
von der Länge l bewegt sich auf einem Kreis Fig. 107 
vom Radius l. Geben wir dem Pendel eine sehr kleine 
Excursion, so durchläuft es bei seinen Schwingungen 
einen sehr kleinen Bogen, welcher mit der zugehörigen 
Sehne nahe zusammenfällt. Die Sehne CB wird aber 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 157 



in derselben Zeit durchfallen als der verticale Durch- 
messer BD = 21. Nennen wir die Fallzeit t, so ist 

ot 2 A rT 

2 l = — , also t = 2 y _.. Da nun die Bewegung 
2 Y g 

über B hinaus nach BC dieselbe Zeit in Anspruch 

nimmt, so haben wir für die Zeit T einer Schwingung 

T 



von C nach C zu setzen 



T=4 \[L 
Y 9 



Man sieht 



also, dass selbst aus dieser rohen Anschauung die Form der 
Pendelgesetze sich richtig ergibt. Der genaue Ausdruck 
für die Dauer sehr kleiner Schwingungen ist bekanntlich 



-V£ 



Die Bewegung des Pendelkörpers kann als Fall auf 
einer Folge von schiefen Ebenen 
angesehen werden. Schliesst 
der Pendeifa den den Winkel a 
mit der Verticalen ein, so er- 
hält der Pendelkörper die Be- 
schleunigung g • sin ol nach der 
Gleichgewichtslage. Für klein e 
ol ist g • ol der Ausdruck dieser 
Beschleunigung, und diese ist 
also der Excursion proportio- 
nal und stets entgegen gerichtet, 
Bei kleinen Excursionen kann 
man auch von der Krümmung 
der Bahn absehen. 

8. Nach dieser Erörterung wollen wir also folgendes ein- 
fachere Schema unserer Betrachtung der schwingen- 
den Bewegung zu Grunde legen. Ein Körper ist auf einer 
Geraden OA (Fig. 108) beweglich, und erhält stets eine 
Beschleunigung gegen den Punkt hin, welche seiner 
Distanz von proportional ist. Wir wollen uns diese 
Beschleunigungen durch an den betreffenden Stellen er- 
richtete Ordinaten veranschaulichen. Ordmaten nach 




Fig. 107. 



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158 



Zweites Kapitel. 



oben bedeuten Beschleunigungen nach links, Ordinaten 
nach unten Beschleunigungen nach rechts. Der Körper 
in A freigelassen, wird sich ungleichförmig beschleu- 
nigt nach bewegen, über bis A x , wobei A x = A 
ist, hinausgehen, nach zurückkehren u. s. w. Es er- 
gibt sich zunächst leicht die Unabhängigkeit der 
Schwingungsdauer (der Bewegungszeit durch AOA t ) von 
der Schwingungsweite (der Strecke A). Zu diesem 
Zwecke denken wir uns in I und II dieselbe Schwingung 
mit einfacher und doppelter Schwingungsweite. Wir 
theilen, weil die Beschleunigung von Punkt zu Punkt 

variirt, A und 
0' A! = 2 A in 
eine gleiche sehr 
grosse Zahl von 
Elementen. Jedes 
Element A! B* von 
0' A! ist dann dop- 
pelt so gross als das 
entsprechende Ele- 
ment A B von A. 
Die Anfangsbe- 
schleunigungen 9 
und 9' stehen in der 
Beziehung 9' = 29. 
Demnach werden die Elemente A B und A'B'=z2AB 
mit den betreffenden Beschleunigungen 9 und 2 9 in 
derselben Zeit t zurückgelegt. Die Endgeschwindig- 
keiten v und v' in I und II für das erste Element wer- 
den sein v = 9 x und v' = 2 9 t, also v' = 2 v. Die 
Beschleunigungen und die Anfangsgeschwindigkeiten 
verhalten sich also in B und B' wieder wie 1 : 2. Dem- 
nach werden auch die nächstfolgenden sich entsprechen- 
den Elemente in derselben Zeit zurückgelegt. Das 
Gleiche gilt von jedem folgenden Elementenpaar. Ver- 
allgemeinernd erkennt man die Unabhängigkeit der 
Dauer der Schwingung von der Weite oder Amplitude. 
Nun stellen wir uns zwei schwingende Bewegungen I 




Fig. 108. 



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Die Ent wickelung der Principien der Dynamik. 159 



und II (Fig. 109) von gleicher Excursion vor. In II soll aber 
derselben Entfernung von die vierfache Beschleunigung 
entsprechen. Wir theilen die ganzen Schwingungs- 
weiten A und 0' A! = A in eine gleiche sehr 
grosse Anzahl Theile. Diese Theile in I und II fallen 
gleich aus. Die Anfangsbeschleunigungen in A und A! 
sind 9 und 4 9, die Wegelemente A B = A! B' = s, und 
die Zeiten beziehungsweise T und t'. Wir finden 

t = \[lL t' = AA— = TT- Das Element AI B' 
V © Y 4© 2 



9 * 49 

wird also in der Hälfte der Zeit 



durchlaufen wie das 



l^o 



L^r] 



Element AB. Die Endgeschwindigkeiten v und v' in 
B und B' ergeben sich durch 

= 91 und t/ = 4 9~=2t>. 

Da also die Anfangsgeschwindig- 
keiten in B und B' sich wie 1:2, 
die Beschleunigungen wieder wie 1 : 4 
verhalten, so wird das folgende Ele- 
ment in II wieder in der halben Zeit 
zurückgelegt wie das entsprechende 
in I. Verallgemeinernd findet man: 
Die Schwingungsdauer ist der Wurzel 
aus der Beschleunigung bei gleicher 
gegebener Excursion umgekehrt pro- 
portional. 

9. Die eben ausgeführten Be- 
trachtungen können sehr gekürzt und übersichtlich ge- 
staltet werden mit Hülfe einer zuerst von Newton an- 
gewendeten Anschauungsweise. Newton nennt ähn- 
liche materielle Systeme solche, welche geometrisch 
ähnliche Conformationen haben, und deren homologe 
Massen in demselben Yerhältniss stehen. Er sagt fer- 
ner, dass solche Systeme ähnliche Bewegungen aus- 
führen, wenn die homologen Punkte ähnliche Bahnen 
in proportionalen Zeiten beschreiben. Entsprechend der 
heutigen geometrischen Terminologie dürfte man solche 




Fig. 109. 



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160 Zweites Kapitel. 

mechanische Gebilde (von 5 Dimensionen) nur ähnlich 
nennen, wenn sowol die homologen Lineardimensionen 
als die Zeiten und die Massen in demselben Verhält- 
niss stünden. Passender würden die Gebilde zuein- 
ander affin genannt. 

Wir wollen aber den Namen phoronomisch ähnliche 
Gebilde beibehalten, und bei der zunächst folgenden 
Betrachtung von den Massen ganz absehen. 

Es sollen also bei zwei ähnlichen Bewegungen die 
homologen Wege sein: s und as, 
die homologen Zeiten: t und ߣ, dann sind 
die homologen Ge- $ a s 

schwindigkeiten : v = J und T v = J J 

die homologen Be- 2s , „__ a ^S 

schleunigungen: ? "JF un 6 ? «2 ~JT 

Leicht erkennen wir nun die Schwingungen, welche 
ein Körper unter den oben angenommenen Verhält- 
nissen mit zwei verschiedenen Amplituden 1 und a aus- 
führt, als ähnliche Bewegungen. Bemerken wir nun, 
dass das Verhältniss der homologen Beschleunigungen 

s = a ist, so finden wir a = 3^, und das Verhältniss 

P 
der homologen Zeiten, also auch der Schwingungs- 
zeiten, ß = ± 1. Es ergibt sich also die Unabhängig- 
keit der Schwingungsdauer von der Schwingungsweite. 
Setzen wir bei zwei schwingenden Bewegungen das 
Amplitüdenverhältniss^l :a 
und das Beschleunigungsverhältniss l:a(Ji, 

n 1 

so finden wir e = a \l = ^, folglich ß = — — — , 

P ^ ZU y \r 

womit das zweite Schwingungsgesetz wiedergefun- 
den ist. 

Zwei gleichförmige Kreisbewegungen sind stets pho- 
ronomisch ähnlich. Es sei das Radienverhältniss l:a 
und das Geschwindigkeits verhältniss l.y. 



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Die Entwicklung der Principien der Dynamik. 161 
Das Verhältniss der Beschleunigungen ist dann 

OL OL 

e = g2, und weil T = g" 

auch e = — , womit die Sätze über die CentripetaU 

beschleunigung wiedergefunden sind. 

Es ist schade, dass derartige Untersuchungen über 
mechanische und phoronomische Verwandtschaft nicht 
mehr cultivirt werden, da sie die schönsten und auf- 
klärendsten Erweiterungen der Anschauung versprechen. 

10. Wir wollen nun eine Beziehung der gleichför- 
migen Kreisbewegung zur schwingenden Bewegung der 
eben betrachteten Art besprechen. Wir legen durch 
den Kreismittelpunkt und 
in die Ebene des Kreises 
ein rechtwinkeliges Coordina- 
tensystem, auf welches wir 
die gleichförmige Kreisbe- 
wegungbeziehen. Die Centri- 
petalbeschleunigung 9, welche 
diese Bewegung bedingt, zer- 
legen wir nach den Richtungen 
der X und Y", und bemer- 
ken, dass die X-Componente 
der Bewegung nur durch die X-Componente der Be- 
schleunigung afficirt wird. Beide Bewegungen und Be- 
schleunigungen können wir als voneinander unabhängig 
ansehen. 

Beide Bewegungscomponenten sind nun hin- und her- 
gehende (schwingende) Bewegungen um 0. Der Excur- 

nß 
sion x entspricht die Beschleunigungscomponente 9. — 

T 

<n 

oder — • x gegen hin. Die Beschleunigung ist also 

T 

der Excursion proportional. Die Bewegung wird dem- 
nach von der bereits untersuchten Art sein. Die 
Dauer T eines Hin- und Herganges ist zugleich die 

Mach. 11 




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162 Zweites Kapitel. 

Umlaufszeit der Kreisbewegung. Von letzterer wissen 

wir aber, dass 9 = — ^-, dass also T = 2 tc V _. 

Nun ist — die Beschleunigung für x = 1, die der Ex- 
r 

cursionseinheit entsprechende Beschleunigung, die wir 

kurz mit / bezeichnen wollen. Wir können also für 

die schwingende Bewegung setzen T = 2 7C \l _ # Bei 

der gewöhnlichen Zählung der Schwingungsdauer, für 
einen Hingang oder einen Hergang, finden wir 



=-ff 



11. Dies lässt sich sofort auf Pendelschwingungen von 
sehr kleiner Excursion anwenden, bei welchen wir, 
von der Bahnkrümmung absehend, die entwickelte An- 
schauung festhalten können. Wir finden für den Elon- 
gationswinkel a die Entfernung des Pendelkörpers von 
der Gleichgewichtslage l a, die entsprechende Beschleu- 
nigung g a, demnach 

Man liest hieraus ab, dass die Schwingungsdauer 
der Wurzel aus der Pendellänge direct, der Wurzel aus 
der Schwerebeschleunigung verkehrt proportional ist. 
Ein Pendel, welches die vierfache Länge des Secundenpen- 
dels hat, wird also eine Schwingung in zwei Secunden 
ausführen. Ein Secundenpendel, welches um einen Erd- 
radius von der Erdoberfläche entfernt wird, also der Be- 
schleunigung — unterliegt, führt ebenfalls eine Schwingung 
4 

in zwei Secunden aus. 

12. Die Abhängigkeit der Schwingungsdauer von der 
Pendellänge läsfit sich sehr leicht experimentell nach- 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 163 

weisen. Haben die zur Sicherung der Schwingungs- 
ebene doppelt aufgehängten Pendel a, 6, c (Fig. 111), die 
Längen 1, 4, 9, so führt a zwei Schwingungen auf eine 
Schwingung von b und drei Schwingungen auf eine 
Schwingung von c aus. 




Fig. in. 

Etwas schwieriger ist der Nachweis der Abhängig- 
keit der Schwingungsdauer von der Schwerebeschleu- 
nigung g, weil dieselbe nicht willkürlich verändert wer- 
den kann. Man kann jedoch den Nachweis dadurch 
führen, dass man nur eine Componente von g das Pen* 

11* 



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164 



Zweites Kapitel. 



del afficiren lässt. Denkt man sich die Schwingungs- 
axe des Pendels A A in der vertical gestellten Papier- 
ebene, so ist JE E der Durchschnitt der 
Schwingungsebene mit der Papierebene und 
zugleich die Gleichgewichtslage des Pen- 
dels. Die Axe schliesst mit der Horizontal- 
ebene und die Schwingungsebene mit der 
Verticalebene den Winkel ßein, und dem- 
nach ist in dieser Ebene die Beschleunigung 
g - cos ß wirksam Erhält das Pendel in 
seiner Schwingungsebene die kleine Elon- 




Fig. 112. 




Fig. 1J3. 



gationa, so ist die entsprechen deBeschleunigung (?cosß)a, 

demnach die Schwingungs dauer T = k \l 

» 0CO83* 



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Die Entwickelung der Prinoipien der Dynamik. 165 

Man sieht hieraus, dass mit zunehmendem ß die Be- 
schleunigung g cos ß abnimmt und dementsprechend die 
Schwingungsdauer zunimmt. Man kann den Versuch mit 
dem Apparat, der in Figur 113 dargestellt ist, leicht 
ausführen. Der Rahmen B B ist um ein Charnier bei 
C drehbar, kann geneigt und umgelegt werden. Man 
fixirt die Neigung durch den mit einer Schraube fest- 
stellbaren Gradbogen G. Jede Vergrösserung von ß 
vergrössert die Schwingungsdauer. Stellt man die 
Schwingungsebene horizontal, wobei B auf dem Fuss F 
ruht, so wird die Schwingungsdauer unendlich gross. 
Das Pendel kehrt dann überhaupt in keine bestimmte 
Lage mehr zurück, sondern macht mehrere volle Um- 
läufe in demselben Sinn, bis dessen ganze Geschwindig- 
keit durch die Reibung vernichtet ist. 

13. Wenn die Bewegung des Pen- 
dels nicht in einer Ebene, sondern 
im Baume stattfindet, so beschreibt 
der Pendelfaden eine Kegelfläche. 
Die Bewegung des konischen Pendels 
hat Huyghens ebenfalls untersucht. 
Wir wollen einen einfachen hierher 
gehörigen Fall betrachten. Wir den- 
ken uns ein Pendel von der Länge l 
um den Winkel a elongirt, dem Pendelkörper eine Ge- 
schwindigkeit v senkrecht zur Elongationsebene ertheilt, 
und freigelassen. Der Pendelkörper wird sich in einem 
horizontalen Kreise bewegen, wenn die entwickelte 
Centrifugalbeschleuniguug 9 der Schwerebeschleunigung 
g eben das Gleichgewicht hält, wenn also die resul- 
tirende Beschleunigung in die Richtung des Pendel- 
fadens fallt. Dann ist aber — = tang a. Bedeutet T 

9 _ 

4 T 7C^ a r t 

die Umlaufszeit, so ist 9 = oder T= 2tc y Z_ 

«n w ^u r Jsina Zcosa . .... , . _ 

Den Werth — = — = einführend, finden wir 

9 ptanga g 




Fig. 714. 



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Ißß Zweites Kapitel. 



T= 2 7C V l cos a für die Umlaufszeit des Pendels. 

V 9 

Für die zugehörige Geschwindigkeit v finden wirv = *J/ r © 

und weil 9 = g tang a, so folgt v = y ^ J sin a tang a. 
Für sehr kleine Elongationen des Kegelpendels können 

wir setzen T=2 7C \l -I, was mit der gewöhnlichen 

9 
Pendelformel coincidirt, wenn wir überlegen, dass ein 

Umlauf des Kegelpendels zwei Schwingungen des ge- 
wöhnlichen Pendels entspricht. 

14. Huyghens hat zuerst durch Pendelbeobachtungen 
eine genaue Bestimmung der Schwerebeschleunigung g 

vorgenommen. Aus der Formel T = 7C \l 1. für ein 

9 . 

Fadenpendel mit einer kleinen Kugel findet sich ohne 

weiteres g = -y^. Man findet in Metern und Secunden 

für die geographische Breite 45° denWerthfür^ = 9 • 806. 
Für vorläufige Berechnungen im Kopf genügt es sich 
zu merken, dass die Beschleunigung der Schwere rund 
10 m in der Secunde beträgt. 

15. Jeder besonnene Anfänger stellt sich die Frage, 

wie so eine Schwingungsdauer, also eine Zeit gefunden 

werden kann, indem man die Maasszahl einer Länge durch 

die Maasszahl einer Beschleunigung dividirt, und aus 

dem Quotienten die Wurzel zieht. Wir haben hierbei zu 

2s . 
bedenken, dass g = -jy ist, also eine Länge dividirt 
t 

durch das Quadrat einer Zeit. Es ist also eigentlich 

T = tc y _i_ • t 2 . Da -— das Verhältniss zweier 

V 2s 2s 

Längen, demnach eine Zahl ist, so steht also unter dem 
Wurzelzeichen das Quadrat einer Zeit. Selbstverständ- 
lich werden wir nur dann T in Secunden finden, wenn 



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Die Elitwickelung der Prinoipien der Dynamik. 167 

wir auch bei der Bestimmung von g die Secunde als 
Zeiteinheit zu Grunde legen. 

An der Formel g =—7^3 sieht man unmittelbar, dass 

g eine Länge dividirt durch das Quadrat einer Zeit ist, 
wie es der Natur einer Beschleunigung entspricht. 

16. Die wichtigste Leistung von Huyghens ist die 
Lösung der Aufgabe, den Schwingungsmittelpunkt zu 
bestimmen. So lange es sich um die Dynamik eines 
einzelnen Körpers handelt, reichen die Galilei'schen 
Principien vollständig aus. Bei der erwähnten Auf- 
gabe ist aber die Bewegung mehrerer Körper zu be- 
stimmen, welche sich gegenseitig beeinflussen. Das 
kann nicht ohne Zuhülfenahme eines neuen Princips ge- 
schehen. Ein solches hat Huyghens in der That gefunden. 

Wir wissen, dass längere Fadenpendel langsamer, kür- 
zere schneller ihre Schwingung vollführen. Denken wir 
uns irgendeinen um eine Axe drehbaren schweren 
Körper, dessen Schwerpunkt ausser der Axe 
liegt, so stellt dieser ein zusammengesetztes 



1 



Pendel vor% Jeder Massentheil würde, wenn er 
allein in demselben Abstand von der Axe vor- 
handen wäre, seine eigene Schwingungsdauer ha- 
ben. Wegen des Zusammenhanges der Theile 
kann aber der ganze Körper nur mit einer ein- 
zigen bestimmten Schwingungsdauer schwingen. Fig. 115. 
Denken wir uns viele ungleich lange Faden- 
pendel, so schwingen die kürzern rascher, die längern 
langsamer. Werden alle miteinander zu einem einzigen 
Pendel verbunden, so lässt sich vermuthen, dass die 
längern beschleunigt, die kürzern verzögert werden, und 
dass eine mittlere Schwingungsdauer zum Vorschein 
kommt. Es wird demnach ein einfaches Pendel geben, 
dessen Länge zwischen jener der kürzesten und längsten 
Pendel liegt, welches dieselbe Schwingungsdauer dar- 
bietet, wie das zusammengesetzte Pendel. Tragen wir 
diese Pendellänge auf dem zusammengesetzten Pendel 



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168 Zweites Kapitel. 

ab, so finden wir einen Punkt, der in der Verbindung 
mit den übrigen dieselbe Schwingungsdauer beibehält, die 
er für sich allein hätte. Dieser Punkt ist der Schwingungs- 
mittelpunkt. Mersenne hat zuerst die Aufgabe gestellt, den 
Schwingungsmittelpunkt zu bestimmen. Descartes' Auf- 
lösung derselben war aber überstürzt und unzureichend. 

17. Huyghens hat zuerst eine allgemeine Lösung ge- 
geben. Ausser Huyghens haben sich fast alle bedeu- 
tenden Naturforscher der damaligen Zeit mit dieser 
Aufgabe beschäftigt, und man kann sagen, dass sich 
die wichtigsten Principien der modernen Mechanik an 
derselben entwickelt haben. 

Der neue Gedanke, von welchem Huyghens ausgeht, 
und der weitaus wichtiger ist als die ganze Aufgabe, 
ist folgender. In welcher Weise auch die Massen eines 
Pendels ihre Bewegung gegenseitig abändern mögen, 
auf jeden Fall werden die bei der Abwärtsbewegung 
des Pendels erlangten Geschwindigkeiten nur solche 
sein können, durch welche der Schwerpunkt der Massen, 
ob sie verbunden bleiben, oder ihre Verbindungen auf- 
gelöst werden, gerade nur so hoch steigen kann, als er 
herabgefall en ist. Durch die Zweifel der Zeitgenossen 
an der Richtigkeit dieses Princips sah sich Huyghens 
veranlasst zu bemerken, dass damit nur angenommen sei, 
dass die schweren Körper sich nicht von selbst auf- 
wärts bewegen. Könnte der Schwerpunkt in Verbindung 
fallender Massen nach der Auflösung der Verbindungen 
höher steigen, als er gesunken ist, so Hessen sich schwere 
Körper durch Wiederholung des Processes durch ihr 
eigenes Gewicht beliebig hoch erheben. Würde der 
Schwerpunkt nach Auflösung der Verbindungen sich 
nur zu einer geringern Höhe erheben, als er herabge- 
fallen ist, so brauchte man den Sinn des Processes nur 
umzukehren, um abermals die schweren Körper durch 
ihr eigenes Gewicht beliebig zu erheben. Was also 
Huyghens behauptet, hat eigentlich nie jemand bezwei- 
felt, im Gegentheil jeder instinctiv erkannt. Huyghens 
hat aber diese instinctive Erkenntniss begrifflich ver- 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 169 

werthet. Er ermangelt auch nicht, von diesem Gesichts- 
punkte aus auf die Fruchtlosigkeit der Bemühungen 
um ein Perpetuum mobile hinzuweisen. Wir erkennen in 
dem eben entwickelten Satze die Verallgemeinerung 
eines Galilei'schen Gedankens. 

18. Wir wollen nun sehen, was der Satz bei Be- 
stimmung des Schwingungsmittelpunkts leistet. Es sei 
A y der Einfachheit wegen, ein lineares Pendel, be- 
stehend aus vielen durch Punkte angedeuteten Massen. 
Es wird in A losgelassen durch B hindurch bis A 1 
schwingen, wobei AB = B A!. Sein Schwerpunkt S wird 
auf der andern Seite ebenso 

hoch steigen, als er auf der 
einen gesunken ist. Hieraus 
würde noch gar nichts folgen. 
Aber auch wenn wir in der 
Lage B die einzelnen Massen 
von ihren Verbindungen plötzlich 
befreien, können sie mit den 
durch die Verbinduniren auf- 
gezwungenen Geschwindigkeiten 

nur dieselbe Schwerpunktshöhe erreichen. Fixiren wir 
die ausschwingenden freien Massen in ihrer grössten 
Höhe, so bleiben die kürzern Pendel unter der Linie 
0-4/, die längern überschreiten sie, der Schwerpunkt 
des Systems bleibt aber auf A! in seiner frühern Lage. 
Nun bemerken wir, dass die erzwungenen Geschwin- 
digkeiten den Abständen von der Axe proportional sind, 
mit der Angabe einer sind also alle bestimmt, und die 
Steighöhe des Schwerpunktes ist gegeben. Umgekehrt ist 
also auch die Geschwindigkeit irgendeiner Masse durch 
die bekannte Schwerpunktshöhe bestimmt. Kennt man 
aber bei einem Pendel die zu einer Falltiefe gehörige 
Geschwindigkeit, so kennt man dessen ganze Bewegung. 

19. Nach diesen Bemerkungen gehen wir an die Auf- 
gabe selbst. Wir schneiden an einem linearen zusam- 
mengesetzten Pendel das Stück = 1 von der Axe aus 
ab. Bewegt sich das Pendel aus der grössten Excursion 



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170 Zweites Kapitel. 

bis in die Gleichgewichtslage, so fallt der Punkt in der 
Distanz = 1 von der Axe um die Höhe k. Die Massen 
*w, ♦»', m" . . . in den Distanzen r, r' r" . . . . werden 
hierbei die Falltiefen rk, r'k, r"k ... erhalten, und die 
Falltiefe des Schwerpunkts wird sein: 

m r k + m' **' % + *w" r" k -f- . . . 2 m r 

—— IG - 



m + m' -\- m" -f- . . . . 2 m 

Der Punkt mit dem Abstände 1 von der Axe erhalte 
beim Durchgange durch die Gleichgewichts- 
lage die noch unbestimmte Geschwindigkeit 
v. Seine Steighöhe nach Auflösung der 




v 



2 



Verbindungen wird sein — -. Die ent- 

2g 

sprechenden Steighöhen der andern Massen 

^a dann £L', (£0!, &_ Die 

2^ 2g 2g 
Steighöhe des Schwerpunktes der freien 






m 4- m' + m" + 
Nach dem Huyghens'schen Grundsatz ist nun 
_ 2 m r v 2 2 m r a 



2g 2m 
nu 

«) 



2m 2g 2m 

Hiermit ist eine Beziehung zwischen der Falltiefe k und 
der Geschwindigkeit v gegeben. Da nun aber alle 
Pendelbewegungen von gleichen Excursionen phorono- 
misch ähnlich sind, so ist auch die untersuchte Bewegung 
hiermit vollständig bestimmt. 

Um die Länge des einfachen Pendels zu finden, 
welches mit dem vorgelegten zusammengesetzten die- 
selbe Schwingungsdauer hat, bemerken wir, dass zwischen 
dessen Falltiefe und Geschwindigkeit dieselbe Beziehung 
bestehen muss wie beim freien Fall. Ist y die Länge 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 171 

dieses Pendels, so ist Jcy dessen Falltiefe und vy dessen 
Geschwindigkeit, also 

fijÖ! = Icy oder 

Multiplicirt man die Gleichung a) mit 5), so findet sich 

V ~~ 2 mr 
Die phoronomische Aehnlichkeit benutzend, können 
wir auch so verfahren. Wir finden aus ä) 



» 2wr 



Das einfache Pendel von der Länge 1 hat unter den 
entsprechenden Verhältnissen die Geschwindigkeit 

v i = VYyk. 

Nennen wir die Schwingungsdauer des zusammenge- 
setzten Pendels T, des einfachen Pendels von der Länge 1 

aber2\ = 7C y _, so finden wir die Voraussetzung 

V 9 
gleicher Excursionen festhaltend 

T 



-=r = \ demnach T=K\/22lL 

20. Unschwer erblickt man in dem Huyghens'schen 
Grundsatz die Erkenntniss, dass die Arbeit das Ge- 
schwindigkeitsbestimmende oder genauer das Be- 
stimmende der sogenannten lebendigen Kraft sei. 
Unter der lebendigen Kraft eines Systems von Massen 
w, m t m /r .. ., welche mit den Geschwindigkeiten t;, t? # , 
v u . • . behaftet sind, verstehen wir die Summe 

mv * + «5lül + m « v »* + 



2 ' 2 ' 2 



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172 



Zweites Kapitel. 



Der Grundsatz ist mit dem Satz der lebendigen Kräfte 
identisch. Was spätere Forscher hinzugethan haben, 
ist nicht so sehr auf den Gedanken als vielmehr auf 
die Form des Ausdruckes gerichtet. 

Stellen wir uns ganz allgemein ein System von Ge- 
wichten PiP'iP" .... vor, welche verbunden oder un- 
verbunden durch die Höhen h, Ä', h" . . . . fallen , und 
hierbei die Geschwindigkeiten «?, t>', v" . . . erlangen, so 
besteht nach der Huyghens 1 sehen Anschauung die Gleich- 
heit der Falltiefe und Steighöhe des Schwerpunktes, 
demnach die Gleichung 

v 2 v n v" % 
ph+p'h'+p"h" + ..._ P 2-g +P '^ +P " ' 2g + 



P +P'+P" + --- 



P +P'+P" + 



1 _ t>v 
oder 2j>A = -2 ^- 



Hatman den Begriff „Masse" gewonnen, welcher Huyghens 

P 
bei seinen Untersuchungen noch fehlte, so kann man — 

durch die Masse m ersetzen und er- 
hält dann die Form 2i> h = £ 2 m v 2 , 
welche sehr leicht für nicht constante 
Kräfte zu verallgemeinern ist. 

21. Mit Hülfe des Satzes der leben- 
digen Kräfte können wir die Dauer der 
unendlich kleinen Schwingungen eines 
beliebigen Pendels bestimmen. Wir 
ziehen vom Schwerpunkt S eine Senk- 
rechte auf die Axe, die Länge dersel- 
ben sei a. Auf derselben schneiden wir von der Axe 
aus die Länge = 1 ab. Die Falltiefe des betreffenden 
Punktes bis zur Gleichgewichtslage sei k und v die er- 
langte Geschwindigkeit. Da die Fallarbeit durch die 
Bewegung des Schwerpunktes bestimmt ist, so haben wir 
die Fallarbeit = der lebendigen Kraft: 




Fig. 118. 



akg M 



= yS.r» 



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Die Entwicklung der Prineipien der Dynamik. 173 



Hierbei nennen wir M die Gesammtmasse des Pendels 
und anticipiren den Ausdruck lebendige Kraft. Aehn- 

lich schliessend wie zuvor finden wir T • 






2wr a 
\gM % 

22. Wir sehen, dass die Dauer der unendlich kleinen 
Schwingungen eines Pendels durch zwei Stücke bestimmt 
ist, durch den Werth des Ausdruckes 2mr 2 , der von 
Euler Trägheitsmoment genannt worden ist, welchen 
Huyghens ohne besondere Bezeichnung verwendet, und 
durch den Werth von ag M. Letzterer Ausdruck, den 
wir kurz das statische Moment nennen wollen, ist das 
Product aP des Pendelgewichtes in den Abstand des 
Schwerpunktes von der Axe. 
Durch Angabe dieser beiden 
Werthe ist die Länge des ein- 
fachen Pendels von gleicher 
Schwingungsdauer (des iso- 
chronen Pendels) und die 
Lage des Schwingungsmittel- 
punktes bestimmt. 

Zur Bestimmung der be- 
treffenden Pendellängen 
wählt Huyghens in Er- 
mangelung der erst später 
gefundenen analytischen Me- 
thoden ein sehr sinnreiches geometrisches Verfahren, 
welches wir durch Beispiele veranschaulichen wollen. Es 
sei die Schwingungsdauer eines homogenen (materiellen 
und schweren) Rechtecks AB C D zu bestimmen, welches 
um AB als Axe schwingt. Theilen wir das Rechteck 
in kleine Flächenelemente /,/,,/„ . . . mit den Abstän- 
den r, r p r n . . . . von der Axe , so ist der Ausdruck 
für die Länge des isochronen einfachen Pendels, oder 
den Abstand des Schwingungsmittelpunktes von der 
Axe, gegeben durch 

fr*+f,r*+f„r„* + .... 
fr+f,r l +f„r tl + .... 




Fig. 119. 



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174 



Zweites Kapitel. 



Errichten wir auf AB CD in G und D senkrechte 
CE=DF=AC=BD und denken wir uns einen 
homogenen Keil AB CD E F. Suchen wir den Abstand 
des Schwerpunktes dieses Keils von einer durch AB 
zu CDEF parallel gelegten Ebene. Wir haben dann 
die Säulchen /r, /, r p f u r n . . . . und deren Abstände 
r, r n r n . . . . von der genannten Ebene zu berücksich- 
tigen. Hierbei finden wir für den Abstand des Schwer- 
punktes den Ausdruck: 

fr - r +f t r, - r, +/„ r„ -r n +... 
fr +f t r t +f„r n +.... 

also denselben Ausdruck wie zuvor. Der Schwingungs- 
mittelpunkt des Rechtecks und der Schwerpunkt des 
Keiles haben also denselben Abstand $ A C 

Hiernach erkennt man leicht die Richtigkeit folgen- 
der Angaben. Für ein homogenes um eine Seite 





Fig. 120. 



Fig. 121. 



schwingendes Rechteck von der Höhe h ist der Ab- 
stand des Schwerpunktes von der Axe — , der Ab- 
stand des Schwingungsmittelpunktes aber $ h. Für ein 
homogenes Dreieck von der Höhe h , dessen Axe parallel 
der Grundlinie durch den Scheitel geht, finden wir den 
Schwerpunktsabstand § Ä, den Abstand des Schwingungs- 
mittelpunkts J h. Nennen wir die Trägheitsmomente 
des Rechtecks und des Dreiecks A lf A a , die zugehörigen 
Massen M x , M i} so finden wir 



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Die Entwicklung der Principien der Dynamik. 175 

folglich A t = -^~, A 2 = — — > 

Man kann durch diese hübsche geometrische Anschauung 
noch manche Aufgabe lösen, die man heute allerdings 
viel bequemer nach der Schablone behandelt. 

23. Wir wollen nun einen auf die Trägheitsmomente 
bezüglichen Satz besprechen, den Huyghens schon in 
etwas anderer Form benutzt hat. Es sei der Schwer- 
punkt eines Körpers (Figl21). Durch denselben legen 
wir ein rechtwinkeliges Coordinatensystem, und denken 
uns das Trägheitsmoment in Bezug auf die Z-Axe be- 
stimmt. Heisst dann m ein Massenelement und r dessen 
Entfernung von der Z-Axe , so ist das Trägheitsmoment 
A = 2 m r 2 . Nun verschieben wir die Rotationsaxe 
parallel zu sich selbst bis 0' nach der X-Kichtung um die 
Strecke a. Dadurch geht die Entfernung r in die neue 
p über, und es ist das neue Trägheitsmoment 

© = 2mp a = 2m [(x-a) 2 + y 2 ] = 2 m (x 2 + y 2 ) — 

2a2*n# + a 2 2*w oderweil2»*(# 2 + # 2 ) = 2wir 2 = A, 

wegen der Eigenschaft des Schwerpunktes 2 m x = o, 
ist bei Bezeichnung der Gesammtmasse durch Jf= 2 m 

O = A + a 2 M. 

Es lässt sich also aus dem Trägheitsmoment für eine 
durch den Schwerpunkt geführte Axe leicht jenes für 
eine andere zur erstem parallele Axe ableiten. 

24. Hieran knüpft sich eine weitere Bemerkung. 

Der Abstand des Schwingungsmittelpunktes ist gegeben 

A + a 2 M 
durch l = — — , wobei A, Jf, a die frühere Bedeutung 

haben. Die Grössen A und M sind für einen gegebenen 



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176 Zweites Kapitel. 

Körper unveränderlich. So lange also a denselben 

Werth behält, wird auch l unverändert bleiben. Für alle 

parallelen Axen, welche in demselben Abstand vom 

Schwerpunkt liegen, hat derselbe Körper als Pendel 

A 
dieselbe Schwingungsdauer. Setzen wir — = x, so ist 

l = [- a. 

a 

Da nun l den Abstand des Schwingungsmittelpunkts, 
a den Abstand des Schwerpunkts von der Axe bedeutet, 
so ist der Schwingungsmittelpunkt stets weiter von der 

Axe, und zwar um die Strecke — . Es ist also — 

der Abstand des Schwingungsmittelpunkts vom Schwer- 
punkt. Legen wir eine der ursprünglichen Axe pa- 
rallele durch den Schwingungsmittelpunkt, so geht a in 

x 

— über, und wir erhalten die neue Pendellänge 
a 

*' = —+—= a + — = l. 
x a a 



Die Schwingungsdauer bleibt also dieselbe für die 
parallele Axe durch den Schwingungsmittelpunkt und 
folglich auch für jede parallele Axe, welche denselben 

x 

Abstand — vom Schwerpunkt hat wie der Schwingungs- 

CL 

mittelpunkt. 

Der Inbegriff aller parallelen einer gleichen Schwin- 
gungsdauer entsprechenden Axen mit den Schwerpunkts- 

x 

abständen a und — erfüllt also zwei conaxiale Cylin- 
a 

der. Jede Erzeugende ist mit jeder andern als Axe 

ohne Aenderung der Schwingungsdauer vertauschbar. 

25. Um den Zusammenhang der beiden Axencylinder, 



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Die Elitwickelung der Principien der Dynamik. 177 

wie wir sie kurz nennen wollen, zu überschauen, stellen 
wir folgende Ueberlegung an. Wir setzen A = ft 2 .3f, 
und es ist dann 

Z=— +a. 
a 

Suchen wir das a, welches einem gegebenen Z, also 
einer gegebenen Schwingungsdauer entspricht, so finden 



-WZ-» 



Es entsprechen also im allgemeinen zwei "Werthe von a 
einem Werthe von l. Nur wenn 



V 1 #2 == o, also l =2 Je, fallen beide Werthe zu- 
sammen in a = k. 

Bezeichnen wir zwei zu einem l gehörige Werthe von 
a mit a, ß, so ist 

_ Ä 2 + a 3 fc» + ß 2 _ 

1= — — =— r -, oder 

, ß(fc 2 + a 2 ) = a(fc 2 + ß 2 ), 
P(ß-a) = aß(ß-a), 
fc* = a .ß. 

Kennt man also an einem Pendelkörper zwei parallele 
Axen von gleicher Schwingungsdauer und verschiedener 
Schwerpunktsdistanz a, ß, wie dies z. B. der Fall ist, 
wenn man für eine Aufhängung den Schwingungs- 
mittelpunkt anzugeben vermag, so kann man k con- 
struiren. Man trägt a und ß nebeneinander auf einer 
Geraden auf, beschreibt über a + ß a l s Durchmesser 
einen Halbkreis, und errichtet an dem Theilungspunkte 
der Stücke a und ß eine Senkrechte. Von dieser Senk- 
rechten schneidet der Halbkreis das Stück k ab. (Fig. 122.) 

Mach. 12 



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178 



Zweites Kapitel. 



Kennt man aber fc, so lässt sich zu jedem Werth von 
a, z. B. X ein Werth ji finden, welcher dieselbe 
Schwingungsdauer bedingt. Man bildet aus X und h 
als Schenkel einen rechten Winkel, verbindet die End- 
punkte durch eine Gerade, zu welcher man durch den 
Endpunkt von k eine Senkrechte zieht, die an der Ver- 
längerung von X das Stück pi abschneidet. 

Denken wir uns nun einen beliebigen Körper mit 
dem Schwerpunkt 0, legen durch denselben die Ebene 
der Zeichnung, und lassen wir ihn um alle möglichen 
parallelen zur Papierebene senkrechten Axen schwingen. 
Alle Axen, welche durch den Kreis a (Fig. 124) hindurch- 
gehen, sind untereinander und mit denjenigen, welche noch 
durch den andern Kreis ß hindurchgehen, in Bezug auf 





Fig. 122. 



Fig. 123. 



Setzen wir an die 
X, so tritt an die 
Fahren wir so fort, 
in einem mit dem 



die Schwingungsdauer vertauschbar. 
Stelle von a einen kleineren Kreis 
Stelle von ß ein grösserer Kreis pi. 
so fallen schliesslich beide Kreise 
Radius Je zusammen. 

26. Wir haben aus guten Gründen diese Einzel- 
heiten so eingehend besprochen. Zunächst sollte an 
denselben der Reichthum der Huyghens'schen Unter- 
suchungsergebnisse deutlich gemacht werden. Denn 
alles, was hier mitgetheilt wurde, ist, wenn auch in 
etwas anderer Form, in Huyghens' Schriften enthalten, 
oder ist durch dieselben doch so nahe gelegt, dass es 
ohne die geringste Schwierigkeit ergänzt werden kann. In 
die modernen elementaren Lehrbücher ist nur der kleinste 



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Die Entwickelang der Principien der Dynamik. 179 

Theil hiervon übergegangen. Ein solcher in die 
Elementarbücher aufgenommener Satz bezieht sich auf 
die Vertauschbarkeit des Aufhängepunkts mit dem 
Schwingungsmittelpunkt. Die gewöhnliche Darstellung ist 
aber nicht erschöpfend. Kater hat diesen Satz bekannt- 
lich zur genauen Ermittelung der Länge des Secunden- 
pendels verwendet. 




Fig. 124. 

Die eben angestellten Ueberlegungen haben uns auch 
den Dienst geleistet, uns über die Natur des Begriffes 
„Trägheitsmoment" aufzuklären. Dieser Begriff liefert 
uns keine principielle Einsicht, die wir nicht auch ohne 
denselben gewinnen könnten. Allein indem wir mit 
Hülfe dieses Begriffes die Einzelbetrachtung der Massen- 
theile ersparen, oder ein für allemal abmachen, gelangen 

12* 



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180 Zweites Kapitel. 

wir auf kürzerm und bequemerm Wege zum Ziel. Dieser 
Begriff hat also eine Bedeutung in der Oekonomie der 
Mechanik. Poinsot hat, nachdem Euler und Segner 
mit geringerm Erfolg schon Aehnliches versucht hatten, 
die hierher gehörigen Gedanken weiter ausgebildet, und 
hat durch sein Trägheitsellipsoid und Centralellipsoid 
weitere Erleichterungen herbeigeführt. 

27. Die Huyghens' sehen Untersuchungen über die 
geometrischen und mechanischen Eigenschaften der Cy- 
cloide sind von geringerer Bedeutung. Das Cycloidal- 
pendel, durch welches Huyghens eine nicht blos an- 
nähernde, sondern exaete Unabhängigkeit der Schwin- 
gungsdauer von der Schwingungsweite erzielte, ist 
gegenwärtig als unnöthig aus der Praxis der Uhren- 
fabrikation verschwunden. Wir wollen uns deshalb mit 
diesen Untersuchungen, so viel des geometrisch Schönen 
sie auch bieten, hier nicht weiter beschäftigen. 

So viele Verdienste Huyghens sich auch um die ver- 
schiedensten physikalischen Theorien, um die Uhr- 
macherkunst, die praktische Dioptrik und die Mechanik 
insbesondere erworben hat, seine Hauptleistung, 
welche den grössten intellectuellen Muth erforderte, 
und die auch von den wichtigsten Folgen war, bleibt 
die Aufstellung des Princips, durch welches er die Auf- 
gabe über den Schwingungsmittelpunkt gelöst hat. 
Gerade dieses Princip ist aber von seinen weniger weit- 
blickenden Zeitgenossen, und auch noch lange nachher, 
nicht hinreichend gewürdigt worden. Wir hoffen dieses 
Princip, als identisch mit dem Satze der lebendigen 
Kräfte, hier in das richtige Licht gestellt zu haben. 



3. Newton's Leistungen. 

1. Newton hat sich in Bezug auf unsern Gegenstand 
zweierlei Verdienste erworben. Erstens hat er den 
Gesichtskreis der mechanischen Physik sehr erweitert 



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Die Entwiokelung der Principien der Dynamik. 181 

durch seine Entdeckung der allgemeinen Gravitation. 
Dann hat er auch die Aufstellung der heute angenommenen 
Principien der Mechanik zu einem Abschluss 
gebracht. Nach ihm ist ein wesentlich neues Princip 
nicht mehr ausgesprochen worden. Was nach ihm in der 
Mechanik geleistet worden ist, bezog sich durchaus auf 
die deductive, formelle und mathematische Entwickelung 
der Mechanik auf Grund der Newton' sehen Principien. 
2. Werfen wir zunächst einen Blick auf Newton's 
physikalische Leistung. Kepler hatte aus Tycho's Be- 
obachtungen, und aus seinen eigenen, drei empirische 
Gesetze für die Bewegung der Planeten um die Sonne 
abgeleitet, welche Newton durch seine neue Ansicht 
verständlich machte. Die Kepler'schen Gesetze sind 
folgende : 

1) Die Planeten bewegen sich in Ellipsen um die 
Sonne als Brennpunkt. 

2) Der von der Sonne nach einem Planeten gezogene 
Radius vector beschreibt in gleichen Zeiten gleiche 
Flächenräume. 

3) Die Würfel der grossen Bahnaxen verhalten sich 
wie die Quadrate der Umlaufszeiten. 

Hat man den Galilei-Huyghens'schen Standpunkt ge- 
wonnen und sucht denselben consequent festzuhalten, 
so erscheint eine krummlinige Bewegung eines Körpers 
nur durch das Vorhandensein einer fortwährenden ab- 
lenkenden Beschleunigung verständlich. Man sieht 
sich also veranlasst, für die Planetenbewegung eine solche 
Beschleunigung, welche stets nach der coneaven Seite 
der Bahn gerichtet ist, zu suchen. 

In der That erklärt sich das erwähnte Gesetz der 
Flächenräume durch die Annahme einer stets gegen 
die Sonne gerichteten Beschleunigung des Planeten 
in der einfachsten Weise. Durchstreicht in einem Zeit- 
element der Radius vector den Flächenraum ABS, 
so würde ohne Beschleunigung im nächsten gleich- 
grossen Zeitelement BCS durchstrichen, wobei BC = AB 
wäre, und in der Verlängerung von AB liegen würde. 



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182 Zweites Kapitel. 

Hat aber in dem ersten Zeitelement die Centralbe- 
schleunigung eine Geschwindigkeit hervorgebracht, ver- 
möge welcher in derselben Zeit BD zurückgelegt würde, 
so ist der nächste durchstrichene Flächenraum nicht BCS, 
sondern BES, wobei GE parallel und gleich BD ist! 
Man sieht aber, dass B E 8 = B C S = AB S. Das 
Flächengesetz oder Sectorengesetz spricht also deutlich 
für eine Centralbeschleunigung. 

Ist man so zur Annahme einer Centralbeschleunigung 
gelangt, so führt das dritte Gesetz auf die Art der- 
selben. Da sich die Planeten in von Kreisen wenig 
verschiedenen Ellipsen bewe- 
gen, so wollen wir der Ein- 
fachheit wegen annehmen, dass 
die Bahnen wirkliche Kreise 
seien. Sind J? x , B 2 , J? 3 die 
Radien und T t , T 2 , T 3 die 
zugehörigen Umlaufszeiten, so 
lässt sich das dritte Kepler'sche 
Gesetz schreiben 
Fig. 123. K\ 3 ^ü** _Ka* _ _ 

rp 2 rp 2 — rp 2 — * * — COnSt. 

__ # 1 # 2 3 

Nun kennen wir aber für die Centripetalbeschleunigung 

4:Btz 2 
einer Kreisbewegung den Ausdruck qp = —=* — . Neh- 
men wir an, dass 9 für alle Planeten das Gesetz befolgt 

Je 
9=-ß- 2 , wobei k eine Constante ist, so finden wir 

k 4i?7c 2 , i? J k , 

Ji = -fr oder -& = 4^2 oder 

V~ V ""V" I^- const " 

Sobald die Annahme einer dem Quadrate der Ent- 
fernung umgekehrt proportionirten Centralbeschleunigung 
einmal gewonnen ist, ist der Nachweis, dass dieselbe 




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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 183 

auch die Bewegung in Kegelschnitten, speciell in Ellipsen 
erklärt, nur mehr eine rein mathematische Leistung. 

3. Ausser der eben besprochenen durch Kepler, 
Galilei und Huyghens vollkommen vorbereiteten Ver- 
standesleistung bleibt aber noch eine durchaus nicht zu 
unterschätzende Phantasieleistung Newton's zu wür- 
digen übrig. Ja wir nehmen keinen Anstand, gerade diese 
für die bedeutendste zu halten. Welcher Natur ist die 
Beschleunigung, welche die krummlinige Bewegung der 
Planeten um die Sonne, der Satelliten um die Planeten 
bedingt? 

Newton hat mit grosser Kühnheit des Gedankens 
erkannt, und zwar zunächst am Beispiel des Mondes, 
dass diese Beschleunigung von der uns bekannten 
Schwerebeschleunigung nicht wesentlich verschieden sei. 
Wahrscheinlich war es das bereits erwähnte Princip der 
Continuität, welches auch bei Galilei so Grosses ge- 
leistet hat, das ihn zu dieser Entdeckung geführt hat. 
Er war gewohnt, und diese Gewohnheit scheint jedem 
wahrhaft grossen Forscher eigen zu sein, eine einmal 
gefasste Vorstellung auch für Fälle mit modificirten 
Umständen, soweit als möglich festzuhalten, in den 
Vorstellungen dieselbe Gleichförmigkeit zu bewahren, 
welche uns die Natur in ihren Vorgängen kennen lehrt. 
Was einmal und irgendwo eine Eigenschaft der Natur 
ist, das findet sich, wenn auch nicht gleich auffallend, 
immer und üb er a 11 wieder. Wenn die Erdschwere nicht 
nur auf der Oberfläche der Erde, sondern auch auf hohen 
Bergen und in tiefen Schachten beobachtet wird, so 
stellt sich der an Continuität der Gedanken gewöhnte 
Naturforscher auch in grössern Höhen und Tiefen, als 
sie uns zugänglich sind, die Erdschwere wirksam vor. 
Er fragt sich: Wo liegt die Grenze für die Wirkung der 
Erdschwere ? Sollte sie nicht bis zum Monde reichen ? 
Mit dieser Frage ist der gewaltige Aufschwung der 
Phantasie gewonnen, von dem die grosse wissenschaft- 
liche Leistung bei Newton's Verstandeskraft nur eine 
nothwendige Folge war. 



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184 Zweites Kapitel. 

Es ist richtig, was Rosenberger in seinem Buch („New- 
ton und seine physikalischen Principien", 1895) ausführt, 
dass der Gedanke der allgemeinen Gravitation bei Newton 
nicht zuerst auftritt, dass Newton vielmehr zahlreiche 
und hochverdiente Vorgänger hat. Man kann aber wohl 
sagen, dass es sich bei allen diesen Vorgängern um 
Ahnungen, Anläufe und unvollständige Erörterungen der 
Frage handelt, und dass niemand vor Newton den Ge- 
danken in einer so umfassenden und energischen Weise 
aufgenommen hat, sodass neben der Lösung des grossen 
mathematischen Problems, welche Rosenberger an- 
erkennt, noch eine ungewöhnliche Leistung der wissen- 
schaftlichen Phantasie zu beachten bleibt. 

Unter den Vorgängern Newton's wollen wir zunächst 
Coppernicus nennen, welcher 1543 sagt: „Ich bin wenig- 
stens der Ansicht, dass die Schwere nichts anderes ist, 
als ein von der göttlichen Vorsehung des Weltenmeisters 
den Theilen eingepflanztes, natürliches Streben, vermöge 
dessen sie dadurch, dass sie sich zur Form einer Kugel 
zusammenschliessen, ihre Einheit und Ganzheit bilden. 
Und es ist anzunehmen, dass diese Neigung auch der 
Sonne, dem Monde und den übrigen Planeten inne- 
wohnt ..." In ähnlicher Weise fasst Kepler 1609 die 
Schwere, wie schon Gilbert 1600, als ähnlich der magne- 
tischen Anziehung auf. Hooke kommt, wie es scheint, 
durch diese Analogie auf den Gedanken einer Abnahme 
der Schwere mit der Entfernung, und denkt, indem er 
sich die Schwerewirkung durch eine Strahlung ver- 
mittelt vorstellt, sogar an die verkehrt quadratische 
Wirkung. Die Abnahme der Wirkung versucht er sogar 
(1866) durch Wägungen auf der Höhe der Westminster- 
abtei an hoch und tief hängenden Körpern (ganz wie 
in moderner Zeit Jolly), mit Hülfe von Pendeluhren 
und Federwagen, natürlich resultatlos, zu prüfen. Das 
conische Pendel dient ihm als vorzügliches Mittel der 
Versinnlichung der Planetenbewegung. So kam Hooke 
Newton's Auffassung wirklich am nächsten, ohne doch 
dessen volle Höhe zu erreichen. 



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Die Entwickelung der Prinoipien der Dynamik. 185 

Am Monde hat Newton zuerst erkannt, dass dieselbe 
Beschleunigung, welche die Fallbewegung des Steines 
beherrscht, auch diesen Weltkörper verhindert, sich in 
geradliniger Bahn von der Erde zu entfernen , während 
umgekehrt seine Tangentialgeschwindigkeit ihn verhin- 
dert gegen die Erde zu fallen. Die Möndbewegung er- 
schien also mit einem mal in einem ganz neuen Licht, 
und doch unter ganz bekannten Gesichtspunkten. Die 
neue Anschauung war reizend, indem sie bisher ganz 
fernliegende Objecte erfasste, und überzeugend zu- 
gleich, indem sie die bekanntesten Elemente enthielt. 
Das erklärt ihre rasche Anwendung auf andere Ge- 
biete und ihre durchschlagende Wirkung. 

Nicht allein das tausendjährige Räthsel des Planeten- 
systems hat Newton durch seine neue Anschauung ge- 
löst, sondern auch andere Vorgänge wurden verständ- 
lich. So wie die Schwerebeschleunigung der Erde bis 
zum Monde und überallhin reicht, so reichen auch die 
von andern Weltkörpern herrührenden Beschleunigungen, 
welchen wir nach dem Princip der Continuität diesel- 
ben Eigenschaften zuerkennen müssen, überall hin, auch 
zur Erde. Ist die Schwere aber nichts Locales, nichts 
der Erde individuell Angehöriges, so hat sie auch nicht 
im Erdmittelpunkt allein ihren Sitz. Jedes noch so 
kleine Stück der Erde hat theil an derselben. Jeder 
Theil beschleunigt jeden andern. Hiermit ist ein Reich- 
thum und eine Freiheit der physikalischen Anschauung 
gewonnen, von der man vor Newton keine Ahnung 
hatte. 

Eine ganze Reihe von Sätzen über die Wirkung von 
Kugeln auf andere Körper ausserhalb, auf oder inner- 
halb der Kugeln, Untersuchungen über die Gestalt der 
Erde, insbesondere deren Abplattung durch die Rotation, 
flössen wie von selbst aus dieser Anschauung. Das 
Räthsel des Flutphänomens, dessen Zusammenhang mit 
dem Monde schon lange vermuthet wurde, erklärte sich 
mit einem mal aus der Beschleunigung der beweglichem 
Wassermassen durch den Mond. 



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186 Zweites Kapitel. 

4. Die Rückwirkung der neu gewonnenen physika- 
lischen Reichthümer auf die Mechanik konnte nicht aus- 
bleiben. Die sehr verschiedene Beschleunigung, welche 
derselbe Körper je nach seiner Lage im Weltraum nach 
der neuen Anschauung darbot, legte sofort den Gedan- 
ken eines variablen Gewichtes nahe, wobei man doch 
ein Merkmal des Körpers als unveränderlich erkannte. 
Es trennten sich hierdurch zuerst klar die Begriffe 
Masse und Gewicht. Die erkannte Veränderlichkeit 
der Beschleunigung veranlasste Newton durch besondere 
Versuche die Unabhängigkeit der Schwerebeschleunigung 
von der chemischen Beschaffenheit zu constatiren, wo- 
durch neue Anhaltspunkte zur Klarlegung des Verhält- 
nisses von Masse und Gewicht gewonnen wurden, wie 
wir eingehender zeigen werden. Endlich wurde durch 
Newton's Leistungen die allgemeine Anwendbarkeit 
des Galilei'schen Kraftbegriffes stärker fühlbar ge- 
macht, als dies je zuvor geschehen war. Man konnte nicht 
mehr glauben, dass dieser Begriff auf das Fallphänomen 
und die nächstliegenden Vorgänge allein anwendbar sei. 
Die Verallgemeinerung vollzog sich nun wie von selbst, 
und ohne ein besonderes Aufsehen zu erregen. 

5. Besprechen wir nun eingehender die Leistungen 
Newton's in Bezug auf die Principien der Mechanik. 
Wir wollen uns hierbei zunächst den Anschauungen 
Newton's hingeben, dieselben dem Gefühl des Lesers 
nahe zu bringen suchen, und nur ganz vorbereitende 
kritische Bemerkungen machen, die eingehende Kritik 
für eine spätere Stelle versparend. Als Hauptfort- 
schritte gegen Galilei und Huyghens fallen uns beim 
Durchblättern seines Werkes (Philos. natural, princip. 
mathemat. Londini 1687) sofort folgende Punkte auf. 

1) Die Verallgemeinerung des Kraftbegriffes. 

2) Die Aufstellung des Begriffes Masse. 

3) Die deutliche und allgemeine Formulirung des 
Satzes vom Kräftenparallelogramm. 

4) Die Aufstellung des Princip s der Gleichheit von. 
Wirkung und Gegenwirkung. 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 187 

6. In Bezug auf den ersten Funkt ist dem Gesagten 
wenig hinzuzufügen. Newton fasst alle bewegungsbe- 
stimmenden Umstände, nicht allein die Erdschwere, 
sondern auch die Anziehung der Planeten, die Wirkung 
des Magneten u. s. w. als beschleunigungsbestim- 
mend auf. Hierbei bemerkt er ausdrücklich, dass er mit 
den Worten Attraction u. s. w. keine Vorstellung über 
die Ursache oder Art der Wechselwirkung ausdrücken, 
sondern nur das in den Bewegungsvorgängen sich that- 
sächlich Aussprechende bezeichnen wolle. Die wieder- 
holte ausdrückliche Versicherung Newton's, dass es ihm 
nicht um Speculationen über die verborgenen Ursachen 
der Erscheinungen, sondern um Untersuchung und Con- 
statirung des That sächlichen zu thunsei, die Gedanken- 
richtung, welche sich deutlich und kurz in seinen 
Worten „hypotheses non fingo" ausspricht, charakterir 
sirt ihn als einen Philosophen von eminenter Be- 
deutung. Er ist nicht begierig, sich durch seine eigenen 
Einfalle in Erstaunen zu versetzen, überraschen und 
imponiren zu lassen, er will die Natur erkennen. 1 



1 Dies zeigt sich in vorzüglicher Weise durch die Regeln 
zur Erforschung der Natur, welche sich Newton gebildet hat: 

„1. Kegel. An Ursachen zur Erklärung natürlicher 
Dinge nicht mehr zuzulassen, als wahr sind und zur Er- 
klärung jener Erscheinungen ausreichen. 

„2. Regel. Man muss daher, soweit es angeht, gleich- 
artigen Wirkungen dieselben Ursachen zuschreiben. So dem 
Athem der Menschen und der Thiere, dem Fall der Steine 
in Europa und Amerika, dem Licht des Küchenfeuers und 
der Sonne, der Zurückwerfung des Lichtes auf der Erde und 
den Planeten. 

„3. Regel. Diejenigen Eigenschaften der Körper, welche 
weder verstärkt noch vermindert werden können und welche 
allen Körpern zukommen, an denen man Versuche anstellen 
kann, muss man für Eigenschaften aller Körper halten. 
(Nun folgt die Aufzählung der allgemeinen Eigenschaf teu, 
welche in alle Lehrbücher übergegangen ist.) 

„Sind endlich alle Körper in der Umgebung der Erde gegen 
diese schwer, und zwar im Verhältniss der Menge von Materie 
in jedem; ist der Mond gegen die Erde nach Verhältniss 



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188 Zweites Kapitel. 

7. Betreffend den Begriff „Masse" bemerken wir zu- 
nächst, dass die von Newton gegebene Formulirung, 
welche die Masse als die durch das Product des Volu- 
mens und der Dichte bestimmte Quantität der Materie 
eines Körpers bezeichnet, unglücklich ist. Da wir die 
Dichte doch nur definiren können, als die Masse der 
Volumseinheit, so ist der Cirkel offenbar. Newton hat 
deutlich gefühlt, dass jedem Körper ein quantitatives 
von seinem Gewicht verschiedenes bewegungsbestimmen- 
des Merkmal anhaftet, welches wir mit ihm Masse 
nennen, es ist ihm aber nicht gelungen diese Erkenntniss 
in correcter Weise auszusprechen. Wir kommen noch- 
mals auf diesen Punkt zurück, und wollen hier vor- 
läufig nur Folgendes bemerken. 

8. Zahlreiche Erfahrungen, von welchen eine hin- 
reichende Menge Newton zur Verfügung stand, lehren 
deutlich die Existenz eines vom Gewichte verschiedenen 
bewegungsbestimmenden Merkmals. Bindet man 
ein Schwungrad an ein Seil, und versucht es über eine 
Bolle in die Höhe zu ziehen, so empfindet man das 
Gewicht des Schwungrades. Wird aber das Schwung- 
rad auf eine möglichst cylindrische und glatte Axe ge- 
gesetzt, und möglichst gut äquilibrirt, so nimmt es ver- 



seiner Masse und umgekehrt unser Meer gegen den Mond 
schwer; hat man ferner durch Versuche und astronomische 
Beobachtungen erkannt, dass alle Planeten wechselseitig 
gegeneinander und die Cometen gegen die Sonne schwer sind; 
so muss man nach dieser Regel behaupten, dass alle Körper 
gegeneinander schwer sind. 

„4. Regel. In der Experimentalphysik muss man die, 
aus den Erscheinungen durch Induction geschlossenen Sätze, 
obgleich entgegengesetzte Voraussetzungen vorhanden sind, 
entweder genau oder sehr nahe für wahr halten, bis 
andere Erscheinungen eintreten, durch welche sie entweder 
grössere Genauigkeit erlangen, oder Ausnahmen unterworfen 
werden. 

„Dies muss geschehen, damit nicht das Argument der In- 
duction durch Hypothesen aufgehoben werde." 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 189 




möge seines Gewichtes keine bestimmte Stellung mehr 
ein. Gleichwol empfinden wir einen gewaltigen Wider- 
stand, sobald wir das Schwungrad in Bewegung zu setzen, 
oder das bewegte aufzuhalten versuchen. Es ist dies 
die Erscheinung, welche zur Aufstellung einer beson- 
dern Eigenschaft der Trägheit oder gar Kraft der Träg- 
heit veranlasst hat, was, wie wir gesehen haben und 
noch weiter beleuchten werden, unnöthig ist. Zwei 
gleiche Lasten gleichzeitig gehoben, widerstehen durch 
ihr Gewicht. Beide an die Enden einer Schnur ge- 
knüpft und über eine Rolle geführt, widerstehen der 
Bewegung oder vielmehr der Geschwindigkeitsänderung 
der Rolle durch ihre Masse. Ein grosses Gewicht 
an einen sehr langen Faden als Pendel gehängt, kann 

mit geringer Mühe mit 
einer kleinen Fadenablen- 
kung neben der Gleichge- 
wichtslage erhalten wer- 
den. DieGewichtscompo- 
nente, welche das Pendel 
in die Gleichgewichts- 
lage treibt, ist sehr ge- 
ring. Nichtsdestoweniger 
empfinden wir einen be- 
deutenden Widerstand, 
wenn wir das Gewicht 
rasch bewegen oder anhalten wollen. — Ein Gewicht, 
das durch einen Luftballon eben getragen wird, setzt, 
obgleich wir dessen Schwere nicht mehr zu überwinden 
haben, jeder Bewegung einen fühlbaren Widerstand ent- 
gegen. Nehmen wir hinzu, dass derselbe Körper in ver- 
schiedenen geographischen Breiten und an verschiedenen 
Orten im Weltraum eine sehr ungleiche Schwerebeschleu- 
nigung erfährt, so erkennen wir die Masse als ein vom 
Gewicht verschiedenes bewegungsbestimmendes Merkmal. 
Es soll nun hier noch darauf hingewiesen werden, 
dass für Newton bei seinem eigentümlichen Entwicke- 



DO D 



Fig. 126. 



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190 Zweites Kapitel. 

lungsgang die Auffassung der Masse als Quantität 
der Materie psychologisch sehr nahe lag. Vor 
allem können wir kritische Untersuchungen über die 
Entstehung des Begriffes der Materie in der Newton'- 
schen Zeit von einem Naturforscher nicht erwarten. Der 
Begriff hat sich ganz instinktiv entwickelt, wird als ge- 
geben vorgefunden, und wird mit voller Naivetät auf- 
genommen. Das Gleiche geschieht mit dem Begriffe Kraft. 
Die Kraft erscheint aber an die Materie gebunden. Indem 
nun gerade Newton allen materiellen Theilen gleichartige 
Gravitationskräfte zuschreibt, indem er die Kräfte der 
Weltkörper gegeneinander als die Summe der Kräfte der 
einzelnen Theile desselben ansieht, aus welchen sie sich 
zusammensetzen, erscheinen diese Kräfte geradezu an die 
Quantität der Materie gebunden. Auf letztern Umstand 
hat Rosenb erger („Newton und seine physikalischen Prin- 
cipien", Leipzig 1895, insbesondere S. 192) hingewiesen. 

Ich habe anderwärts („Analyse der Empfindungen") 
zu zeigen versucht, wie wir durch die Beständigkeit der 
Verbindung verschiedener Sinnesempfindungen zur An- 
nahme einer absoluten Beständigkeit geleitet werden, 
welche wir Substanz nennen, wie sich als das erste 
und nächstliegende Beispiel einer solchen Substanz der 
von seiner Umgebung unterscheidbare bewegliche Körper 
darbietet. Ist der Körper in gleichartige Theile theil- 
bar, deren jeder einen beständigen Eigenschaftscomplex 
darbietet, so gelangen wir zur Vorstellung eines Sub- 
stanziellen, welches quantitativ veränderlich ist, das 
wir Materie nennen. Was wir aber von einem Körper 
wegnehmen, erscheint dafür anderswo. Die gesammte 
Quantität der Materie zeigt sich constant. Genau ge- 
nommen haben wir es aber mit so vielen substanziellen 
Quantitäten zu thun, als die Körper Eigenschaften haben, 
und für die Materie bleibt keine andere Function übrig, 
als die, die beständige Verbindung der einzelnen Eigen- 
schaften darzustellen, von welchen die Masse nur eine 
ist. (Vgl. „Principien der Wärmelehre", 1896, S. 425.) 

9. Wichtig ist der Nachweis Newton's, dass unter 



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Die Ent Wickelung der Principien der Dynamik. 191 

gewissen besondern Umständen die Masse eines Körpers 
nach dem Gewicht geschätzt werden kann. Denken wir 
uns einen Körper auf einer Unterlage ruhend, auf 
welche er durch sein Gewicht einen Druck ausübt. Es 
liegt die Bemerkung nahe, dass 2, 3 solche Körper oder 
die Hälfte, ein Drittheil derselben auch den 2-, 3-, £-, 
•^fachen Druck hervorbringen. Denken wir uns die Fall- 
beschleunigung vergrössert, verkleinert oder verschwun- 
den, so werden wir erwarten, dass auch der Druck sich 
vergrössert, verkleinert oder verschwindet. Wir sehen 
also, dass der Gewichtsdruck mit der „Menge der 
Materie" und mit der Grösse der Fallbeschleunigung 
wächst, abnimmt und verschwindet. Wir fassen den 
Druck p in der einfachsten Weise als quantitativ dar- 
stellbar durch das Product aus 
der Menge der Materie m und der i i i 

Fallbeschleunigung g auf, p = mg. 6 , , , , 
Nehmen wir nun zwei Körper an, ® | a| a|a | 
welche beziehungsweise den Ge- mMM%^* 
wichtsdruck p, p' ausüben, denen 
wir die „Mengen der Materie" im, m' Fi ff- 127 - 

zuschreiben, und welche den Fall- 
beschleunigungen g, g' unterliegen, so ist p = m g und 
p' = m' g*. Könnten wir nun nachweisen, dass unab- 
hängig von der materiellen (chemischen) Beschaffenheit 

an demselben Ort der Erde g = g\ so wäre — ; =-r> 

*w p 

es könnte also die Masse an demselben Orte der Erde 
durch das Gewicht gemessen werden. 

Die Unabhängigkeit des g von der chemischen Be- 
schaffenheit hat Newton durch gleich lange Pendel von 
verschiedenem Material constatirt, welche trotzdem 
gleiche Schwingungsdauer zeigten. Hierbei hat er 
die Störungen durch den Luftwiderstand eingehend be- 
rücksichtigt. Man beseitigt den Einfluss desselben, in- 
dem man aus verschiedenem Material gleich grosse Pen- 
delkugeln anfertigt, deren Gewicht durch Aushöhlen aus- 
geglichen ist. Alle Körper können demnach als mit 



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192 Zweites Kapitel. 

demselben g behaftet angesehen, und ihre Materiemenge 
oder Masse kann nach Newton durch ihr Gewicht ge- 
messen werden. 

Denken wir uns zwischen eine Reihe von Körpern 
und einen Magnet eine Scheidewand gebracht, so wer- 
den bei hinreichender Stärke des Magneten diese Kör- 
per, wenigstens die Mehrzahl derselben, einen Druck 
auf die Scheidewand ausüben. Niemand wird aber auf 
den Einfall kommen, diesen magnetischen Druck in der- 
selben Weise wie den Gewichtsdruck als Massenmaass 
zu verwenden. Die zu offenbare Ungleichheit der durch 
den Magnet verschiedenen Körpern beigebrachten Be- 
schleunigung lässt einen solchen Gedanken gar nicht 
aufkommen. Der Leser merkt 
übrigens, dass diese ganze 
JJ Ueberlegung noch eine bedenk- 

liche Seite hat, insofern sie den 
Massebegriff, der bisher immer 
° u nur genannt und als Bedür f- 

Fig. 128, niss empfunden, aber nicht 

definirt wird, voraussetzt. 
10. Von Newton rührt die klare Formulirung des 
Princips der Zusammensetzung der Kräfte her. l Wird 
ein Körper von zwei Kräften gleichzeitig ergriffen, von 
welchen die eine die Bewegung AB, die andere die 
Bewegung A C in derselben Zeit hervorrufen würde, so 
bewegt sich der Körper, weil beide Kräfte und die von 
denselben erzeugten Bewegungen voneinander unab- 
hängig sind, in derselben Zeit nach AD. Diese Auf- 
fassung ist vollkommen natürlich und bezeichnet doch deut- 
lich den wesentlichen Punkt. Sie enthält nichts von dem 
Künstlichen und Geschraubten, das man nachher in die 
Lehre von der Zusammensetzung der Kräfte gebracht hat. 




1 Hier sind auch Roberval'* (1668) und Lami's (1687) 
Leistungen betreffend die Lehre von der Zusammensetzung 
der Kräfte zu erwähnen. Yarignon's wurde bereits gedacht. 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 193 

Wir können den Satz noch etwas anders ausdrücken, 
lim ihn der heutigen Form näher zu bringen. Die 
Beschleunigungen, welche verschiedene Kräfte demselben 
Körper beibringen, sind zugleich das Maass dieser 
Kräfte. Den Beschleunigungen proportional sind aber 
auch die in gleichen Zeiten zurückgelegten "Wege; letztere 
können also selbst als Maass der Kräfte dienen. Wir 
können also sagen : Wirken auf den Körper A nach den 
Richtungen A B und A G zwei Kräfte, welche den 
Linien A B und A proportional sind , so tritt eine 
Bewegung ein, die auch durch eine dritte Kraft allein, 
welche nach der Diagonale des über A B, A G construir- 
ten Parallelogramms gerichtet und dieser proportional 
ist, hervorgebracht werden könnte. Letztere Kraft ver- 
mag also die beiden andern zu ersetzen. Sind nämlich 
9 und \J> die beiden nach A B und A C auftretenden 
Beschleunigungen, so ist für eine gewisse Zeit t, 

ot 2 ibt 2 

AB = ~— y AG = ~— . Denken wir uns A D durch 
2 2 

eine Kraft (welche die Beschleunigung £ bedingt) in 

derselben Zeit hervorgebracht, so haben wir 

AD= £— und AB:AC:AD = <p:ty:x. 

Erkennt man die Unabhängigkeit der Kräfte voneinan- 
der, so ergibt sich das Princip des Kräftenparallelo- 
gramms ohne Schwierigkeit aus dem Galilei'schen Kraft- 
begriff. Ohne die Annahme der Unabhängigkeit das 
Princip herauszuphilosophiren, würde man sich vergeb- 
lich bemühen. 

11. Vielleicht die wichtigste Leistung Newton's in 
Bezug auf die Principien ist die deutliche und allge-' 
meine Formulirung des Princips der Gleichheit von 
Wirkung und Gegenwirkung, von Druck und Gegen- 
druck. Fragen über die Bewegung von Körpern, welche 
sich gegenseitig beeinflussen, können nicht durch die 
Galilei'schen Principien allein gelöst werden. Es ist ein 
neues Princip nöthig, welches eben die Wechselwirkung 

Mach. 13 



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194 Zweites Kapitel. 

bestimmt. Ein solches Princip ist das von Huyghens 
zur Untersuchung des Schwingungsmittelpunktes heran- 
gezogene, ein solches ist auch das Newton'sche Princip 
der Gleichheit von Wirkung und Gegenwirkung. 

Ein Körper, der einen andern drückt oder zieht, 
wird nach Newton von dem andern ebenso viel gedrückt 
oder gezogen. Druck und Gegendruck, Kraft und 
Gegenkraft sind einander stets gleich Da Newton die 
in der Zeiteinheit erzeugte Bewegungsgrösse (Masse X 
Geschwindigkeit) als Kraftmaass definirt, so folgt, dass 
aufeinander wirkende Körper sich in gleichen Zeiten 
gleiche entgegengesetzte Bewegungsgrössen ertheilen, 
oder entgegengesetzte ihren Massen umgekehrt pro- 
portionirte Geschwindigkeiten annehmen. 

Obgleich nun das Newton'sche Princip in seinem Aus- 
druck viel einfacher, naheliegender und auf den ersten 
Blick annehmbarer erscheint, als das Huyghens'sche , so 
findet man doch, dass es keineswegs weniger unanalysirte 
Erfahrung, weniger Instinctives enthält. Ohne Frage 
ist die erste Anregung zur Aufstellung des Princips 
rein instinctiver Natur. Man weiss, dass man erst 
dann, wenn man sich bemüht einen Körper in Bewegung 
zu setzen, von diesem Körper einen Widerstand er- 
fahrt. Je rascher wir einen grossen Stein fortzuschleu- 
dern suchen, desto mehr wird unser eigener Körper 
zurückgedrängt. Druck und Gegendruck gehen parallel. 
Die Annahme der Gleichheit von Druck und Gegen- 
druck liegt nahe, wenn wir uns (nach Newton's eigener 
Erläuterung) zwischen zwei Körpern ein gespanntes 
Seil, eine gespannte oder gedrückte Spiralfeder denken. 

Instinctive der Statik angehörige Erkenntnisse, welche 
die Gleichheit von Druck und Gegendruck enthalten, 
gibt es sehr viele. Die triviale Erfahrung, dass nie- 
mand sich selbst durch Ziehen an seinem Stuhl in die 
Luft erheben kann, ist eine solche. In einem Scholium, 
in welchem Newton die Physiker Wren, Huyghens und 
Wallis als Vorgänger in Bezug auf die Benutzung des 
Princips anführt, stellt er auch analoge Ueberlegungen 



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Die Entwicklung der Principien der Dynamik. 195 

an. Er denkt sich die Erde, deren einzelne Theile 
gegeneinander gravitiren, durch irgendeine Ebene ge- 
theilt. Wäre der Druck des einen Theils auf den an- 
dern nicht gleich dem Gegendruck, so müsste sich die 
Erde nach der Richtung des grössern Druckes bewegen. 
Die Bewegung eines Körpers kann aber nach unserer 
Erfahrung nur durch andere Körper ausserhalb des- 
selben bestimmt sein. Zudem könnte man sich die ge- 
nannte Theilungsebene beliebig legen und die Be- 
wegungsrichtung wäre daher ganz unbestimmt. 

12. Die Unklarheit des Massenbegriffes macht sich 
aufs neue fühlbar, sobald wir das Princip der Gleich- 
heit von Wirkung und Gegenwirkurg dynamisch ver- 
wenden wollen. Druck und Gegendruck mögen gleich 
sein. Woher wissen wir aber, dass gleiche Drucke den 
Massen verkehrt proportionale Geschwindigkeiten er- 
zeugen? Newton fühlt auch wirklich das Bedürfniss, 
diesen Grundsatz durch die Erfahrung zu erhärten. Er 
führt in seinem Scholion die Stossexperimente von 
Wren für seinen Satz an, und stellt selbst Experimente 
an. Er schliesst in ein verkorktes Gläschen einen 
Magnet, in ein anderes ein Stück Eisen ein, setzt beide 
auf Wasser, und überlässt sie ihrer gegenseitigen Ein- 
wirkung. Die Gläschen nähern sich, stossen aneinan- 
der, bleiben aneinander haften, und verharren nachher 
in Ruhe. Dies spricht für die Gleichheit von Druck 
und Gegendruck und auch für gleiche und entgegen- 
gesetzte Bewegungsquantitäten (wie wir bei Besprechung 
der Stossgesetze sehen werden). 

13. Der Leser hat schon gefühlt, dass die ver- 
schiedenen Aufstellungen Newton's in Bezug auf die 
Masse und das Gegenwirkungsprincip miteinander zu- 
sammenhängen, dass eine durch die andere gestützt 
wird. Die zu Grunde liegenden Erfahrungen sind: die 
instinctive Erkenntniss des Zusammenhanges von Druck 
und Gegendruck, die Erkenntniss, dass Körper unabhängig 
von ihrem Gewicht, aber dem Gewichte entsprechend 
der Geschwindigkeitsänderung widerstehen, die Be- 

13* 



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196 Zweites Kapitel. 

merkung, dass Körper von grösserm Gewicht unter 
gleichem Druck kleinere Geschwindigkeiten annehmen. 
Newton hat vortrefflich gefühlt, welche Grundbegriffe 
und Grundsätze der Mechanik nothwendig sind. Die Form 
seiner Aufstellungen lässt jedoch, wie wir noch eingehen- 
der zeigen werden, manches zu wünschen übrig. Wir 
haben kein Recht, seine Leistung deshalb zu unter- 
schätzen, denn er hatte die grössten Schwierigkeiten 
zu überwinden und ist denselben weniger als alle an- 
dern Forscher aus dem Wege gegangen. 



4. Erörterung und VeranschaulicJiung des 
Gegenwirhungsprincips 

1. Wir wollen uns nun einen Augenblick dem New- 
ton' sehen Gedanken hingeben, und das Gegenwirkungs- 



M 



a a 



[rn]_>v £|i) |m|-£ 



Fig. 129. Fig. 130. 

prineip unserm Gefühl und unserer Anscnauung näher 
zu bringen suchen. Wenn zwei Massen M und m auf- 
einander wirken, so ertheilen sie sich nach Newton ent- 
gegengesetzte Geschwindigkeiten V und #, welche 
sich verkehrt wie die Massen verhalten, sodass 

MV -\- mv = o. 

Man kann diesem Grundsatz den Anschein grosser 
Evidenz durch folgende Betrachtung geben. Wir den- 
ken uns zunächst zwei vollkommen (auch in chemischer 
Beziehung) gleiche Körper a. Stellen wir dieselben 
einander gegenüber und lassen wir sie aufeinander wir- 
ken, so ist bei Ausschliessung des Einflusses eines dritten 
Körpers und des Beschauers, die Ertheilung von gleichen 



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Die Entwickelung der Priocipien der Dynamik. 197 

entgegengesetzten Geschwindigkeiten nach der Richtung 
der Verbindungslinie die einzige eindeutig bestimmte 
"Wechselwirkung. 

Nun stellen wir Fig. 131 m solcher Körper ain A zusam- 
men, und stellen denselben m' solcher Körper a in B ent- 
gegen. Wir haben also Körper, deren Materiemengen 
oder Massen sich wie m : m' verhalten. Die Distanz 
beider Gruppen nehmen wir so gross, dass wir von der 
Ausdehnung der Körper absehen können. Betrachten wir 
nun die Beschleunigungen a, welche je zwei Körper a sich 
ertheilen, als voneinander unabhängig. Jeder Theil in 
A wird nun durch B die Beschleunigung m ' <x, jeder 
Theil in B durch A die Beschleunigung m a erhalten, 



Ttioc 



a a 



a a 



Fig. 131. 



[llfo^ 



Fig. 132. 



welche Beschleunigungen also den Massen verkehrt pro- 
portionirt sein werden. 

2. "Wir stellen uns nun eine Masse M mit einer 
Masse m (beide bestehend aus lauter gleichen Körpern a) 
elastisch verbunden vor (Fig. 132.) Die Masse m erhalte 
durch eine äussere Ursache eine Beschleunigung (f. So- 
fort tritt eine Zerrung an der Verbindung auf, wodurch 
einerseits m verzögert, M aber beschleunigt wird. So- 
bald sich beide Massen mit derselben Beschleunigung 
bewegen, hat die weitere Zerrung der Verbindung ein 
Ende. Nennen wir <x die Beschleunigung von M, ß die 
Verminderung der Beschleunigung von w, so ist dann 

a = 9 — ß, wobei nach dem Frühern a M = ß m. 

Hieraus folgt 

M +m' 



a + ß = a + ^ =<pod era : 
m T 



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198 Zweites Kapitel. 

Wollte man noch mehr auf die Einzelheiten des Vor- 
ganges eingehen, so würde man erkennen, dass die 
beiden Massen neben ihrer fortschreitenden Bewegung 
meist noch eine schwingende Bewegung gegeneinander 
ausführen. Entwickelt die Verbindung schon bei ge- 
ringer Zerrung eine grosse Spannung, so kann es zu 
keiner grossen Schwingungsweite kommen, und man kann 
von dieser schwingenden Bewegung ganz absehen, wie 
wir es gethan haben. 

Wenn wir den Ausdruck a = ,^ . , welcher die Be- 

schleunigung des ganzen Systems bestimmt, in Augen- 
schein nehmen, so sehen wir, dass das Product »»9 bei 
dieser Bestimmung eine ausgezeichnete Kolle spielt. Es 
ist deshalb dieses Product einer Masse in die derselben 
ertheilte Beschleunigung von Newton mit dem Namen 
„bewegende Kraft" belegt worden. Dagegen stellt 
M -J- m die Gesammtmasse des starren Systems vor. 
Wir erhalten also die Beschleunigung einer 
TT13 TT12 mi Masse m', auf welche die bewegende Kraft 

nnn p 

1 — ' L - ■ J — p wirkt, durch den Ausdruck —r . 

tn 

tg ' 2 3. Um zu diesem Kesultat zu kommen, 

ist es durchaus nicht nothwendig, dass die beiden mitein- 
ander verbundenen Massen in allen Theilen direct aufein- 
ander wirken. Nehmen wir die drei Massen m Xi m 2 , m 9 
als miteinander verbunden an, wobei aber m l blos auf 
?» 2 , m z nur aufm 2 wirken soll. Die Masse m x erhalte durch 
eine äussere Ursache die Beschleunigung 9. Bei der Zer- 
rung erhalten die Massen m z m 2 vn^ 
die Beschleunigungen +5 -J-ß +9 

— Y — a. 
Hierbei sind alle Beschleunigungen nach rechts posi- 
tiv, nach links negativ gerechnet, und es ist ersicht- 
lich, dass die Zerrung nicht weiter wächst, 

wenn 5 = ß — y, 8 = 9 — a, 
wobei5w? 3 =yw 3 , am 1 =ßw* 3 . 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 199 

Die Auflösung dieser Gleichungen liefert die gemein- 
schaftliche Beschleunigung 



*"i + % + m 3 

also ein Resultat von derselben Form wie zuvor. Wenn 
also ein Magnet auf ein Stück Eisen wirkt, welches 
mit einem Stück Holz verbunden ist, so brauchen wir 
uns nicht darum zu kümmern, welche Holztheile direct 
oder indirect (mit Hülfe anderer Holztheile) durch die 
Bewegung des Eisenstücks gezerrt werden. Die ange- 
stellten Ueberlegungen dürften dazu beigetragen haben, 
uns die grosse Bedeutung der Newton' sehen Aufstellungen 
für die Mechanik fühlbar zu machen. Zugleich werden sie 
später dazu dienen, die 
Mängel dieser Aufstellun- u 

gen leichter klar zu legen. fcfc^^J^ 

4. Wenden wir uns nun • ||§§||1| 

zu einigen anschaulichen t KnSniil^ 

physikalischen Beispielen j | I 

für das Gegenwirkungsprin- 
cip. Betrachten wir eine Fi ff- * 34 - 

Last L auf einem Tisch T. 

Der Tisch wird nur i n s o f e r n durch die Last gedrückt, als 
er umgekehrt die Last drückt, dieselbe also am Fallen 
hindert. Heisst p das Gewicht, m die Masse und g 
die Beschleunigung der Schwere, so ist nach Newton's 
Anschauung p = mg. Lassen wir den Tisch mit der 
Beschleunigung des freien Falles g sich abwärts bewegen, 
so hört jeder Druck auf denselben auf. Wir erkennen 
also, dass der Druck auf den Tisch durch die Relativ- 
beschleunigung der Last gegen den Tisch bestimmt ist. 
Fällt oder steigt der Tisch mit der Beschleunigung y> 
so ist beziehungsweise der Druck auf denselben m (g — y) 
und m (g + y). Man bemerke aber wohl, dass durch 
eine constante Fall- oder Steigegeschwindigkeit 
keine Aenderung des Verhältnisses herbeigeführt wird. 
Die Relativbeschleunigung ist maassgebend. 



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i 



200 Zweites Kapitel. 

Galilei kannte dieses Verhältniss sehr wohl. Die 
Meinung der Aristoteliker, dass Körper von grösserm 
Gewicht rascher fallen, widerlegte er nicht nur durch 
Experimente, sondern er trieb seine Gegner auch logisch 
in die Enge. Der grössere Körper fällt schneller, sagten 
die Aristoteliker, weil die obern Theile auf den untern 
lasten und deren Fall beschleunigen. Dann, meint 
Galilei, muss wol ein kleinerer Körper mit einem 
grösseren verbunden, wenn ersterer an sich die Eigen- 
schaft hat, langsamer zu fallen, den grössern verzögern. 
Es fällt also dann ein grösserer Körper langsamer als 
der kleinere. Die ganze Grundannahme, sagt Galilei, 
sei falsch, denn ein Theil eines fallenden Körpers 
kann durch sein Gewicht den andern gar nicht drücken. 

Ein Pendel mit der Schwingungsdauer T = 7C \f 

9 

würde, wenn die Axe die Beschleunigung y abwärts 

erhielte, die Schwingungsdauer T = % \l an- 

Y ^ — T 

nehmen, und im freien Fall eine unendliche Schwingungs- 
dauer erhalten, d. h. aufhören zu schwingen. 

"Wenn wir selbst von einer Höhe herabspringen oder 
fallen, haben wir ein eigenthümliches Gefiihl, welches 
durch die Aufhebung des Gewichtsdruckes der Körper- 
theile aufeinander, des Blutes u. s. w. bedingt sein 
muss. Ein ähnliches Gefühl, als ob der Boden unter 
uns versinken würde, müssten wir auf einem kleineren 
Weltkörper haben, wenn wir plötzlich dorthin versetzt 
würden. Das Gefühl des fortwährenden Erhebens, wie 
bei einem Erdbeben, würde sich auf einem grössern 
Weltkorper einstellen. 

5. Diese Verhältnisse werden durch einen von Poggen- 
dorff construirten Apparat (Fig. 135 c.) sehr schön erläutert. 
Ueber eine Rolle c am Ende eines Wagebalkens wird ein 
beiderseits mit dem Gewicht P belasteter Faden gelegt. 
Man legt einerseits das Gewicht p hinzu, und bindet es 
au der Axe der Bolle durch einen dünnen Faden fest. 




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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 201 



Die Rolle trägt nun das Gewicht 2 P + P- Sobald man 
aber den Faden des Uebergewichts p abbrennt, beginnt 
eine gleichförmig beschleunigte Bewegung mit der Be- 
schleunigung y , mit welcher P -f- p sinkt und ander- 
seits P steigt. Hierbei wird nun die Belastung der 
Rolle geringer, wie man am Ausschlag der Wage er- 
kennt. Das sinkende Gewicht P wird durch das steigende 
P compensirt, dagegen wiegt das Zuleggewicht statt p 

nunmehr — . (g — y). 
U 

p 

Da nun v = - - , • g , so hat man anstatt p das 

1 2P+.P * 

2 P 

als Belastung der Rolle anzu- 



Gewicht* 2p + p 

sehen. Das nur theil weise an seiner Fallbewegung 
gehinderte Gewicht drückt nur theilweise auf die Rolle. 



fa 



ftp 



pA 



OL?*z 



r 



Fig. 135 a. 



3= 



/m 



Fig. 135 b. 



=§ 



Man kann den Versuch variiren. Man führt einen 
einerseits mit dem Gewicht P belasteten Faden über die 
Rollen a, b, d des Apparates, wie dies in der Fig. 135b. 
angedeutet ist, bindet das unbelastete Ende bei m fest 
und äquilibrirt die Wage. Zieht man an dem Faden 
bei m, so kann dies, weil die Fadenrichtung genau durch 
die Axe der Wage geht, keine directe Wirkung auf die- 
selbe haben. Doch sinkt sofort die Seite a. Jedes Nach- 
lassen des Fadens bringt a zum Steigen. Die unbe- 
schleunigte Bewegung des Gewichtes würde das Gleich- 



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202 



Zweites Kapitel. 



gewicht nicht stören. Man kann aber nicht ohne Be- 
schleunigung von der Ruhe zur Bewegung übergehen. 
6. Eine Erscheinung, welche auf den ersten Blick 
auffällt, ist die, dass in einer Flüssigkeit specifisch 
schwerere oder leichtere Körperchen, wenn sie nur hin- 




Fig. 135 c. 

reichend klein sind, sehr lange suspendirt bleiben 
können. Man erkennt jedoch, dass solche Theilchen 
die Flüssigkeitsreibung zu überwinden haben. Theilt 
man den Würfel der Figur 136 durch die ange- 
deuteten 3 Schnitte in 8 Theile, die man nebenein- 
anderlegt, so bleibt die Masse und das Uebergewicht 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 203 

gleich, der Querschnitt und die Oberfläche aber, mit 
welchen die Reibung Hand in Hand geht, wird ver- 
doppelt. 

Es ist nun gelegentlich die Ansicht aufgetreten, dass 
derartige suspendirte Theilchen auf das durch ein ein- 
getauchtes Areometer angezeigte specifische Gewicht 
keinen Einfluss hätten, weil diese Theilchen ja selbst 
nur Areometer wären. Man überlegt aber leicht, dass, 
sobald diese Theilchen mit constanter Geschwindigkeit 
sinken oder steigen, was bei sehr kleinen Theilchen 
sofort eintritt, die Wirkung auf die Wage und das 
Areometer dieselbe sein muss. Denkt man sich das 
Areometer um seine Gleichgewichtslage schwingend, so 
merkt man, dass die Flüssigkeit mit ihrem ganzen Inhalt 
mitbewegt werden muss. Man ist also, das Princip der 
virtuellen Verschiebungen anwendend, 

nicht darüber im Zweifel, dass auch y^ ,-■ 

das Areometer das mittlere specifische | ^~ 

Gewicht angeben muss. Von der 
Unhaltbarkeit der Regel, nach welcher 
das Areometer nur das specifische 
Gewicht der Flüssigkeit und nicht 
auch jenes der suspendirten Theile 
anzeigen soll, überzeugt man sich 
durch folgende Ueberlegung. In 
einer Flüssigkeit A sei eine kleinere Menge einer 
schwereren Flüssigkeit B fein in Tropfen vertheilt. Das 
Areometer zeige nur das specifische Gewicht von A an. 
Nimmt man nun von der Flüssigkeit B immer mehr, 
zuletzt ebenso viel als von A, so kann man nicht mehr 
sagen, welche Flüssigkeit in der andern suspendirt ist, 
welches specifische Gewicht also das Areometer an- 
zeigen soll. 

7. Eine grossartige Erscheinung, in welcher sich die 
Relativbeschleunigung der Körper als maassgebend für 
ihren gegenseitigen Druck äussert, ist das Flutphäno- 
men. Wir wollen dasselbe hier nur insofern betrachten, 
als es zur Erläuterung des berührten Punktes dienen 



Fig. 136. 



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204 Zweites Kapitel. 

kann. Der Zusammenhang des Flutphänomens mit 
der Mondbewegung äussert sich durch die Ueberein- 
stimmung der Flutperiode mit der Mondperiode, durch 
die Verstärkung der Flut beim Vollmond und Neumond, 
durch die tägliche Flutverspätung (um 50 Minuten) ent- 
sprechend der Verspätung der Mondculmination u. s. w. 
In der That hat man schon sehr früh an einen Zu- 
sammenhang beider Vorgänge gedacht. Man stellte sich 
in der Newton'schen Zeit eine Art Luftdruckwelle vor, 
mit Hülfe welcher der Mond bei seiner Bewegung die 
Flutwelle erregen sollte. 

Das Flutphänomen macht auf jeden, der es zum 
ersten mal in seiner ganzen Grösse beobachtet, einen 
überwältigenden Eindruck. Wir dürfen uns also nicht 
wundern, dass es die Forscher aller Zeiten lebhaft be- 
schäftigt hat. Die Krieger Alexander's des Grossen 
kannten vom Mittelmeer her kaum einen Schatten des 
Flutphänomens, und wurden daher durch die gewaltige 
Flut an der Mündung des Indus nicht wenig über- 
rascht, wie wir dies aus der Beschreibung des Cur t ins Ru- 
fus („Von den Thaten Alexander's des Grossen", Lib. IX, 
Cap. 34 — 37) entnehmen, die wir hier wörtlich folgen 
lassen. 

„34. Als sie nun etwas langsamer, weil sie in ihrem 
Laufe durch die Meeresflut zurückgetrieben wurden, eine 
andere mitten im Strome gelegene Insel erreichten, so 
legten sie mit der Flotte an und zerstreuten sich, um 
Proviant zu suchen, ohne Ahnung von dem Ereigniss, 
dass die Unkundigen überraschte. 

„35. Es war um die dritte Stunde, als der Ocean 
mit seinem stetigen Flutwechsel anzurücken und den 
Fluss zurückzudrängen begann. Erst gestaut, dann 
heftiger zurückgetrieben, strömte dieser mit grösserer 
Gewalt nach entgegengesetzter Richtung, als Giessbäche 
im abschüssigen Bette einherschiessen. Der Menge war 
die Natur des Meeres unbekannt, und man glaubte ein 
Wunder und ein Zeichen des göttlichen Zornes zu sehen. 
Mit immer erneutem Andränge ergoss sich das Meer 



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Die Entwicklung der Principien der Dynamik. 205 

auch auf die kurz zuvor trockenen Gefilde. Und schon 
waren die Fahrzeuge in die Höhe gehoben und die 
ganze Flotte zerstreut, als von allen Seiten die ans 
Land Gesetzten erschreckt und bestürzt durch das un- 
erwartete Unglück zurückrannten. Aber bei Verwirrung 
fördert auch Eile nicht. Die Einen stiessen die Schiffe 
mit Stangen ans Land, Andere waren, während sie das 
Zurechtmachen der Ruder hinderten, festgefahren. Manche 
hatten bei ihrer Eile, abzustossen, nicht auf ihre Kame- 
raden gewartet und brachten nun die lahmen und un- 
lenkbaren Schiffe nur in matte Bewegung; andere 
Schiffe hatten die sich unbedacht auf sie Stürzenden 
nicht aufnehmen können, und es war gleichzeitig 
Ueb erfülle und mangelhafte Bemannung, was die Eile 
hemmte. Das Geschrei, hier man solle warten, dort 
man solle abstossen, und die widerstreitenden Rufe der 
niemals ein und dasselbe Wollenden hatten alle Mög- 
lichkeit benommen zu sehen und zu hören. Selbst bei 
den Steuerleuten war nicht die geringste Hülfe, da we- 
der ihr Ruf von den Tobenden vernommen werden 
konnte, noch ihr Befehl von den Erschrockenen und 
Verwirrten beachtet wurde. Also begannen die Schiffe 
gegeneinander zu stossen, sich wechselseitig die Ruder 
abzubrechen, und ein Fahrzeug auf das andere loszu- 
drängen. Man konnte glauben, es fahre da nicht die 
Flotte ein und desselben Heeres, sondern zwei ver- 
schiedene seien in einem Schiffskampfe begriffen. Vorder- 
theile schmetterten gegen Hintertheile; die eben die 
Vordem in Verwirrung gebracht hatten, sahen sich von 
den Folgenden bedrängt, und der Zorn der Streitenden 
steigerte sich bis zum Handgemenge. 

„36. Und bereits hatte die Flut die ganzen Gefilde 
um den Strom unter Wasser gesetzt, sodass nur noch 
die Hügel wie kleine Inseln hervorragten: die eilten 
sehr viele in ihrer Angst, nachdem sie die Hoffnung 
auf die Schiffe aufgegeben, schwimmend zu erreichen. 
Zerstreut befand sich die Flotte theils auf sehr tiefem 
Wasser, wo Thalsenkungen waren, theils sass sie auf 



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206 Zweites Kapitel. 

Untiefen, wie eben die Wellen die ungleichen Boden- 
erhebungen bedeckt hatten: da wurde ihnen plötzlich 
ein neuer und grösserer Schrecken eingejagt. Das 
Meer begann sich zurückzuziehen, indem die Gewässer 
in langem Wogenzuge an ihren Ort zurückrannen, um 
das kurz zuvor unter tiefer Salzflut versenkte Land 
wieder herauszugeben. Die also vom Wasser verlassenen 
Schiffe stürzten die einen nach vorn über, andere legten 
sich auf die Seite; die Gefilde waren mit Gepäck, 
Waffen und Stücken losgebrochener Breter und Ruder 
bestreut. Die Soldaten wagten weder heraus aufs Land 
zu gehen, noch im Schiffe zu bleiben, immer noch 
Weiteres und Schlimmeres als das Gegenwärtige er- 
wartend. Kaum trauten sie ihren eigenen Augen über das, 
was sie erfahren, auf dem Trockenen ein Schiffbruch, im 
Strom ein Meer. Auch war des Unglücks kein Ende 
zu sehen. Denn unbekannt damit, dass die Flut in 
kurzem das Meer zurückbringen und die Schiffe flott 
machen werde, prophezeiten sie sich Hunger und die 
äusserste Noth. Es krochen auch schreckliche Thiere, 
von den Fluten zurückgelassen, umher. 

„37. Schon brach die Nacht herein, und selbst der 
König war durch die Verzweiflung an ihrer Bettung 
schwer bekümmert. Dennoch überwältigten die Sorgen 
seinen unbesiegbaren Muth nicht, sondern die ganze 
Nacht blieb er unablässig auf der Ausschau und schickte 
Reiter an die Flussmündung voraus, um, sobald sie das 
Meer wieder herauffluten sähen, vorauszueilen. Auch 
gebot er, die geborstenen Fahrzeuge wieder auszu- 
bessern, und die von den Fluten umgestürzten wieder 
aufzurichten, und fertig bei der Hand zu sein, sobald 
wieder das Land vom Meer überschwemmt würde. Nach- 
dem er so die ganze Nacht unter Wachen und Er- 
mahnungen zugebracht hatte, kamen die Reiter eiligst 
im schnellsten Laufe zurückgesprengt, und ebenso 
schnell folgte die Flut. Erst begann diese mit ihren 
im leisen Wellenzuge nahenden Gewässern die Schiffe 
zu heben, bald aber setzte sie das ganze Gefilde über- 



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Die Entwiokelung der Principien der Dynamik. 207 

schwemmend die Flotte auch in Bewegung. Am ganzen 
Küsten- und Ufersaum erschallte das Beifallsklatschen 
der Soldaten und Schiffsleute , die mit maassloser 
Freude ihre unverhoffte Rettung feierten. Woher doch, 
fragten sie verwundert, so plötzlich diese grosse Meeres- 
flut zurückgekehrt? wohin sie gestern entwichen sei? 
und wie die Beschaffenheit dieses bald zwieträchtigen, 
bald dem Gesetze bestimmter Zeiten gehorchenden Ele- 
mentes ? Da der König aus dem Hergang des Geschehenen 
schloss, dass nach Sonnenuntergang der bestimmte Zeit- 
punkt eintrete, so fuhr er, um der Flut zuvorzukommen, 
gleich nach Mitternacht mit einigen wenigen Schiffen 
den Fluss hinunter, und als er dessen Mündung hinter 
sich hatte, schiffte er noch, sich endlich am Ziel seiner 
Wünsche sehend, 400 Stadien weit in das Meer hinein. 




Fig. 137. 

Dann brachte er den Gottheiten des Meeres und jener 
Gegend ein Opfer und kehrte zur Flotte zurück." 

8. Wesentlich ist bei Erklärung der Flut, dass die 
Erde als starrer Körper nur eine bestimmte Beschleu- 
nigung gegen den Mond annehmen kann, während die 
beweglichen Wassertheile auf der dem Monde zuge- 
wandten und abgewandten Seite verschiedene Be- 
schleunigungen erhalten können. 

Wir betrachten an der Erde 2*7, welcher der Mond 
M gegenübersteht, drei Punkte A, B, C. Die Beschleu- 
nigung der drei Punkte gegen den Mond, wenn wir sie 
als freie Punkte ansehen, ist beziehungsweis 9 -j- A 9, 9, 
9 — A 9. Die gesammte Erde als starrer Körper nimmt 
hingegen die Beschleunigung 9 an. Die Beschleunigung 



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208 Zweites Kapitel. 

gegen den Erdmittelpunkt nennen wir g. Bezeichnen 
wir nun alle Beschleunigungen nach links negativ, alle 
nach rechts positiv, so haben die 
freien Punkte A B C 

die Beschleu- 
nigungen — (9 + A9), —9 — (9— A9) 

+ 9 —ff 

Die Beschleunigung 

der Erde ist — 9, — 9, — 9 

Demnach die Be- 
schleunigung ge- 
gen die Erde g — A 9, 0, — (g — A 9). 

Wir sehen also, dass das Wassergewicht in A und in G 
um den gleichen Betrag vermindert erscheint. Das 

E 




Fig. 138. 

Wasser wird in A und C höher stehen; es wird täg- 
lich zweimal eine Flutwelle erscheinen. 

Es wird nicht immer genügend hervorgehoben, dass 
die Ei scheinung eine wesentlich andere sein müsste, wenn 
Mond und Erde nicht in beschleunigter Bewegung gegen- 
einander begriffen, sondern in relativer Buhe fixirt 
wären. Modificiren wir die Betrachtung für diesen 
Fall, so haben wir in der obigen Berechnung für die 
starre Erde einfach 9 = zu setzen. Dann erhalten die 
freien Punkte A C 

die Beschleunigungen — (9 + A 9), — (9 — A 9), 

+ 9 ^JL 

oder (g— A9)-— 9, — (g — A9) — 9 

oder 0' — 9> — (0' + 9)> 



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Die Entwiokelung der Principien der Dynamik. 209 

wobei g 1 = g — A 9 gesetzt wurde. Dann würde also 
in A das Wassergewicht verkleinert, in vergrössert, 
der Wasserstand in A erhöht, in G erniedrigt werden. 
Es würde nur auf der dem Monde zugekehrten Seite 
das Wasser gehoben. 

9. Es verlohnt sich wol kaum der Mühe, Sätze, 
welche man am besten auf deductivem Wege erkennt, durch 
Experimente zu erläutern, die nur schwierig anzu- 
stellen sind. Unmöglich dürften aber solche Experi- 
mente nicht sein. Denken wir uns eine kleine eiserne 
Kugel K als Kegelpendel um einen Magnetpol schwin- 
gend, und bedecken wir die Kugel mit einer magne- 
tischen Eisensalzlösung, so dürfte der Tropfen bei hin- 
reichend kräftigen Magneten das Flutphä- 
nomen darstellen. Denken wir uns aber 
die Kugel dem Magnetpol gegenüber fixirt, 
so wird der Tropfen sicherlich nicht auf 
der dem Magnetpol zugewandten und ab- 
gewandten Seite zugespitzt erscheinen, son- 
dern nur auf der Seite des Magnetpoles 
an der Kugel hängen bleiben. 

10. Man darf sich natürlich nicht vor- 
stellen, dass die ganze Flutwelle durch den 
Mond auf einmal entsteht. Vielmehr hat ^_^ 
man sich die Flut als einen Schwingungs- Fig% 239. 
Vorgang zu denken, welcher durch den 

Mond erhalten wird. Würden wir z. B. über der 
Wasseroberfläche eines kreisförmigen Kanals mit einem 
Fächer fort und fort gleichmässig hinfahren, so würde 
durch diesen leisen consequent fortgesetzten Antrieb 
bald eine nicht unbeträchtliche dem Fächer folgende 
Welle entstehen. Aehnlich entsteht die Flut. Der 
Vorgang ist aber hier durch die unregelmässigen For- 
men der Continente, durch die periodische Variation 
der Störung u. s. w. sehr complicirt. 



Mach. 14 




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210 Zweites Kapitel. 

5. Kritik des Gegenwirkungsprincipes und des 
Massenbegriffes. 

1. Nachdem wir uns nun mit den Newton' sehen An- 
schauungen vertraut gemacht haben, sind wir hinreichend 
vorbereitet, dieselben kritisch zu untersuchen. Wir 
beschränken uns hierbei zunächst auf den Massenbegriff 
und das Gegenwirkungsprincip. Beide können bei der 
Untersuchung nicht getrennt werden, und in beiden liegt 
das Hauptgewicht der Newton'schen Leistung. 

2. Zunächst erkennen wir in der „Menge der Materie" 
keine Vorstellung, welche geeignet wäre den Begriff 
Masse zu erklären und zu erläutern, da sie selbst keine 
genügende Klarheit hat. Dies gilt auch dann, wenn 
wir, wie es manche Autoren gethan haben, bis auf die 
Zählung der hypothetischen Atome zurückgehen. Wir 
häufen hiermit nur die Vorstellungen, welche selbst 
einer Rechtfertigung bedürfen. Bei Zusammenlegung 
mehrerer gleicher chemisch gleichartiger Körper können 
wir mit der „Menge der Materie" allerdings noch eine 
klare Vorstellung verbinden, und auch erkennen, dass der 
Bewegungswiderstand mit dieser Menge wächst. Lassen 
wir aber die chemische Gleichartigkeit fallen, so ist die 
Annahme, dass von verschiedenen Körpern noch etwas 
mit demselben Maasse Messbares übrig bleibt, welches 
wir Menge der Materie nennen könnten, zwar nach den 
mechanischen Erfahrungen nahe liegend, aber doch erst 
zu rechtfertigen. Wenn wir also mit Newton in Bezug 
auf den Gewichtsdruck die Annahmen machen p — mg, 

p' = m' ' g und hiernach setzen — -. = — -. , so liegt 

p' m' 

hierin schon die erst zu rechtfertigende Voraussetzung 

der Messbarkeit verschiedener Körper mit demselben 

Maass. 

Wir könnten auch willkürlich festsetzen — T = — y, 

m p' 

d. h. das Massenverhältniss definiren als das Verhältniss 

des Gewichtsdruckes bei gleichem g. Dann bliebe aber der 



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Die Entwicklung der Prinoipien der Dynamik. 211 

Gebrauch zu begründen, welcher von diesem Massen- 
begriff im Gegenwirkung8princip und bei andern Ge- 
legenheiten gemacht wird. 

3. Wenn zwei in jeder Beziehung vollkommen gleiche 
Körper einander gegenüberstehen, so erwarten wir nach 
dem uns geläufigen Symmetrieprincip , dass sie sich 
gleiche entgegengesetzte Beschleunigungen nach der 
Richtung ihrer Verbindungslinie ertheilen. Sobald nun 
diese Körper irgendwelche geringste Ungleichheit der 
Form, der chemischen Beschaffenheit u. s. w. haben, ver- 
lässt uns das Symmetrieprincip, wenn wir nicht von 
vornherein annehmen oder wissen, dass es etwa 
auf Formgleichheit oder Gleichheit der chemischen Be- 
schaffenheit nicht ankommt. Ist uns aber einmal durch 
mechanische Erfahrung die Existenz eines besondern 

«-D U-* -? +f 

Fig. 140 a. Fig. 140 b. 

beschleunigungsbestimmenden Merkmals der Körper 
nahe gelegt, so steht nichts im Wege, willkürlich fest- 
zusetzen : 

Körper von gleicher Masse nennen wir 
solche, welch© aufeinander wirkend sich gleiche 
entgegengesetzte Beschleunigungen ertheilen. 
Hiermit haben wir nur ein thatsächliches Verhältnfss be- 
nannt. Analog werden wir in dem allgemein ern Falle 
verfahren. Die Körper A und B erhalten bei ihrer 
Gegenwirkung beziehungsweise die Beschleunigungen 
— 9 und -f- 9 ', wobei wir den Sinn derselben durch das 
Zeichen ersichtlich machen. Dann sagen wir, B hat die 

-^yfache Masse von A. Nehmen wir den Ver- 

gleichskörper A als Einheit an, so schreiben 
wir jenem Körper die Masse m zu, welcher A 
das tw fache der Beschleunigung ertheilt, die 



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212 Zweites Kapitel. 

er in Gegenwirkung von A erhält. Das Massen- 
verhältniss ist das negative umgekehrte Verhältniss der 
Gegenbeschleunigungen. Dass diese Beschleunigungen 
stets von entgegengesetztem Zeichen sind, dass es also 
nach unserer Definition blos positive Massen gibt, lehrt 
die Erfahrung und kann nur die Erfahrung lehren. In 
unserm Massenbegriff liegt keine Theorie, die „Quantität 
der Materie" ist in demselben durchaus unnöthig, er 
enthält blos die scharfe Fixirung, Bezeichnung und 
Benennung einer Thatsache. 

Die oft nachgesprochene und nachgeschriebene Ein- 
wendung von H. Streintz („Die physikalischen Grund- 
lagen der Mechanik", Leipzig 1883, S. 117), dass eine 
meiner Definition entsprechende Massenvergleichung nur 
auf astronomische Weise stattfinden könnte, vermag ich 
nicht als zutreffend zu bezeichnen. Meine Ausführungen 
S. 197, 213 — 216 zeigen hinreichend das Gegentheil. 
Auch im Stoss, durch elektrische, magnetische Kräfte, 
an der Atwood'schen Maschine durch einen Faden, er- 
theilen sich die Massen gegenseitig Beschleunigungen. 
In meinem Leitfaden der Physik (2. Aufl. 1891, S. 27) 
habe ich gezeigt, wie in ganz elementarer und populärer 
Weise das Massenverhältniss durch einen Versuch auf 
der Centrifugalmaschine ermittelt werden kann. Diese 
Einwendung kann also wohl als widerlegt angesehen 
werden. 

Meine Definition entspringt dem Streben, die Ab- 
hängigkeit der Erscheinungen voneinander zu 
ermitteln und alle metaphysische Unklarheit zu beseitigen, 
ohne darum weniger zu leisten, als irgendeine andere 
bisher übliche Definition. Ganz denselben Weg habe 
ich eingeschlagen in Bezug auf die Begriffe „Elektricitäts- 
menge" („Ueber die Grundbegriffe der Elektrostatik, 
Vortrag gehalten auf der internationalen elektrischen 
Ausstellung, Wien am 4. September 1883"), „Tempera- 
tur", „Wärmemenge" (Zeitschrift für den physikalischen 
und chemischen Unterricht, Berlin 1888, 1. Heft) u. s. w. 
Aus der hier dargelegten Auffassung des Massenbegriffes 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 213 

ergibt sich aber eine andere Schwierigkeit, welche man 
bei schärferer Kritik auch bei Analyse anderer physi- 
kalischer Begriffe, z. B. jener der Wärmelehre, nicht über- 
sehen kann. Maxwell hat auf diesen Punkt bei Unter- 
suchung des Temperaturbegriffes hingewiesen, ungefähr 
um dieselbe Zeit, als ich dies in Bezug auf den Massen- 
begriff gethan habe. Ich möchte hier auf die betreffenden 
Ausführungen in meiner Schrift: „Die Principien der 
Wärmelehre, historisch-kritisch entwickelt" (Leipzig 1896), 
insbesondere S. 41 und S. 190 verweisen. 

4. Wir wollen nun diese Schwierigkeit betrachten, 
deren Hebung zur Herstellung eines vollkommen klaren 
Massenbegriffes durchaus nothwendig ist. Wir betrachten 
eine Reihe von Körpern A, B, C, D ... und vergleichen 
alle mit A als Einheit. 

A, B, C, D, E, F 
1, m, m\ m", m"', m"" 

Hierbei finden wir beziehungsweise die Massen werthe 

1, m, m', m" u. s. w. Es entsteht nun die Frage: 

Wenn wir B als Vergleichskörper (als Einheit) wählen, 

in' 

werden wir für C den Massenwerth , für D den 

m 

m" 

Werth erhalten, oder werden sich etwa ganz andere 

tn 

Werthe ergeben? In einfacherer Form lautet dieselbe 
Frage: Werden zwei Körper B, C, welche sich in Gegen- 
wirkung mit A als gleiche Massen verhalten haben, 
auch untereinander als gleiche Massen verhalten? Es 
besteht durchaus keine logische Notwendigkeit, dass 
zwei Massen, welche einer dritten gleich sind, auch 
untereinander gleich seien. Denn es handelt sich hier um 
keine mathematische, sondern um eine physikalische 
Frage. Dies wird sehr klar, wenn wir ein analoges 
Verhältniss zur Erläuterung herbeiziehen. Wir legen 
die Körper A, B } C in solchen Gewichtsmengen a, b, c 
nebeneinander, in welchen sie in die chemischen Ver- 
bindungen A B und A G eingehen. Es besteht nun gar 



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214 Zweites Kapitel. 

keine logische Notwendigkeit anzunehmen, dass in die 
chemische Verbindung B C auch dieselben Gewichts- 
mengen b, c der Körper B, C eingehen. Dies lehrt 
aber die Erfahrung. Wenn wir eine Reihe von Körpern 
in den Gewichtsmengen nebeneinanderlegen, in welchen 
sie sich mit dem Körper A verbinden, so vereinigen 
sie sich in denselben Gewichtsmengen auch unterein- 
ander. Dass kann aber niemand wissen, ohne es ver- 
sucht zu haben. Ebenso verhält es sich mit den 
Massen werthen der Körper. 

Würde man annehmen, dass die Ordnung der Com- 
bination der Körper, durch welche man deren Massen- 
werthe bestimmt, auf die Massenwerthe Einfluss hat, so 
würden die Folgerungen hieraus zu 
Widersprüchen mit der Erfahrung 
führen. Nehmen wir beispielsweise 
drei elastische Körper -4, B, G auf 
einem absolut glatten und festen 
Ring beweglich an. Wir setzen 
voraus, dass A und B sich als 
gleiche Massen und ebenso B und 
C sich als gleiche Massen unter- 
einander verhalten. Dann müssen 
wir, um Widersprüche mit der Er- 
fahrung zu vermeiden, annehmen, dass auch G und A 
sich als gleiche Massen verhalten. Ertheilen wir A 
eine Geschwindigkeit, so überträgt es dieselbe durch 
Stoss an B, dieses an G. Würde aber G sich etwa als 
grössere Masse gegen A verhalten, so würde auch A 
beim Stosse eine grössere Geschwindigkeit annehmen, 
während G noch einen Rest zurückbehielte. Bei jedem 
Umlauf im Sinne des Uhrzeigers würde die lebendige 
Kraft im System zunehmen. Wäre G gegen A die 
kleinere Masse, so würde die Umkehrung der Bewegung 
genügen, um dasselbe Resultat zu erreichen. Eine solche 
fortwährende Zunahme der lebendigen Kraft widerstreitet 
nun entschieden unsern Erfahrungen. 

5. Der auf die angegebene Weise gewonnene Massen- 




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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 215 

begriff macht die besondere Aufstellung des Gegen- 
wirkungsprincips unnöthig. Es ist nämlich im Massen- 
begriff und im Gegenwirkungsprincip, wie wir dies in 
einem frühern Fall schon bemerkt haben, wieder die- 
selbe Thatsache zweimal formulirt, was überflüssig ist. 
Wenn zwei Massen 1 und 2 aufeinander wirken, so liegt 
es schon in unserer Definition, dass sie sich entgegen- 
gesetzte Beschleunigungen ertheilen, die sich beziehungs- 
weise wie 2:1 verhalten. 

6. DieMessbarkeit der Masse durch das Gewicht 
(bei unveränderlicher Schwerebeschleunigung) kann aus 
unserer Definition der Masse ebenfalls abgeleitet wer- 
den. Wir empfinden die Vergrösserung oder Verklei- 
nerung eines Druckes unmittelbar, allein diese Empfin- 
dung gibt nur ein sehr beiläufiges Maass einer Druck- 
, grosse. Ein exactes brauchbares 

< pn i—i _^ Druckmaass ergibt sich durch die 

© • t' Bemerkung, dass jeder Druck er- 

,. setzbar ist durch den Druck einer 

Summe gleichartiger Gewichts- 
stücke. Jeder Druck kann durch den Druck solcher 
Gewichtstücke im Gleichgewicht gehalten werden. Zwei 
Körper m und m' mögen beziehungsweise von den 
durch äussere Umstände bedingten Beschleunigungen 9 
und 9' in entgegengesetztem Sinne ergriffen werden. 
Die Körper seien durch einen Faden verbunden. Be- 
steht Gleichgewicht, so ist an m die Beschleunigung 9 
und an m 1 die Beschleunigung 9' durch die Wechsel- 
wirkung eben aufgehoben. Für diesen Fall ist also 
«19= m'9'. Ist also 9 = 9', wie dies der Fall ist, 
wenn die Körper der Schwerebeschleunigung überlassen 
werden, so ist im Gleichgewichtsfall auch m = m'. Es 
ist selbstverständlich unwesentlich, ob wir die Körper 
direct durch einen Faden, oder durch einen über eine 
Bolle geführten Faden, oder dadurch aufeinander wir- 
ken lassen, dass wir sie auf die beiden Schalen einer 
Wage legen. Die Messbarkeit der Masse durch das 



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216 Zweites Kapitel. 

Gewicht ist nach unserer Definition ersichtlich, ohne 
dass wir an die „Menge der Materie" denken. 

7. Sobald wir also, durch die Erfahrung aufmerksam ge- 
macht, die Existenz eines besondern beschleunig angs- 
bestimmenden Merkmals der Körper erschaut ha- 
ben, ist unsere Aufgabe mit der Anerkennung und unzwei- 
deutigen Bezeichnung dieser Thatsache erledigt. Ueber 
die Anerkennung dieser Thatsache kommen wir nicht 
hinaus, und jedes Hinausgehen über dieselbe führt nur 
Unklarheiten herbei. Jede Unbehaglichkeit verschwin- 
det, sobald wir uns klar gemacht haben, dass in dem 
Massebegriff keinerlei Theorie, sondern eine Erfahrung 
liegt. Der Begriff hat sieb bisher bewährt. Es ist 
sehr unwahrscheinlich, aber nicht unmöglich, dass er in 
Zukunft erschüttert wird, sowie die Vorstellung der 
unveränderlichen Wärmemenge, die ja auch auf Er- 
fahrungen beruhte, durch neue Erfahrungen sich modi- 
ficirt hat. 



6. Newtons Ansichten über Zeit, Baum und 
Bewegung. 

1. In einer Anmerkung, welche Newton seinen 
Definitionen unmittelbar folgen lässt, spricht er An- 
sichten über Zeit und Baum aus, die wir etwas näher 
in Augenschein nehmen müssen. Wir werden nur die 
wichtigsten zur Charakteristik der Newton'schen An- 
sichten notwendigen Stellen wörtlich anführen. 

„Bis jetzt habe ich zu erklären versucht, in welchem 
Sinne weniger bekannte Benennungen in der Folge zu 
verstehen sind. Zeit, Raum, Ort und Bewegung 
als allen bekannt erkläre ich nicht. Ich bemerke nur, 
dass man gewöhnlich diese Grössen nicht anders, als in 
Bezug auf die Sinne auffasst, und so gewisse Yorur- 
theile entstehen, zu deren Aufhebung man sie passend 
in absolute und relative, wahre und scheinbare, mathe- 
matische und gewöhnliche unterscheidet. 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 217 

„I. Die absolute, wahre und mathematische 
Zeit verfliesst an sich und vermöge ihrer Natur gleich- 
förmig, und ohne Beziehung auf irgendeinen äussern 
Gegenstand. Sie wird auch mit dem Namen Dauer 
belegt. 

„Die relative, scheinbare und gewöhnliche Zeit ist 
ein fühlbares und äusserliches, entweder genaues oder 
ungleiches Maass der Dauer, dessen man sich gewöhn- 
lich statt der wahren Zeit bedient, wie Stunde, Tag, 
Monat, Jahr. 

— — — »Di© natürlichen Tage, welche gewöhnlich 
als Zeitmaaßs für gleich gehalten werden, sind nämlich 
eigentlich ungleich. Diese Ungleichheit verbessern die 
Astronomen, indem sie die Bewegung der Himmelskörper 
nach der richtigen Zeit messen. Es ist möglich, dass 
keine gleichförmige Bewegung existirt, durch welche 
die Zeit genau gemessen werden kann, alle Bewegungen 
können beschleunigt oder verzögert werden; allein der 
Verlauf der absoluten Zeit kann nicht geändert wer- 
den. Dieselbe Dauer und dasselbe Verharren findet 
für die Existenz aller Dinge statt ; mögen die Bewegungen 
geschwind, langsam oder Null sein." 

2. Es scheint, als ob Newton bei den eben ange- 
führten Bemerkungen noch unter dem Einfluss der 
mittelalterlichen Philosophie stünde, als ob er seiner Ab- 
sicht, nur das T hat sächliche zu untersuchen, untreu 
würde. Wenn ein Ding A sich mit der Zeit ändert, 
so heisst dies nur, die Umstände eines Dinges A hängen 
von den Umständen eines andern Dinges B ab. Die 
Schwingungen eines Pendels gehen in der Zeit vor, 
wenn dessen Excursion von der Lage der Erde ab- 
hängt. Da wir bei Beobachtung des Pendels nicht 
auf die Abhängigkeit von der Lage der Erde zu achten 
brauchen, sondern dasselbe mit irgendeinem andern 
Ding vergleichen können (dessen Zustände freilich wie- 
der von der Lage der Erde abhängen), so entsteht 
leicht die Täuschung, dass alle diese Dinge unwesent- 
lich seien. Ja, wir können auf das Pendel achtend, 



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218 Zweites Kapitel. 

von allen übrigen äussern Dingen absehen, und finden 
dass für jede Lage unsere Gedanken und Empfindungen 
andere sind. Es scheint demnach die Zeit etwas Be- 
sonderes zu sein, von dessen Verlauf die Pendellage 
abhängt, während die Dinge, welche wir zum Vergleich 
nach freier Wahl herbeiziehen, eine zufallige Rolle zu 
spielen scheinen. Wir dürfen aber nicht vergessen, 
dass alle Dinge miteinander zusammenhängen, und dass 
wir selbst mit unsern Gedanken nur ein Stück Natur 
sind. Wir sind ganz ausser Stand die Veränderungen 
der Dinge an der Zeit zu messen. Die Zeit ist viel- 
mehr eine Abstraction, zu der wir durch die Veränderung 
der Dinge gelangen, weil wir auf kein bestimmtes 
Maass angewiesen sind, da eben alle untereinander zu- 
sammenhängen. Wir nennen eine Bewegung gleich- 
förmig, in welcher gleiche Wegzuwüchse gleichen Weg- 
zuwüchsen einer Vergleichsbewegung (der Drehung der 
Erde) entsprechen. Eine Bewegung kann gleichförmig 
sein in Bezug auf eine andere. Die Frage, ob eine 
Bewegung an sich gleichförmig sei, hat gar keinen 
Sinn. Ebenso wenig können wir von einer „absoluten 
Zeit" (unabhängig von jeder Veränderung) sprechen. 
Diese absolute Zeit kann an gar keiner Bewegung ab- 
gemessen werden, sie hat also auch gar keinen praktischen 
und auch keinen wissenschaftlichen Werth, niemand ist 
berechtigt zu sagen, dass er von derselben etwas wisse, 
sie ist ein müssiger „metaphysischer" Begriff. 

Dass wir Zeitvorstellungen durch die Abhängigkeit 
der Dinge voneinander gewinnen , wäre psycholo- 
gisch, historisch und sprachwissenschaftlich (durch die 
Namen der Zeitabschnitte) nicht eben schwer nachzu- 
weisen. In unsern Zeitvorstellungen drückt sich der 
tiefgehendste und allgemeinste Zusammenhang der Dinge 
aus. Wenn eine Bewegung in der Zeit stattfindet, so 
hängt sie von der Bewegung der Erde ab. Dies wird 
nicht dadurch widerlegt, dass wir mechanische Be- 
wegungen wieder rückgängig machen können. Mehrere 
veränderliche Grössen können so zusammenhängen, dass 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 219 

eine Gruppe derselben Veränderungen erfahrt, ohne dass 
die übrigen davon berührt werden. Die Natur verhält 
sich ähnlich wie eine Maschine. Die einzelnen Theile 
bestimmen einander gegenseitig. Während aber bei 
einer Maschine durch die Lage eines Theiles die Lagen 
aller übrigen Theile bestimmt sind, bestehen in der 
Natur complicirtere Beziehungen. Diese Beziehungen 
lassen sich am besten unter dem Bilde einer Anzahl 
n von Grössen darstellen, welche einer geringern An- 
zahl n' von Gleichungen genügen. Wäre n = n' , so 
wäre die Natur unveränderlich. Für n 1 = n — 1 ist 
mit einer Grösse über alle übrigen verfügt. Bestünde 
dies Verhältniss in der Natur, so könnte die Zeit rück- 
gängig gemacht werden, sobald dies nur mit einer ein- 
zigen Bewegung gelänge. Der wahre Sachverhalt wird 
durch eine andere Differenz von n und n' dargestellt. 
Die Grössen sind durch einander theilweise bestimmt, 
sie behalten aber eine grössere Unbestimmtheit oder 
Freiheit als in dem letztern Fall. Wir selbst fühlen 
uns als ein solches theilweise bestimmtes, theilweise 
unbestimmtes Naturelement. Insofern nur ein Theil der 
Veränderungen in der Natur von uns abhängt, und von 
uns wieder rückgängig gemacht werden kann, erscheint 
uns die Zeit als nicht umkehrbar, die verflossene Zeit 
als unwiederbringlich vorbei. 

Zur Vorstellung der Zeit gelangen wir durch den 
Zusammenhang des Inhalts unsers Erinnerungsfeldes 
mit dem Inhalt unsers Wahrnehmungsfeldes, wie wir 
kurz und allgemein verständlich sagen wollen. Wenn 
wir sagen, dass die Zeit in einem bestimmten Sinn ab- 
läuft, so bedeutet dies, dass die physikalischen (und 
folglich auch die physiologischen) Vorgänge sich nur 
in einem bestimmten Sinn vollziehen. * Alle Temperatur- 
differenzen, elektrischen Differenzen, Niveaudifferenzen 
überhaupt werden sich selbst überlassen nicht grösser, 
sondern kleiner. Betrachten wir zwei sich selbst über- 



1 Untersuchungen über die physiologische Natur der Zeit- 
und Raumempfindung sollen hier ausgeschlossen bleiben. 



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220 Zweites Kapitel. 

lassene, sich berührende Körper von ungleicher Tem- 
peratur, so können nur grössere Temperatur differenzen 
im Erinnerungsfelde, mit klein ern im Wahrnehmungs- 
felde zusammentreffen, nicht umgekehrt. In allem diesem 
spricht sich durchaus nur ein eigenthümlicher tiefgehen- 
der Zusammenhang der Dinge aus. Hier aber jetzt 
schon vollständige Aufklärung fordern, heisst nach Art 
der speculativen Philosophie die Resultate aller künftigen 
Specialforschung, also eine vollendete Naturwissenschaft, 
anticipiren wollen. 

Ausführungen über die physiologische Zeit, die 
Zeitempfindung, und zum Theil auch über die phy- 
sikalische Zeit habe ich anderwärts versucht („Beiträge 
zur Analyse der Empfindungen", Jena 1886, S. 103 — 111, 
166 — 168). So wie wir eine der Wärme emp findung 
nahe parallel gehende willkürlich gewählte (thermo- 
metrische) Volum an zeige, welche nicht den uncontro- 
lirbaren Störungen des Empfindungsorgans unterliegt, 
beim Studium der Wärmevorgänge als Temperaturmaass 
vorziehen, so bevorzugen wir aus analogen Gründen eine 
der Zeitempfindung nahe parallel gehende willkürlich 
gewählte Bewegung (Drehungswinkel der Erde, Weg 
eines sich selbst überlassenen Körpers) als Zeitmaass. 
Macht man sich klar, dass es sich nur um Ermittelung 
der Abhängigkeit der Erscheinungen voneinander 
handelt, wie ich dies schon 1865 („Ueber den Zeitsinn 
des Ohres ", Sitzungsber. d. Wiener Akad.) und 1866 
(Fichte's Zeitschr. f. Philosophie) hervorgehoben habe, 
so entfallen metaphysische Unklarheiten. (Vgl. Epstein, 
„Die logischen Principien der Zeitmessung", Berlin 1887.) 

Anderwärts (Principien der Wärmelehre, S. 51) habe 
ich zu zeigen versucht, worauf die natürliche Neigung 
des Menschen beruht, seine für ihn werthvollen Begriffe, 
besonders diejenigen, zu welchen er instinktiv, ohne 
Kenntniss von deren Entwickelungsgeschichte, gelangt 
ist, zu hypostasiren. Die für den Temperaturbegriff 
daselbst gegebenen Ausführungen lassen sich unschwer 
auf den Zeitbegriff übertragen, und machen die Ent- 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 221 

stehung von Newton's „absoluter Zeit" verständlich 
Auch auf den Zusammenhang des Entropiebegriffs mit 
der Nichtumkehrbarkeit der Zeit wird daselbst (S. 338) 
hingewiesen, und die Ansicht ausgesprochen, dass die 
Entropie des Weltalls, wenn sie überhaupt bestimmt 
werden könnte, wirklich eine Art absoluten Zeitmaasses 
darstellen würde. Endlich muss ich hier noch auf die 
Erörterungen von Petzoldt („Das Gesetz der Eindeutig- 
keit", Vierteljahrschr. f. w. Philosophie 1894, S. 146) hin- 
weisen, die ich anderwärts beantworten werde. 

3. Aehnliche Ansichten, wie über die Zeit entwickelt 
Newton über den Raum und die Bewegung. Wir 
lassen wieder einige charakteristische Stellen folgen: 

„IL Der absolute Raum bleibt vermöge seiner Natur 
und ohne Beziehung auf einen äussern Gegenstand stets 
gleich und unbeweglich. 

„Der relative Raum ist ein Maass oder ein beweg- 
licher Theil des erstem, welcher von unsern Sinnen, durch 
seine Lage gegen andere Körper bezeichnet und gewöhn- 
lich für den unbeweglichen Raum genommen wird. 

„IV. Die absolute Bewegung ist die Uebertragung 
des Körpers von einem absoluten Orte nach einem an- 
dern absoluten Orte, die relative Bewegung, die Ueber- 
tragung von einem relativen Orte nach einem andern 
relativen Orte. — — 

— — „So bedienen wir uns, und nicht unpassend, 
in menschlichen Dingen statt der absoluten Orte und 
Bewegungen der relativen, in der Naturlehre hingegen 
muss man von den Sinnen abstrahiren. Es kann 
nämlich der Fall sein, dass kein wirklich ruhender 
Körper existirt, auf welchen man die Orte und Be- 
wegungen beziehen könnte. — — 

„Die wirkenden Ursachen, durch welche absolute und 
relative Bewegungen voneinander verschieden sind, sind 
die Fliehkräfte von der Axe der Bewegung. Bei einer 
nur relativen Kreisbewegung existiren diese Kräfte 
nicht, aber sie sind kleiner oder grösser, je nach Ver- 
hältniss der Grösse der (absoluten) Bewegung. 



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222 Zweites Kapitel. 

„Man hänge z. B. ein Gefass an einem sehr langen 
Faden auf, drehe denselben beständig im Kreise herum, 
bis der Faden durch die Drehung sehr steif wird; 
hierauf fülle man es mit Wasser und halte es zugleich 
mit letzterm in Euhe. Wird es nun durch eine plötz- 
lich wirkende Kraft in entgegengesetzte Kreisbewegung 
gesetzt und hält diese, während der Faden sich ablöst, 
längere Zeit an, so wird die Oberfläche des Wassers 
anfangs eben sein, wie vor der Bewegung des Gefasses, 
hierauf, wenn die Kraft allmählich auf das Wasser ein- 
wirkt, bewirkt das Gefass, dass dieses (das Wasser) 
merklich sich umzudrehen anfängt. Es entfernt sich 
nach und nach von der Mitte und steigt an den Wän- 
den des Gefasses in die Höhe, indem es eine hohle 
Form annimmt. (Diesen Versuch habe ich selbst ge- 
macht.) 

— — „Im Anfang als die relative Bewegung des 
Wassers im Gefass am grössten war, verursachte die- 
selbe kein Bestreben, sich von der Axe zu entfernen. 
Das Wasser suchte nicht , sich dem Umfang zu nähern, 
indem es an den Wänden emporstieg, sondern blieb 
eben, und die wahre kreisförmige Bewegung hatte da- 
her noch nicht begonnen. Nachher aber, als die rela- 
tive Bewegung des Wassers abnahm, deutete sein Auf- 
steigen an den Wänden des Gefasses das Bestreben 
an, von der Axe zurückzuweichen, und dieses Bestreben 
zeigte die stets wachsende wahre Kreisbewegung des 
Wassers an, bis diese endlich am grössten wurde, wenn 
das Wasser selbst relativ im Gefass ruhte. — — 

„Die wahren Bewegungen der einzelnen Körper zu 
erkennen und von den scheinbaren zu unterscheiden, 
ist übrigens sehr schwer, weil die Theile jenes unbe- 
weglichen Raumes, in denen die Körper sich wahrhaft 
bewegen, nicht sinnlich erkannt werden können. 

„Die Sache ist jedoch nicht gänzlich hoffnungslos. 
Es ergeben sich nämlich die erforderlichen Hülfsmittel, 
theils aus den scheinbaren Bewegungen, welche die 
Unterschiede der wahren sind, theils aus den Kräften, 



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Die Ent wickelung der Prinoipien der Dynamik. 223 

welche den wahren Bewegungen als wirkende Ursachen 
zu Grunde liegen. Werden z. B. zwei Kugeln in ge- 
gebener gegenseitiger Entfernung mittels eines Fadens 
verbunden, und so um den gewöhnlichen Schwerpunkt 
gedreht, so erkennt man aus der Spannung des Fadens 
das Streben der Kugeln, sich von der Axe der Bewegung 
zu entfernen, und kann daraus die Grösse der kreis- 
förmigen Bewegung berechnen. Brächte man hierauf 
beliebige gleiche Kräfte an beiden Seiten zugleich an, 
um die Kreisbewegung zu vergrössern oder zu ver- 
kleinern, so würde man aus der vergrösserten oder ver- 
minderten Spannung des Fadens die Vergrösserung oder 
Verkleinerung der Bewegung erkennen, und hieraus end- 
lich diejenigen Seiten der Kugeln ermitteln können, auf 
welche die Kräfte einwirken müssten, damit die Be- 
wegung am stärksten vergrössert würde, d. h. die hintere 
Seite oder diejenige, welche bei der Kreisbewegung 
nachfolgt. Sobald man aber die nachfolgende und die 
ihr entgegengesetzte vorangehende Seite erkannt hätte, 
würde man auch die Bichtung der Bewegung erkannt 
haben. Auf diese Weise könnte man sowol die Grösse 
als auch die Richtung dieser kreisförmigen Bewegung in 
jedem unendlich grossen leeren Kaum finden, wenn auch 
nichts Aeusserliches und Erkennbares sich dort befände, 
womit die Kugeln verglichen werden könnten." — — 
4. Dass Newton auch in den eben mitgetheilten Ueber- 
legungen gegen seine Absicht, nur das Thatsächliche 
zu untersuchen, handelt, ist kaum nöthig zu bemerken. 
Ueber den absoluten Raum und die absolute Bewegung 
kann niemand etwas aussagen, sie sind blosse Gedanken- 
dinge, die in der Erfahrung nicht aufgezeigt werden 
können. Alle unsere Grundsätze der Mechanik sind, 
wie ausführlich gezeigt worden ist, Erfahrungen über 
relative Lagen und Bewegungen der Körper. Sie konnten 
und durften auf den Gebieten, auf welchen man sie 
heute als gültig betrachtet, nicht ohne Prüfung ange- 
nommen werden. Niemand ist berechtigt, diese Grund- 
sätze über die Grenzen der Erfahrung hinaus auszu- 



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224 Zweites Kapitel. 

dehnen. Ja diese Ausdehnung ist sogar sinnlos, da sie 
niemand anzuwenden wüsste. 

Gehen wir nun auf die Einzelheiten ein. Wenn 
wir sagen, dass ein Körper K seine Richtung und Ge- 
schwindigkeit nur durch den Einfluss eines andern 
Körpers K' ändert, so können wir zu dieser Einsicht 
gar nicht kommen, wenn nicht andere Körper A, B f G. . . . 
vorhanden sind, gegen welche wir die Bewegung des 
Körpers K beurtheilen. Wir erkennen also eigentlich 
eine Beziehung des Körpers K zu A, B, G . . . . Wenn 
wir nun plötzlich von A, B, C . . . . absehen, und von 
einem Verhalten des Körpers K im absoluten Räume 
sprechen wollten, so würden wir einen doppelten Fehler 
begehen. Einmal könnten wir nicht wissen, wie sich K 
bei Abwesenheit von A , B , G , . . . benehmen würde, 
dann aber würde uns jedes Mittel fehlen, das Benehmen 
des Körpers K zu beurtheilen, und unsere Aussage zu 
prüfen, welche demnach keinen naturwissenschaftlichen 
Sinn hätte. 

Zwei Körper K und K\ welche gegeneinander gra- 
vitiren, ertheilen sich ihren Massen w*, m' verkehrt 
proportionale Beschleunigungen nach der Richtung der 
Verbindungslinie. In diesem Satze liegt nicht allein 
eine Beziehung der Körper K und K' zueinander, son- 
dern auch zu den übrigen Körpern. Denn derselbe sagt 
nicht nur, dass K und K' gegeneinander die Beschleu- 
nigung x j erfahren, sondern auch dass K die 

Beschleunigung — 5— und K' die Beschleunigung — j — 

nach der Richtung der Verbindungslinie erfahrt, was 
nur durch die Anwesenheit noch anderer Körper er- 
mittelt werden konnte. 

Die Bewegung eines Körpers K kann immer nur 
beurtheilt werden in Bezug auf andere Körper A)B } C.... 
Da wir immer eine genügende Anzahl gegeneinander 
relativ festliegender oder ihre Lage nur langsam ändern- 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 225 

der Körper zur Verfügung haben, so sind wir hierbei 
auf keinen bestimmten Körper angewiesen, und können 
abwechselnd bald von diesem, bald von jenem absehen. 
Hierdurch entstand die Meinung, dass diese Körper 
überhaupt gleichgültig seien. 

Es wäre wol möglich, dass die isolirten Körper A, 
B, C . . . . bei Bestimmung der Bewegung des Körpers 
K nur eine zufällige Rolle spielten, dass die Bewegung 
durch das Medium bestimmt wäre, in welchem sich K 
befindet. Dann müsste man aber an die Stelle des 
Newton' sehen absoluten Raumes jenes Medium setzen. 
Diese Vorstellung hat Newton entschieden nicht gehabt. 
Zudem lässt sich leicht nachweisen, dass die Luft jenes 
bewegungsbestimmende Medium nicht ist. Man müsste 
also an ein anderes etwa den Weltraum erfüllendes 
Medium denken, über dessen Beschaffenheit und über 
dessen Bewegungsverhältniss zu den darin befindlichen 
Körpern wir gegenwärtig eine ausreichende Kenntniss 
nicht haben. An sich würde ein solches Verhältniss 
nicht zu den Unmöglichkeiten gehören. Es ist durch 
die neuern hydrodynamischen Untersuchungen bekannt, 
dass ein starrer Körper in einer reibungslosen Flüssig- 
keit nur bei Geschwindigkeits änderungen einen Wider- 
stand erfährt. Zwar ist dieses Resultat aus der Vor- 
stellung der Trägheit theoretisch abgeleitet, es könnte 
aber umgekehrt auch als die erste Thatsache angesehen 
werden, von der man auszugehen hätte. Wenn auch 
mit dieser Vorstellung praktisch zunächst nichts anzu- 
fangen wäre, so könnte man doch hoffen, über dieses 
hypothetische Medium in Zukunft mehr zu erfahren, und 
sie wäre naturwissenschaftlich noch immer werthvoller, 
als der verzweifelte Gedanke an den absoluten Raum. 
Bedenken wir, dass wir die isolirten Körper A, B, C . . . . 
nicht wegschaffen, also über ihre wesentliche oder zu- 
fällige Rolle durch den Versuch nicht entscheiden 
können, dass dieselben bisher das einzige und auch aus- 
reichende Mittel zur Orientirung über Bewegungen und 
zur Beschreibung der mechanischen Thatsachen sind, 

Mach. 15 



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226 Zweites Kapitel. 

so empfiehlt es sich, die Bewegungen vorläufig als durch 
diese Körper bestimmt anzusehen. 

5. Betrachten wir nun denjenigen Punkt, auf welchen 
sich Newton bei Unterscheidung der relativen und ab- 
soluten Bewegung mit starkem Recht zu stützen scheint. 
Wenn die Erde eine absolute Rotation um ihre Axe 
hat, so treten an derselben Oentrifugalkräfte auf, sie 
wird abgeplattet, die Schwerebeschleunigung am Aequator 
vermindert, die Ebene des Foucault'schen Pendels wird 
gedreht u. s. w. Alle diese Erscheinungen verschwin- 
den, wenn die Erde ruht und die übrigen Himmels- 
körper sich absolut um dieselbe bewegen, sodass die- 
selbe relative Rotation zu Stande kommt. So ist es 
allerdings, wenn man von vornherein von der Vor- 
stellung eines absoluten Raumes ausgeht. Bleibt man 
aber auf dem Boden der Thatsachen, so weiss man 
blos von relativen Räumen und Bewegungen. Relativ 
sind die Bewegungen im Weltsystem, von dem unbe- 
kannten und unberücksichtigten Medium des Weltraums 
abgesehen, dieselben nach der Ptolemäischen und nach 
der Kopernikanischen Auffassung. Beide Auffassungen 
sind auch gleich richtig, nur ist die letztere einfacher 
und praktischer. Das Weltsystem ist uns nicht 
zweimal gegeben mit ruhender und mit rotirender 
Erde, sondern nur einmal mit seinen allein bestimm- 
baren Relativbewegungen. Wir können also nicht sagen, 
wie es wäre, wenn die Erde nicht rotirte. Wir können 
den einen uns gegebenen Fall in verschiedener Weise 
interpretiren. Wenn wir aber so interpretiren , dass 
wir mit der Erfahrung in Widerspruch gerathen, so 
interpretiren wir eben falsch. Die mechanischen Grund- 
sätze können also wol so gefasst werden, dass auch für 
Relativdrehungen Oentrifugalkräfte sich ergeben. 

Der Versuch Newton's mit dem rotirenden Wasser- 
geföss lehrt nur, dass die Relativdrehung des Wassers 
gegen die Gefässwände keine merklichen Oentrifugal- 
kräfte weckt, dass dieselben aber durch die Relativ- 
drehung gegen die Masse der Erde und die übrigen 



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Die Entwickelung der Prinoipien der Dynamik. 227 

Himmelskörper geweckt werden. Niemand kann sagen, 
wie der Versuch verlaufen würde, wenn die Gefass- 
wände immer dicker und massiger, zuletzt mehrere 
Meilen dick würden. Es liegt nur der eine Versuch 
vor, und wir haben denselben mit den übrigen uns 
bekannten Thatsachen, nicht aber mit unsern willkür- 
lichen Dichtungen in Einklang zu bringen. 

6. Wir können über die Bedeutung des Trägheits- 
gesetzes nicht in Zweifel sein, wenn wir uns gegen- 
wärtig halten, in welcher Weise es gefunden worden 
ist. Galilei hat zuerst die Un Veränderlichkeit der Ge- 
schwindigkeit und Richtung eines Körpers in Bezug auf 
irdische Objecte bemerkt. Die meisten irdischen Be- 
wegungen sind von so geringer Dauer und Ausdehnung, 
dass man gar nicht nöthig hat, auf die Aenderungen 
der Progressivgeschwindigkeit der Erde gegen die 
Himmelskörper und auf die Drehung derselben zu achten. 
Nur bei weitgeworfenen Projectilen, bei den Schwingungen 
des Foucault' sehen Pendels u. s. w. erweist sich diese 
Bücksicht als nothwendig. Als nun Newton die seit 
Galilei gefundenen mechanischen Principien auf das 
Planetensystem anzuwenden suchte, bemerkte er, dass 
soweit dies überhaupt beurtheilt werden kann, die Pla- 
neten gegen die sehr entfernten scheinbar gegeneinan- 
der festliegenden Weltkörper, von Kraftwirkungen ab- 
gesehen, ebenso ihre Richtung und Geschwindigkeit bei- 
zubehalten scheinen, als die auf der Erde bewegten 
Körper gegen die festliegenden Objecte der Erde. Das 
Verhalten der irdischen Körper gegen die Erde lässt 
sich auf deren Verhalten gegen die fernen Himmels- 
körper zurückführen. Wollten wir behaupten, dass 
wir von den bewegten Körpern mehr kennen als jenes 
durch die Erfahrung gegebene Verhalten gegen die 
Himmelskörper, so würden wir uns einer Unehrlichkeit 
schuldig machen. Wenn wir daher sagen, dass ein Kör- 
per seine Richtung und Geschwindigkeit im Raum bei- 
behält, so liegt darin nur eine kurze Anweisung auf Beach- 
tung der ganzen Welt. Der Erfinder des Princips darf 

15* 



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228 Zweites Kapitel. 

sich diesen gekürzten Ausdruck erlauben, weil er weiss, 
dass der Ausführung der Anweisung in der Regel keine 
Schwierigkeiten im Wege stehen. Er kann aber nicht hel- 
fen, wenn sich solche Schwierigkeiten einstellen, wenn z.B. 
die nöthigen gegeneinander festliegenden Körper fehlen. 
7. Statt nun einen bewegten Körper K auf den Raum 
(auf ein Coordinatensystem) zu beziehen, wollen wir 
direct sein Verhältniss zu den Körpern des Welt- 
raumes betrachten, durch welche jenes Coordinaten- 
system allein bestimmt werden kann. Von einander sehr 
ferne Körper, welche in Bezug auf andere ferne fest- 
liegende Körper sich mit constanter Richtung und Ge- 
schwindigkeit bewegen, ändern ihre gegenseitige Ent- 
fernung der Zeit proportional. Man kann auch sagen, 
alle sehr fernen Körper ändern von gegenseitigen oder 
andern Kräften abgesehen ihre Entfernungen einander 
proportional. Zwei Körper, welche in kleiner Ent- 
fernung voneinander sich mit constanter Richtung und 
Geschwindigkeit gegen andere festliegende Körper be- 
wegen, stehen in einer complicirtern Beziehung.^ Würde 
man die beiden Körper als voneinander abhängig be- 
trachten, r ihre Entfernung, t die Zeit und a eine von den 
Richtungen und Geschwindigkeiten abhängige Constante 

nennen, so würde sich ergeben: -z-^ = — 1[« 3 — (-ttJ I- 

Es ist offenbar viel einfacher und übersichtlicher, 
die beiden Körper als voneinander unabhängig anzusehen 
und die Unveränderlichkeit ihrer Richtung und Geschwin- 
digkeit gegen andere festliegende Körper zu beachten. 
Statt zu sagen, die Richtung und Geschwindigkeit 
einer Masse (j. im Raum bleibt constant, kann man auch 
den Ausdruck gebrauchen, die mittlere Beschleunigung 
der Masse p. gegen die Massen m,m',m" . . . in den 

Entfernungen r, r', r" . . . . ist = o oder -j-z ~= — = o. 

at s 2ttn 

Letzterer Ausdruck ist dem erstem äquivalent, so- 
bald man nur hinreichend viele, hinreichend weite und 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 229 

grosse Massen in Betracht zieht. Es fällt hierbei der 
gegenseitige Einfluss der nähern kleinen Massen, welche 
sich scheinbar umeinander nicht kümmern, von selbst 
aus. Dass die unveränderliche Richtung und Geschwindig- 
keit durch die angeführte Bedingung gegeben ist, sieht 
man, wenn man durch % u als Scheitel Kegel legt, welche 
verschiedene Theile des Weltraumes herausschneiden und 
wenn man für die Massen dieser einzelnen Theile die 
Bedingung aufstellt. Man kann natürlich auch für den 

ganzen u. umschliessenden Kaum — r-r -== — = setzen. 
° ^ dt* 2m 

Diese Gleichung sagt aber nichts über die Bewegung 
von \k aus, da sie für jede Art der Bewegung gilt, 
wenn |j. von unendlich vielen Massen gleichmässig um- 
geben ist. Wenn zwei -Massen jjl, , |jl 2 eine von ihrer 
Entfernung r abhängige Kraft aufeinander ausüben, so 

d 2 r 
ist— 5 = (p.! + |i. 2 )/(r). Zugleich bleibt aber die 

Beschleunigung des Schwerpunktes der beiden Massen 

oder die mittlere Beschleunigung des Massensystems 

(nach dem Gegenwirkungsprincip) gegen die Massen des 

___ _, , , d 2 f 2mr t , Srwr 2 l 

Weltraumes = o, d. h.^ ^ -_- + ^ _^_ J = o. 

Bedenkt man, dass die in die Beschleunigung ein- 
gehende Zeit selbst nichts ist als die Maasszahl von 
Entfernungen (oder von Drehungswinkeln) der Welt- 
korper, so sieht man, dass selbst in dem einfachsten 
Fall, in welchen man sich scheinbar nur mit der 
Wechselwirkung von zwei Massen befasst, ein Absehen 
von der übrigen Welt nicht möglich ist. Die Natur 
beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genöthigt 
sind, mit Elementen zu beginnen. Für uns ist es 
allerdings ein Glück, wenn wir zeitweilig unsern 
Blick von dem überwältigenden Ganzen ablenken und 
auf das Einzelne richten können. Wir dürfen aber 
nicht versäumen, alsbald das vorläufig Unbeachtete neuer- 
dings ergänzend und corrigirend zu untersuchen. 



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230 



Zweites Kapitel. 



8. Die eben angestellten Betrachtungen zeigen, dass 
wir nicht nöthig haben das Trägheitsgesetz auf einen 
besondern absoluten Raum zu beziehen. Vielmehr er- 
kennen wir, dass sowol jene Massen, welche nach der 
gewöhnlichen Ausdrucksweise Kräfte aufeinander aus- 
üben, als auch jene, welche keine ausüben, zueinander 
in ganz gleichartigen Beschleunigungsbeziehungen stehen, 
und zwar kann man alle Massen als untereinander 
in Beziehung stehend betrachten. Dass bei den Be- 
ziehungen der Massen die Beschleunigungen eine her- 
vorragende Rolle spielen, muss als eine Erfahrungstat- 
sache hingenommen werden, was aber nicht ausschliesst, 

dass man dieselbe durch 
Vergleichung mit andern 
Thatsachen , wobei sich 
neue Gesichtspunkte erge- 
ben können, aufzukla- 
ren sucht. Bei allen Na- 
turvorgängen spielen die 
Differenzen gewisser 
Grössen u eine maassge- 
bende Rolle. Differenzen der Temperatur, der Poten- 
tialfunction u. s. w. veranlassen die Vorgänge, welche 
in der Ausgleichung dieser Differenzen bestehen. Die 




Fig. 143. 



bekannten Ausdrücke 



d*u d*u dH 



welche bestim- 



mte 3 ' % 3 ' d 3 ' 
mend für die Art des Ausgleiches sind, können als 
Maass der Abweichung des Zustandes eines Punktes 
von dem Mittel der Zustände der Umgebung angesehen 
werden, welchem Mittel der Punkt zustrebt. In ana- 
loger Weise können auch die Massenbeschleunigungen 
aufgefasst werden. Die grossen Entfernungen von 
Massen, welche in keiner besondern Kraftbeziehung zu- 
einander stehen, ändern sich einander proportional. 
Wenn wir also eine gewisse Entfernung p als Abscisse, 
eine andere r als Ordinate auftragen, so erhalten wir eine 
Gerade. Jede einem gewissen p-Werth zukommende r-Or- 
dinate stellt dann das Mittel der Nachbar ordinaten vor. 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 231 

Stehen die Körper in einer Kraftbeziehung, so ist hier- 

d*r 
durch ein Werth -r-^ bestimmt, den wir den oben an- 
dt J 

geführten Bemerkungen zufolge durch einen Ausdruck 

d 2 r 
von der Form -r-« ersetzen können. Durch die Kraft- 

beziehung ist also eine gewisse Abweichung der r-Or- 
dinate vom Mittel der Nachbarordinaten bestimmt, 
welche Abweichung ohne diese Kraftbeziehung nicht be- 
stehen würde. Diese Andeutung möge hier genügen. 
9. Wir haben in dem Obigen versucht, das Trägheits- 
gesetz auf einen von dem gewöhnlichen verschiedenen 
Ausdruck zu bringen. Derselbe leistet, solange eine 
genügende Anzahl von Körpern im Welträume schein- 
bar festliegen, dasselbe wie der gewöhnliche. Er ist 
ebenso leicht anzuwenden und stösst auf dieselben 
Schwierigkeiten. In dem einen Fall können wir des ab- 
soluten Raumes nicht habhaft werden, in dem andern 
Fall ist nur eine beschränkte Zahl von Massen unserer 
Kenntniss zugänglich, und die angedeutete Summation 
ist also nicht zu vollenden. Ob der neue Ausdruck 
den Sachverhalt noch darstellen würde, wenn die Sterne 
durcheinanderfluten würden, kann nicht angegeben 
werden. Die allgemeinere Erfahrung kann aus der uns 
vorliegenden specielleren nicht herausconstruirt werden. 
Wir müssen vielmehr eine solche Erfahrung abwarten. 
Dieselbe wird sich vielleicht bei Erweiterung unserer 
physisch-astronomischen Kenntnisse irgendwo im Him- 
melsraume, wo heftigere und complicirtere Bewegungen 
vorgehen als in unserer Umgebung, darbieten. Das 
wichtigste Ergebniss unserer Betrachtungen ist aber, 
dass gerade die scheinbar einfachsten mecha- 
nischen Sätze sehr complicirter Natur sind, 
dass sie auf unabgeschlossenen, ja sogar auf 
nie vollständig abschliessbaren Erfahrungen 
beruhen, dass sie zwar praktisch hinreichend 



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232 Zweites KapiteL 

gesichert sind, um mit Kücksicht auf die genü- 
gende Stabilität unserer Umgebung als Grund- 
lage der mathematischen Deduction zu dienen, 
dass sie aber keineswegs selbst als mathe- 
matisch ausgemachte Wahrheiten angesehen 
werden dürfen, sondern vielmehr als Sätze, 
welche einer fortgesetzten Erfahrungscontrole 
nicht nur fähig, sondern sogar bedürftig sind. 
Diese Einsicht ist werthvoll, weil sie den wissenschaft- 
lichen Fortschritt begünstigt. 

Von den seit 1883 erschienenen Schriften über das 
Trägheitsgesetz, welche einen erfreulichen Beweis des 
erhöhten Interesses an dieser Frage geben, muss ich 
hier zunächst jene von Streintz („Physikalische Grund- 
lagen der Mechanik", Leipzig 1883) und jene von 
L. Lange („Die geschichtliche Entwickelung des Be- 
wegungsbegriffes", Leipzig 1886) kurz berühren. 

Streintz hält zwar mit Recht den Ausdruck „absolute 
Translationsbewegung" für begrifflich inhaltlos und er- 
klärt dementsprechend gewisse analytische Ableitungen 
für überflüssig. In Bezug auf die Drehung meint aber 
St. mit Newton eine absolute Drehung von einer re- 
lativen Drehung unterscheiden zu können. Auf diesem 
Standpunkt kann man also jeden Körper ohne absolute 
Drehung als Bezugskörper für den Ausdruck des Träg- 
heitsgesetzes wählen. 

Ich kann diesen Standpunkt nicht theilen. Für mich 
gibt es überhaupt nur eine relative Bewegung („Er- 
haltung der Arbeit", S. 48, Alinea 2; „Mechanik", 
S. 223,4) und ich kann darin einen Unterschied zwischen 
Rotation und Translation nicht machen. Dreht sich 
ein Körper relativ gegen den Fixsternhimmel, so 
treten Fliehkräfte auf, dreht er sich relativ gegen 
einen andern Körper, nicht aber gegen den Fixstern- 
himmel, so fehlen die Fliehkräfte. Ich habe nichts 
dagegen, dass man die erstere Rotation eine absolute 
nennt, wenn man nur nicht vergisst, dass dies nichts 
anderes heisst, als eine relative Drehung gegen den 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 233 

Fixsternhimmel. Können wir vielleicht das Wasser- 
glas Newton's festhalten, den Fixsternhimmel dagegen 
rotiren, und das Fehlen der Fliehkräfte nunnachweisen? 

Der Versuch ist nicht ausführbar, der Gedanke über- 
haupt sinnlos, da beide Fälle sinnlich voneinander 
nicht zu unterscheiden sind. Ich halte demnach beide 
Fälle für denselben Fall und die Newton'sche Unter- 
scheidung für eine Illusion („Mechanik", S. 226, ö). 

Richtig bleibt nur, dass man sich im Luftballon, im 
Nebel eingeschlossen, noch immer durch einen gegen 
den Fixsternhimmel nicht rotirenden Körper orientiren 
kann. Etwas anderes, als eine mittelbare Orientirung 
gegen den Fixsternhimmel, ist dies aber nicht; es ist 
eine mechanische Orientirung anstatt einer optischen. 

Gegen die Streintz'sche Kritik meiner Ausführungen 
habe ich noch Folgendes zu bemerken. Meine Meinung 
ist nicht mit jener Euler's zu confundiren (Streintz, 
S. 7,50), welcher, wie Lange ausführlich dargethan hat, 
zu einer festen fassbaren Ansicht überhaupt nicht ge- 
langt ist. — Dass nur die fernem und nicht auch die 
nähern Massen Antheil an der Bestimmung der Ge- 
schwindigkeit eines Körpers haben (Streintz, S. 7), habe 
ich nicht angenommen; ich spreche nur von einem 
von der Entfernung unabhängigen Einfluss. — Dass 
ich, ohne Newton und Euler zu kennen, nach so langer 
Zeit doch nur zu Ansichten geführt worden bin, welche 
diese Forscher schon hatten, die aber theils von ihnen, 
theils von andern abgewiesen werden mussten, wird 
der unbefangene und aufmerksame Leser meinen Aus- 
führungen gegenüber („Mechanik", S. 216 — 243) wol kaum 
mit Streintz (S. 50) behaupten wollen. Aber auch meine 
Bemerkungen von 1872, die Streintz allein bekannt waren, 
berechtigen nicht zu diesem Ausspruch; dieselben sind 
zwar aus guten Gründen sehr kurz, aber keineswegs 
so dürftig, als sie dem erscheinen müssen, welcher die- 
selben nur durch die Streintz'sche Kritik kennt. Den 
Standpunkt, den Streintz einnimmt, habe ich damals 
schon ausdrücklich abgelehnt. 



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234 Zweites Kapitel. 

Die Lange'sche Schrift scheint mir zu dem Besten zu 
gehören, was über die vorliegenden Fragen gearbeitet 
worden ist. Der methodische Gang berührt sehr sym- 
pathisch. Die sorgfaltige Analyse und die historisch- 
kritische Betrachtung des Bewegungsbegriffes hat, wie 
mir scheint, Resultate von bleibendem Werthe ergeben. 
Auch die deutliche Hervorhebung und die zweckmässige 
Bezeichnung des Princips der „particulären Deter- 
mination" halte ich für sehr verdienstlich, wenngleich 
mir das Princip selbst, beziehungsweise dessen An- 
wendung nicht als neu erscheint. Das Princip liegt 
eigentlich schon jeder Messung zu Grunde. Die Wahl 
der Maasseinheit ist Convention, die Maasszahl das For- 
schungsergebniss. Jeder Naturforscher, der sich klar 
gemacht hat, dass er lediglich die Abhängigkeit der 
Erscheinungen voneinander zu erforschen hat, wie 
ich dies vor langer Zeit (1865 und 1866) formulirt habe, 
verwendet das Princip. Wenn z.B. („Mechanik", S.211 fg<) 
das negative umgekehrte Verhältniss der gegenseiti- 
gen Beschleunigungen zweier Körper als das Massen- 
verhältniss definirt wird, so ist dies eine ausdrücklich 
als willkürlich bezeichnete Uebereinkunft, ein For- 
schungsergebniss aber, dass diese Verhältnisse von 
der Art und Ordnung der Combination der Körper 
unabhängig sind. Analoge Beispiele aus der Wärme- 
und Elektricitätslehre, sowie aus andern Gebieten könnte 
ich viele anführen. 

Das Trägheitsgesetz will Lange, um gleich den ein- 
fachsten und anschaulichsten Ausdruck anzuführen, in 
folgender Weise aussprechen: 

„Drei materielle Punkte P t , P 2 , P 3 werden gleich- 
zeitig vom selben Raumpunkte ausgeschleudert und so- 
fort sich selbst überlassen. Sobald man sich vergewissert 
hat, dass sie nicht in einer geraden Linie gelegen 
sind, verbindet man sie einzeln mit einem ganz be- 
liebigen vierten Kaumpunkt Q. Die Verbindungs- 
linien, welche bez. G, , G 2 , G # , heissen mögen, bilden 
zusammen eine dreiseitige Ecke. Lässt man nun diese 



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Die Entwickelung der Prinoipien der Dynamik. 235 

Ecke in unveränderter Starrheit ihre Gestalt 
bewahren und verfügt man über ihre Lage beständig 
so, dass P x auf der Kante G 1? P 2 auf G 2 , P 3 auf G 3 
stetig fortschreitet, so können die Kanten als Axen 
eines Coordinatensystems (Inertialsystems) angesehen 
werden, in Bezug auf welches jeder weitere sich selbst 
überlassene materielle Punkt in einer Geraden fort- 
schreitet. Die von den sich selbst überlassenen Punkten 
in den so bestimmten Bahnen zurückgelegten Wege 
sind einander proportional." 

Ein Coordinatensystem , in Bezug auf welches drei 
materielle Punkte in Geraden fortschreiten, ist nach 
Lange (unter den angegebenen Einschränkungen) eine 
blosse Uebereinkunft. Dass in Bezug auf ein solches 
auch noch ein vierter und ein beliebiger weiterer sich 
selbst überlassener materieller Punkt in einer Geraden 
fortschreitet und dass die Wegstrecken der verschiedenen 
Punkte einander proportional bleiben, sind Forschungs- 
ergebnisse. 

Zunächst soll nicht bestritten werden, dass man das 
Trägheitsgesetz auf ein derartiges Raum- und Zeit- 
coordinatensystem beziehen und so ausdrücken kann. 
Eine solche Fassung ist wol für die praktische An- 
wendung weniger geeignet als die Streintz'sche, dagegen 
der methodischen Vorzüge wegen ansprechender. Mir 
persönlich ist sie besonders sympathisch, da ich mich 
vor Jahren mit analogen Versuchen beschäftigt habe, 
von welchen nicht etwa Anfänge, sondern Reste („Mecha- 
nik", S. 228, 7) stehen geblieben sind. Ich habe diese 
Versuche aufgegeben, weil ich die Ueberzeugung gewon- 
nen habe, dass man durch alle diese Ausdrucksweisen 
(so auch durch die Streintz'sche und die Lange'sche) 
nur scheinbar die Beziehung auf den Fixsternhimmel 
und den Drehungswinkel der Erde umgeht. 

Thatsächlich sind wir durch Beachtung des Fixstern- 
himmels und der Erdrotation zur Kenntniss des Träg- 
heitsgesetzes in seinem heutigen Gültigkeitsbereich ge- 
langt, und ohne diese Grundlagen würden wir auf 



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236 Zweites Kapitel. 

die fraglichen Versuche gar nicht verfallen („Mecha- 
nik", S. 227,6). Eine Betrachtung einiger isolirter 
Punkte, unter gänzlichem Absehen von der übrigen Welt, 
scheint mir unzulässig („Mechanik", S. 224, 229, 7). 

Es scheint sehr fraglich, ob ein vierter sich selbst 
überlassener materieller Punkt in Bezug auf ein Lange'- 
sches „Inertialsystem" eine Gerade (gleichförmig) durch- 
laufen würde, sobald der Fixsternhimmel nicht vorhan- 
den, öder nicht unveränderlich, oder nur nicht mit ge- 
nügender Genauigkeit als unveränderlich anzusehen wäre. 

Der natürlichste Standpunkt für den aufrichtigen 
Naturforscher bleibt der, das Trägheitsgesetz zunächst 
als eine hinreichende Annäherung zu betrachten, das- 
selbe räumlich auf den Fixsternhimmel, zeitlich auf die 
Drehung der Erde zu beziehen und die Oorrectur, be- 
ziehungsweise Verschärfung unserer Kenntniss von einer 
erweiterten Erfahrung zu erwarten, wie ich dies („Mecha- 
nik", S. 231,9) dargelegt habe. 

Ich muss nun noch die seit 1889 erschienenen Be- 
handlungen des Trägheitsgesetzes erwähnen. Zunächst 
sei auf die Darstellung von K. Pearson („Grammar of 
Science", 1892, S. 477) verwiesen, welche von der Ter- 
minologie abgesehen mit der meinigen übereinstimmt. 
P. und J. Friedländer („Absolute und relative Bewegung", 
Berlin 1896) versuchen die Frage durch ein Experiment 
nach dem Schema des von mir S. 227 erwähnten zu 
entscheiden, wobei ich nur besorge, dass dasselbe quan- 
titativ nicht zureichen wird. Den Erörterungen von 
Johannesson („Das Beharrungsgesetz", Berlin 1896) kann 
ich ganz wohl zustimmen, doch bleibt die Frage, wonach 
sich die Bewegung eines von andern Körpern nicht 
merklich beschleunigten bestimmt, unerledigt. Der 
Vollständigkeit wegen sollen noch die überwiegend dia- 
lektischen Ausführungen von M. E. Vicaire (Societe 
scientifique de Bruxelles 1895), sowie die Untersuchungen 
von J. G. Macgregor (Royal Society of Canada 1895) 
erwähnt werden, welche letztere zur berührten Frage 
in loserer Beziehung stehen. Gegen die Budde'sche 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 237 

Auffassung des Raumes als eine Art Medium habe ich 
nichts einzuwenden (Vgl. S. 225), nur meine ich, dass 
die Eigenschaften dieses Mediums doch noch auf irgend 
eine andere Weise physikalisch nachweisbar sein und 
nicht ad hoc angenommen werden müssten. Erweisen 
sich alle (scheinbaren) Fernwirkungen, Beschleunigungen, 
als durch ein Medium vermittelt, so rückt die Frage 
überhaupt in ein anderes Licht und die Lösung liegt 
vielleicht in der S. 225 dargelegten Auffassung. . 



7. Ucbersichtliche Kritik der Newton' sehen Aufstellungen, 

1. Wir können nun, nachdem wir die Einzelheiten 
genügend besprochen haben, die Form und die Anord- 
nung der Newton'schen Aufstellungen noch einmal über- 
schauen. Newton schickt mehrere Definitionen voraus, 
und lässt denselben die Gesetze der Bewegung folgen. 
Wir beschäftigen uns zunächst mit den erstem. 

„Definition 1. Die Menge der Materie wird durch 
ihre Dichtigkeit und ihr Volum vereint gemessen. — 
Diese Menge der Materie werde ich im Folgenden unter 
dem Namen Körper oder Masse verstehen, und sie wird 
durch das Gewicht des jedesmaligen Körpers bekannt. 
Dass die Masse dem Gewicht proportional sei, habe ich 
durch sehr genau angestellte Pendel versuche gefunden, 
wie später gezeigt werden wird. 

„Definition 2. Die Grösse der Bewegung wird durch 
die Geschwindigkeit und die Menge der Materie vereint 
gemessen. 

„Definition 3. Die Materie besitzt das Vermögen zu 
widerstehen; deshalb verharrt jeder Körper, soweit es 
an ihm ist, in seinem Zustande der Ruhe oder der gleich- 
förmigen geradlinigen Bewegung. 

„Definition 4. Eine angebrachte Kraft ist das gegen 
einen Körper ausgeübte Bestreben, seinen Zustand zu 
ändern, entweder den der Ruhe oder den der gleich- 
förmigen geradlinigen Bewegung. 



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238 Zweites Kapitel. 

„Definition 5. Die Centripetalkraft bewirkt, das» ein 
Körper gegen irgendeinen Punkt als Centrum gezogen 
oder gestossen wird, oder auf irgendeine Weise dahin 
zu gelangen strebt. 

„Definition 6. Die absolute Grösse der Centripetal- 
kraft ist das grössere oder kleinere Maass derselben, 
nach Verhältniss der wirkenden Ursache, welche vom 
Mittelpunkte nach den umgebenden Theilen sich fort- 
pflanzt. 

„Definition 7. Die Grösse der beschleunigenden 
Centripetalkraft ist proportional der Geschwindigkeit, 
welche sie in einer gegebenen Zeit erzeugt. 

„Definition 8. Die Grösse der bewegenden Centri- 
petalkraft ist der Bewegungsgrösse proportional, welche 
sie in seiner gegebenen Zeit erzeugt. 

„Man kann der Kürze wegen diese auf dreifache 
Weise betrachtete Grösse der Kraft absolute, beschleu- 
nigende und bewegende Kraft nennen, und sie zu gegen- 
seitiger Unterscheidung auf die nach dem Mittelpunkt 
strebenden Körper, den Ort der Körper und den 
Mittelpunkt der Kräfte beziehen. Die bewegende Kraft 
auf den Körper, als ein Streben und Hinneigen des 
Ganzen gegen das Centrum, welches aus der Hinneigung 
der einzelnen Theile zusammengesetzt ist. Die be- 
schleunigende Kraft auf den Ort des Körpers, als eine 
wirkende Ursache, welche sich vom Centrum aus nach 
den einzelnen es umgebenden Orten, zur Bewegung des 
in denselben befindlichen Körpers, fortpflanzt. Die ab- 
solute Kraft auf das Centrum, welches mit einer Ur- 
sache begabt ist, ohne welche die bewegenden Kräfte 
sich nicht durch den Kaum fortpflanzen würden. Diese 
Ursache mag nun irgendein Centralkörper (wie der 
Magnet im Centrum der magnetischen , die Erde im 
Centrum der Schwerkraft), oder irgendwie unsichtbar 
sein. Dies ist wenigstens der mathematische Begriff 
derselben, denn die physischen Ursachen und Sitze der 
Kräfte ziehe ich hier nicht in Betracht. 

„Die beschleunigende Kraft verhält sich daher zur 



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Die Elitwickelung der Prinoipien der Dynamik. 239 

bewegenden, wie die Geschwindigkeit zur Bewegungs- 
grösse. Die Grösse der Bewegung entsteht nämlich 
aus dem Producte der Geschwindigkeit in die Masse, 
und die bewegende Kraft aus dem Producte der be- 
schleunigenden Kraft in dieselbe Masse, indem die 
Summe der Wirkungen, welche die beschleunigende 
Kraft in den einzelnen Theilen des Körpers hervor- 
bringt, die bewegende Kraft des ganzen Körpers ist. 
Daher verhält sich in der Nähe der Erdoberfläche, wo 
die beschleunigende Kraft, d. h. die Kraft der Schwere 
in allen Körpern dieselbe ist, die bewegende Kraft der 
Schwere oder das Gewicht, wie der Körper. Steigt 
man aber zu Gegenden auf, in denen die beschleunigende 
Kraft der Schwere geringer wird, so wird das Gewicht 
gleichmässig vermindert und stets dem Product aus der 
beschleunigenden Kraft der Schwere und dem Körper 
proportional sein. So wird in Gegenden, wo die be- 
schleunigende Kraft halb so gross ist, das Gewicht 
eines Körpers um die Hälfte vermindert. Ferner nenne 
ich die Anziehung und den Stoss in demselben Sinne 
beschleunigend und bewegend. Die Benennung: An- 
ziehung, Stoss oder Hinneigung gegen den Mittelpunkt 
nehme ich ohne Unterschied und untereinander ver- 
mischt an, indem ich diese Kräfte nicht im physischen, 
sondern nur im mathematischen Sinn betrachte. Der 
Leser möge daher aus Bemerkungen dieser Art nicht 
schliessen, dass ich die Art und Weise der Wirkung 
oder die physische Ursache erkläre, oder auch dass ich 
den Mittelpunkten (welche geometrische Punkte sind) 
' wirkliche und physische Kräfte beilege, indem ich sage : 
Die Mittelpunkte ziehen an, oder es finden Mittel- 
punktskräfte statt." 

2. Die Definition 1 ist, wie schon ausführlich dar- 
gethan wurde, eine Scheindefinition. Der Massenbe- 
griff wird dadurch nicht klarer, dass man die Masse als 
das Product des Volums und der Dichte darstellt, da 
die Dichte selbst nur die Masse der Volumseinheit vor- 
stellt. Die wahre Definition der Masse kann nur aus 



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240 Zweites Kapitel. 

den dynamischen Beziehungen der Körper abgeleitet 
werden. 

Gegen die Definition 2, die einen blossen Rechnungs- 
ausdruck erklärt, ist nichts einzuwenden. Hingegen 
wird die Definition 3 (Trägheit) durch die Kraft- 
definitionen 4 — 8 überflüssig gemacht, da durch die be- 
schleunigende Natur der Kräfte die Trägheit schon ge- 
geben ist. 

Definition 4 erklärt die Kraft als die Beschleunigungs- 
ursache oder das Beschleunigungsbestreben eines Kör- 
pers. Letzteres rechtfertigt sich dadurch, dass auch 
in dem Falle, als Beschleunigungen nicht auftreten 
können, andere denselben entsprechende Veränderungen, 
Druck, Dehnung der Körper u. s. w. eintreten. Die Ur- 
sache einer Beschleunigung gegen ein bestimmtes Cen- 
trum hin wird in Definition 5 als Centripetalkraft er- 
klärt, und in 6, 7, 8 in die absolute, beschleunigende 
und bewegende geschieden. Es ist wol Geschmacks- 
und Formsache, ob man die Erläuterung des Kraftbe- 
griffes in eine oder mehrere Definitionen fassen will. 
Principiell ist gegen die Newton'schen Definitionen nichts 
einzuwenden. 

3. Es folgen nun die Axiome oder Gesetze der Be- 
wegung, von welchen Newton drei aufstellt: 

„1. Gesetz. Jeder Körper beharrt in seinem Zustande 
der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, 
wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, 
seinen Zustand zu ändern." 

„2. Gesetz. Die Aenderung der Bewegung ist der 
Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und ge- 
schieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, 
nach welcher jene Kraft wirkt." 

„3. Gesetz. Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung 
gleich, oder die Wirkungen zweier Körper aufeinander 
sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung." 

Diesen drei Gesetzen schliesst Newton mehrere Zu- 
sätze an. Der 1. und 2. Zusatz bezieht sich auf das 
Princip des Kräftenparallelogramms, der 3. auf die bei 



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Die Entwiokelung der Principien der Dynamik. 241 

der Gegenwirkung erzeugte Bewegungsquantität, der 
4. auf die Unveränderlichkeit des Schwerpunktes durch 
die Gegenwirkung, der 5. und 6. auf die relative Be- 
wegung. 

4. Man erkennt leicht, dass das 1. und 2. Gesetz 
durch die vorausgehenden Kraftdefinitionen schon ge- 
geben ist. Nach denselben besteht ohne Kraft keine 
Beschleunigung und demnach nur Ruhe oder geradlinige 
gleichförmige Bewegung. Es ist ferner nur eine ganz 
unnöthige Tautologie, nachdem die Beschleunigung als 
Kraftmaass festgesetzt ist, noch einmal zu sagen, dass 
die Bewegungsänderung der Kraft proportional sei. Es 
wäre genügend gewesen zu sagen, dass die vorausge- 
schickten Definitionen keine willkürlichen mathematischen 
seien, sondern in der Erfahrung gegebenen Eigenschaften 
der Körper entsprechen. Das dritte Gesetz enthält 
scheinbar etwas Neues. Wir haben aber schon gesehen, 
dass es ohne den richtigen Massenbegriff unverständ- 
lich ist, hingegen durch den Massenbegriff, der selbst 
nur durch dynamische Erfahrungen gewonnen werden 
kann, unnöthig wird. 

Zusatz 1 enthält wirklich etwas Neues. Derselbe 
betrachtet aber die durch verschiedene Körper M, N, P 
in einem Körper K bedingten Beschleunigungen als 
selbstverständlich voneinander unabhängig, während 
dies gerade ausdrücklich als eine Erfahrungsthatsache 
anzuerkennen wäre. Zusatz 2 ist eine einfache Anwen- 
dung des in Zusatz 1 ausgesprochenen Gesetzes. Auch 
die übrigen Zusätze stellen sich als einfache deductive 
(mathematische) Ergebnisse aus den vorausgegangenen 
Begriffen und Gesetzen dar. 

5. Selbst wenn man ganz auf dem Newton'schen 
Standpunkte bleibt, und von den erwähnten Compli- 
cationen und Unbestimmtheiten ganz absieht, welche 
durch die abgekürzte Bezeichnung „Zeit" und „Raum" 
nicht beseitigt, sondern nur verdeckt werden, kann man 
die Newton'schen Aufstellungen durch viel einfachere, 

Mach. 16 



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242 Zweites Kapitel. 

methodisch mehr geordnete und befriedigende ersetzen. 
Dieselben wären unsers Erachtens etwa folgende: 

a. Erfahrungssatz. Gegenüberstehende Körper be- 
stimmen unter gewissen von der Experimentalphysik 
anzugebenden Umständen aneinander entgegengesetzte 
Beschleunigungen nach der Richtung ihrer Ver- 
bindungslinie. (Der Satz der Trägheit ist hier schon 
eingeschlossen.) 

b. Definition. Das Massenverhältniss zweier Körper 
ist das negative umgekehrte Verhältniss der gegen- 
seitigen Beschleunigungen. 

c. Erfahrungssatz. Die Massenverhältnisse sind von 
der Art der physikalischen Zustände der Körper (ob 
dieselben elektrische, magnetische u. s. w. sind), welche 
die wechselseitige Beschleunigung bedingen, unabhängig, 
sie bleiben auch dieselben, ob sie mittelbar oder un- 
mittelbar gewonnen werden. 

d. Erfahrungssatz. Die Beschleunigungen, welche 
mehrere Körper A, B y C . . . . an einem Körper K be- 
stimmen, sind voneinander unabhängig. (Der Satz des 
Kräftenparallelogramms folgt hieraus unmittelbar.) 

e. Definition. Bewegende Kraft ist das Product aus 
dem Massenwerth eines Körpers in die an demselben 
bestimmte Beschleunigung. 

Nun könnten noch die übrigen willkürlichen Definitio- 
nen der Kechnungsausdrücke „Bewegungsgrösse", „leben- 
dige Kraft" u. s. w. folgen, welche aber durchaus nicht 
unentbehrlich sind. Die angeführten Sätze erfüllen die 
Forderung der Einfachheit und Sparsamkeit, welche 
man an dieselben aus ökonomisch-wissenschaftlichen 
Gründen stellen muss. Sie sind auch durchsichtig und 
klar, denn es kann bei keinem derselben ein Zweifel 
bestehen, was er bedeutet, aus welcher Quelle er 
stammt, ob er eine Erfahrung oder eine willkürliche 
Festsetzung ausspricht. 

6. Im Ganzen kann man sagen, dass Newton in vorzüg- 
licher Weise die Begriffe und Sätze herausgefunden hat, 
welche genügend gesichert waren, um auf dieselben 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 243 

weiter zubauen. Er dürfte zum Theil durch die Schwierig- 
keit und Neuheit des Gegenstandes seinen Zeitgenossen 
gegenüber zu einer grossen Breite und dadurch zu 
einer gewissen Zerrissenheit der Darstellung genöthigt 
gewesen sein, infolge welcher z. B. ein und dieselbe 
Eigenschaft der mechanischen Vorgänge mehrmals for- 
mulirt erscheint. Theilweise war er aber nachweislich 
über die Bedeutung und namentlich über die Erkennt- 
nissquelle seiner Sätze selbst nicht vollkommen klar. 
Und auch dies vermag nicht den leisesten Schatten auf 
seine geistige Grösse zu werfen. Derjenige, welcher 
einen neuen Standpunkt zu erwerben hat, kann den- 
selben natürlich nicht von vornherein so sicher inne- 
haben, wie jene, welche diesen Standpunkt mühelos von 
ihm übernehmen. Er hat genug gethan, wenn er Wahr- 
heiten gefunden hat, auf die man weiter bauen kann. 
Denn jede neue Folgerung bietet zugleich eine neue 
Einsicht, eine neue Controle, eine Erweiterung der 
Uebersicht, eine Klärung des Standpunktes. Der Feld- 
herr so wenig als der grosse Entdecker kann bei jedem 
gewonnenen Posten kleinliche Untersuchungen darüber 
anstellen, mit welchem Eecht er denselben besitzt. Die 
Grösse der zu lösenden Aufgabe lässt hierzu keine Zeit. 
Später wird dies anders. Von den beiden folgenden 
Jahrhunderten durfte Newton wohl erwarten, dass sie 
die Grundlagen des von ihm Geschaffenen weiter unter- 
suchen und befestigen würden. In der That können 
in Zeiten grösserer wissenschaftlicher Buhe die Prin- 
cipien ein höheres philosophisches Interesse gewinnen, 
als alles, was sich auf dieselben bauen lässt. Dann 
treten Fragen auf, wie die hier behandelten, zu deren 
Beantwortung hier vielleicht ein kleiner Beitrag geliefert 
worden ist. Wir stimmen dem mit Recht hochberühmten 
Physiker W. Thomson in der Verehrung und Bewun- 
derung Newton's bei. Sir W. Thomson's Ansicht aber, 
dass die Newton'schen Aufstellungen auch heute noch 
das Beste und Philosophischste seien, was man geben 
könne, ist uns schwer verständlich. 

16* 



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244 Zweites Kapitel. 

8. Eückblick auf die Entwickelung der Dynamik. 

1. Wenn wir die Entwickelungsperiode der Dynamik 
überblicken, welche durch Galilei eingeleitet, durch 
Huyghens weiter geführt, durch Newton abgeschlossen 
wurde, so stellt sich als Hauptergebniss die Erkennt- 
niss dar, dass die Körper gegenseitig aneinander von 
räumlichen und materiellen Umständen abhängige Be- 
schleunigungen bestimmen, und dass es Massen 
gibt. Dass die Erkenntniss dieser Thatsachen sich in 
so vielen Sätzen darstellt, hat lediglich einen histori- 
schen Grund; sie wurde nicht auf einmal, sondern 
schrittweise gewonnen. Es ist eigentlich nur eine 
grosse Thatsache, die festgestellt worden ist. Ver- 
schiedene Körperpaare bestimmen unabhängig vonein- 
ander an sich selbst Beschleunigungspaare, deren Glieder 
das für jedes Körperpaar charakteristische unveränder- 
liche Yerhältniss darbieten. Selbst so bedeutende Men- 
schen wie Galilei, Huyghens und Newton konnten diese 
Thatsache nicht auf einmal erschauen, sondern nur 
stückweise erkennen, wie sich dies in dem Fallgesetze, 
dem besondern Trägheitsgesetze, dem Princip des 
Kräftenparallelogramms, dem Massenbegriff u. s. w. aus- 
spricht. Heute hat es keine Schwierigkeit mehr, die 
Einheit der ganzen Thatsache zu durchblicken. Nur 
das praktische Bedürfniss der Mittheilung kann die 
stückweise Darstellung durch mehrere Sätze (deren Zahl 
eigentlich nur durch den wissenschaftlichen Geschmack 
bestimmt wird) rechtfertigen. Die Erinnerung an die 
über die Begriffe Zeit, Trägheit u. s. w. gegebenen 
Ausführungen befestigt übrigens gewiss die Ueber- 
zeugung, dass genau genommen selbst heute die ganze 
fragliche Thatsache noch nicht nach allen Seiten voll- 
ständig erkannt ist. 

Mit den „unbekannten Ursachen" der Naturvorgänge 
hat der gewonnene Standpunkt (wie Newton ausdrück- 
lich hervorhebt) nichts zu schaffen. Was wir heute in 
der Mechanik Kraft nennen, ist nicht etwas in den Yor- 



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Die Entwiokelung der Principien der Dynamik. 245 

gangen Verborgenes, sondern ein messbarer tatsäch- 
licher Bewegungsumstand, das Product aus der Masse 
in die Beschleunigung. Auch wenn man von An- 
ziehungen oder Abstossungen der Körper spricht, hat 
man nicht nöthig an irgendwelche verborgene Ursachen 
der Bewegung zu denken. Man bezeichnet durch den 
Ausdruck Anziehung nur diethatsächliche Aehnlich- 
keit des durch die Bewegungsumstände bestimmten Vor- 
ganges mit dem Effect eines Willensimpulses. In bei- 
den Fällen erfolgt entweder wirkliche Bewegung oder, 
wenn diese durch einen andern Bewegungsumstand wie- 
der aufgehoben ist, Zerrung, Pressung der Körper 
u. 8. w. 

2. Das eigentliche Werk des Genies bestand darin, 
den Zusammenhang gewisser Bestimmungsstücke der 
mechanischen Vorgänge zu bemerken. Die genauere 
Feststellung der Form dieses Zusammenhanges fiel mehr 
der bedächtigen Arbeit anheim, welche die verschiedenen 
Begriffe und Sätze der Mechanik schuf. Den wahren 
Werth und die Bedeutung dieser Sätze und Begriffe 
kann man nur durch Untersuchung ihres historischen 
Ursprunges ermitteln. Hierbei zeigt sich nun zuweilen 
unverkennbar, dass zufallige Umstände dem Ent- 
wicklungsgänge eine eigenthümliche Richtung gegeben 
haben, welche unter andern Umständen sehr verschieden 
hätte ausfallen können, wie dies hier durch ein Beispiel 
erläutert werden soll. 

Bevor Galilei die bekannte Abhängigkeit zwischen 
der Endgeschwindigkeit und Fallzeit annahm, und die- 
selbe durch das Experiment prüfte, versuchte er, wie 
bereits erwähnt, eine andere Annahme, und setzte die 
Endgeschwindigkeit proportional dem zurückgelegten 
Fallraum. Er meinte, durch ebenfalls schon erwähnte 
Fehlschlüsse, diese Annahme im Widerspruch mit sich 
selbst zu finden. Er meinte, dass der doppelte Fall- 
raum vermöge der doppelten Endgeschwindigkeit in 
derselben Zeit zurückgelegt werden müsste wie der ein- 
fache Fallraum. Da aber die erste Hälfte jedenfalls 



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246 Zweites Kapitel. 

früher zurückgelegt wird, so müsste der Rest augen- 
blicklich (ohne messbare Zeit) zurückgelegt werden. 
Leicht folgt dann, dass die Fallbewegung überhaupt 
eine momentane wäre. 

Die Fehlschlüsse liegen hier klar zu Tage. Integra- 
tionen im Kopfe waren natürlich Galilei nicht geläufig, 
und er musste bei dem Fehlen aller Methode nothwen- 
dig irren, sobald die Verhältnisse etwas complicirter 
waren. Nennen wir s den Weg, t die Zeit, so lautet 
die Galilei' sehe Annahme in unserer heutigen Sprache 

— = as, woraus folgt s = A e , wobei a eine Er- 
dt 

fahrungs- und A eine Integrationsconstante wäre. Dies 
ist eine ganz andere Folgerung als diejenige, welche 
Galilei gezogen hat. Sie passt allerdings zur Erfahrung 
nicht, und Galilei hätte wahrscheinlich Anstoss daran 
genommen, dass für t = o doch s von o verschieden 
sein muss, wenn überhaupt Bewegung eintreten soll. 
Allein sich selbst widerspricht die Annahme keineswegs. 
Nehmen wir an, Kepler hätte sich dieselbe Frage ge- 
stellt. Während Galilei stets nur nach dem Einfachsten 
griff, und eine Annahme sofort fallen Hess, wenn sie 
nicht passte, zeigt Kepler eine ganz andere Natur. Er 
scheut sich vor den complicirtesten Annahmen nicht, 
und gelangt, dieselben fort und fort allmählich ab- 
ändernd, zum Ziel, wie dies die Geschichte der Auf- 
findung seiner Gesetze der Planetenbewegung hinreichend 
darthut. Kepler hätte also wahrscheinlich, wenn die 

ds 
Annahme — = a s nicht gepasst hätte, eine Unzahl 
dt 

anderer, darunter wahrscheinlich auch die richtige 

ds ~~ 

-— - = a 1/s versucht. Damit würde aber die Dynamik 

dt Y 

einen wesentlich andern Entwickelungsgang genommen 

haben . 

Unserer Meinung nach hat nun diesem geringfügigen 

historischen Umstand der Begriff „Arbeit" die Mühe zu 



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Die Entwickelung der Prinoipien der Dynamik. 247 

danken > mit welcher er sich nur sehr allmählich zu 
seiner gegenwärtigen Bedeutung emporarbeiten konnte. 
In der That musste, weil zufällig die Abhängigkeit 
zwischen Geschwindigkeit und Zeit früher ermittelt 
worden war, die Beziehung v=*gt als die ursprüng- 
liche, die Gleichung s = — als die nächste, und gs=— 
2 2 

als eine entferntere Folgerung erscheinen. Führt man 
den Begriff Masse (m) und Kraft (p) ein, wobei p = mg, 
so erhält man (durch Multiplication der drei Gleichungen 

iiß / 2 Mg .}• 2 

mit m) die Sätze, mv=pt, ms = — — , p s = -— , 

die Grundgleichungen der Mechanik. Nothwendig mussten 
also die Begriffe Kraft und Bewegung squantität 
(mv) ursprünglicher scheinen, als die Begriffe Arbeit 
(ps) und lebendige Kraft (mv 2 ). Kein Wunder also, 
dass überall, wo der Arbeitbegriff auftrat, man immer 
versuchte denselben durch die historisch älteren Begriffe 
zu ersetzen. Der ganze Streit der Leibnitzianer und 
Cartesianer, welcher erst durch d'Alembert einiger- 
maassen geschlichtet wurde, findet darin seine volle Er- 
klärung. 

Unbefangen betrachtet, hat man genau dasselbe Recht, 
nach der Abhängigkeit von Endgeschwindigkeit und 
Zeit, wie nach der Abhängigkeit von Endgeschwindig- 
keit und Weg zu fragen, und die Frage durch das Ex- 
periment zu beantworten. Die eine Frage führt zu 
dem Erfahrungssatze: Gegebene gegenüberstehende Kör- 
per ertheilen sich in gegebenen Zeiten gewisse Ge- 
schwindigkeitszuwüchse. Die andere lehrt: Gegebene 
gegenüberstehende Körper ertheilen sich für bestimmte 
gegenseitige Verschiebungen gewisse Geschwindigkeits- 
zuwüchse. Beide Sätze sind gleichberechtigt und können 
als gleich ursprünglich angesehen werden. 

Dass dies richtig ist, beweist in unserer Zeit J. R. 
Mayer, eine von den Einflüssen der Schule freie mo- 
derne Galilei'sche Natur, welcher in der That den 



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248 Zweites Kapitel. 

letztern Weg selbständig eingeschlagen, und dadurch eine 
Erweiterung der Wissenschaft hervorgerufen hat, wie 
sie auf dem Wege der Schule erst später, umständlicher 
und nicht in gleicher Vollständigkeit eingetreten ist. 
Für Mayer ist „Arbeit" der ursprüngliche Begriff. Er 
nennt das Kraft, was in der Mechanik der Schule Ar- 
beit genannt wird. Mayer fehlt nur darin, dass er 
seinen Weg für den einzig richtigen hält. 

3. Man kann also nach Belieben die Fallzeit oder 
den Fallraum als geschwindigkeitbestimmend an- 
sehen. Eichtet man die Aufmerksamkeit auf den ersten 
Umstand, so stellt sich der Kraftbegriff als der ursprüng- 
liche, der Arbeitbegriff als der abgeleitete dar. Unter- 
sucht man den Einfluss des zweiten Umstandes zuerst, 
so ist gerade der Arbeitbegriff der ursprüngliche. Bei 
Uebertragung der durch Betrachtung der Fallbewegung 
gewonnenen Begriffe auf complicirtere Verhältnisse er- 
kennt man die Kraft als abhängig von der Entfernung 
der Körper, als eine Function der Entfernung f(r). 
Die Arbeit auf der Wegstrecke dr ist dann f(r) dr. 
Auf dem zweiten Untersuchungswege ergibt sich die 
Arbeit auch als eine Function der Entfernung F(r), 

d • F(r) 



die Kraft kennen wir aber dann nur in der Form 
als Grenzwerth des Verhältnisses 



dr 
Arbeitszuwachs 



Wegzuwachs 

Galilei hat vorzugsweise den ersten der beiden Wege 
cultivirt, und Newton hat ihn ebenfalls vorgezogen. 
Huyghens, wenn er sich auch nicht ganz darauf be- 
schränkt, bewegt sich mehr auf dem zweiten Wege. 
Descartes hat wieder in seiner Weise die Galilei'schen 
Ideen verarbeitet. Seine Leistungen sind aber den 
Newton'schen und Huyghens'schen gegenüber nicht von 
Belang und der Einfluss derselben erlischt bald ganz. 
Nach Huyghens und Newton geht aus der Vermengung 
beider Denkweisen, deren Unabhängigkeit und Gleich- 
wertigkeit nicht immer beachtet wird, die mannich- 



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Die Entwicklung der Principien der Dynamik. 249 

faltigste Verwirrung hervor, wie z. B. der erwähnte 
Streit der Gartesianer und Leibnitzianer über das 
Kraftmaass. Bis in die neueste Zeit aber wenden sich 
die Forscher mit Vorliebe bald der einen bald der an- 
dern Denkweise zu. So werden die Galilei-Newton'- 
schen Gedanken vorzugsweise von der Poinsot'schen, 
die Galilei-Huyghens'schen von der Poncelet' sehen Schule 
eultivirt. 

4. Newton operirt fast ausschliesslich mit den Be- 
griffen Kraft, Masse, Bewegungsgrösse. Sein Gefühl 
für den Werth des Massenbegriffes stellt ihn über seine 
Vorgänger und Zeitgenossen. Galilei dachte nicht daran, 
dass Masse und Gewicht verschiedene Dinge seien. Auch 
Huyghens setzt in allen Betrachtungen die Gewichte 
statt der Massen, so z. B. bei den Untersuchungen über 
den Schwingungsmittelpunkt. Auch in der Schrift „De 
percussione" (über den Stoss) sagt Huyghens immer 
„corpus majus" (der grössere Körper) und „corpus mi- 
nus" (der kleinere Körper), wenn er die grössere oder 
kleinere Masse meint. Zur Bildung des Massenbegriffes 
war man erst gedrängt, als man bemerkte, dass der- 
selbe Körper verschiedene Beschleunigungen durch die 
Schwere erfahren kann. Den Anlass hierzu boten zunächst 
die Pendelbeobachtungen von Richer (1671 — 1673), 
aus welchen Huyghens sofort die richtigen Schlüsse zog, 
und die Uebertragung der dynamischen Gesetze auf die 
Himmelskörper. Die Wichtigkeit des ersten Punktes 
sehen wir daraus, dass Newton durch eigene Beob- 
achtungen an Pendeln aus verschiedenem Material die 
Proportionalität zwischen Masse und Gewicht an dem- 
selben Orte der Erde nachgewiesen hat. („Principia", 
Sect. VI de motu et resistentia corporum funependu- 
lorum). Auch bei Joh. Bernoulli wird die erste Unter- 
scheidung von Masse und Gewicht in der „meditatio de 
natura centri oscillationis" (Opera omnia, Lausannae et 
Genevae, T. H, p. 168) durch die Bemerkung herbei- 
geführt, dass derselbe Körper verschiedene Schwerebe- 
schleunigungen annehmen kann. Die dynamischen Fragen 



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250 Zweites Kapitel. 

nun, welche mehrere zueinander in Beziehung stehende 
Körper betreffen, erledigt Newton mit Hülfe der Be- 
griffe Kraft, Masse, Bewegungsgrösse. 

5. Huyghens hat einen andern Weg zur Lösung der- 
selben Probleme eingeschlagen. Galilei hatte schon er- 
kannt, dass ein Körper vermöge der erlangten Fall- 
geschwindigkeit ebenso hoch steigt, als er herabgefallen 
ist. Indem Huyghens (im „Horologium oscillatorium") den 
Satz dahin verallgemeinert, dass der Schwerpunkt eines 
Körpersystems vermöge der erlangten Fallgeschwindig- 
keiten ebenso hoch steigt, als er herabgefallen ist, ge- 
langt er zu dem Satze der Aequivalenz von Arbeit und 
lebendiger Kraft. Die Namen für seine Rechnungs- 
ausdrücke sind freilich erst viel später hinzugekommen. 

Dieses Huyghens'sche Arbeitsprincip ist nun von den 
Zeitgenossen ziemlich allgemein mit Mißtrauen aufge- 
nommen worden. Man hat sich damit begnügt, die 
glänzenden Resultate zu benutzen; die Ableitungen 
derselben durch andere zu ersetzen, ist man stets 
bemüht gewesen. An dem Princip ist auch, nachdem 
Johann und Daniel Bernoulli dasselbe erweitert hatten, 
immer mehr die Fruchtbarkeit als die Evidenz geschätzt 
worden. 

Wir sehen, dass immer die Galilei-Newton'schen Sätze 
ihrer grössern Einfachheit und scheinbar grössern Evi- 
denz wegen den Galilei-Huyghens'schen vorgezogen wur- 
den. Zur Anwendung der letztern zwingt überhaupt 
nur die Noth in jenen Fällen, in welchen die Anwen- 
dung der ersteren wegen der zu mühsamen Detailbe- 
trachtung unmöglich wird, wie.z. B. in der Theorie der 
Flüssigkeitsbewegung bei Johann und Daniel Bernoulli. 

Betrachten wir aber die Sache genau, so kommt dem 
Huyghens'schen Princip dieselbe Einfachheit und Evi- 
denz zu, wie den zuvor erwähnten Newton'schen Sätzen. 
Dass (bei einem Körper) die Geschwindigkeit durch die 
Fall zeit oder dass sie durch den Fall räum bestimmt sei, 
ist eine gleich natürliche und einfache Annahme. Die 
Form des Gesetzes muss in beiden Fällen durch die 



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Die Entwicklung der Principien der Dynamik. 251 

Erfahrung gegeben werden. Dass also pt =ztnv oder 

p 8 = — — , ist als Ausgangspunkt gleich gut. 

6. Ueb ergeht man nun zur Untersuchung der Be- 
wegung mehrerer Körper, so bedarf man in beiden 
Fällen wieder eines Schrittes von gleichem Grade der 
Sicherheit. Der Newton'sche MassenbegrifF rechtfertigt 
sich dadurch, dass mit dem Aufgeben desselben alle 
Eegel der Vorgänge aufhören würde, dass wir sofort 
Widersprüche gegen unsere gewöhnlichsten und gröbsten 
Erfahrungen erwarten müssten, dass die Physiognomie 
unserer mechanischen Umgebung uns unverständlich 
würde. Das Gleiche haben wir in Bezug auf das 
Huyghens'sche Arbeitsprincip zu bemerken. Geben wir 

fit v^ 
den Satz 2ps = 2 auf, so können schwere Kör- 
per durch ihr eigenes Gewicht höher steigen, es hören 
alle bekannten Kegeln der mechanischen Vorgänge auf. 
Auf das instinctive Moment, welches bei Auffindung 
beider Gesichtspunkte wirksam war, ist schon ausführ- 
lich eingegangen worden. 

Natürlich hätten sich beide erwähnte Gedankenkreise 
viel unabhängiger voneinander entwickeln können. Da 
sie beide fortwährend miteinander in Berührung waren, 
so ist es kein Wunder, dass sie theilweise ineinander- 
geflossen sind, und dass der Huyghens'sche weniger ab- 
geschlossen erscheint. Newton reicht mit den Kräften 
Massen, Bewegungsgrössen vollständig aus. Huyghens 
würde mit der Arbeit, der Masse und der lebendigen 
Kraft ebenfalls ausreichen. Da er aber den Massen- 
begriff noch nicht vollkommen hat, so muss derselbe 
bei den spätem Anwendungen dem andern Kreise ent- 
lehnt werden. Doch hätte dies auch vermieden wer- 
den können. Kann bei Newton das Massenverhältniss 
zweier Körper definirt werden durch das umgekehrte 
Verhältniss der durch dieselbe Kraft erzeugten Ge- 
schwindigkeiten, so würde es bei Huyghens consequent 



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252 Zweites Kapitel. 

durch das umgekehrte Yerhältniss der durch dieselbe 
Arbeit erzeugten Geschwindigkeitsquadrate definirt. 

Beide Gedankenkreise betrachten die Abhängigkeit 
ganz verschiedener Momente derselben Erscheinung. 
Die Newton'sche Betrachtung ist insofern vollständiger, 
als sie über die Bewegung jeder Masse Aufschluss gibt: 
dafür muss sie aber auch sehr ins Einzelne eingehen. 
Die Huyghens'sche gibt eine Kegel für das ganze 
System. Sie ist nur bequem, aber dann sehr bequem, 
wenn die Geschwindigkeitsverhältnisse der 
Massen ohnehin schon bekannt sind. 

7. Wir können also beobachten, dass bei Entwickelung 
der Dynamik ganz ebenso wie bei der Entwickelung 
der Statik zu verschiedenen Zeiten der Zusammenhang 
sehr verschiedener Merkmale der mechanischen Vor- 
gänge die Aufmerksamkeit der Forscher gefesselt hat. 
Man kann die Bewegungsquantität eines Systems durch 
die Kräfte als bestimmt ansehen, man kann aber auch 
die lebendige Kraft als durch die Arbeit bestimmt be- 
trachten. Bei der Wahl der betreffenden Merkmale hat 
die Individualität der Forscher einen grossen Spiel- 
raum. Man wird es nach den gegebenen Ausführungen 
für möglich halten, dass das System der mechanischen 
Begriffe vielleicht ein anderes wäre, wenn Kepler die 
ersten Untersuchungen über die Fallbewegung ange- 
stellt, oder wenn Galilei bei seinen ersten Ueberlegungen 
keinen Fehler begangen hätte. Man wird zugleich er- 
kennen, dass für das historishe Verständniss einer 
Wissenschaft nicht nur die Kenntniss der Gedanken 
wichtig ist, welche von den Nachfolgern angenommen 
und gepflegt worden sind, sondern dass mitunter auch 
flüchtige Erwägungen der Forscher, ja sogar das schein- 
bar ganz Verfehlte, sehr wichtig und sehr belehrend 
sein kann. Die historische Untersuchung des Ent- 
wicklungsganges einer Wissenschaft ist sehr notwen- 
dig, wenn die aufgespeicherten Sätze nicht allmählich 
zu einem System von halb verstandenen Becepten oder 
gar zu einem System von Vorurtheilen werden sollen. 



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Die Entwicklung der Principien der Dynamik. 253 

Die historische Untersuchung fördert nicht nur das 
Verständniss des Vorhandenen, sondern legt auch die 
Möglichkeit des Neuen nahe, indem sich das Vorhandene 
eben theilweise als conventioneil und zufällig er- 
weist. Von einem höhern Standpunkt aus, zu dem 
man auf verschiedenen Wegen gelangt ist, kann man 
mit freierm Blicke ausschauen, und noch neue Wege er- 
kennen. 

In allen dynamischen Sätzen, welche wir erörtert 
haben, spielt die Geschwindigkeit eine hervorragende 
Rolle. Dies liegt nach unsern Ausführungen daran, 
dass genau genommen jeder Körper zu allen andern 
in Beziehung steht, dass ein Körper und auch mehrere 
Körper nicht ganz isolirt betrachtet werden können. 
Nur unsere Unfähigkeit, alles auf einmal zu übersehen, 
nöthigt uns, wenige Körper zu betrachten und von den 
übrigen vorläufig in mancher Beziehung abzusehen, 
was eben durch Einführung der Geschwindigkeit, 
welche die Zeit enthält, geschieht. Man kann es nicht 
für unmöglich halten, dass an Stelle der Elementar- 
gesetze, welche die gegenwärtige Mechanik ausmachen, 
einmal Integralgesetze treten (um einen Ausdruck 
C. Neumann's zu gebrauchen), dass wir direct die Ab- 
hängigkeit der Lagen der Körper voneinander erkennen. 
In diesem Falle wäre dann der Kraft begriff über- 
flüssig geworden. 

Die vorstehenden 1883 niedergeschriebenen Zeilen 
stellen ein, allerdings sehr allgemeines, Programm einer 
künftigen Mechanik vor, und man erkennt, dass die 
1894 publicirteHertz'sche „Mechanik" einen ganz wesent- 
lichen Fortschritt in dem bezeichneten Sinne bedeutet. 
Es ist nicht möglich, von der Reichhaltigkeit des ge- 
nannten Buches in den wenigen Zeilen, auf welche wir 
uns hier beschränken müssen, eine zutreffende Vor- 
stellung zu geben. Das Buch muss eben von jedem, 
der sich für Mechanik interessirt, gelesen werden. Die 
Kritik der bisherigen Behandlung der Mechanik, welche 
Hertz seinen Aufstellungen voranschickt, enthält sehr 



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254 Zweites Kapitel. 

beachtenswerthe erkenntnisskritische Bemerkungen, die 
wir unserm Standpunkt gemäss, der weder dem Kant'- 
schen noch jenem des Atomistikers entspricht, aller- 
dings etwas modificiren müssten. Auch der Vorwurf 
des Mangels an Klarheit, den Hertz gegen die Galilei- 
Newton'sche Mechanik, namentlich gegen den Kraft- 
begriff vorbringt (S. 7, 14, 15), scheint uns nur gerecht- 
fertigt gegenüber logisch mangelhaften Darstellungen 
dieses Systems, und Hertz selbst nimmt ja (S. 9, 47) 
diesen Vorwurf theilweise wieder zurück, oder mildert 
denselben wenigstens. Die Kräfte als oft „leergehende 
Räder", als sinnlich oft nicht nachweisbar zu bezeichnen, 
wird kaum zulässig sein. Wenn ein Stück Eisen ruhig 
auf dem Tisch liegt, so sind beide im Gleichgewicht 
befindliche Kräfte, Gewicht des Eisens und Elasticität 
des Tisches, ganz wohl nachweisbar. Auch mit der 
energetischen Mechanik dürfte es wohl nicht so schlimm 
stehen, als es Hertz darstellt. Und was gegen die 
Anwendung der Minimumsprincipien eingewendet wird, 
dass sie die Annahme eines Zweckes einschliessen und 
ein auf die Zukunft gerichtetes Streben annehmen, 
so zeigt ja eben das vorliegende Buch an späterer 
Stelle wohl deutlich, dass die einfache Bedeutung der 
Minimumsprincipien in einem ganz andern Umstände 
liegt als in dem Zweck; eine Beziehung auf die Zu- 
kunft liegt aber in jeder Mechanik, da jede die Be- 
griffe Zeit, Geschwindigkeit u. s. w. verwenden muss. 

Hertz geht nun (unter Elimination des Kraftbegriffs) 
in seinen Aufstellungen lediglich von den Begriffen Zeit, 
Raum und Masse aus, in der Absicht, nur das zum Aus- 
druck zu bringen, was wirklich beobachtet werden kann. 
Der einzige Grundsatz, welchen er anwendet, lässt 
sich auffassen als eine Verbindung des Trägheitsgesetzes 
mit dem Gauss'schen Princip des kleinsten Zwanges. 
Freie Massen bewegen sich geradlinig gleichförmig. 
Sind dieselben in irgend welcher Verbindung, so weichen 
sie dem Gauss'schen Princip entsprechend möglichst 
wenig von dieser Bewegung ab; ihre wirkliche Be- 



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Die Entwickelung der Principien der Dynamik. 255 

wegung liegt der freien Bewegung näher als jede andere 
denkbare. Hertz sagt, die Massen bewegen sich infolge 
ihrer Verbindung in einer geradesten Bahn. Jede 
Abweichung der Bewegung einer Masse von der Gerad- 
linigkeit und Gleichförmigkeit schreibt Hertz nicht einer 
Kraft, sondern der (starren) Verbindung mit anderen 
Massen zu. Auch wo solche Massen nicht sichtbar sind, 
denkt er sich verborgene Massen mit verborgenen 
Bewegungen. Alle physikalischen Kräfte werden aus 
der Wirkung dieser Verbindungen entstanden gedacht. 
Die Kraft, die Kraftfunction, die Energie sind in seiner 
Darstellung nur secundäre Hülfsbegriffe. 

Man kann sich psychologisch sehr wohl Rechenschaft 
davon geben, durch welche Umstände Hertz auf sein 
System gekommen ist. Nachdem es gelungen war, die 
elektrischen und magnetischen Fernkräfte als Folgen 
von Bewegungen in einem Medium darzustellen, musste 
der Wunsch wieder aufleben, dies auch für die Gravi- 
tationskräfte, womöglich für alle Kräfte zu leisten, 
und der Gedanke lag nahe, zu versuchen, ob der Kraft- 
begriff überhaupt eliminirt werden könnte. Es lässt 
sich ja auch gar nicht in Abrede stellen, dass unsere 
Vorstellung auf einem ganz andern Niveau steht, wenn 
wir alle Vorgänge eines Mediums mit den darin ent- 
haltenen grösseren Massen in einem vollständigen 
einheitlichen Bild übersehen, als wenn uns nur eine 
Beschleunigungsbeziehung jener Massen bekannt ist. 
Dies gibt man gern zu, auch wenn man nicht glaubt, 
dass die Wechselwirkung sich berührender Theile be- 
greiflicher ist, als die Fernwirkung. Die ganze augen- 
blickliche Entwickelungsphase der Physik treibt nach 
dieser Seite hin. Nun kommt hinzu, dass die Newton'- 
sche Mechanik alle Verbindungen durch Kräfte er- 
setzt, und es liegt also wieder nahe, alle Kräfte durch 
wirkliche oder hypothetische Verbindungen darzustellen. 
In der That gelingt dies in einfachen Fällen sehr leicht. 
Wird z. B. eine Masse m mit der Geschwindigkeit v 
gleichförmig im Kreise vom Radius r bewegt, was man 



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256 Zweites Kapitel. Entwickelung der Principien d. Dynamik, 
auf eine vom Kreismittelpunkt ausgehende Centralkraft 



zurückzuführen pflegt, so kann man sich statt 

dessen die Masse mit einer gleich grossen von entgegen- 
gesetzter Geschwindigkeit in der Entfernung 2r starr 
verbunden denken. Der Huyghens'scke centripetale Auf- 
trieb wäre ein anderes Beispiel des Ersatzes einer Kraft 
durch Verbindungen. Der Umstand aber, dass schon 
in den einfachsten Fällen recht umständliche, oft nicht 
unbedenkliche Fictionen nöthig sind, um die physikalischen 
Kräfte zu ersetzen, bildet die Hauptschwierigkeit in der 
Anwendung dieser Mechanik, die Hertz auch mit der ihm 
eigenen Aufrichtigkeit (S. 47) selbst hervorhebt. Dem- 
nach ist die Hertz'sche Mechanik zur Zeit im wesent- 
lichen noch ein Programm, wenn auch ein sehr ins 
Einzelne ausgeführtes und ein sehr geistreiches. Es ist 
auch kaum nöthig, zu bemerken, dass dieselben Er- 
fahrungen und Grundvoraussetzungen, welche die New- 
ton'sche Mechanik nacheinander einfuhrt, in dem 
Hertz'schen Grundsatze auf einmal eingeführt er- 
scheinen, worauf die grössere Schwierigkeit der Dar- 
stellung beruht. Nicht nur für die Mechanik, sondern 
auch für die Physik muss es von dem grössten Vortheil 
sein, wenn man versucht, wie weit man mit der Hertz'- 
schen Behandlung kommt. 



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Drittes Kapitel. Die weitere Verwendung d. Principien. 257 



DRITTES KAPITEL. 

Die weitere Verwendung der Principien und die 
deductive Entwicklung der Mechanik. 

1. Die Tragweite der Newton'sciien Principien. 

1. Die Newton'schen Principien sind genügend, um 
ohne Hinzuziehung eines neuen Princips jeden praktisch 
vorkommenden mechanischen Fall, ob derselbe nun der 
Statik oder der Dynamik angehört, zu durchschauen. 
Wenn sich hierbei Schwierigkeiten ergeben, so sind 
dieselben immer nur mathe- 
mathischer (formeller) und 
keineswegs mehr principieller 
Natur. Es sei eine An- 
zahl Massen m iy *w 2 , w? 3 . . . . 
im Räume mit bestimmten An- 
fangsgeschwindigkeiten v x , v 2 , 
^3 gegeben. Wir den- 
ken uns zwischen je zweien 
die Verbindungslinien gezo- 
gen. Nach der Richtung die- 
ser Verbindungslinien treten * n 9m 144. 
die Beschleunigungen und 

Gegenbeschleunigungen auf, deren Abhängigkeit von der 
Entfernung die Physik zu bestimmen hat. In einem 
kleinen Zeitelement ? wird beispielsweise die Masse m b 
nach der Richtung der Anfangsgeschwindigkeit die Weg- 
strecke v h t, und nach den Richtungen der Verbin- 
dungslinien mit den Massen w l , m 2 , m 3 . . . . mit den 

Beschleunigungen 9?, 9$, 9* die Wege -^- t 2 , 

~ T 2 , -^r- T 2 , . . . . zurücklegen. Denken wir uns alle 

diese Bewegungen unabhängig voneinander ausgeführt, so 
erhalten wir den neuen Ort der Masse m b nach der Zeit t 

Mach. 17 




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258 Drittes Kapitel. 

Die Zusammensetzung der Geschwindigkeiten v s und 
?i 5t i 9-2 b T » 93 5 ' T > ergibt die neue Anfangsge- 
schwindigkeit am Ende der Zeit t. Wir lassen nun 
ein zweites Zeittheilchen t verfliessen und untersuchen 
die Bewegung in derselben Weise weiter, indem wir 
auf die geänderten räumlichen Beziehungen der Massen 
Rücksicht nehmen. Mit jeder andern Masse können wir 
auf die gleiche Weise verfahren und sehen also, dass von 
«iner principiellen Verlegenheit nicht die Rede sein 
kann, sondern nur von mathematischen Schwierigkei- 
ten, wenn es sich um eine genaue Lösung der Aufgabe in 
geschlossenen Ausdrücken, und nicht um eine Verfolgung 
des Vorganges von Moment zu Moment handelt. Heben 
sich alle Beschleunigungen der Masse m h oder mehrerer 
Massen, so sind m 5 oder jene Massen im Gleichgewicht, 
und bewegen sich nur gleichförmig mit ihren Anfangs- 
geschwindigkeiten. Sind die betreffenden Anfangsge- 
schwindigkeiten = o, so besteht für diese Massen 
Gleichgewicht und Ruhe. 

Wenn mehrere der Massen nt 1 . tit 2 , . . . . von grösserer 
Ausdehnung sind, sodass man nicht von einer Verbin- 
dungslinie zwischen je zwei Massen sprechen kann, so 
wird die principielle Schwierigkeit nicht grösser. Man 
theilt die Massen in genügend kleine Theile, und zieht 
die Verbindungslinien zwischen je zwei solchen Theilen. 
Man nimmt ferner Rücksicht auf die Wechselbeziehung 
der Theile derselben grössern Masse, welche z. B. bei 
starren Massen darin besteht, dass diese Theile jeder 
Aenderung ihrer Entfernung widerstreben. Bei der 
Aenderung der Entfernung zweier Theile beobachtet man 
eine der Entfernungsänderung proportionale Beschleu- 
nigung. Vergrösserte Entfernungen verkleinern, ver- 
kleinerte Entfernungen vergrössern sich wieder infolge 
dieser Beschleunigung. Durch die Verschiebung der 
Theile gegeneinander werden die bekannten Kräfte der 
Elasticität geweckt. Wenn Massen durch den Stoss 
zusammentreffen, so treten ihre Elasticitätskräfte erst 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 259 

mit der Berührung und der beginnenden Formänderung 
ins Spiel. 

2. Wenn wir uns eine schwere verticale Säule vor- 
stellen, welche auf der Erde ruht, so ist ein Theilchen m 
im Innern der Säule, das wir in Gedanken heraus- 
fassen, im Gleichgewicht und in Buhe. An demselben 
ist durch die Erde eine verticale Fallbeschleunigung g 
bestimmt, welcher es auch Folge leistet. Hierbei nähert 
es sich aber den unterhalb liegenden Theilen, und die 
geweckten Elasticitätskräfte bedingen an m eine Verti- 
calbeschleunigung aufwärts, welche schliesslich bei ge- 
genügender Annäherung g gleich wird. Die oberhalb 
m liegenden Theile nähern sich durch g dem m eben- 
falls. Es entsteht hierdurch wieder Beschleunigung und 
Gegenbeschleunigung, wodurch die oberhalb befindlichen 
Theile zu Buhe kommen, m sich aber noch weiter den 
unterhalb befindlichen annähert, bis die Beschleunigung, 
welche m durch die obern TJieile abwärts erfahrt, ver- 
mehrt um g der Beschleunigung von m durch die untern 
Theile gleich ist. Ueber jeden Theil der Säule und 
der unterhalb liegenden Erde kann man dieselbe Be- 
trachtung anstellen, und man erkennt leicht, dass die 
tiefern Theile einander mehr angenähert, stärker zu- 
sammengedrückt sind, als die höhern. Jeder Theil liegt 
zwischen einem höhern weniger, und einem tiefern mehr 
zusammengedrückten Theil; seine Fallbeschleunigung g 
wird durch einen Beschleunigungsüberschuss aufwärts, 
den er durch die untern Theile erfährt, aufgehoben. 
•Man versteht das Gleichgewicht und die Buhe der 
Säul entheile, indem man sich alle beschleunigten Be- 
wegungen, welche durch die Wechselbeziehung der Erde 
und der Säulentheile bestimmt sind, wirklich gleich- 
zeitig ausgeführt denkt. Die scheinbare mathematische 
Dürre dieser Vorstellung verschwindet, und dieselbe 
wird sofort sehr lebendig, wenn man bedenkt, dass 
thatsächlich kein Körper in vollkommener Buhe sich be- 
findet, sondern, dass immer kleine Erzitterungen und 
Störungen in demselben vorhanden sind, welche bald 

17* 



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260 Drittes Kapitel. 

den Fallbeschleunigungen, bald den Elasticitätsbe- 
schleunigungen ein kleines Uebergewicht verschaffen. 
Der Fall der Buhe ist dann nur ein sehr seltener, nie 
vollkommen eintretender, specieller Fall der Bewegung. 
Die erwähnten Erzitterungen sind uns keineswegs un- 
bekannt. Wenn wir aber mit Gleichgewichtsfällen uns 
beschäftigen, so handelt es sich um eine schematische 
Nachbildung der mechanischen Thatsachen in Gedanken. 
Wir sehen dann von diesen Störungen, Verschiebungen, 
Verbiegungen und Erzitterungen, welche uns nicht weiter 
interessiren, absichtlich ab. Die sogenannte Theorie 
derElasticität beschäftigt sich aber mit jenen Fällen 
dieser Verschiebungen und Erzitterungen, welche ein 
praktisches oder wissenschaftliches Interesse darbieten. 
Das Besultat der Newton' sehen Leistungen besteht darin, 
dass wir mit einem und demselben Gedanken überall 
auskommen, und alle Gleichgewichts- und Bewegungs- 
falle mit Hülfe desselben nachbilden und vorbilden 
können. Alle mechanischen Fälle erscheinen uns nun 
durchaus gleichförmig, als dieselben Elemente enthaltend. 
3. Betrachten wir ein anderes 
%a Beispiel. Zwei Massen w», m be- 

— B B finden sich in der Entfernung a 

" £ * voneinander. Es mögen bei Ver- 

Fig. 145. Schiebungen derselben gegeneinan- 

der der Entfernungsänderung pro- 
portionale Elasticitätskräfte geweckt werden. Die Massen 
seien nach der zu a parallelen Z-Richtung beweglich, 
und ihre Coordinaten seien x t , x 2 . Wenn nun im * 
Punkte x. 2 eine Kraft / angreift, so gelten die Gleichungen 
d 2 x 

~5^ = -*[(*f-*i)-«]+/ • • • • 2) 

wobei p die Kraft bedeutet, welche eine Masse auf die 
andere ausübt, wenn die gegenseitige Entfernung der- 
selben sich um den Werth 1 ändert. Alle quantita- 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 261 

tiven Eigenschaften des mechanischen Vorganges sind 
durch diese Gleichungen bestimmt. Wir finden die- 
selben in übersichtlicher Form durch die Integration 
der Gleichungen. Gewöhnlich verschafft man sich durch 
mehrmaliges Differenziren der vorliegenden Gleichungen 
neue Gleichungen in genügender Zahl, um durch Eli- 
mination Gleichungen in x x allein oder a? 3 allein zu 
erhalten, welche nachher integrirt werden. "Wir wollen 
hier einen andern Weg einschlagen. Durch Subtraction 
der zweiten Gleichung von der ersten finden wir 

™ d * d p X l = - 2p[(?2—*i) ~ *] +f> oder 
a? 3 — x t = u setzend 
*nj£= — 2p[u — a]+f 3) 

und durch Addition der zweiten und ersten Gleichung 

d 2 (x 9 + #i) - , . , 

m — 1 - £ t7ö — — =/j oae r # 2 + x 1 = v setzend 
dt* 

m w* = f • • • • 4) 

Die Integrale von 3) und 4) sind beziehungsweise 

u=ÄBm \[l* -t + Bcos \[*1 -t + a+4~ und 
V m " m *P 

f tf 2 
v = (- Ct + D, demnach 



m 

Ä 

«, = — sin 

" m * im 



A 
*» = y sm 



a f B 

+ 0-T-&+J- 



+ « + T + £ + £ 



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262 Drittes Kapitel. 

Um einen speciellen Fall vor Augen zu haben, wollen 
wir annehmen, dass die Wirkung der Kraft / f Ür t = 
beginne, und dass zu dieser Zeit 

dXn 

also die Anfangslagen gegeben, und die Anfangsge- 
schwindigkeiten = o seien. Hierdurch bestimmen sich 
die Oonstanten A, B, 0, D so, dass 

5) 
6) 

7) 

Aus 5) und 6) sehen wir, dass die beiden Massen ausser 
einer gleichförmig beschleunigten Bewegung mit der 
Hälfte der Beschleunigung, welche die Kraft / einer 
dieser Massen allein ertheilen würde, noch eine in Be- 
zug auf ihren Schwerpunkt symmetrische schwingende 
Bewegung ausfuhren. Die Dauer dieser schwingenden 

Bewegung T = 2 tc \J — ist desto kleiner, je grösser 

V 2p 
die Kraft ist, welche bei derselben Massenverschiebung 
geweckt wird (wenn wir an zwei Theile desselben Kör- 
pers denken, je härter der Körper ist). Die Schwingungs- 

/ 
weite der schwingenden Bewegung -~ wird ebenfalls 

kleiner mit der Grösse p der geweckten Verschiebungs- 
kraft. Gleichung 7) veranschaulicht die periodische 
Entfernungsänderung der beiden Massen während der fort- 



*1 


f 

= - — cot 

4p 


" m 


<+£> 


2 


f 
4p' 






*a 


4P V m 


T 2w2 T 


« + ■ 


f 
4p' 


und 


x * 


— *, = - 


- — cos 
2p 


V? 


• t + a 


^ 2p 


wird. 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 263 

schreitenden Bewegung. Die Bewegung eines elastischen 
Körpers könnte in diesem Falle als wurmförmig bezeichnet 
werden. Bei harten Körpern wird aber die Zahl der 
Schwingungen so gross und deren Excursion so klein, 
dass sie unbemerkt bleiben, und von denselben abge- 
sehen werden kann. Die schwingende Bewegung ver- 
schwindet auch, entweder allmählich durch den Einfluss 
eines Widerstandes, oder wenn die beiden Massen, in 
dem Augenblicke als die Kraft / zu wirken beginnt^ 

/ 

die Entfernung a -{- -£- und gleiche Anfangsgeschwin- 
2p 

f 

digkeiten haben. Die Entfernung a -f- ^-, welche die 

Massen nach dem Verschwinden der Schwingung haben 

/ 
ist um — grösser als die Gleichgewichtsentfernung a. 

*P 
Es tritt nämlich durch die Wirkung von / eine Dehnung y 
ein, durch welche die Beschleunigung der vorausgehen- 
den Masse auf die Hälfte reducirt wird, während jene 
der nachfolgenden auf denselben Werth ansteigt. Hier- 
bei ist nun nach unserer Voraussetzung "^ = — oder 

m 2m 

f 

y = -r—- . Wie man sieht, kann man die feinsten Ein- 
J 2p ' 

zelheiten eines derartigen Vorganges nach den New- 
ton'schen Principien ermitteln. Die Untersuchung wird 
mathematisch (aber nicht principiell) complicirter, wenn 
man sich einen Körper in viele kleine Theile getheilt 
denkt, welche durch Elasticität zusammenhängen. Auch 
hier kann man bei genügender Härte die Schwingungen 
ignoriren. Solche Körper, bei welchen wir die gegen- 
seitige Verschiebung der Theile absichtlich als ver- 
schwindend ansehen, nennen wir starre Körper. 

4. Wir betrachten nun einen Fall, welcher das Schema 
eines Hebels vorstellt. Wir denken uns die Massen 
M , iWj , m 2 in einem Dreieck angeordnet und mitein- 
ander in elastischer Verbindung. Jede Veränderung 



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k 



264 Drittes Kapitel. 

der Seiten, und folglich auch jede Veränderung der 
Winkel, bedingt Beschleunigungen, durch welche das 
Dreieck der frühern Form und Grösse wieder zustrebt. 
Wir können an einem solchen Schema mit Hülfe der 
Newton'schen Principien die Hebelgesetze ableiten, und 
fühlen zugleich, dass die Form dieser Ableitung, wenn 
sie auch complicirter wird, noch zulässig bleibt, wenn 
wir von einem schematischen Hebel aus drei Massen zu 
einem wirklichen Hebel übergehen. Die Masse M setzen 
wir entweder selbst als sehr gross voraus, oder denken 
uns dieselbe mit sehr grossen Massen (z. B. der Erde) 
derart in Verbindung, dass sie an dieselben durch grosse 

Elasticitätskräfte ge- 
bunden ist. Dann stellt 
M einen Drehpunkt 
vor, der sich nicht be- 
wegt. 

Es erhalte nun m x 
durch eine äussere 
Kraft eine Beschleu- 
nigung / senkrecht zur Verbindungslinie Mm 2 = c + d. 
Sofort tritt eine Dehnung der Linien m x tn 2 =b und 
m x M = a ein, und es ergeben sich nach den betreffen- 
den Richtungen beziehungsweise die noch unbestimmten 
Beschleunigungen s und ff, von welchen die Componenten 

6 6 

8 -=- und ff — der Beschleunigung / entgegengerichtet 
b a 

sind. Hierbei ist e die Höhe des Dreieckes m t m 2 M. 

Die Masse m 2 erhält die Beschleunigung s', welche in 

d e 

die beiden Componenten s' — gegen M und s 1 -=- pa- 
rallel / zerfällt. Erstere bedingt eine kleine An- 
näherung von m 2 an M. Die Beschleunigungen, welche 
in M durch die Gegenwirkung von m v und m 2 be- 
dingt sind, werden der grossen Masse wegen unmerk- 
lich. Von der Bewegung von M sehen wir demnach 
absichtlich ab. 




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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 265 

Die Masse m x erhält also die Beschleunigung / — s-z- 
— a — , die Masse m 2 aber die parallele Beschleunigung 

$' — . Zwischen s und a besteht eine einfache Beziehung. 

Nehmen wir eine sehr starre Verbindung an, so wird 
das Dreieck nur unmerklich verzerrt. Die zu / senk- 
rechten Componenten von s und a heben sich. Denn 
wäre dies für einen Augenblick nicht der Fall, so würde 
die grössere Componente eine weitere Verzerrung be- 
dingen, welche sofort ihre Aufhebung zur Folge hätte. 
Die Resultirende von s und a ist also / direct entgegen- 

c d 

gesetzt und demnach, wie leicht ersichtlich, a — = s -=-. 

Zwischen s und $' besteht ferner die bekannte Be- 
ziehung m l s = m 2 s' oder s = s' — -. Im Ganzen er- 
halten m 2 und m l beziehungsweise die Beschleunigungen 

/£ *,. . e m 9 c 4- d . . „ 

s -=- und / — s -r — £ • , oder wenn wir für den 

b o m l c 


variablen Werth s' — den Namen © einführen, die Be- 
o 

, , . -. * m Q c 4- d 

schleunigungen 9 und / — 9 — - — ■ — . 

Mit Beginn der Verzerrung nimmt die Beschleunigung 
von m l durch das Wachsen von 9 ab, während jene 
von m 2 zunimmt. Setzen wir nun die Höhe des Drei- 
eckes e sehr klein, so bleiben unsere Betrachtungen 
noch anwendbar; es wird aber hierbei a = c = r t , und 
a-\-b = c-\-d-=r 2 . Wir sehen auch, dass die Ver- 
zerrung so lange fortwachsen, hiermit 9 steigen und die 
Beschleuniguug von m 1 abnehmen muss, bis die Be- 
schleunigungen von m t und *w 2 sich verhalten wie r x 
zu r 2 . Dies entspricht einer Drehung des ganzen Drei- 



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266 Drittes Kapitel. 

ecks (ohne weitere Verzerrung) um M , welche Masse we- 
gen der verschwindenden Beschleunigungen ruht. Ist die 
Drehung eingetreten, so entfallt der Grund für weitere 
Veränderungen von 9. Dann ist also 

•?t ii\ ^, r i w t/ 



* = r K""""*« * oder <p = r 2 , . 

Die Winkelbeschleunigung des Hebels ^ erhalten wir 
. = » = r t m 1 f 

Es steht nichts im Wege, auf den Fall noch näher 
einzugehen, die Verzerrungen und die Schwingungen der 
Theile gegeneinander zu bestimmen. Bei hinreichend 
harten Verbindungen kann man aber hiervon absehen. 
Wir bemerken , dass wir durch Anwendung der New- 
ton'schen Principien zu demselben Resultat gelangt sind, 
zu welchem uns auch die Huyghens'sche Betrachtung 
geführt hätte. Das erscheint uns nicht wunderbar, wenn 
wir uns gegenwärtig halten, dass beide Betrachtungen 
vollkommen äquivalent sind, und nur von verschiedenen 
Seiten derselben Sache ausgehen. Nach der Huyghens'- 
schen Methode wären wir schneller, aber mit weniger 
Einsicht in die Einzelheiten des Vorganges, zum Ziel 
gekommen. Wir hätten die bei einer Verschiebung von 
m x geleistete Arbeit zur Bestimmung der lebendigen 
Kräfte von m x und m 2 benutzt, wobei wir vorausge- 
setzt hätten, dass die betreffenden Geschwindigkeiten 

v f 

t?, t>n das Verhältniss — = — einhalten. Das behandelte 

... *2 r 2 

Beispiel ist sehr geeignet zu erläutern, was eine solche 

Bedingungsgleichung bedeutet. Sie sagt nur , dass schon 

v f 

bei geringen Abweichungen des — von — grosse Kräfte 

*>2 m r 2 

auftreten, welche thatsächlich eine weitere Abweichung 

verhindern. Die Körper folgen natürlich nicht den 

Gleichungen, sondern den Kräften. 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 267 

5. Nehmen wir in dem zuvor behandelten Beispiele 
tn t = ro 8 = m und a = b (Fig. 147), so erhalten wir einen 
sehr anschaulichen Fall. Der dynamische Zustand ändert 
sich nicht mehr, wenn 9 = 2 (/ — 2 9), d. h. wenn die 
Beschleunigungen der Massen an der Grundlinie und am 

2/ / 

Scheitel durch -^ und ^ gegeben sind. 



Bei Beginn 



der Zerrung wächst 9 so lange, während gleichzeitig die 
Beschleunigung der Scheitelmasse um den doppelten 
Betrag vermindert wird, bis zwischen beiden das Ver- 
hältniss 2 : 1 besteht. 



Wir betrachten nun 
noch das Gleichge- 
wicht an einem sche- 
matischen Hebel, der 
aus drei Massen m li Fiffm 147t 

m 2 und M besteht, von 

welchen die letztere wieder sehr gross, oder mit sehr 
grossen Massen elastisch verbunden sein soll. Wir 
denken uns an m 1 und m 2 nach der Richtung m x tn 2 





Fig. 148. 

zwei gleiche entgegengesetzte Kräfte s, — s angreifend, 
oder den Massen m l , m 3 verkehrt proportionale Be- 
schleunigungen gesetzt. Die Dehnung der Verbindung 
m 1 m a erzeugt wieder den Massen t» x , ro 3 verkehrt 
proportionale Beschleunigungen, welche die erstem 
heben und Gleichgewicht bedingen. Ebenso denken 
wir uns an m l M die gleichen entgegengesetzten Kräfte 



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268 Drittes Kapitel. 

t y — f y an tw 2 M aber w, — u. Es besteht in diesem 
Fall Gleichgewicht. Wenn M mit genügend grossen 
Massen elastisch verbunden ist, so brauchen wir — u, 
— t nicht anzubringen , da sich diese Kräfte bei den 
eintretenden Zerrungen von selbst herstellen, und das 
Gleichgewicht erhalten. Das Gleichgewicht besteht also 
auch für die zwei gleichen entgegengesetzten Kräfte 
s, — s und die ganz beliebigen Kräfte f, u. In der 
That heben sich s, — s und t, u gehen durch die be- 
festigte Masse M hindurch, werden also bei der ein- 
tretenden Zerrung zerstört. 

Die Gleichgewichtsbedingung reducirt sich leicht auf 
die gewöhnliche Form, wenn man bedenkt, dass die 
Momente von t und w, welche Kräfte durch M hin- 
durchgehen, in Bezug auf M der Null gleich, die Mo- 
mente von s, — s aber gleich und entgegengesetzt sind. 
Setzen wir t, s zu p und w, — s zu q zusammen, so 
ist nach dem Varignon' sehen geometrischen Paralle- 
logrammsatz das Moment von p gleich der Momenten- 
summe von s, t und das Moment von q gleich der 
Momentensumme von u, — s. Die Momente sind also 
fürp und q gleich und entgegengesetzt. Zwei beliebige 
Kräfte p und q werden sich also das Gleichgewicht 
halten, wenn sie nach m 1 m 3 gleiche entgegengesetzte 
Componenten geben, womit auch die Momentengleich- 
heit in Bezug auf M gesetzt ist. Dass dann die Besul- 
tirende von p und q auch durch M hindurchgeht, ist 
ebenfalls ersichtlich, da s, — 5 sich heben und t, u 
durch M hindurchgehen. 

6. Der Newton'sche Standpunkt schliesst, wie das 
eben durchgeführte Beispiel lehrt, den Varignon'schen 
Standpunkt ein. "Wir hatten also recht, die Varignon'- 
sche Statik als eine dynamische Statik zu bezeichnen, 
welche, von den Grundgedanken der modernen Dynamik 
ausgehend, sich freiwillig auf Untersuchung von Gleich- 
gewichtsfällen beschränkt. Es tritt nur in der Va- 
rignon'schen Statik wegen der abstracten Form die 
Bedeutung mancher Operationen, wie z. B. der Verlegung 



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Die weitere Verwendung der Principien u. 8. w. 269 

der Kräfte in ihrer eigenen Richtung, nicht so deutlich 
hervor, als in dem eben behandelten Beispiel. 

Wir schöpfen aus den durchgeführten Betrachtungen 
die Ueberzeugung , dass wir jeden mechanischen Fall, 
wenn wir uns nur die Mühe nehmen hinreichend in die 
Einzelheiten einzugehen, nach den Newton' sehen Prin- 
cipien erledigen können . Wir* durchschauen alle hier- 
her gehörigen Gleichgewichts- und Bewegungsfälle, in- 
dem wir die Beschleunigungen, welche die Massen an- 
einander bestimmen, wirklich an denselben sehen. Es 
ist dieselbe grosse Thatsache, welche wir in den 
mannichfaltigsten Vorgängen wiedererkennen, oder doch 
zu erkennen vermögen, wenn wir wollen. Hierdurch 
ist eine Einheit, Homogeneität und Oekonomie einer- 
seits, eine Reichhaltigkeit der physikalischen Anschau- 
ung andererseits ermöglicht, welche vor Newton nicht 
zu erreichen war. 

Die Mechanik ist aber nicht allein Selbstzweck, son- 
dern sie hat auch für die praktischen Bedürfnisse und zur 
Unterstützung anderer Wissenschaften Aufgaben zu 
lösen. Diese Aufgaben werden mit Vortheil durch von 
den Newton'schen verschiedene Methoden gelöst, deren 
Gleichwerthigkeit mit jenen aber schon dargethan 
wurde. Es wäre also wol nur unpraktische Pedanterie, 
wenn man, alle übrigen Vortheile misachtend, immer 
und überall auf die einfachen Newton'schen Anschauun- 
gen zurückkommen wollte. Es genügt, sich einmal 
überzeugt zu haben, dass man dies jederzeit kann. 
Andererseits sind die Newton'schen Vorstellungen wirklich 
die am meisten befriedigenden und durchsichtigen. 
Es zeigt sich darin ein edler Sinn für wissenschaftliche 
Klarheit und Einfachheit, wenn Poinsot diese Vor- 
stellungen allein als Grundlage gelten lassen will. 

2, Die Rechnungsausdrücke und Maasse der Mechanik. 

1. Alle wichtigen Rechnungsausdrücke der heutigen 
Mechanik wurden schon in der Galilei-Newton'schen Zeit 



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270 Drittes Kapitel. 

gefunden und benutzt. Die besondern Namen, welche 
für dieselben ihres häufigem Gebrauches wegen sich als 
zweckmässig erwiesen haben, sind zum Theil erst viel 
später festgesetzt worden. Die einheitlichen Maasse der 
Mechanik kamen noch später in Aufnahme. Eigentlich 
ist die letztere Umgestaltung noch immer nicht als 
▼ollendet zu betrachten. 

2. Bezeichnen wir mit s den Weg, mit t die Zeit, 
mit v die augenblickliche Geschwindigkeit und mit 9 
die Beschleunigung einer gleichförmig beschleunigten 
Bewegung, so kennen wir aus den Untersuchungen von 
Galilei und Huyghens die Gleichungen 



V 




9* 


8 


= 


V* 


S 


^ 


2 



1) 



Dieselben geben durch Multiplication mit der Masse m 
mv = m<pt 

mv 2 

und wenn wir die bewegende Kraft m 9 durch den 
Buchstaben p bezeichnen: 



8 -~ 2 > . • • 2) 



mv = 
m s 



* 2 



Die Gleichungen 1) enthalten alle die Grösse 9 und 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 271 

jede derselben noch zwei der Grössen s, t, t>, wie dies 
durch das Schema 



9 



f M 



veranschaulicht wird. 

Die Gleichungen 2) enthalten die Grössen tw, p, s, t, v, 
und zwar jede derselben w, p und noch zwei der drei 
Grössen s, t % v, nach dem Schema: 



m,p 

Die Gleichungen 2) können zur Beantwortung der 
verschiedensten Fragen über Bewegungen unter dem 
Einfluss constanter Kräfte benutzt werden. Will man 
z. B. die Geschwindigkeit v kennen, welche eine Masse 
m durch die Wirkung einer Kraft p in der Zeit t er- 

•i / 
langt, so liefert die erste Gleichung v = — . Würde 

m 

umgekehrt die Zeit gesucht, durch welche eine Masse 
tu, mit der Geschwindigkeit v behaftet, sich einer Kraft 
p entgegen zu bewegen vermag, so folgt aus derselben 

Gleichung t = . Fragt man hingegen nach der 

P 
Wegstrecke, auf welche sich m mit v der Kraft p ent- 

Hl <m2 

gegen bewegt, so gibt die dritte Gleichung $ = — — . 

Die letztern beiden Fragen erläutern zugleich das 
Müssige des Descartes-Leibnitz'schen Streites über das 
Kraftmaass eines bewegten Körpers. Die Beschäftigung 
mit diesen Gleichungen befördert sehr die Sicher- 
heit in der Handhabung der mechanischen Begriffe. 
Stellt man sich z. B. die Frage, welche Kraft p einer 
gegebenen Masse m die Geschwindigkeit v ertheilt, sex 
sieht man bald, dass zwischen m, p, v allein keine 



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272 Drittes Kapitel 

Gleichung existirt, dass also s oder t hinzugenommen 
werden muss, dass also diese Frage eine unbestimmte 
ist. Derartige Unbestimmtheiten lernt man bald er- 
kennen und vermeiden. Den Weg, welchen eine Masse 
m unter dem Einflüsse der Kraft p in der Zeit t zurück- 
legt, wenn sie mit der Anfangsgeschwindigkeit o sich 

pt % 
bewegt, finden wir durch die zweite Gleichung s = — . 

2m 

3. Mehrere der in den besprochenen Gleichungen ent- 
haltenen Rechnungsausdrücke haben besondere Namen 
erhalten. Schon Galilei spricht von der Kraft eines 
bewegten Körpers und nennt sie bald „Moment", bald 
„Impuls", bald „Energie". Er betrachtet dieses Moment 
als proportional dem Product der Masse (oder des 
Gewichtes, da ein klarer Massenbegriff bei Galilei, 
eigentlich auch bei Descartes und Leibnitz, sich nicht 
vorfindet) und der Geschwindigkeit des Körpers. Diese 
Ansicht acceptirt Descartes, er setzt die Kraft eines be- 
wegten Körpers = mv, nennt dieselbe Quantität der 
Bewegung und behauptet, dass die Summe der Be- 
wegungsquantität in der Welt constant bleibt, so zwar, 
dass wenn ein Körper an Bewegungsquantität verliert, 
dieselbe dafür an andere Körper übergeht. Auch New- 
ton benutzt für den Ausdruck m v den Namen Bewegungs- 
quantität, welcher sich bis auf den heutigen Tag erhal- 
ten hat. Für den zweiten Ausdruck p t der ersten 
Gleichung hat Belanger (erst 1847) den Namen Antrieb 
der Kraft in Vorschlag gebracht. Die Ausdrücke der 
zweiten Gleichung sind nicht besonders benannt wor- 
den. Den Ausdruck mv 2 der dritten Gleichung hat 
Leibnitz (1695) lebendige Kraft genannt und er be- 
trachtet denselben Descartes gegenüber als das wahre 
Kraftmaass eines bewegten Körpers, während er den 
Druck eines ruhenden Körpers als todte Kraft bezeichnet. 
Coriolis hat es passender gefunden, dem Ausdruck 

-mv % den Namen lebendige Kraft zu geben. Belanger 



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Die weitere Verwendung der Principien u. 8. w. 273 

schlägt vor, mv 2 als lebendige Kraft, und -w» 2 als 

lebendige Potenz zu bezeichnen, wodurch Verwirrungen 
vermieden würden. Coriolis hat auch für p $ den Na- 
men Arbeit verwendet. Poncelet hat diesen Gebrauch 
befestigt und das Kilogramm eter, das ist die Druck- 
wirkung eines Kilogrammgewichtes auf die Strecke eines 
Meters, als Arbeitseinheit angenommen. 

4. Was die historischen Einzelheiten in Bezug auf 
die Begriffe „Bewegungsquantität 11 und „lebendige Kraft" 
betrifft, so wollen wir auf die Gedanken, durch welche 
Descartes und Leibnitz zu ihrer Meinung geführt wor- 
den sind, noch einen Blick werfen. In seinen (1644 er- 
schienenen) „Principien der Philosophie" II, 36, spricht 
sich Descartes in folgender Weise aus: 

„Nachdem so die Natur der Bewegung erkannt wor- 
den, ist deren Ursache zu betrachten, die eine zwei- 
fache ist. Zuerst die allgemeine und ursprüngliche, 
welche die gemeinsame Ursache aller Bewegung in der 
Welt ist; dann die besondere, von der einzelne Theile 
der Materie eine Bewegung erhalten, die sie früher nicht 
hatten. Die allgemeine Ursache kann offenbar keine 
andere als Gott sein, welcher die Materie zugleich mit 
der Bewegung und Ruhe im Anfang erschaffen hat, und 
der durch seinen gewöhnlichen Beistand so viel Be- 
wegung und Ruhe im Ganzen erhält, als er damals ge- 
schaffen hat. Denn wenn auch diese Bewegung nur ein 
Zustand an der bewegten Materie ist, so bildet sie doch 
eine feste und bestimmte Menge, die sehr wohl in der 
ganzen Welt zusammen die gleiche bleiben kann, wenn 
sie sich auch bei den einzelnen Theilen verändert, 
nämlich in der Art, dass bei der doppelt so schnellen 
Bewegung eines Theiles gegen den andern, und bei der 
doppelten Grösse dieses gegen den ersten man annimmt, 
dass in dem kleinen so viel Bewegung wie in dem 
grossen ist, und dass, um so viel als die Bewegung 
eines Theiles langsamer wird, um so viel müsse die Be- 
wegung eines andern ebenso grossen Theiles schneller 

Mach. 18 



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274 Drittes Kapitel. 

werden. Wir erkennen es auch als eine Vollkommen- 
heit in Gott, dass er nicht blos an sich selbst unver- 
änderlich ist, sondern dass er auch auf die möglichst 
feste und unveränderliche Weise wirkt, sodass mit Aus- 
nahme der Veränderungen, welche die klare Erfahrung 
oder die göttliche Offenbarung ergibt, und welche nach 
unserer Einsicht oder unserm Glauben ohne eine Ver- 
änderung in dem Schöpfer geschehen, wir keine weitern 
in seinen Werken annehmen dürfen, damit nicht daraus 
auf eine Unbeständigkeit in ihm selbst geschlossen werde. 
Deshalb ist es durchaus vernunftgemäss, anzunehmen, 
dass Gott, sowie er bei der Erschaffung der Materie 
ihren Theilen verschiedene Bewegungen zugetheilt hat, 
und wie er diese ganze Materie in derselben Art und 
in demselben Verhältniss, indem er sie geschaffen, er- 
hält, er auch immer dieselbe Menge von Bewegung 
in ihr erhält." 

Das Verdienst, nach einem allgemeinern und aus- 
giebigem Gesichtspunkt in der Mechanik zuerst ge- 
sucht zu haben, kann Descartes nicht abgesprochen 
werden. Es ist dies die eigentümliche Leistung des 
Philosophen, welche stets fruchtbar und anregend auf 
die Naturwissenschaft wirkt. Descartes leidet aber auch 
an allen gewöhnlichen Fehlern des Philosophen. Er 
vertraut ohne Umstände seinem eigenen Einfall. Er 
kümmert sich nicht um eine Prüfung desselben durch 
die Erfahrung. Es genügt ihm im Gegentheil ein 
Minimum von Erfahrung für ein Maximum von Fol- 
gerungen. Hierzu kommt noch das Verschwommene 
seiner Begriffe. Einen klaren Massenbegriff hat Des- 
cartes nicht. Es liegt eine gewisse Freiheit darin, wenn 
man sagt, Descartes habe m v als Bewegungsgrösse de- 
finirt, wenngleich die naturwissenschaftlichen Nachfolger 
Descartes', welche das Bedürfhiss nach bestimmtem Be- 
griffen fühlten, diese Auffassung annahmen. Der grösste 
Fehler des Descartes aber, der seine Naturforschung 
verdirbt, ist der, dass ihm Sätze von vornherein als 
selbstverständlich und einleuchtend erscheinen, über 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 275 

welche nur die Erfahrung entscheiden kann. So wird 
z. B. in den beiden folgenden Paragraphen (37, 39) 
auch als selbstverständlich hingestellt, dass ein Körper 
seine Geschwindigkeit und Richtung beibehält. Die in 
§. 38 angeführten Erfahrungen hätten nicht als Be- 
stätigungen des a priori einleuchtenden Trägheitsgesetzes, 
sondern vielmehr als Grundlagen desselben dienen sollen. 

Die Descartes'sche Auffassung wurde (1 686) von Leib- 
nitz in den Actis eruditorum bekämpft, in einer kleinen 
Schrift, welche den Titel führt: „Kurzer Beweis eines 
merkwürdigen Fehlers des Descartes und Anderer, in 
Beziehung auf das Naturgesetz, nach welchem, wie jene 
glauben, der Schöpfer immer dieselbe Quantität der 
Bewegung in der Natur zu erhalten sucht, durch welches 
aber die Wissenschaft der Mechanik ganz verdorben 
wird." 

Bei im Gleichgewicht befindlichen Maschinen, bemerkt 
Leibnitz, seien die Lasten den Verschiebungsgeschwin- 
digkeiten umgekehrt proportionirt, und dadurch sei man 
auf den Gedanken gekommen, das Product aus dem 
Körper („corpus", „moles") und der Geschwindigkeit 
als Kraftmaass zu betrachten. Descartes betrachte dieses 
Product als eine unveränderliche Grösse. Leibnitz meint 
aber, dass das erwähnte Kraftmaass an den Maschinen 
nur zufallig zutreffe. Das wahre Kraftmaass sei viel- 
mehr ein anderes, und auf dem Wege zu bestimmen, 
den Galilei und Huyghens eingeschlagen haben. Jeder 
Körper steigt vermöge seiner erlangten Fallgeschwindig- 
keit so hoch, als er herabgefallen ist. Nimmt man nun 
an, dass dieselbe „Kraft" erforderlich sei, um einen Kör- 
per m auf die Höhe 4Ä und einen Körper 4m auf die 
Höhe h zu erheben, so muss, weil im erstem Fall die 
erlangte Fallgeschwindigkeit nur doppelt so gross ist 
als in letzterm, das Product aus dem „Körper" und dem 
Quadrate der Geschwindigkeit als Kraftmaass ange- 
sehen werden. 

In einer spätem Abhandlung (1695) kommt Leibnitz 
auf denselben Gegenstand zurück, er unterscheidet 

18* 



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276 Drittes Kapitel 

zwischen dem blossen Druck (der todten Kraft) und der 
Kraft des bewegten Körpers (der lebendigen Kraft), 
welche letztere aus der Summe der Druckimpulse her- 
vorgeht. Diese Impulse bringen zwar einen „Impetus" 
(mv) hervor, derselbe ist aber keineswegs das wahre 
Kraftmaass, welches vielmehr, weil die Ursache der 
Wirkung entsprechen muss (nach den obigen Be- 
trachtungen) durch mv 2 bestimmt ist. Leibnitz bemerkt 
ferner, dass nur mit der Annahme seines Kraft- 
maasses die Möglichkeit eines perpetuum mobile 
ausgeschlossen sei. 

Einen eigentlichen Massenbegriff hat Leibnitz so we- 
nig als Descartes, er spricht vom Körper (corpus), von 
der Last (moles), von ungleich grossen Körpern des- 
selben specifischen Gewichtes u. s. w. Nur in der 
zweiten Abhandlung kommt einmal der Ausdruck „massa" 
vor, welcher wahrscheinlich Newton entlehnt ist. Will 
man jedoch mit den Leibnitz'schen Ausdrücken einen 
klaren Begriff verbinden, so muss man allerdings an 
die Masse denken, wie es die Nachfolger auch gethan 
haben. Im übrigen geht Leibnitz viel mehr nach natur- 
wissenschaftlicher Methode vor als Descartes. Doch 
werden zwei Dinge vermengt, die Frage nach dem 
Kraftmaass, und die Frage nach der Unveränder- 
lichkeit der Summen 2mv und Swu 2 . Beide haben 
eigentlich nichts miteinander zu schaffen. Was die erste 
Frage betrifft, so wissen wir schon, dass sowol das Des- 
cartes'sche als das Leibnitz'sche Kraftmaass oder vielmehr 
Maass der Wirkungsfähigkeit eines bewegten Körpers, 
jedes in einem andern Sinne seine Berechtigung hat. 
Beide Maasse sind aber, wie Leibnitz auch ganz wohl 
bemerkte, mit dem gewöhnlichen (Newton'schen) Kraft- 
maass nicht zu verwechseln. 

In Bezug auf die zweite Frage haben die spätem 
Untersuchungen von Newton gelehrt, dass die Descar- 
tes'sche Summe Smv für freie Massensysteme, die von 
aussen keine Einwirkung erfahren, in der That unver- 
änderlich ist, und die Untersuchungen vpn Huyghens 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 277 

haben gezeigt, dass auch die Summe 2 m v 2 unveränder- 
lich bleibt, wenn nicht von Kräften verrichtete Arbeiten 
dieselbe ändern. Der durch Leibnitz angeregte Streit 
beruhte also mehrfach auf Misverständnissen und 
währte 57 Jahre lang bis zum Erscheinen von D'Alem- 
bert's „Traite de dynamique" (1743). Auf die theo- 
logischen Ideen von Descartes und Leibnitz kommen 
wir noch zurück. 

5. Die besprochenen drei Gleichungen, wenngleich 
sie sich nur auf geradlinige Bewegungen unter dem 
Einfluss Consta nt er Kräfte beziehen, können doch als die 
Grundgleichungen der Mechanik angesehen werden. 
Bleibt die Bewegung geradlinig, werden jedoch die 
Kräfte veränderlich, so übergehen diese Gleichungen 
durch eine geringe fast selbstverständliche Modifikation 
in andere, die wir hier nur kurz anführen wollen, da 
mathematische Entwickelungen für diese Schrift nur 
Nebensache sind. 

Aus der ersten Gleichung wird bei veränderlichen 

Kräften mv = / p dt + C, worin p die veränderliche 

Kraft, dt das Zeitelement der Wirkung, f p dt die 

Summe aller Producte p • dt durch die Wirkungsdauer 
und C eine constante Grösse ist, welche den Werth von 
mv vor Beginn der Kraftwirkung darstellt. 

Die zweite Gleichung übergeht in analoger Weise in 

$=/ dt I — dt + Ct -\- D mit zwei sogenannten In- 
tegration sconstanten. 

Die dritte Gleichung ist zu ersetzen durch 



—-^Jpds+C. 



Krummlinige Bewegungen kann man sich stets durch 
gleichzeitige Combination dreier geradlinigen Bewe- 



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278 Drittes Kapitel 

gungen, am besten nach drei zueinander senkrechten 
Richtungen, hervorgebracht denken. Auch in diesem 
allgemeinsten Fall behalten die angeführten Gleichungen 
ihre Bedeutung für die Componenten der Bewegung. 

6. Die Addition, Subtraction oder Gleichsetzung hat 
nur auf Grössen derselben Art angewandt einen ver- 
ständlichen Sinn. Man kann nicht Massen und Zeiten, 
oder Massen und Geschwindigkeiten addiren oder gleich- 
setzen, sondern nur Massen und Massen u. s. w. Wenn 
also eine Gleichung der Mechanik vorliegt, so entsteht 
die Frage, ob deren Glieder wirklich gleichartige 
Grössen sind, d. h. ob sie durch dieselbe Einheit ge- 
messen werden können oder ob, wie man zu sagen 
pflegt, die Gleichung homogen ist. Wir haben also eine 
Untersuchung anzustellen über die Einheiten der Grössen 
der Mechanik. 

Die Wahl der Einheiten, welche selbstverständlich 
Grössen derselben Art sind wie die zu messenden 
Grössen, ist in vielen Fällen willkürlich. So wird eine 
willkürliche Masse als Masseneinheit, eine willkürliche 
Länge als Längeneinheit, eine willkürliche Zeit als 
Zeiteinheit benutzt. Die als Einheit benutzte Masse 
und Länge kann aufbewahrt, die Zeit durch Pendel- 
versuche und astronomische Beobachtungen jederzeit 
reproducirt werden. Eine Geschwindigkeitseinheit, eine 
Beschleunigungseinheit u. s. w. ist aber nicht aufzu- 
bewahren und jedenfalls viel schwerer zu reproduciren. 
Dafür hängen diese Grössen mit den willkürlichen Grund- 
einheiten Masse, Länge, Zeit so zusammen, dass sie 
leicht aus denselben abgeleitet werden können. Man nennt 
solche Einheiten abgeleitete oder absolute. Letz- 
terer Name rührt von Gauss her, welcher zuerst die 
magnetischen Maasse aus mechanischen ableitete und 
dadurch eine allgemeine Vergleichbarkeit der mag- 
netischen Messungen herbeiführte. Der Name hat also 
einen historischen Grund. 

Als Einheit der Geschwindigkeit könnten wir die- 
jenige Geschwindigkeit wählen, durch welche z. B. 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 279 

q Längeneinheiten in der Zeiteinheit zurückgelegt werden. 
Dann könnten wir aber die Beziehung zwischen der Zeit t % 
dem Wege s und der Geschwindigkeit v nicht in der ge- 
bräuchlichen einfachen Form s = v t schreiben, sondern 
müssten sie durch s = q • v t ersetzen. Definiren wir aber 
die Geschwindigkeitseinheit als diejenige Geschwindigkeit, 
durch welche die Längeneinheit in der Zeiteinheit zurück- 
gelegt wird, so können wir die Form s = v t beibehalten. 
Man wählt die abgeleiteten Einheiten so, dass die ein- 
fachsten Beziehungen derselben untereinander hervor- 
gehen. So wurde z. B. als Flächen- und Volumeinheit 
immer das Quadrat und der Würfel über der Längen- 
einheit als Seite gebraucht. 

Halten wir das angedeutete Princip fest, so nehmen 
wir also an, dass durch die Geschwindigkeitseinheit die 
Längeneinheit in der Zeiteinheit zurückgelegt wird, dass 
durch die Einheit der Beschleunigung die Geschwindig- 
keitseinheit in der Zeiteinheit zuwächst, dass durch die 
Krafteinheit der Masseneinheit die Einheit der Be- 
schleunigung ertheilt wird u. s. w. 

Die abgeleiteten Einheiten hängen von den willkür- 
lichen Grundeinheiten ab, sie sind Functionen derselben. 
Wir wollen die einer abgeleiteten Einheit entsprechende 
Function die Dimension derselben nennen. Die Lehre 
von den Dimensionen ist von Fourier (1822) in seiner 
Wärmetheorie begründet worden. Bezeichnen wir eine 
Länge mit l, eine Zeit mit £, eine Masse mit m, so ist 

l 

z. B. die Dimension einer Geschwindigkeit — oder l 1 ~ \ 

Die folgende Tabelle ist hiernach ohne Schwierigkeit ver- 
ständlich : 

Dimension 

Geschwindigkeit v . . . 1 t ~ l 
Beschleunigung 9 . . . It ~~ 2 
Kraft p . . . mit 2 

Bewegungsgrösse m v . . . mit" 1 
Antrieb p t . . . mit" 1 




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280 Drittes Kapitel. 

Dimension 

Arbeit ps . . . ml 2 t~ 2 

Lebendige Kraft— — . . . ml 2 t~* 

Trägheitsmoment & . . . ml 2 
Statisches Moment D . . . ml t~~*. 

Diese Tabelle zeigt sofort, dass die oben besprochenen 

Gleichungen in der That homogen sind, d. h. nur 

gleichartige Glieder enthalten. Jeder neue Ausdruck 

der Mechanik könnte in analoger Weise untersucht 

werden. 

7. Die Kenntniss der Dimension einer Grösse ist 

nicht nur aus dem bereits angeführten Grunde wichtig, 

sondern noch aus einem andern. Wenn der Werth 

einer Grösse für gewisse Grundeinheiten bekannt ist, 

und man übergeht zu andern Grundeinheiten, so kann 

der neue Werth der Grösse mit Hülfe der Dimensionen 

derselben leicht angegeben werden. Die Dimension 

einer Beschleunigung, welche z. B. den Zahlenwerth 9 

hätte , ist 1 1~ 2 . Uebergehen wir zu einer X mal 

grössern Längeneinheit und zu einer t mal grössern 

Zeiteinheit, so hat in lt~* für l eine X mal kleinere 

und für t eine t mal kleinere Zahl einzutreten. Der 

Zahlenwerth derselben Beschleunigung in Bezug auf die 

t 2 
neuen Einheiten wird also sein -r— • 9. Nehmen wir 

A 

den Meter als Längeneinheit, die Secunde als Zeitein- 
heit, so beträgt z. B. die Fallbeschleunigung 9*81 
oder, wie man die Dimension und die Grundmaasse zu- 

ATgtßr 

gleich bezeichnend zu schreiben pflegt: 9*81 7= =-y 

Secunde 2 . 

Uebergehen wir nun zum Kilometer als Längeneinheit 

(X = 1000), zur Minute als Zeiteinheit (t = 60), so ist 

fif) ^ fiO 
der Werth derselben Fallbeschleunigung — -— X 9*81, 

, ÄB _ Kilometer 100 ° 



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Die weitere Verwendung der Principien u. 8. w. 281 

8. Als Längeneinheit wird bereits sehr allgemein 
der Meter (die Länge des in Paris aufbewahrten Platin- 
maasstabes bei ° C, nahezu — ^ des Erdmeridianqua- 
dranten) als Zeiteinheit die Secunde (mittlerer Sonnen- 
zeit, zuweilen auch Sternzeit) verwendet. Mit Beachtung 
der obigen Bemerkungen wählt man als Geschwindigkeits- 
einheit diejenige Geschwindigkeit, durch welche 1 m 
in der Secunde zurückgelegt wird, und als Beschleu- 
nigungseinheit jene, welche einem Geschwindigkeitszu- 
wachs 1 in der Secunde entspricht. 

Verwickelungen entstehen durch die Wahl der Massen- 
einheit und der Krafteinheit. Nimmt man als Massen- 
einheit die Masse des pariser Platinkilogrammgewichts- 
stückes (nahezu die Masse eines Kubikdecimeters Wasser 
von 4 ° C.) an, so ist die Kraft, mit welcher dieses Stück 
von der Erde angezogen wird, nicht 1, sondern hat 
wegen p = m • ff den Werth ff, in Paris also 9*808, an 
andern Orten der Erde einen davon etwas verschiedenen 
Werth. Die Krafteinheit ist dann diejenige Kraft, 
welche in einer Secunde der Masse des Kilogrammstückes 
einen Geschwindigkeitszuwachs von l m per Secunde er- 
theilt. Die Arbeitseinheit ist die Wirkung dieser Kraft- 
einheit auf 1 m Wegstrecke u. s. w. Dieses consequente 
metrische Maasssystem, in welchem also die Masse des 
Kilogrammstückes 1 gesetzt wird, nennt man gewöhnlich 
das absolute. 

Das sogenannte terrestrische Maasssystem entsteht 
dadurch, dass man die Kraft, mit welcher das pariser 
Kilogrammstück in Paris von der Erde angezogen 
wird = 1 setzt. Will man dann die einfache Beziehung 
p = mff beibehalten , so ist die Masse dieses Kilo- 
grammstückes nicht = 1, sondern — . Es haben dem- 

9 
nach erst ff solche Kilogrammstücke oder 9*808 solche 
Kilogrammstücke zusammen die Masse 1. Dasselbe 
Kilogrammstück wird an einem andern Ort der Erde A, 



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282 Drittes Kapitel. 

mit der Fallbeschleunigung g' ', nicht mit der Kraft 1, 

sondern mit — zur Erde gezogen. Demnach entsprechen 
ff 

— t pariser Kilogrammstücke an diesem Orte der Kraft 

von 1 kg. Nehmen wir also g 1 Stücke, welche an dem 
Orte A mit 1 Kilogramm drücken, so haben wir wieder 
g mal die Masse des pariser Kilogrammstückes oder 
die Masse 1. Hätten wir aber in A einen Körper, von 
welchem wir wüssten, dass er in Paris mit 1 kg an- 
gezogen wird, so müssten wir natürlich nicht g\ son- 
dern g solche Körper auf eine Masseneinheit rechnen. 
Ein Körper, welcher in Paris (im luftleeren Raum) p 

P 
Kilogramm wiegt, hat die Masse — . Ein Körper, 

welcher in A den Druck p Kilogramm ausübt, enthält 

die Masse — r . Der Unterschied zwischen g und g' 

ff 
kann in vielen Fällen unbeachtet bleiben, muss jedoch 
berücksichtigt werden, wenn es auf Genauigkeit ankommt. 

Die übrigen Einheiten in dem terrestrischen System 
werden natürlich durch die Wahl der Krafteinheit be- 
stimmt. So ist die Arbeit 1 diejenige, bei welcher die 
Kraft auf die Wegstrecke 1 wirkt, also das Kilogramm- 
meter. Die lebendige Kraft 1 ist diejenige, welche 
durch die Arbeit 1 hervorgebracht wird u. s. w. 

Lassen wir einen Körper, der in Paris (im luft- 
leeren Raum) p Kilogramm wiegt, unter 45° Br. an 
der Meeresfläche (mit der Beschleunigung 9*806) 
fallen, so haben wir nach absolutem Maass die Masse p, 
auf welche 9 806p Krafteinheiten wirken, nach terre- 

P 
trischem Maass aber die Masse , auf welche 

9* ROß 

p - Krafteinheiten wirken. Wird 1 m Fallraum 

^ 9*808 

zurückgelegt, so ist die geleistete Arbeit und die er- 
langte lebendige Kraft nach absolutem Maass 9*806 *p f 



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Die weitere Verwendung der Prineipien u. s. w. 283 

nach terrestrischem Maass aber • p. Die Kraft- 

9*808 * 

einheit des terrestrischen Systems ist rund etwa 10 mal 
grösser als jene des absoluten Systems, für die Massen- 
einheit gilt dasselbe Verhältniss. Eine gegebene Ar- 
beit oder lebendige Kraft ist im terrestrischen System 
etwa 10 mal kleiner als im absoluten. 

Bemerkt muss noch werden, dass statt des Kilo- 
gramms als Masseneinheit, des Meters als Längeneinheit, 
in England häufig Gramm und Centimeter, in Deutsch- 
land Milligramm und Millimeter gewählt werden. Die 
Umrechnung bietet nach den gegebenen Ausführungen 
keine Schwierigkeit. Der Umstand, dass man in der 
Mechanik und auch in andern Theilen der Physik, 
welche zur Mechanik in naher Beziehung stehen, nur 
mit drei Grundgrössen , mit RaumgrÖssen, Zeitgrössen 
und Massengrössen zu rechnen hat, führt eine nicht zu 
unterschätzende Vereinfachung und Erleichterung der 
Uebersicht mit sich. 



3. Die Gesetze der Erhaltung der Quantität der 

Bewegung, der Erhaltung des Schwerpunktes und der 

Erhaltung der Flächen. 

1. Wenngleich die Newton'schen Prineipien zur Be- 
handlung jeder Aufgabe der Mechanik ausreichen, so 
ist es doch zweckmässig, sich besondere Regeln für 
häufiger vorkommende Fälle zurechtzulegen, die uns 
gestatten, solche Aufgaben nach der Schablone zu be- 
handeln, ohne in die Einzelheiten derselben uns weiter 
zu vertiefen. Newton selbst und seine Nachfolger ha- 
ben mehrere solche Sätze entwickelt. Wir wollen zu- 
nächst die Newton'schen Lehren über frei beweg- 
liche Massensysteme betrachten. 

2. Wenn zwei freie Massen m, m' nach der Richtung 
ihrer Verbindungslinie durch von andern Massen her- 
rührende Kräfte ergriffen werden, so werden in der Zeit t 
die Geschwindigkeiten v % v' erzeugt, und es besteht die 



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284 Drittes Kapitel. 

Gleichung (jp+jp')£ = wi> + m' v'. Dieselbe folgt aus 
den Gleichungen p t = m v und p' t = m' v*. Die Summe 
m v + m' v' nennen wir die Bewegungsquantität des 
Systems, und betrachten entgegengesetzt gerichtete 
Kräfte und Geschwindigkeiten als entgegengesetzt 
bezeichnet. Wenn nun die Massen m, m' neben den 
äusseren Kräften p, p' noch von innern Kräften er- 
griffen werden, d. h. von solchen, welche die Massen 
gegenseitig aufeinander ausüben, so sind diese Kräfte 
gleich und entgegengesetzt q, — q. Die Summe der An- 
triebe ist (p + p 1 -f q — q) t = (p + p') t, also dieselbe 
wie zuvor, und demnach auch die gesammte Bewegungs- 
quantität des Systems dieselbe. Die Bewegungsquautität 
des Systems wird demnach nur durch die äussern 
Kräfte bestimmt, d. h. durch solche, welche ausserhalb 
des Systems liegende Massen auf die Systemtheile aus- 
üben. 

Wir denken uns mehrere freie Massen tw, m' m" . . . 
beliebig im Baume vertheilt, und von beliebig gerichteten 
äussern Kräften p, p', p " . . . ergriffen , welche in der 
Zeit t an den Massen beziehungsweise die Geschwindig- 
keiten i>, v ', v " . . . hervorbringen. Wir zerlegen alle 
Kräfte nach drei zueinander senkrechten Richtungen 
x, y, z und ebenso die Geschwindigkeiten. Die Summe 
der Antriebe nach der x-Richtung ist gleich der er- 
zeugten Bewegungsquantität nach der x-Richtung u. s. w. 
Denken wir uns zwischen den Massen m, *»', *»"... 
noch paarweise gleiche und entgegengesetzte innere 
Kräfte q, — g, r, — r, s, — s u. s. w. , so geben diese 
nach jeder Richtung auch paarweise gleiche und ent- 
gegengesetzte Componenten, und haben demnach auf 
die Summe der Antriebe keinen Einfluss. Die Bewegungs- 
quantität wird also wieder nur durch die äussern 
Kräfte bestimmt. Dieses Gesetz heisst das Gesetz der 
Erhaltung der Quantität der Bewegung. 

3. Eine andere Form desselben Satzes, die ebenfalls 
Newton gefunden hat, wird Gesetz der Erhaltung des 
Schwerpunktes genannt. Wir denken uns in A und B 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 285 

Fig. 149 zwei Massen 2m und f», welche in Wechselwir- 
kung, z. B. elektrischer Abstossung, stehen; der Schwer- 
punkt derselben liegt in £, wobei B S = 2 AS. Die 
Beschleunigungen, welche sie sich gegenseitig ertheilen, 
sind entgegengesetzt, und verhalten sich verkehrt wie 
die Massen. Wenn also vermöge dieser Wirkung 2m 
den Weg A D zurücklegt, so legt m den Weg B 0=2 AD 
zurück. Der Punkt S bleibt noch immer der Schwer- 
punkt, da C S = 2 D S. Zwei Massen sind demnach 
nicht im Stande durch Wechselwirkung ihren gemein- 
samen Schwerpunkt zu verschieben. Betrachtet man 
mehrere irgendwie im Baume vertheilte Massen, so er- 
kennt man, weil zwei und zwei solcher Massen ihren 
Schwerpunkt nicht zu verschieben vermögen, dass auch 
der Schwerpunkt des ganzen Systems durch die Wechsel- 
wirkung der Massen nicht verschoben werden kann. 

Wir denken uns ein 
System von Massen m, m\ 2m m 

m" . . . frei im Baume, — ' e * *- ■ 

welche von irgendwelchen DAS B 

äussern Kräften ergriffen Fi 9- 149 * 

sind. Wir beziehen diesel- 
ben auf ein rechtwinkeliges Coordinatensystem , und 
nennen die Coordinaten beziehungsweise x, y, z, x\ y\ z' 
u. s. w. Die Coordinaten des Schwerpunktes sind dann 

£__2m# _ 2my _ 2mz 

in welchen Ausdrücken sich x, y, z, gleichförmig oder 
gleichförmig beschleunigt oder nach irgendeinem andern 
Gesetz ändern können, je nachdem die zugehörige Masse 
von keiner äussern Kraft, von einer constanten oder 
veränderlichen äussern Kraft ergriffen wird. Der Schwer- 
punkt wird sich in diesen Fällen verschieden bewegen, 
und kann im ersten Fall auch in Buhe sein. Kommen 
nun innere Kräfte hinzu, welche zwischen je zwei 
Massen, z. B. m' und w", wirken, so gehen daraus ent- 



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286 Drittes Kapitel. 

gegengesetzte Verschiebungen u>\ w ", nach der Richtung 
der Verbindungslinie hervor, sodass mit Rücksicht auf 
die Zeichen m' w' -f- m n w" ' = o. Auch in Bezug auf die 
Componenten dieser Verschiebungen x x und x 2 wird die 
Gleichung gelten m! x x + m" x 2 = o. Die innern Kräfte 
bringen also an den Ausdrücken für §, tj, £ nur solche 
Zusätze hervor, welche sich in denselben gegenseitig auf- 
heben. Die Bewegung des Schwerpunktes eines Sys- 
tems wird also nur durch die äussern Kräfte bestimmt. 
Wollen wir die Beschleunigung des Systemschwer- 
punktes kennen, so haben wir auch wieder auf die Be- 
schleunigungen der Systemtheile zu achten. Es ist 
dann, wenn qp, $', 9"... die Beschleunigungen von 
*w, m'y m" . . . nach irgendeiner Richtung bedeuten, und 
9 die Schwerpunktsbeschleunigung nach derselben Rich- 
tung heisst, 

9 = _ - und wenn die Gesammtmasse 2 m = M , 
2 m 

2 wi © 
$ = — jrr^* ^Vi r erhalten also die Beschleunigung 

des Schwerpunktes nach einer Richtung, wenn wir 
sämmtliche Kräfte nach derselben Richtung summiren 
und durch die Gesammtmasse dividiren. Der Schwer- 
punkt des Systems bewegt sich so, als ob alle Massen 
und alle Kräfte in demselben vereinigt wären. Sowie 
eine Masse ohne eine äussere Kraft keine Beschleunigung 
annimmt, so hat der Schwerpunkt eines Systems ohne 
äussere Kräfte keine Beschleunigung. 

4. Einige Beispiele werden den Satz der Erhaltung 
des Schwerpunktes veranschaulichen. Wir denken uns 
ein Thier frei im Welträume. Wenn das Thier einen 
Theil m seiner Masse nach einer Richtung bewegt, 
so rückt der Rest M in entgegengesetzter Richtung 
vor, so zwar, dass der Gesammtschwerpunkt an Ort und 
Stelle bleibt. Zieht das Thier die Masse m wieder 
zurück, so wird auch die Bewegung von M rückgängig. 
Das Tbier ist nicht im Stande, ohne äussere Stützen 



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Die weitere Verwendung der Principien u. 8. w. 287 

oder Kräfte sich von der Stelle zu bewegen, oder die 
ihm von aussen aufgenöthigte Bewegung zu ändern. 

Ein leicht (etwa auf Schienen) beweglicher Wagen A 
sei mit Steinen beladen. Ein auf demselben befind- 
licher Mann werfe einen Stein nach dem andern nach 
derselben Richtung hinaus. Dann kommt bei hinreichend 
kleiner Reibung der ganze Wagen in entgegengesetzter 
Richtung in Bewegung. Der Gesammtschwerpunkt 
(Wagen -f- Steine) bliebe, soweit die Bewegung nicht 
durch äussere Hindernisse vernichtet würde, an Ort und 
Stelle. Würde derselbe Mann von aussen Steine auf- 
nehmen, so käme der Wagen auch in Bewegung, jedoch 
nicht in demselben Maasse wie im vorigen Fall, wie 
durch das folgende Beispiel erläutert wird. 

Ein Geschütz von der Masse M schleudert ein Ge- 
schoss von der Masse m mit der Geschwindigkeit v fort. 
Dann erhält M auch eine Geschwindigkeit 7, so zwar, 
dass mit Rücksicht auf das Zeichen M V -f- m v •= o. 
Dies erklärt den sogenannten Rückstoss. Hierbei ist 

V = — — v, also der Rückstoss bei gleichen Ge- 
schossgeschwindigkeiten desto unmerklicher, je grösser 
die Masse des Geschützes gegen jene des Geschosses. 
Setzen wir die Arbeit des Pulvers in allen Fällen 
= -4, so bestimmen sich hierdurch die lebendigen Kräfte 

M V 2 m v 2 

1 = A, und da nach der obigen Gleichung 

2 & 

die Summe der Bewegungsgrössen =0, so findet sich 

leicht V = \[ 2 Am . Der Rückstoss verschwin- 

V M(M + m) 

det also, wenn die Geschossmasse verschwindet, wobei 
aber von der Masse der Pulvergase abgesehen ist. 
Würde nun von dem Geschütz die Masse m nicht aus- 
gestossen, sondern eingesaugt, so würde der Rückstoss 
die entgegengesetzte Richtung haben. Derselbe hätte 
aber keine Zeit sichtbar zu werden, denn bevor noch ein 



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288 Drittes Kapitel. 

merklicher Weg zurückgelegt wäre, hätte m schon den 
Grund des Geschützrohres erreicht. Sobald aber M 
und m miteinander in starre Verbindung treten, gegen- 
einander relativ ruhen, muss auch absolute Ruhe ein- 
treten, weil der Gesammtschwerpunkt ebenfalls ruht. 
Aus demselben Grunde könnte beim Aufnehmen von 
Steinen in dem obigen Beispiele keine ausgiebige Be- 
wegung eintreten, weil beim Eintreten der starren Ver- 
bindung zwischen dem Wagen und den Steinen die er- 
zeugten entgegengesetzten Bewegungsgrössen wieder auf- 
gehoben würden. Ein Geschütz könnte beim Einsaugen 
eines Geschosses nur dann einen merklichen Rückstoss 
erhalten, wenn das eingesaugte Geschoss hindurch- 
fliegen könnte. 

Der Körper einer frei aufgehängten, oder mit nicht 
genügender Reibung auf den Schienen ruhenden Loco- 
motive kommt, sobald die beträchtlichen Eisenmassen 
mit dem Kolben des Dampfcylinders in oscillirende 
Bewegung gerathen, nach dem Schwerpunktsgesetz in 
entgegengesetzte Oscillation , welche für den gleich- 
massigen Gang sehr störend werden kann. Um diese 
Oscillation auszuschliessen , muss man dafür sorgen, 
dass die Bewegung der durch den Kolben getriebenen 
Eisenmassen durch die entgegengesetzte Bewegung an- 
derer Massen derart compensirt wird, dass der Ge- 
sammtschwerpunkt ohne Bewegung des Locomotiven- 
körpers an Ort und Stelle bleiben kann. Dies ge- 
schieht durch Anbringen von Eisenmassen an den Trieb- 
rädern der Locomotive. 

Die hierher gehörigen Verhältnisse lassen sich sehr 
hübsch an dem Elektromotor von Page Fig. 150 erläutern. 
Wenn der Eisenkern in der Spule AB durch die 
innern Kräfte swischen Spule und Kern nach rechts 
rückt, bewegt sich der Motorkörper nach links, sobald 
derselbe leicht beweglich auf Rädchen r r ruht. Bringt 
man aber an einer Speiche des Schwungrades B ein 
passendes Laufgewicht a an, welches sich dem Eisen- 



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Die weitere Verwendung der Principien u. 8. w. 289 

kern stets entgegen bewegt, so kann das Kücken des 
Motorkörpers ganz zum Verschwinden gebracht werden. 

Ueber die Bewegung der Theile einer platzenden Bombe 
ist uns nichts bekannt. Allein nach dem Schwerpunkts- 
gesetze ist es klar, dass von dem Luftwiderstand und 
den Hindernissen, auf welche etwa die einzelnen Theile 
treffen, abgesehen, der Gesammtschwerpunkt nach dem 
Platzen fortfährt, seine parabolische Wurfbahn zu be- 
schreiben. 

5. Ein dem Schwerpunktsgesetz verwandter Satz, 
welcher für ein freies System gilt, ist der Satz der 




Fig. 150. 



Erhaltung der Flächen. Obwol Newton den Satz 
sozusagen in der Hand hatte, so ist derselbe doch erst viel 
später von Euler, D'Arcy und Daniel Bernoulli ausge- 
sprochen worden. Euler und Daniel Bernoulli fanden den 
Satz fast gleichzeitig (1746) bei Behandlung einer von 
Euler vorgelegten Aufgabe, betreffend die Bewegung von 
Kugeln in drehbaren Röhren, indem sie auf die Wir- 
kung und Gegenwirkung der Kugeln und Röhren achteten. 
D'Arcy (1747) knüpfte an Newton's Untersuchungen an, 
und verallgemeinerte das von demselben zur Erklärung 
der Kepler'schen Gesetze benutzte Sectorengesetz. 
Wir betrachten zwei in Wechselwirkung stehende 



Mach. 



19 



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290 



Drittes Kapitel. 



Massen m, m'. Dieselben legen vermöge ihrer Wechsel- 
wirkung allein die Wege AB, CD nach der Richtung 
der Verbindungslinie zurück. Nimmt man auf das Zeichen 
der Bewegungen Rücksicht, so ist m • A B + m' C D = o. 
Zieht man von irgendeinem Punkte aus zu den be- 
wegten Massen Radienvectoren und betrachtet die in 
entgegengesetztem Sinne von denselben durchstrichenen 
Flächenräume als von entgegengesetztem Zeichen, so ist 
auch m • AB + m' • C D = o. Wenn zwei Massen 
in Wechselwirkung stehen, und man zieht von irgend- 
einem Punkte aus zu 
denselben Radienvecto- 
ren, so ist infolge der 
Wechselwirkung die 
Summe der von den- 
selben durchstrichenen 
Flächenräume multipli- 
cirt mit den zugehö- 
rigen Massen = o. Wä- 
ren die Massen auch 
von äussern Kräften 
ergriffen und würden 
vermöge dieser die 
Flächenräume AE 
und CF beschrieben, 
so gibt die Zusammen- 
wirkung der innern und 
äussern Kräfte (während einer sehr kleinen Zeit) die 
Flächenräume AG nnd OCH. Nun folgt aber aus 
dem Varignon* sehen Parallelogrammsatz, dass 

m .0AG + m'.0CH=rn • OAE + m'OCF + 

mOAB + m'OCD = mOAE + m'OCF 

d.h. die Summe der mit den zugehörigen Massen 

multiplicirten durchstrichenen Flächenräume 

wird durch die innern Kräfte nicht geändert. 

Sind mehrere Massen vorhanden, so kann man von 




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Die weitere Verwendung der Principien u. 8. w. 291 

der Protection des ganzen Bewegungsvorganges auf eine 
gegebene Ebene für je zwei Massen dasselbe behaupten. 
Zieht man von einem Punkte aus nach den Massen eines 
Systems Radienvectoren, und projicirt die durchstrichenen 
Flächenräume auf eine gegebene Ebene, so ist die Summe 
dieser mit den zugehörigen Massen multiplicirten Flächen- 
räume von den innern Kräften unabhängig. Dies ist das 
Gesetz der Erhaltung der Flächen. 

Wenn eine einzelne Masse ohne Kraftwirkung sich 
gleichförmig geradlinig bewegt, und man zieht von irgend- 
einem Punkte aus einen Radiusvector nach derselben, 
so wächst der von demselben durchstochene Flächen- 
raum proportional der Zeit. Dasselbe Gesetz gilt für 
2 t»/, wenn mehrere Massen sich ohne Kraftwirkung 
bewegen, wobei wir unter dem Summenausdruck die al- 
gebraische Summe aller Producte aus den Flächenräumen 
und den zugehörigen Massen verstehen, den wir kurz 
Flächensumme nennen wollen. Treten innere Kräfte 
zwischen den Massen des Systems ins Spiel, so wird 
dieses Yerhältniss nicht geändert. Es bleibt auch dann 
noch bestehen, wenn äussere Kräfte hinzutreten, die 
sämmtlich gegen den festen Punkt gerichtet sind, 
wie wir aus Newton's Untersuchungen wissen. 

Wirkt auf eine Masse eine äussere Kraft, so wächst 

der vom Radiusvector durchstrichene Flächenraum / nach 

at 2 
dem Gesetz / = — — \- bt -\- c mit der Zeit , wobei a 
Z 

von der beschleunigenden Kraft, b von der Anfangsge- 
schwindigkeit und c von der Anfangslage abhängt. 
Nach demselben Gesetz wächst die Summe 2 mf y wenn 
mehrere Massen durch äussere beschleunigende Kräfte 
ergriffen werden, solange diese als constant betrachtet 
werden können, was für hinreichend kurze Zeiten immer 
der Fall ist. Das Flächengesetz besteht in diesem Falle 
darin, dass auf das Wachsthum dieser Flächensumme 
die innern Kräfte des Systems keinen Einfluss üben. 
Einen freien starren Körper können wir als ein 
System betrachten, dessen Theile durch innere Kräfte 

19* 



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292 Drittes Kapitel. 

in ihrer relativen Lage erhalten werden. Das Flächen- 
princip findet also auch in diesem Fall Anwendung. 
Ein einfaches Beispiel bietet die gleichförmige Rotation 
eines starren Körpers um eine seinen Schwerpunkt ent- 
haltende Axe. Nennen wir m einen Massentheil, r den 
Abstand desselben von der Axe und a die Winkelge- 
schwindigkeit, so ist für diesen Fall die in der Zeiteinheit 

V OL 

durchstrichene Flächenraumsumme ]£m-~ . ra= — Smr 3 , 

Z Li 

also das Product aus dem Trägheitsmoment und der 
halben Winkelgeschwindigkeit. Dasselbe kann sich nur 
durch äussere Kräfte ändern. 

6. Betrachten wir nun einige Beispiele zur Erläuterung 
des Flächengesetzes. Wenn zwei starre Körper K und 
K! miteinander in Verbindung sind, und K geräth re- 
lativ gegen K' durch innere Kräfte zwischen K und K' 
in Drehung, so kommt sofort auch K! in die entgegen- 
gesetzte Drehung. Durch die Drehung von K wächst 
nämlich eine Flächenraumsumme zu, welche nach dem 
Flächengesetz durch die entgegengesetzte Flächenraum- 
summe von K' compensirt werden muss. Dies zeigt 
sich recht hübsch an einem beliebigen Elektromotor, wenn 
man denselben mit horizontal gestelltem Schwungrad an 
einer verticalen Axe frei drehbar befestigt. Die den Strom 
zuleitenden Drähte tauchen in zwei conaxiale an der 
Drehungsaxe angebrachte Quecksilberrinnen, sodass sie 
die Rotation nicht behindern. Man bindet den Motor- 
körper {K!) durch einen Faden an dem Stativ der Axe 
fest, und lässt den Strom wirken. Sobald das Schwungrad 
(K) von oben betrachtet, im Sinne des Uhrzeigers zu 
rotiren beginnt, spannt sich der Faden und der Motor- 
körper zeigt das Streben, die Gegendrehung auszu- 
führen, welche sofort auch lebhaft eintritt, wenn man 
den Faden abbrennt. 

Der Motor ist in Bezug auf die Axendrehung ein 
freies System. Die Flächenraumsumme ist für den 
Fall der Ruhe = o. Kommt aber das Rad durch die 
innern elektromagnetischen Kräfte zwischen Anker und 



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Die weitere Verwendung der Principien u. 8. w. 293 

Eisenkern in Drehung, so wird die hierdurch entstehende 
Flächenraumsumme, weil die Gesammtsumme = o bleiben 
muss, durch die Gegendrehung des Motorkörpers 




compensirt. Bringt man an dem Motorkörper einen 
Zeiger an, der durch eine elastische Feder in einer be- 
stimmten Lage erhalten wird, so kann die Drehung des 
Motorkörpers nicht eintreten. Jede Beschleunigung des 



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294 Drittes Kapitel 

Bades im Sinne des Uhrzeigers (bei tieferm Eintauchen 
der Batterie) bringt aber einen Zeigerausschlag in ent- 
gegengesetztem Sinne mit sich, und jede Verzögerung 
den umgekehrten Ausschlag. 

Eine schöne und eigenthümliche Erscheinung tritt 
auf, wenn man am frei drehbaren Motor den Strom 
unterbricht. Rad und Motor setzen zunächst ihre Gegen- 
bewegung fort. Bald wird aber die Wirkung der Reibung 
merklich, es tritt nach und nach relative Ruhe der Motor- 
theile gegeneinander ein. Hierbei sieht man nun die 
Bewegung des Motorkörpers langsamer werden, einen 
Augenblick innehalten, und schliesslich, wenn die rela- 
tive Ruhe eingetreten ist, den Sinn der ursprünglichen 
Radbewegung annehmen, also gänzlich umkehren. Der 
ganze Motor rotirt dann so, wie anfanglich das Rad 
sich bewegte. Die Erklärung der Erscheinung liegt 
nahe. Der Motor ist kein vollkommen freies System, 
er wird durch die Axenreibung behindert. An einem 
vollkommen freien System müsste die Flächenraumsumme, 
sobald die Theile wieder in relative Ruhe treten, so- 
fort wieder = o sein. Hier wirkt aber noch die Axen- 
reibung als äussere Kraft. Die Reibung an der Rad- 
axe vermindert die Flächenraumsumme des Rades und 
Körpers in gleicher Weise. Die Reibung an der Kör- 
peraxe vermindert aber nur die Flächenraumsumme des 
Körpers. Das Rad behält also eine überschüssige 
Flächenraumsumme, welche bei relativer Ruhe der Theile 
an dem ganzen Motor sichtbar wird. Der ganze Vor- 
gang bei Unterbrechung des Stromes bietet ein Bild 
desjenigen, welcher nach Voraussetzuug der Astronomen 
am Monde eingetreten ist. Die von der Erde erregte 
Flutwelle hat durch Reibung die Rotationsgeschwindig- 
keit des Mondes derart verkleinert, dass der Mondtag 
zur Dauer eines Monats angewachsen ist. Das Schwung- 
rad stellt die durch die Flut bewegte Flüssigkeits- 
masse vor. 

Ein anderes Beispiel für das Flächengesetz bieten 
die Reactionsräder dar. Wenn durch das Rädchen 



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Die weitere Verwendung der Principien u. 8. w. 295 

Fig. 153 a Luft- oder Leuchtgas im Sinne der kurzen 
Pfeile ausströmt, so geräth das ganze Rädchen im Sinne 
des langen Pfeiles in Rotation. Fig. 153 b ist ein 
anderes einfaches Reactionsrädchen dargestellt, welches 
man erhält, indem man ein beiderseits verkorktes und 
entsprechend durchbohrtes Messingrohr r r auf ein mit 
einer Nadelspitze versehenes zweites Messingrohr B setzt, 
durch welches man Luft einblasen kann, die bei den 
Öffnungen t 0' entweicht. 

Man könnte leicht glauben, dass beim Saugen an den 
Reactionsrädern die umgekehrte Bewegung eintreten 
müsste wie beim Blasen. Das geschieht jedoch im all- 
gemeinen nicht, und lässt sich auch leicht erklären. 
Die Luft, welche in die Speichen des Rades eingesaugt 
wird, muss sofort die Bewegung des Rades mitmachen, 
zu dem Rade in relative Ruhe treten, und die Flächen- 
raumsumme des ganzen Systems kann nur = o bleiben, 
indem das System in Ruhe bleibt. Beim Einsaugen 
findet in der Regel keine merkliche Rotation statt. Es 
besteht eben ein ähnliches Verhältniss, wie für den 
Rückstoss beim Einsaugen eines Geschosses durch ein 
Geschütz. Bringt man daher einen elastischen Ballon 
mit einem einzigen Ausführungsrohr an das Reactions- 
rädchen, wie dies in Fig. 153 a dargestellt ist, und drückt 
denselben periodisch, sodass dasselbe Luftquantum ab- 
wechselnd herausgeblasen und eingesaugt wird, so 
läuft das Rädchen lebhaft in demselben Sinn wie beim 
Blasen. Dies beruht einerseits darauf, dass die einge- 
saugte Luft in den Speichen die Bewegung der letztern 
mitmachen muss, und demnach keine Reactionsdrehung 
erzeugen kann, dann aber auch auf der Verschieden- 
heit der äussern Luftbewegung beim Blasen und Saugen. 
Beim Blasen strömt die Luft in Strahlen (mit einer 
Rotation) ab. Beim Saugen kommt die Luft ohne Ro- 
tation von allen Seiten herzu. 

Die Richtigkeit dieser Erklärung lässt sich leicht 
darthun. Wenn man die untere Basis eines Hohlcylin- 
ders, z. B. einer geschlossenen Pappschachtel durch- 



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296 



Drittes Kapitel. 




Fig. 153 b. 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 297 



bohrt, und den Cylinder auf die Nadelspitze der Röhre 
B setzt, nachdem man den Mantel in der durch Fig. 154 
angedeuteten Weise aufgeschlitzt 
und verbogen hat, so dreht sich 
derselbe beim Blasen im Sinne 
des langen, beim Saugen im 
Sinne des kurzen Pfeiles. Die 
Luft kann nämlich in den Cy- 
linder eintretend hier ihre 
Rotation frei fortsetzen, wes- 
halb dieselbe auch durch eine 
Gegenrotation compensirt wird. 
7. Auch der folgende Fall bietet 
ähnliche Verhältnisse dar. Wir 
denken uns ein Rohr Fig. 155 a, 
das geradlinig nach a b verläuft, 
dann unter einem rechten Win- 
kel nach b c abbiegt, den Kreis 
c def beschreibt, dessen Ebene 
zu ab senkrecht steht und dessen 
Mittelpunkt in b liegt, dann 
nach f g und schliesslich die 
Gerade a b fortsetzend , nach g h 
verläuft. Das ganze Rohr ist 
um a h als Axe drehbar. Giesst 
man in dieses Rohr (wie dies 
Fig. 155 b andeutet) Flüssigkeit 
ein, welche nach cdef strömt, 



.äp' 



h 

Fig. 135 a. 




Fig. 2.5.5 b. 



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298 Drittes Kapitel 

so dreht sich das Bohr sofort in dem Sinne fedc. 
Dieser Antrieb entfällt aber, sobald die Flüssigkeit den 
Punkt / erreicht hat und den Radius fg durchströmend 
die Bewegung desselben wieder mitmachen muss. Die 
Botation des Bohres erlischt daher bald, wenn man 
einen constanten Flüssigkeitsstrom anwendet. Sowie 
aber der Flüssigkeitsstrom unterbrochen wird, ertheilt 
die durch den Badius fg abströmende Flüssigkeit dem 
Bohre einen Bewegungsimpuls im Sinne der eigenen 
Bewegung, nach cdef. Alle diese Erscheinungen sind 
nach dem Flächengesetz leicht zu verstehen. 

Die Passatwinde, die Abweichung der Meeres- 
strömungen, der Flüsse, der Foucault'sche Pendel ver- 
such u. s. w. können ebenfalls als Beispiele für das 
Flächengesetz betrachtet werden. Hübsch zeigt sich 
noch das Flächengesetz an Körpern von veränderlichem 
Trägheitsmoment. Botirt ein Körper vom Trägheitsmo- 
ment mit der Winkelgeschwindigkeit a, und es wird 
durch innere Kräfte, z. B. Federn, das Trägheitsmoment 
in 0' verwandelt, so geht auch a in a' über, wobei 


a = a' 0', also ot! = OLprj. Bei beträchtlicher Verklei- 


nerung des Trägheitsmomentes kann man eine bedeutende 
Vergrösserung der Winkelgeschwindigkeit erhalten. Das 
Princip Hesse sich vielleicht statt des Foucault' sehen Ver- 
fahrens zur Demonstration der Erdrotation anwenden. 
Ein dem eben angegebenen Schema entsprechender 
Vorgang ist folgender. Man giesst einen Glastrichter 
mit vertical gestellter Axe rasch mit Flüssigkeit voll, 
jedoch so, dass der Strahl nicht nach der Axe ein- 
tritt, sondern die Seitenwand trifft. Dadurch entsteht 
eine langsame Botation in der Flüssigkeit, die man je- 
doch nicht merkt, solange der Trichter voll ist. Zieht 
sich jedoch die Flüssigkeit in den Hals des Trichters 
zurück, so wird hierbei ihr Trägheitsmoment so ver- 
mindert, und ihre Winkelgeschwindigkeit so vermehrt, 
dass ein heftiger Wirbel mit einer axialen Vertiefung 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 299 

entsteht. Oft ist der ganze ausfliessende Flüssigkeits- 
strahl von einem axialen Luftfaden durchzogen. 

8. Betrachtet man den besprochenen Schwerpunkts- 
und Flächensatz aufmerksam, so erkennt man in beiden 
nur für die Anwendung bequeme Ausdrucksweisen einer 
bekannten Eigenschaft mechanischer Vorgänge. Der 
Beschleunigung 9 einer Masse m entspricht immer die 
Gegenbeschleunigung 9' einer andern Masse w', wobei 
mit Rücksicht auf das Zeichen m 9 -f- m' 9' = 0. Der 
Kraft m 9 entspricht die gleiche Gegenkraft m' 9'. 
Wenn die Massen m und 2 m mit den Gegenbeschleu- 
nigungen 29 und 9 die Wege 2w und w zurücklegen, 
so bleibt hierbei ihr Schwerpunkt S un verrückt und 
die Flächensumme in Be- 
zug auf einen beliebigen 
Punkt ist mit Rück- 
sicht auf das Zeichen 
2 m *f-\-m • 2/=o. Man 
erkennt durch diese ein- 
fache Darstellung, dass 
der Schwerpunktssatz 
dasselbe in Bezug auf Fig. 156. 

Parallele oordinaten 

ausdrückt, was der Flächensatz in Bezug auf Polar- 
coordinaten sagt. Beide enthalten nur die That- 
sache der Reaction. 

Man kann dem Schwerpunkt- und dem Flächensatz 
noch einen andern einfachen Sinn unterlegen. Sowie 
ein Körper ohne äussere Kräfte, also ohne die Hülfe 
eines andern Körpers seine gleichförmige Progressiv- 
bewegung oder Drehung nicht ändern kann, so kann 
auch ein Körpersystem, wie wir kurz (und nach den 
gegebenen Auseinandersetzungen allgemein verständlich) 
sagen wollen, seine mittlere Progressiv- oder Rotations- 
geschwindigkeit nicht ändern ohne die Hülfe eines andern 
Systems, auf welches sich das erstere sozusagen stützt 
und stemmt. Beide Sätze enthalten also einen verall- 
gemeinerten Ausdruck des Trägheitsgesetzes, 




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300 Drittes Kapitel. 

dessen Richtigkeit in dieser Form man nicht nur ein- 
sieht, sondern auch fühlt. 

Dieses Gefühl ist durchaus nicht unwissenschaftlich 
oder gar schädlich. Wo es die begriffliche Einsicht 
nicht ersetzt, sondern neben derselben besteht, begrün- 
det es eigentlich erst den vollen Besitz der mechani- 
schen Thatsachen. Wir sind, wie anderwärts gezeigt 
worden ist, mit unserm ganzen Organismus selbst ein 
Stück Mechanik, welches tief in unser psychisches Le- 
ben eingreift. l Niemand wird uns überreden, dass die 
Beachtung der mechanisch -physiologischen Vorgänge, 
der betreffenden Gefühle und Instincte mit der wissen- 
schaftlichen Mechanik nichts zu schaffen habe. Kennt 
man Sätze, wie den Schwerpunkts- und Flächensatz, 
nur in ihrer abstracten mathematischen Form, ohne sich 
mit den greifbaren einfachen Thatsachen beschäftigt zu 
haben, welche einerseits Anwendungen derselben dar- 
stellen, und andererseits zur Aufstellung eben dieser Sätze 
geführt haben, so kann man dieselben nur halb ver- 
stehen, und erkennt kaum die wirklichen Vorgänge als 
Beispiele der Theorie. Man befindet sich, wie jemand, der 
plötzlich auf einen Thurm gesetzt wurde, ohne die Gegend 
ringsumher bereist zu haben, und der daher die Bedeutung 
der gesehenen Objecto kaum zu würdigen weiss. 

4. Die Gesetze des Stosses. 

1. Die Gesetze des Stosses haben einerseits Anlass 
gegeben zur Aufstellung der wichtigsten Principien der 
Mechanik, und andererseits die ersten Beispiele für die 
Anwendung derartiger Principien geliefert. Schon ein 
Zeitgenosse Galilei's, der prager Professor Marcus Marci 
(geb. 1595), hat in seiner Schrift „De proportione motus" 
(Prag 1639) einige Resultate seiner Untersuchungen 
über den Stoss veröffentlicht. Er wusste, dass ein 
Körper im elastischen Stoss auf einen gleichen ruhen- 
den treffend, seine Bewegung verliert, und dieselbe dem 

1 E. Mach, Grundlinien der Lehre von den Bewegungs- 
empfindungen. (Leipzig, Engelmann, 1875.) 



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Die weitere Verwendung der Principien u. 8. w. 301 



IOANNES MARCUS MARC! PHIL: U MEDIO DOCTOft 

et Profe ffir natus Landkerom? Herrmmdurerum m Boerma, 

2 «"*> ,ypy. 1.7 /«im'. 




andern überträgt. Auch andere noch heute gültige 
Sätze stellt er auf, wenngleich nicht immer in genügen- 
der Schärfe und mit Falschem vermengt. Marcus 
Marci war ein merkwürdiger Mann. Er hat für seine 
Zeit sehr anerkennenswerthe Vorstellungen über die 



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302 Drittes Kapitel. 

Zusammensetzung der Bewegungen und „Impulse". Bei 
Bildung dieser Vorstellungen schlägt er einen ähnlichen 
Weg ein wie später Roberval. Er spricht von theil- 
weise gleichen und entgegengesetzten, von voll ent- 
gegengesetzten Bewegungen, gibt Parallelogrammcon- 
structionen u. s. w., kann aber, obgleich er von einer 
beschleunigten Fallbewegung spricht, über den Kraft- 
begriff und demnach auch die Kraftzusammensetzung 
nicht zur vollen Klarheit gelangen. Trotzdem kennt er 
den Galilei'schen Kreissehnensatz, einige Sätze über die 
Pendelbewegung, die Centrifugalkraft u. s. w. Obgleich 
Galilei's Discorsen ein Jahr zuvor erschienen waren, so 
kann man bei den damaligen durch den Dreissigj ährigen 
Krieg herbeigeführten Verhältnissen in Mitteleuropa 
doch nicht annehmen, dass Marci dieselben gekannt 
habe. Nicht nur würden dadurch die vielen Unrichtig- 
keiten in Marci's Buch ganz unverständlich, sondern es 
wäre dann erst aufzuklären, wieso Marci noch 1648 in 
einer Fortsetzung seiner Schrift hat in die Lage kommen 
können, den Kreissehnensatz gegen den Jesuiten Bal- 
thasar Conradus vertheidigen zu müssen. Alles dies 
klärt sich einfach auf, wenn man voraussetzt, dass 
Marci, als Mann von umfassenden Kenntnissen, die Ar- 
beiten Benedetti's kannte, und wenn man mit Wohlwill 
(„Zeitschr. f. Völkerpsychol.", 1884, XV, S. 387) annimmt, 
dass er mit Galilei's älteren Arbeiten, in welchen dieser 
selbst noch nicht die volle Klarheit erreicht hatte, ver- 
traut war. Bedenken wir, dass Marci auch der Newton'- 
schen Entdeckung der Zusammensetzung des Lichtes 
sehr nahe war, so erkennen wir in ihm einen Mann 
von bedeutenden Anlagen. Seine Schriften sind ein 
interessantes und noch wenig beachtetes Object für Ge- 
schichtsforscher auf dem Gebiete der Physik. 

2. Galilei selbst hat mehrere Versuche gemacht, die 
Gesetze des Stosses zu ermitteln, ohne dass ihm dies 
ganz gelungen wäre. Er beschäftigt sich namentlich 
mit der Kraft eines bewegten Körpers oder mit der 
„Kraft des Stosses", wie er sich ausdrückt, und sucht 



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Die weitere Verwendung der Principien u. 8. w. 303 

dieselbe mit dem Druck eines ruhenden Gewichtes zu 
vergleichen, durch denselben zu messen. Zu diesem 




Zwecke unternimmt er auch einen äusserst sinnreichen 
Versuch, der in Folgendem besteht. 

An ein Wassergefass I mit verkorkter Bodenöffnung 



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304 



Drittes Kapitel. 



ist mit Hülfe von Schnüren unterhalb ein zweites Ge- 
fass II angehängt und das Ganze ist an einer äquili- 
brirten Wage befestigt. Wird der Kork aus der Boden- 
öffnung entfernt, so fällt die Flüssigkeit im Strahl aus 
dem Gefass I in das Gefass II herab. Ein Theil des 
ruhenden Gewichtes fallt aus, und wird durch eine 
Stosswirkung auf das Gefass II ersetzt. Galilei er- 
wartete einen Ausschlag der Wage, durch welchen er 
die Stosswirkung mit Hülfe eines Ausgleichsgewichtes zu 
bestimmen hoffte. Er war einigermaassen überrascht, 



A 



m)h 



vi 

n 






&> 



Fig. 157. 



keinen Ausschlag zu erhalten, ohne sich dieses Verhält- 
niss, wie es scheint, vollkommen aufklären zu können. 
3. Heute ist natürlich diese Aufklärung nicht schwierig. 
Durch die Entfernung des Korkes entsteht einerseits 
eine Druckverminderung. Es fällt 1) das Gewicht des 
in der Luft hängenden Strahles aus, und ist 2) der 
Reactionsdruck des ausfliessenden Strahles auf das Ge- 
fass I nach oben (welches sich wie ein Segner'sches 
Rad verhält) zu berücksichtigen. Andererseits tritt aber 
3) eine Druck Vermehrung ein durch die Wirkung des 
Strahles auf den Boden des Gefässes II. Bevor der 
erste Tropfen den Boden von II erreicht hat, haben 



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Die weitere Verwendung der Prinoipien u. s. w. 305 

wir nur mit einer Druckverminderung zu thun, die aber 
sofort compensirt wird, wenn der Apparat im vollen 
Gang ist. Dieser anfängliche Ausschlag war auch alles, 
was Galilei bemerken konnte. Wir denken uns den 
Apparat im Gang, bezeichnen die Flüssigkeitshöhe im 
Gefäss I mit A, die entsprechende Ausflussgeschwindig- 
keit mit #, den Abstand des Bodens von I von dem 
Flüssigkeitsspiegel in II mit Je, die Geschwindigkeit des 
Strahles in diesem Spiegel mit «0, die Fläche der Boden- 
öffnung mit a, die Schwerebeschleunigung mit g, das 
speeifische Gewicht der Flüssigkeit mit s. Um die Post 1 
zu bestimmen, bemerken wir, dass v der erlangten Fall- 
geschwindigkeit durch die Höhe h entspricht. Wir 
können uns einfach vorstellen, dass diese Fallbewegung 
auch noch durch h fortgesetzt wird. Die Fallzeit des 
Strahles von I nach II ist also die Fallzeit durch h -\- k 
weniger der Fallzeit durch A. Durch diese Zeit strömt 
ein Cylinder von der Basis a mit der Geschwindigkeit 
v aus. Die Post 1 oder das Gewicht des in der Luft 
hängenden Strahles beträgt demnach 

Zur Bestimmung der Post 2 verwenden wir die be- 
kannte Gleichung mv=pt. Setzen wir t = 1, so ist 
m v = p , d. h. der Keactionsdruck auf I nach oben 
ist gleich der in der Zeiteinheit dem Flüssigkeitsstrahl 
ertheilten Bewegungsgrösse. Wir wollen hier die Ge- 
wichtseinheit als Krafteinheit wählen, also das terrestri- 
sche Maasssystem benutzen. Wir erhalten für die Post 2 

den Ausdruck I a v — J v = p , wobei der geklammerte 

Ausdruck die in der Zeiteinheit austretende Masse be- 
deutet, oder 



aV2gh'j 




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306 Drittes Kapitel. 

In analoger Weise finden wir den Druck q auf II 
( a v — j w = q, oder Post 3 : 



a jV2ffh V2g(h+k). 
Die gesammte Druckveränderung ist nun: 

— 2ahs 

oder gekürzt: 

— 2as[yh(h + k) — ä]— 2ahs 

+ 2asVh(h + k) 
welche drei Posten sich vollständig heben, weshalb 
Galilei auch nothwendig ein negatives Resultat er- 
halten musste. 

In Bezug auf die Post 2 müssen wir noch eine kurze 
Bemerkung hinzufügen. Man könnte meinen, der Druck 
auf die Bodenöffnung, welcher ausfällt, sei ahs und 
nicht 2a hs. Allein diese statische Auffassung wäre 
in diesem dynami sehen Fall ganz unstatthaft. Die Ge- 
schwindigkeit v wird nicht augenblicklich durch die 
Schwere an den ausfliessenden Theilen erzeugt, sondern 
sie entspricht dem wechselseitigen Druck der ausfliessen- 
den und zurückbleibenden Theile, und der Druck kann 
nur aus der entwickelten Bewegungsgrösse bestimmt 
werden. Die fehlerhafte Einführung des Werthes ahs 
würde sich auch sofort durch Widersprüche verrathen. 

Hätte Galilei weniger elegant experimentirt, so würde 
er unschwer den Druck eines continuirlichen Flüssig- 
keitsstrahles bestimmt haben. Allein die Wirkung eines 
momentanen Stosses hätte er, wie ihm alsbald klar 
wurde, niemals durch einen Druck aufheben können. 
Denken wir uns mit Galilei einen schweren Körper frei 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 307 

fallend, so nimmt seine Endgeschwindigkeit proportio- 
nal der Fallzeit zu. Selbst die kleinste Geschwindig- 
keit bedarf einer gewissen Zeit zum Entstehen (ein Satz, 
der noch von Mariotte bestritten wurde). Stellen wir 
uns einen Körper mit einer vertical aufwärts gerichteten 
Geschwindigkeit behaftet vor, so steigt er nach Maassgabe 
dieser Geschwindigkeit eine gewisse Zeit und folglich 
auch eine gewisse Wegstrecke aufwärts. Der schwerste 
Körper, mit der kleinsten Geschwindigkeit vertical auf- 
wärts behaftet, steigt, wenn auch noch so wenig, der 
Schwere entgegen. Wenn also ein noch so schwerer 
Körper durch einen noch so kleinen bewegten Körper 
von beliebig geringer Geschwindigkeit einen momentanen 
Stoss aufwärts erhält, der ihm die kleinste Geschwindig- 
keit ertheilt, so wird er gleich wol nachgeben und sich 
etwas aufwärts bewegen. Der kleinste Stoss vermag 
also den grössten Druck zu überwinden, oder wie 
Galilei sagt, die Kraft des Stosses ist gegen die Kraft 
des Druckes unendlich gross. Dieses Resultat, welches 
zuweilen auf eine Unklarheit Galilei's bezogen wird, 
ist vielmehr ein glänzender Beweis seiner Verstandes- 
schärfe. Wir würden heute sagen, die Kraft des Stosses, 
das Moment, der Impuls, die Bewegungsgrösse mv 
ist eine Grösse von anderer Dimension als der Druck p. 
Die Dimension der erstem ist mÜ" 1 , jene der letztern 
m It ~ 2 . In der That verhält sich also der Druck zu 
dem Moment des Stosses, wie eine Linie zu einer 
Fläche. Der Druck ist p, das Stossmoment aber p t. 
Man kann ohne mathematische Terminologie kaum besser 
sprechen, als es Galilei gethan hat. Zugleich sehen 
wir jetzt, warum man den Stoss eines continuirlichen 
Flüssigkeitsstrahles wirklich durch einen Druck messen 
kann. Wir vergleichen eine per Secunde vernichtete 
Bewegungsgrösse mit einem per Secunde wirkenden 
Druck, also gleichartige Grössen von der Form p t. 
4. Die erste ausführlichere Behandlung der Stossge- 
setze wurde im Jahre 1668 durch die Königliche Gesell- 
schaft zu London angeregt. Drei hervorragende Physiker 

20* 



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308 Drittes Kapitel. 

Wallis (26. November 1668), Wren (17. December 1668), 
und Huyghens (4. Januar 1669) entsprachen dem Wunsche 
der Gesellschaft durch Vorlage von Arbeiten, in welchen 
sie in voneinander unabhängiger Weise (jedoch ohne 
Ableitungen) die Stossgesetze darlegten. Wallis behan- 
delte nur den Stoss unelastischer, Wren und Huyghens 
nur den Stoss elastischer Körper. Wren hat seine 
Sätze, welche im Wesen mit den Huyghens'schen über- 
einstimmen, vor der Veröffentlichung durch Versuche 
geprüft. Diese Versuche sind es, auf welche sich New- 
ton bei Aufstellung seiner Principien bezieht. Diesel- 
ben Versuche wurden auch bald darauf in erweiterter 
Form von Mariotte in einer besondern Schrift („Sur le 
choc des corps") beschrieben. Mariotte hat auch den 
Apparat angegeben, welcher noch gegenwärtig in den 
physikalischen Sammlungen unter dem Namen Stoss- 
m aschine geführt wird. 

Wallis geht von dem Grundsatze aus, dass das Mo- 
ment, das Product aus der Masse (Pondus) und der Ge- 
schwindigkeit (Celeritas), bei dem Stosse maassgebend 
sei. Durch dieses Moment wird die Kraft des Stosses be- 
stimmt. Stossen zwei (unelastische) Körper mit gleichen 
Momenten aufeinander, so besteht nach dem Stoss Ruhe. 
Bei ungleichen Momenten ergibt die Differenz der Mo- 
mente das Moment nach dem Stosse. Dividirt man 
dieses Moment durch die Summe der Massen, so erhält 
man die Geschwindigkeit der Bewegung nach dem Stosse. 
Wallis hat später seine Lehre vom Stosse in einer an- 
dern Schrift („Mechanica sive de motu", London 1671) 
vorgetragen. Sämmtliche Sätze lassen sich in die jetzt 

gebräuchliche Formel u = — -. — zusammenfassen, 

m -\- m 

in welcher wi, m' die Massen, v, v' deren Geschwindig- 
keiten vor dem Stosse und u die Geschwindigkeit nach 
dem Stosse bedeutet. 

5. Die Gedanken, welche Huyghens geleitet haben, 
ergeben sich aus dessen posthumer Schrift „De motu 
corporum ex percussione" (1703). Wir wollen dieselben 



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Die weitere Verwendung der Principien u. 8. w. 309 

etwas näher in Augenschein nehmen. Die Voraussetzungen, 
von welchen Huyghens ausgeht, sind 1) das Gesetz der 
Trägheit; 2) dass elastische Körper gleicher Masse, 
welche mit gleichen entgegengesetzten Geschwindigkeiten 
aufeinander treffen, mit eben denselben Geschwindig- 
keiten sich trennen; 3) dass alle Geschwindigkeiten nur 
relativ geschätzt werden; 4) dass ein grösserer Körper, 
der an einen kleinern ruhenden stösst, diesem etwas an 
Geschwindigkeit mittheilt und selbst etwas von der 
Beinigen verliert, und endlich 5) dass, wenn der eine 
von den stossenden Körpern seine Geschwindigkeit 
beibehält, dies auch bei dem andern stattfindet. 

Wir denken uns zunächst mit Huyghens zwei gleiche 
elastische Massen, welche mit gleichen entgegengesetz- 



m 

O 


m 
O 


V 


V 


Fij. 


158. 



\ o o ! /%> 



Fig. 159. 




Abbildung aus Huyghens, De percussione. 

ten Geschwindigkeiten v aufeinander treffen. Nach dem 
Stosse prallen sie mit ebendenselben Geschwindig- 
keiten voneinander ab. Huyghens hat recht, diesen 
Fall nicht abzuleiten, sondern vorauszusetzen. Dass 
es elastische Körper gibt, welche nach dem Stosse 
ihre Form wiederherstellen, dass hierbei keine merk- 



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310 Drittes Kapitel. 

liehe lebendige Kraft verloren geht, kann nur die 
Erfahrung lehren. Hüyghens denkt sich nun den 
eben beschriebenen Vorgang auf einem Kahn statt- 
findend, welcher sich selbst mit der Geschwindigkeit v 
bewegt. Für den Beobachter im Kahn besteht dann 
der vorige Fall fort, während für den Beobachter am 
Ufer die Geschwindigkeiten der Kugeln beziehungs- 
weise 2v und o vor dem Stosse, o und 2v nach dem 
Stosse werden. Ein elastischer Körper übertragt also, 
an einen andern ruhenden von gleicher Masse stossend, 
seine ganze Geschwindigkeit, und bleibt selbst nach dem 
Stosse in Ruhe. Gibt man dem Kahn die beliebige 
Geschwindigkeit u, so sind für den Beobachter am Ufer 
die Geschwindigkeiten vor dem Stosse beziehungsweise 
u + v und u — v, nach dem Stosse u — v und u + v. 
Da u + v und u — v ganz beliebige Werthe haben 
können, so lässt sich behaupten, dass gleiche elastische 
Massen im Stosse ihre Geschwindigkeiten tauschen. 
.. Der grösste ruhende Körper wird 

m jX. durch den kleinsten stossenden Kör- 

O ( ) per in Bewegung gesetzt, wie schon 

— *- \j^ Galilei ausgeführt hat. Hüyghens 

Fi ißo zeigt nun, dass die Annäherung vor 

dem Stosse und die Entfernung nach 
dem Stosse mit derselben relativen Geschwindigkeit 
stattfindet. Ein Körper m stösst an einen ruhenden von 
der Masse M, welchem er im Stosse die noch unbestimmte 
Geschwindigkeit w ertheilt. Hüyghens nimmt zum 
Nachweis des Satzes an, dass der Vorgang auf einem 
Kahn stattfindet, welcher sich mit der Geschwindigkeit 

w 

jr von M gegen m bewegt. Die Anfangsgeschwindig- 

w w 

keiten sind dann v — — und — —, die Endgeschwin- 
2 2 

w 
digkeiten x und + — . Da nun M den Werth seiner 
A 

Geschwindigkeit nicht geändert hat, sondern nur das 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 311 

Zeichen, so muss, wenn beim elastischen Stoss keine 

lebendige Kraft verloren geht, auch m nur das Zeichen 

der Geschwindigkeit ändern. Demnach sind die End- 

w w 

geschwindigkeiten — (i? — — ) und + — . In der That 

ist also die relative Annäherungsgeschwindigkeit vor 
dem Stosse gleich der relativen Trennungsgeschwindig- 
keit nach dem Stosse. Was immer für eine Geschwin- 
digkeitsänderung des einen Körpers stattfindet, stets 
wird man durch Fiction einer Schiffbewegung den 
Geschwindigkeitswerth vor und nach dem Stosse, vom 
Zeichen abgesehen, gleich halten können. Der Satz gilt 
also allgemein. 

Wenn zwei Massen M und m mit Geschwindigkeiten 
Fund v zusammenstossen, welche den Massen verkehrt 
proportionirt sind, so prallt M mit der Geschwin- 
digkeit Fund m mit v ab. Gesetzt es seien die Ge- 
schwindigkeiten nach dem Stosse V x und v x , so bleibt 
doch nach dem vorigen Satze V + v = V x -\-v x und 
nach dem Satz der lebendigen Kräfte 

2 + 2 ~ 2 + 2 * 

Nehmen wir nun v x =v-\-w, so ist notnwendig 
V x = V — w , dann wird aber die Summe 

MV.* , wti« M F 2 , mv* , „_ , s w* 

~r-+ -V" = ~~2- + t" + (M+m) t- 

Die Gleichheit kann nur hergestellt werden, wenn 
w = o gesetzt wird, womit der erwähnte Satz begründet 
ist. Huyghens weist dies nach durch constructive Ver- 
gleichung der möglichen Steighöhen der Körper vor 
und nach dem Stosse. Sind die Stossgeschwindigkeiten 
nicht den Massen verkehrt proportional, so kann dieses 
Yerhältniss durch Fiction einer passenden Kahnbewegung 



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812 Drittes Kapitel. 

hergestellt werden, und der Satz schliesst demnach 
jeden beliebigen Fall ein. 

Die Erhaltung der lebendigen Kraft beim Stoss spricht 
Huyghens in einem der letzten Sätze (11) aus, welchen 
er auch nachträglich der londoner Gesellschaft einge- 
sandt hat, obwol der Satz unverkennbar schon den 
frühern Sätzen zu Grunde liegt. 

6. Wenn man an das Studium eines Vorganges A 
kommt, so kann man entweder die Elemente desselben 
schon von einem andern Vorgang B her kennen; dann 
erscheint das Studium von A als eine Anwendung schon 
bekannter Principien. Man kann aber auch mit A die 
Untersuchung beginnen, und dieselben Principien, da 
ja die Natur durchaus gleichförmig ist, an dem Vor- 
gang A erst gewinnen. Da die Stossvorgänge gleich- 
zeitig mit andern mechanischen Vorgängen untersucht 
worden sind, so haben in der That beide Erkenntniss- 
wege sich dargeboten. 

Zunächst können wir uns überzeugen, dass man die 
Stossvorgänge mit Hülfe der Newton'schen Principien, 
zu deren Auffindung zwar das Studium des Stosses bei- 
getragen hat, die aber nicht auf dieser Grundlage allein 
stehen, und mit Hülfe eines Minimums von neuen 
Erfahrungen erledigen kann. Die neuen Erfahrungen, 
welche ausserhalb der Newton'schen Principien stehen, 
lehren nur, dass es unelastische und elastische Kör- 
per gibt. Die unelastischen Körper ändern durch Druck 
ihre Form , ohne dieselbe wiederherzustellen ; bei den 
elastischen Körpern entspricht einer Körperform 
immer ein bestimmtes Drucksystem, so zwar, dass jede 
Formveränderung mit einer Druckänderung verbunden ist 
und umgekehrt. Die elastischen Körper stellen ihre 
Form wieder her. Die formändernden Kräfte der Kör- 
per werden erst bei Berührung derselben wirksam. 

Betrachten wir zwei unelastische Massen M und tw, 
die sich beziehungsweise mit den Geschwindigkeitzn V 
und v bewegen. Berühren sie sich mit diesen ungleichen 
Geschwindigkeiten, so treten in dem System M, m die 



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Die weitere Verwendung der Principien u. 8. w. 313 

innern formändernden Kräfte auf. Diese Kräfte än- 
dern die Bewegungsquantität nicht, sie verschieben auch 
den Schwerpunkt des Systems nicht. Mit der Herstellung 
gleicher Geschwindigkeiten hören die Formänderungen 
auf, und es erlöschen bei unelastischen Körpern 
die formändernden Kräfte. Hieraus folgt für die ge- 
meinsame Bewegungsgeschwindigkeit u nach dem Stosse 

«. , ,, ~ . , MV+mv ,. 

M u -t-mu = MV-\-mv oder t* = — ^r-f , die 

M -\- m 

Regel von Wallis. 

Nun nehmen wir an, wir beobachten die Stossvorgänge, 
ohne noch die Newton'schen Principien zu kennen. Wir 
bemerken sehr bald, dass beim Stoss nicht nur die Ge- 
schwindigkeit, sondern noch ein a n d e r e s Körpermerk- 
mal (das Gewicht, die Last, die Masse, 
pondus, moles, massa) maassgebend ist. * ^J_ 

Sobald wir das merken, wird es leicht, ^\ f~\ 

den ftinfn.nfiBf.An Fall zn Arlprlicrpn Wpnn ^—^ ^"^"^ 



den einfachsten Fall zu erledigen. Wenn 

. — _ - _. . _ ^ 

Fig. 161. 



zwei Körper gleichen Gewichtes oder m 



gleicher Masse mit gleichen entgegenge- 
setzten Geschwindigkeiten zusammentreffen, wenn die- 
selben ferner nach dem Stosse sich nicht mehr trennen, 
sondern eine gemeinsame Geschwindigkeit erhalten, so 
ist die einzige eindeutig bestimmte Geschwindigkeit 
nach dem Stosse die Geschwindigkeit o. Bemerken wir, 
dass nur die Geschwindigkeitsdifferenz, also nur die 
Relativgeschwindigkeit den Stossvorgang bedingt, so 
erkennen wir durch eine fingirte Bewegung der Um- 
gebung, welche nach unserer Erfahrung auf die Sache 
keinen Einfluss hat, sehr leicht noch andere Fälle. 
Für gleiche unelastische Massen mit der Geschwindig- 
keit v und o, oder v und v', wird die Geschwindigkeit 

nach dem Stosse ^ oder — — — . Natürlich können wir 
2 2 

aber diese Ueberlegung nur anstellen, wenn uns die Er- 
fahrung gelehrt hat, worauf es ankommt. 

Wollen wir zu ungleichen Massen übergehen, so 



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314 



Drittes Kapitel. 



müssen wir aus der Erfahrung nicht nur wissen, dass 
die Masse überhaupt von Belang ist, sondern auch in 
welcher Weise sie Einfluss hat. Stossen z. B. zwei 
Körper von den Massen 1 und 3 mit den Geschwindig- 
keiten v und V zusammen, so könnte man etwa folgende 
Ueberlegung anstellen. Wir schneiden aus der Masse 3 
die Masse 1 heraus, und lassen zuerst die Massen 1 
und 1 zusammenstossen; die resultirende Geschwindig- 



keit ist 



v + V 



und 2 die Geschwindigkeiten 



Nun haben noch die Massen 1 + 1 = 2 
v+V 



und V auszu- 



gleichen, was nach demselben Princip ergibt 

""" ' » + 37 v + 3V 



+ V 



2 4 1 +3 * 

Betrachten wir allgemeiner die Massen m und m', 



ö 




v< 



]}v 



m 



TF 



Fig. 162. Fig. 163. 

die wir Fig. 1 63 als horizontale denselben proportionale 
Linien darstellen, mit den Geschwindigkeiten v und v\ 
die wir als Ordinaten zu den zugehörigen Massentheilen 
auftragen. Wenn m < m\ so schneiden wir von m 1 zu- 
nächst ein Stück m ab. Der Ausgleich zwischen m 
und m gibt die Masse 2 m mit der Geschwindigkeit 

v + v 1 

— - — . Die punktirte Linie deutet dieses Verhältniss 

an. Mit dem Rest m' — m verfahren wir ähnlich, 
wir schneiden von 2 m wieder ein Stück m — m' ab, 
nun erhalten wir die Masse 2 m — (m — m') mit 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 315 

der Geschwindigkeit — -^ — und 2 (m — m') mit der 

v + v' , 

~ 2^ + t? • 
Geschwindigkeit . In dieser Art können 

wir fortfahren, bis wir die für die ganze Masse m + m' 
dieselbe Geschwindigkeit u erhalten haben. Das con- 
structive in der Figur dargestellte Verfahren zeigt sehr 
deutlich, dass hierbei die Flächengleichung besteht 
(m -f- m') • u = mv -f- m'v 1 '. Unschwer erkennen wir 
aber, dass wir die ganze Ueberlegung nur anstellen 
können, wenn uns schon durch irgendwelche Er- 
fahrungen die Summe mv-\-m'v\ also die Form des 
Einflusses von m und v, als maassgebend nahe gelegt 
worden ist. Sieht man von den Newton'schen Principien 
ab, so sind eben andere specifische Erfahrungen über 
die Bedeutung von Mit?, welche jene Principien als 
gleichwertig ersetzen, nicht zu entbehren. 

7. Auch der Stoss elastischer Massen kann nach den 
Newton'schen Principien erledigt werden. Man braucht 
nur zu bemerken, dass der Formänderung der elas- 
tischen Körper formherstellende Kräfte entspringen 
welche an die Formänderung genau gebunden sind. Auch 
bei der Berührung von Körpern ungleicher Geschwindig- 
keit entstehen geschwindigkeitsausgleichende Kräfte, wo- 
rauf die sogenannte Undurchdringlichkeit beruht. Treffen 
sich zwei elastische Massen M, m mit den Geschwin- 
digkeiten 0, c, so tritt eine Formänderung ein, die 
erst beendigt ist, wenn die Geschwindigkeiten gleich 
geworden sind. In diesem Augenblick ist die gemein- 
same Geschwindigkeit, weil wir mit innern Kräften zu 
thun haben, also die Bewegungsquantität erhalten bleibt, 
und die Schwerpunktsbewegung nicht geändert wird 
_ MC + mc 
U ~~ M + m ' 

Elastische Körper stellen ihre Form wieder her, und 
bei vollkommen elastischen Körpern treten dieselben 



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316 Drittes Kapitel 

Kräfte (durch dieselben Zeit- und Wegelemente) nur in 
umgekehrter Folge nochmals in Wirksamkeit. Deshalb 
erleidet (wenn etwa m von M eingeholt wurde) M noch- 
mals den Geschwindigkeitsverlust C — u, und m noch- 
mals den Geschwindigkeitsgewinn u — c. Darnach er- 
halten wir für die Geschwindigkeiten V, v nach dem 
Stosse die Ausdrücke V = 2u — G und v = 2u — c, oder 

_ MC+m(2c— C) mc + M(2C—c) 

V = , v =s ■ --. 

M+m ' M + m 

Setzen wir in diesen Formeln M = tn % so folgt V = c 

und v = 0, also bei gleichen Massen Austausch der 

M c 

Geschwindigkeiten. Da für den Specialfall — = — -^ 

m G 

oder M G + w c = o auch a = o ist, so folgt V== 
2« — C = — C und t> = 2 u — c = — c, d. h. in diesem 
Fall prallen die Massen mit denselben (nur entgegen- 
gesetzt gerichteten) Geschwindigkeiten ab, mit welchen 
sie einander entgegenkommen. Die Annäherung zweier 
Massen M, m mit den Geschwindigkeiten 0, c, welche in 
derselben Richtung positiv gezählt werden, findet mit 
der Geschwindigkeit C — c statt, die Entfernung mit 
V — v. Es ergibt sich nun aus F=2# — 0, v = 2u — c 
sofort V — 1> = — (0 — c), also die Relativgeschwin- 
digkeit für die Annäherung und Entfernung gleich. 
Durch Verwendung der Ausdrücke V = 2 u — C und 
v = 2u — c findet man auch sehr leicht die beiden Sätze 
MV+mv = MC + mc und 
M F 2 + m v 2 = itf C 2 + m c *, 

also die Bewegungsquantität' vor und nach dem Stosse 
(in derselben Richtung geschätzt) bleibt gleich, und die 
Summe der lebendigen Kräfte vor und nach dem Stosse 
bleibt ebenfalls gle i eh. Somit sind sämmtliche Huyghens'- 
sche Sätze vom Newton'schen Standpunkte aus gewonnen. 
8. Betrachten wir die Stossgesetze vom Huyghens'- 
schen Standpunkte aus, so haben wir zunächst Folgen- 
des zu überlegen. Die Steighöhe des Schwerpunktes, 



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Die weitere Verwendung der Prinoipien u. 8. w. 317 

welche ein System von Massen erreichen kann, ist durch 
die lebendige Kraft \ 2 f» v 2 gegeben. Immer, wenn eine 
Arbeit geleistet wird, indem die Massen den Kräften 
folgen, wird diese Summe um einen der geleisteten Ar- 
beit gleichen Betrag vermehrt. Dagegen findet immer, 
wenn das System sich den Kräften entgegen bewegt, 
wenn dasselbe, wie wir kurz sagen wollen, eine Arbeit 
erleidet, eine Verminderung dieser Summe um den 
Betrag der erlittenen Arbeit statt. Solange sich also 
die algebraische Summe der erlittenen und geleisteten 
Arbeiten nicht ändert, es mögen sonst beliebige Ver- 
änderungen vorgehen, bleibt die Summe J2w« 2 eben- 
falls unverändert. Indem nun Huyghens diese bei sei- 
ner Pendeluntersuchung gefundene Eigenschaft der 
Körpersysteme auch beim Stoss als bestehend ansah, 
musste er sofort bemerken, dass die Summe der lebendigen 
Kräfte vor Beginn und nach Beendigung des Stosses die- 
selbe sei. Denn bei der gegenseitigen Formänderung der 
Körper erleidet das Körpersystem dieselbe Arbeit, die 
es, wenn die Formänderung rückgängig wird, leistet, 
wenn nur die Körper Kräfte entwickeln, welche durch 
deren Form vollkommen bestimmt sind, wenn sie mit 
denselben Kräften ihre Form herstellen, welche bei der 
Formänderung aufgewandt wurden. Dass letzteres 
stattfindet, kann nur eine Specialer fahrung lehren. Es 
besteht dies^ Gesetz auch nur für die sogenannten voll- 
kommen elastischen Körper. 

Von diesem Gesichtspunkte aus ergeben sich die meisten 
Huyghens'schen Stossgesetze sofort. Gleiche Massen, 
welche mit gleichen entgegengesetzten Geschwindigkeiten 
aufeinander treffen, prallen mit denselben Geschwindig- 
keiten ab. Die Geschwindigkeiten sind nur dann ein- 
deutig bestimmt, wenn sie gleich sind, und sie ent- 
sprechen dem Satz der lebendigen Kräfte nur, wenn sie 
vor und nach dem Stosse dieselben sind. Ferner 
ist klar, dass wenn die eine der beiden ungleichen 
Massen beim Stoss nur das Zeichen und nicht die 
Grösse der Geschwindigkeit ändert, dies auch bei der 



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318 Drittes Kapitel. 

andern Masse zutrifft. Dann ist aber die relative Ent- 
fernungsgeschwindigkeit nach dem Stosse gleich der An- 
näherungsgeschwindigkeit vor dem Stosse. Jeder be- 
liebige Fall kann auf diesen zurückgeführt werden. Es 
seien c und c' die der Grösse und dem Zeichen nach 
beliebigen Geschwindigkeiten der Masse m vor und 
nach dem Stosse. Wir nehmen an, das ganze System 
erhalte eine Geschwindigkeit u von der Grösse, dass 

c c ' 

U -f- c = — (u + c') oder u = — . Man kann also 

eine solche Transportgeschwindigkeit des Systems immer 
finden, durch welche die Geschwindigkeit der ein en Masse 
nur ihr Zeichen wechselt, und somit gilt der Satz be- 
züglich der Annäherungs- und Entfernungsgeschwindig- 
keiten allgemein. 

Da Huyghens' eigen thümlicher Gedankenkreis nicht 
ganz abgeschlossen ist, so wird er dazu gedrängt, wo die 
Geschwindigkeitsverhältnisse der stossenden Massen 
nicht von vornherein bekannt sind, gewisse Anschauun- 
gen dem Galilei-Newton'schen Gedankenkreise zu ent- 
lehnen, wie dies schon früher angedeutet wurde. Eine 
solche Entlehnung der Begriffe Masse und Bewegungs- 
quantität liegt, wenn auch nicht offen ausgesprochen, in 
dem Satze, nach welchem die Geschwindigkeit jeder 
stossenden Masse nur das Zeichen wechselt, wenn vor 

M c ' 

dem Stosse — = -^ . Sich auf seinen ei&enthüm- 

m C 

liehen Standpunkt beschränkend, würde Huyghens kaum 
den einfachen Satz gefunden haben, wenngleich er den 
gefundenen in seiner Weise abzuleiten vermochte. In 
diesem Fall ist zunächst , wegen der gleichen und ent- 
gegengesetzten Bewegungsquantitäten, die Ausgleichs- 
geschwindigkeit nach vollendeter Formänderung u = o. 
Wird die Formänderung rückgängig, und dieselbe Ar- 
beit geleistet, welche das System zuvor erlitten hat, so 
werden dieselben Geschwindigkeiten mit verkehrtem 
Zeichen wiederhergestellt. 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 319 



Dieser Specialfall stellt zugleich den allgemeinen 
dar, wenn man sich das ganze System noch mit einer 
Transport geschwindigkeit behaftet denkt. Die stossen- 
den Massen seien in der Figur durch M = B G und m = A Cj 
die zugehörigen Geschwindigkeiten durch G = AD und 
c = BE dargestellt. Wir ziehen das Perpendikel GF 
auf AB, und durch F zu A B die Parallele IK. Dann 



ist ID = 



m(G—c) 



KE = 



M(G—c) 



Lässt man 



M + m ' ^ + «» 

also die Massen Jf und m mit den Geschwindigkeiten 
JD und KE gegeneinanderstossen, während man dem* 
ganzen System zugleich die Geschwindigkeit 

M+m °'*~ M+m 



u = AI=KB = C- 



MG+mc 



ertheilt, so sieht der 




M + m 
mit der Geschwindigkeit!* fort- 
schreitende Beobachter den 
Specialfall, der ruhende 
Beobachterden allgemeinen 
Fall mit beliebigen Geschwin- 
digkeiten vorgehen. Die oben 
abgeleiteten allgemeinen Stoss- 
formeln ergeben sich aus die- 
ser Anschauung sofort. Wir finden 

M + m M+.m 

M+m M+m 

Der erfolgreichen Huyghens' sehen Methode der fingir- 
ten Bewegungen liegt die einfache Bemerkung zu 
Grunde, dass Körper ohne Geschwindigkeitsdifferenz 
durch Stoss nicht aufeinander wirken. Alle Stosskräfte 
sind durch Geschwindigkeitsdifferenzen bedingt (sowie 
alle Wärmewirkungen durch Temperaturdifferenzen). Da 



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320 Drittes Kapitel. 

nun alle Kräfte nicht Geschwindigkeiten, sondern nur 
Geschwindigkeitsänderungen, also wieder nur Geschwin- 
digkeitsdifferenzen bestimmen, so kommt es also beim 
Stoss immer nur auf Geschwindigkeitsdifferenzen an. 
Gegen welche Körper man die Geschwindigkeiten schätzt, 
ist gleichgültig. Thatsächlich stellen sich viele Stoss- 
falle, welche uns bei Mangel an Uebung als verschiedene 
Fälle erscheinen, bei genauer Untersuchung als ein 
Fall dar. 

Auch die Wirkungsfähigkeit eines bewegten Körpers, 
ob man dieselbe nun (mit Rücksicht auf die Wirkungs- 
zeit) durch die BewegungsgrÖsse oder (mit Rücksicht 
auf den Wirkungsweg) durch die lebendige Kraft misst, 
hat gar keinen Sinn in Bezug auf einen Körper allein. 
Sie erhält diesen Sinn erst, sobald ein zweiter Körper 
hinzukommt, und dann wird in dem einen Fall die 
Geschwindigkeitsdifferenz , im andern das Quadrat der 
Geschwindigkeitsdifferenz maassgebend. Die Geschwin- 
digkeit stellt einen physikalischen Niveauwerth vor, 
wie die Temperatur, die Potentialfunction u. s. w. 

Es kann nicht unbemerkt bleiben, dass Huyghens 
auch an den Stossvorgängen zuerst dieselben Erfahrungen 
hätte machen können, zu welchen ihm seine Pendel- 
untersuchungen Gelegenheit geboten haben. Es handelt 
sich immer nur darum, in allen Thatsachen die- 
selben Elemente zu erkennen, oder, wenn man 
will, in einer Thatsache die Elemente einer andern 
schon bekannten wiederzufinden. Von welchen That- 
sachen man aber ausgeht, hängt von historischen Zu- 
fälligkeiten ab. 

9. Beschliessen wir diese Betrachtung noch mit einigen 
allgemeinern Bemerkungen. Die Summe der Bewegungs- 
quantitäten erhält sich im Stosse und zwar sowol beim 
Stosse unelastischer als auch bei jenem elastischer 
Körper. Diese Erhaltung findet aber nicht ganz im 
Sinne Descartes' statt, die Bewegungsquantität eines 
Körpers wird nicht in dem Maasse vermindert, als jene 
eines andern vermehrt wird, wie Huyghens zuerst be- 



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Die weitere Verwendung der Principien u. 8. w. 321 

merkt hat. Stossen z. B. zwei gleiche unelastische 
Massen mit gleichen entgegengesetzten Geschwindig- 
keiten zusammen, so verlieren beide ihre gesummte 
Bewegungsquantität im Descartes'schen Sinne. Dagegen 
bleibt die Summe der Bewegungsquantitäten erhalten, 
wenn man alle Geschwindigkeiten nach ein er Richtung 
positiv, alle nach der entgegengesetzten negativ rechnet. 
Die Bewegungsquantität, in diesem Sinne verstanden, 
bleibt in allen Fällen erhalten. 

Die Summe der lebendigen Kräfte verändert «ich im 
Stosse unelastischer Massen, sie bleibt jedoch erhalten 
beim Stoss vollkommen elastischer Massen. Die Ver- 
minderung der lebendigen Kräfte, welche beim Stoss 
unelastischer Massen oder überhaupt dann eintritt, 
wenn sich die stossenden Körper nach dem Stosse mit 
gemeinschaftlicher Geschwindigkeit bewegen, läset sich 
leicht bestimmen. Es seien M, m die Massen, 0, c die 
zugehörigen Geschwindigkeiten vor dem Stoss, u die 
gemeinschaftliche Geschwindigkeit nach dem Stosse, so 
ist der Verlust an lebendiger Kraft 

bMC*+ Imc* — i(M+m)u 2 , . . 1) 

welcher sich mit Rticksioht darauf, dass u = ,^.. 

ist, auf die Form , ■ ■ - (0 — c) 2 bringen lässt. Car- 

not hat diesen Verlust in der Form 

£Jf(C — uy + \m(u— c)* .... 2) 

dargestellt. Wählt man diese letztere Form, so er- 
kennt man in £ M (C — w) 3 und £ m (u — c) 2 die durch 
die Arbeit der innern Kräfte erzeugten lebendigen 
Kräfte. Der Verlust an lebendiger Kraft beim Stoss 
entspricht also der Arbeit der innern (sogenannten 
Molecular-) Kräfte. Wenn man die beiden Verlustaus- 
drücke 1 und 2 einander gleichsetzt, und berücksichtigt, 
dass (M 4-w)w = JfC+iwc, so erhält man eine iden- 
Mach. 21 



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322 Drittes Kapitel. 

tische Gleichung. Der Carnot'sche Ausdruck ist wich- 
tig zur Beurtheilung der Verluste beim Stoss von 
Maschinentheilen. 

In allen unsern Beobachtungen haben wir die stossen- 
den Massen als Punkte behandelt, die sich nur nach 
der Richtung ihrer Verbindungslinie bewegten. Diese 
Vereinfachung ist zulässig, wenn die Schwerpunkte und 
der Berührungspunkt der stossenden Massen in einer 
Geraden liegen, beim sogenannten centralen Stoss. Die 
Untersuchung des sogenannten excentrischen Stosses 
ist etwas complicirter, bietet aber kein besonderes prin- 
cipielles Interesse. Schon von Wallis wurde noch eine 
Frage anderer Art behandelt. Wenn ein Körper um eine 
Axe rotirt, und dessen Bewegung durch Anhalten eines 
Punktes plötzlich gehemmt wird, so ist die Stärke des 
Stosses je nach der Lage (dem Axenabstand) dieses Punk- 
tes verschieden. Derjenige Punkt, in welchem die Stärke 
des Stosses ein Maximum ist, wird von Wallis Mittel- 
punktdesStosses genannt. Hemmt man diesen Punkt, 
so erfahrt hierbei die Axe keinen Druck. Auf diese 
von Wallis' Zeitgenossen und Nachfolgern vielfach 
weiter geführten Untersuchungen hier näher einzugehen, 
haben wir keinen Anlass. 

10. Wir wollen nun noch eine in- 
teressante Anwendung der Stossge- 
setze kurz betrachten, die Bestimmung 
der Projectilgeschwindigkeiten durch 
das ballistische Pendel. Eine Masse M 
V\y % rh— ■ -^^ sei an einem gewichts- und masselosen 
y»^ Faden als Pendel aufgehängt. In ihrer 

yV Gleichgewichtslage erhalte sie plötz- 

Ftg. 165. Yic\i die Horizontalgeschwindigkeit V. 

Sie steigt mit derselben zur Höhe h = l (1 — cos a) = 

— — auf, wobei l die Pendellänge, a den Ausschlags- 
winkel, g die Schwerebeschleunigung bedeutet. Da 
zwischen der Schwingungsdauer T, und den Grössen l, g 




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Die weitere Verwendung der Principien u. a. w. 323 

die Beziehung besteht T = 7U \J _ , so erhalten wir leicht 

V 9 

gT A l 

V= y 2(1 — cosa) u ^d mit Benutzung einer 

bekannten goniometrischen Formel 
V = — g T sin * 

7U m 

Wenn nun die Geschwindigkeit V durch ein Projectil 
von der Masse m entsteht, welches mit der Geschwin- 
digkeit v angeflogen kommt, und in M stecken bleibt, so 
dass, ob nun der Stoss ein elastischer oder unelastischer 
ist, die Geschwindigkeit jedenfalls nach dem Stosse 
eine gemeinsame V wird, so folgt mv = (M-{-m) V, 

M 
oder wenn m gegen M klein genug ist v = — V, also 

schliesslich 

v = — — g Tsm — -. 
tz m 2 

Wenn wir das ballistische Pendel nicht als ein ein- 
faches Pendel ansehen dürfen, so gestaltet sich die 
Ueberlegung nach den bereits mehrfach angewandten 
Principien in folgender Weise. Das Projectil m mit 
der Geschwindigkeit v hat die Bewegungsgrösse m v, 
welche durch den Druck p beim Stosse in einer sehr 
kurzen Zeit t auf m V vermindert wird. Hierbei ist 
also m(v — V) =p - t oder, wenn V gegen v sehr 
klein ist, geradezu mv •=•]) • t. Von der Annahme be- 
sonderer Momentankräfte, welche plötzlich gewisse 
Geschwindigkeiten erzeugen, sehen wir mit Poncelet ab. 
Es gibt keine Momentankräfte. Was man so genannt 
hat, sind sehr grosse Kräfte, welche in sehr kurzer 
Zeit merkliche Geschwindigkeiten erzeugen, die sich aber 
sonst in keiner Weise von stetig wirkenden Kräften 
unterscheiden. Kann man die beim Stosse wirksame 

21* 



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324 Drittes Kapitel. 

Kraft nicht durch ihre ganze Wirkungsdauer als con- 
stant ansehen, so hat nur an die Stelle des Ausdruckes 

p x der Ausdruck I p dt zu treten. Im übrigen bleibt 

die Ueberlegung dieselbe. 

Die gleiche Kraft, -welche die Bewegungsgrösse des 
Projectils vernichtet, wirkt als Gegenkraft auf das Pen- 
del. Nehmen wir die Schusslinie (also auch die Kraft) 
senkrecht gegen die Pendelaxe und in dem Abstände b 
von derselben an, so ist das Moment dieser Kraft bp, 

b • p 
die erzeugte Winkelbeschleunigung = g, und die in 

der Zeit x hervorgebrachte Winkelgeschwindigkeit 
b * p t bmv 

Die lebendige Kraft, welche das Pendel nach Ablauf 
der Zeit T erlangt hat, ist demnach 

zt a 2 m r 2 

Vermöge dieser lebendigen Kraft führt das Pendel 
den Ausschlag a aus, wobei dessen Gewicht Mg, weil 
der Schwerpunkt den Abstand a von der Axe hat, 
um a (1 — cos a) erhoben, und dabei die Arbeit 
M g a ( 1 — cos a) geleistet wird , welche Arbeit der 
erwähnten lebendigen Kraft gleich ist. Durch Gleich- 
setzung beider Ausdrücke folgt leicht 

VI rt • fr ■ T i 
_ 2 Mg o2fflf 2 (l — cos «) 

mb 

tt&d mit Rücksicht auf die Schwingungsdauer 



r=* y. 



2wr 2 
Mga 



und die bereits angewandte goniometrische Reduction 
2 M a m . ol 
V= T9 T • *™ tz- 
tz m b 2 



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Die weitere Verwendung der Frincipien u. 8. w. 325 

Di» Formel ist derjenigen für den einfachem Fall 
vollkommen analog. Die Beobachtungen, welche man 
zur Bestimmung von v auszuführen hat, beziehen sich 
auf die Masse des Pendels und des Projectils, die Ab- 
stände des Schwerpunktes und Treffpunktes von der 
Axe, die Schwingungsdauer und den Ausschlag des 
Pendels. Die Formel lässt auch sofort die Dimension 

2 

der Geschwindigkeit, erkennen. Die Ausdrücke — und 

sin rr sind blosse Zahlen, ebenso sind -^, ■=-, worin 
2 m o 

Zähler und Nenner in Einheiten derselben Art gemessen 
werden, Zahlen. Der Factor g T aber hat die Dimen- 
sion Zf"" 1 , ist also eine Geschwindigkeit. Das balli- 
stische Pendel ist von Robins erfunden und in seiner 
Schrift „New Principles of Gunnery" (1742) beschrieben 
worden. 



5. Der D'AJembert'sche Sat*. 

1. Einer der wichtigsten Sätze zur raschen und be- 
quemen Lösung der häufiger vorkommenden Aufgaben 
der Mechanik ist der Satz von D'Alembert. Die Unter- 
suchungen über den Schwingungsmittelpunkt, mit welchen 
sich fast alle bedeutenden Zeitgenossen und Nachfolger 
von Huyghens' beschäftigt haben, führten zu den ein- 
fachen Bemerkungen, die schliesslich D'Alembert ver- 
allgemeinernd in seinen Satz zusammenfasste. Wir wollen 
zunächst auf diese Vorarbeiten einen Blick werfen. 
Sie wurden fast sämmtlich durch den Wunsch hervor- 
gerufen, die Huyghens'sche Ableitung, welche nicht ein- 
leuchtend genug schien, durch eine überzeugendere 
zu ersetzen. Obgleich nun dieser Wunsch, wie wir gesehen 
haben, auf einem durch die historischen Umstände be- 
dingten Misvertändniss beruhte, so haben wir doch 



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326 Drittes Kapitel 

das Ergebniss desselben, die neuen gewonnenen Ge- 
sichtspunkte, natürlich nicht zu bedauern. 

2. Der bedeutendste nach Huyghens unter den Be- 
gründern der Theorie des Schwingungsmittelpunktes ist 
Jakob Bernoulli, welcher schon 1686 das zusammenge- 
setzte Pendel durch den Hebel zu erläutern suchte. Er 
kam jedoch zu Unklarheiten und Widersprüchen mit 
den Huyghens'schen Anschauungen, auf welche („Jour- 
nal de Rotterdam", 1 690) L'Hospital aufmerksam machte. 
Die Schwierigkeiten klärten sich auf, als man anfing, statt 
der in endlichen Zeiten, die in unendlich klei- 
nen Zeittheilchen erlangten Geschwindigkeiten zu be- 
trachten. Jakob Bernoulli verbesserte 1691 in den 
„Actis eruditorum" und 1703 in den Abhandlungen 
der pariser Akademie seinen Fehler. Wir wollen das 
Wesentliche seiner spätem Ableitung hier wiedergeben. 
Wir betrachten mit Bernoulli eine horizontale um A 
drehbare masselose Stange A JB, welche mit den Massen 
w, m' in den Abständen r, r' von A verbunden ist. 
Die Massen bewegen sich in 
ihrer Verbindung mit andern 
Beschleunigungen als jener des 
freien Falles, welche sie sofort 
Fig. 166. annehmen würden, wenn man 

die Verbindungen lösen würde. 
Nur jener Punkt in dem noch unbekannten Abstände x 
von A, welchen wir den Schwingungsmittelpunkt nennen, 
bewegt sich in der Verbindung mit derselben Beschleu- 
nigung, die er auch für sich allein hätte, mit der Be- 
schleunigung g. 

9 r 
Würde sich m mit der Beschleunigung q> = — 

gr* 

und m mit der Beschleunigung o = 

x 

bewegen, d. h. wären die natürlichen Beschleunigungen 
den Abständen von A proportional, so würden die 




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Die weitere Verwendung der Principien u. 8. w. 327 

Massen durch ihre Verbindungen einander nicht hin- 
dern. Thatsächlich erleidet aber durch die Verbindung 

m den Beschleunigungsverlust g — 9, 

m' den Beschleunigungsgewinn 9' — g 

f x r ) 

also ersteres den Kraftverlust* m (g — 9) = g m 

u' x \ 

und letztes den Kraftgewinn m(o' — g)=g w! . 

x 

Da nun die Massen ihre Wechselwirkung nur durch 
die Hebel verbindung ausüben, so müssen jener Kraft- 
verlust und dieser Kraftgewinn das Hebelgesetz er- 
füllen. Wird m durch die Hebelverbindung mit der 
Kraft / von der Bewegung zurückgehalten, die bei voll- 
kommener Freiheit eintreten würde, so übt m densel- 
ben Zug/ an dem Hebelarm r als Gegenzug aus. Dieser 
Gegenzug allein ist es, welcher sich auf m' übertragen 

kann, daselbst durch einen Druck/' = ~jf im Gleich- 
gewicht gehalten werden kann, und diesem daher gleich- 
wertig ist. Es besteht also nach dem Obigen die Be- 

ziehung , OlzzfO m , = JL ., £=!) m oder 

X Y X 

(x — r)mr = (r ; — x) m' r' woraus wir erhalten 

x = : r—r ganz wie es Huyghens gefunden hat. 

m r+ m r 

Die Verallgemeinerung der Betrachtung für eine belie- 
bige Anzahl von Massen, welche auch nicht in einer 
Geraden zu liegen brauchen, liegt auf der Hand. 

3. Johann Bernoulli hat sich 1712 in anderer Weise 
mit dem Problem des Schwingungsmittelpunktes be- 
schäftigt. Seine Arbeiten sind am bequemsten in seinen 
gesammelten Werken (Opera, Lausannae et Genevae 
1762, Bd. 2 und 4) nachzuschlagen. Wir wollen auf die 



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328 Drittes Kapitel 

eigentümlichsten Gedanken des genannten Physikers 
hier eingehen. Bernoulli kommt zum Ziel,, indem er die 
Massen und Kräfte in Gedanken voneinander trennt. 
Betrachten wir erstens zwei einfache Pendel von den 
verschiedenen Langen Z, l\ deren Pendelkörper aher 
den Pendellängen proportionale Schwerebeschleunigungen 

ff, g 1 erfahren, d. h. setzen wir -^ = -^-j-, so folgt, weil 

* ff 

die Schwingungsdauer T=7C y _, für beide Pendel 

Y 9' 
dieselbe Schwingimgsdaner. Verdoppelung der Pendel- 
länger mit gleichzeitiger Verdoppelung der Sqhwere- 
beschleunigung ändert also die Schwingungsdauer nicht. 
Die Schwerelwscbleuöigung können wir an 
* mf demselben Orte der Erde nicht direct variiren, doch 
können wir zweitens Anordnungen ersinnen, 
welche einer Variation der Schwerebeschleunigung 
entsprechen. Denken wir uns z. B. eine gerade 
masselQse Stange von der Länge 2 a um den 
m Mittelpunkt drehbar, und bringen wir an dem 
einen Ende die Masse m, an dem andern die 
Fig. ißt. Masse m! an , so ist m -f- w! die Gesammtmasse 
in dem Abstand a vom Drehpunkt, (m — wi')ff aber 

die Kraft, demnach ■ 7-0 die Beschleunigung an 

1» + m 

diesem Pendel. Um nun die Länge des Pendels (mit 

der gewöhnlichen Schwerebeschleunigung g) zu finden, 

welches mit dem vorgelegten Pendel von der Länge a 

isochron ist, setzen wir den vorigen Satz verwendend 



m -f m! g 

Wir denken uns drittens ein einfaches Pendel von 
der Länge 1 mit der Masse w am Ende. Das Gewicht 
von m entspricht an dem Pendel von der doppelten 



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Die weitere Verwendung der Prineipien u. e. w. 329 

Länge der halben Kraft. Die Hälfte der Masse m in 
die Entfernung 2 versetzt, würde also durch die in 1 
wirksame Kraft dieselbe Beschleunigung, und ein Vier- 
theil von m die doppelte Beschleunigung erfahren, so- 
dass also das einfache Pendel von der Länge 2, mit der 

ursprünglichen Kraft in 1 und -— am Ende, isochron 

4 

wäre mit dem ursprünglichen. Verallgemeinert man 
diese Ueberlegung, so erkennt man, dass man jede in 
der beliebigen Entfernung r an einem zusammengesetzten 
Pendel angreifende Kraft / mit dem Werthe rf in die 
Entfernung 1, und jede beliebige in der Entfernung r 
befindliche Masse m mit dem Werthe r 2 m ebenfalls in 
die Entfernung 1 versetzen kann, ohne die Schwingungs- 
dauer des Pendels zu ändern. Wirkt eine Kraft / an 
dem Hebelarm a, während die Masse m sich in der 
Entfernung r vom Drehpunkt befindet, so ist /äquiva- 
lent einer an m wirksamen Kraft — , welche also der 

r 

af 
Masse m die Beschleunigung — , und die Winkelbe- 
schleunigung - 2 ertheilt. 

Man hat demnach, um die Winkelbeschleunigung eines 
zusammengesetzten Pendels zu er- 
halten, die Summe der statischen 
Momente durch die Summe der 
Trägheitsmomente zu dividi- 
ren. Denselben Gedanken hat Brook 
Taylor in seiner Weise und gewiss %9 ' 168 ' 

unabhängig von Johann Bernoulli gefunden, jedoch etwas 
später 1714 in seinem „Methodus incrementorum" ver- 
öffentlicht. Hiermit sind die bedeutendsten Versuche, 
die Frage nach dem Schwingungsmittelpunkt zu beant- 
worten, erschöpft, und wir werden sofort sehen, dass sie 
schon dieselben Gedanken enthalten, welche D'Alem- 
bert in allgemeinerer Weise ausgesprochen hat. 




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^, 



330 Drittes Kapitel 

4. An einem System irgendwie miteinander verbundener 
Punkte M, M\ M".... mögen die Kräfte P, P', P" .... an- 
greifen, welche den freien Punkten gewisse Bewegungen 
ertheilen würden. An den verbundenen Punkten treten 
im allgemeinen andere Bewegungen ein, welche durch 
die Kräfte T7, W\ W" .... hervorgebracht sein könnten. 
Diese Bewegungen wollen wir kennen lernen. Zu diesem 
Zweck denken wir uns die Kraft P in W und 7, P' 
in W und 7', P" in W" und 7" u. s. w. zerlegt. Da 
infolge der Verbindungen thatsächlich nur die Com- 
ponenten W y T7', W" .... wirksam werden, so halten 
sich die Kräfte 7, 7', V" . . . . eben vermöge der Verbin- 
dungen das Gleichgewicht. Die Kräfte P, P', P" . . . . 
wollen wir das System der angreifenden Kräfte, 
W> W\ W" . . . . das System der die wirklichen Be- 
wegungen hervorrufenden, oder kürzer, das System der 
wirklichen Kräfte, und 7, 7', 7" . . . . das System 

der gewonnenen und ver- 
V^^*\ lorenen Kräfte, oder das 

: J^ System der Verb in - 

«1*1 -it* dungskräfte nennen. 
y'jjj' * Wir sehen also, dass wenn 
t p * ^^ man die angreifenden 
1 Kräfte in die wirklichen 

und die Verbindungskräfte 
zerlegt, letztere sich durch 
* * die Verbindungen das 

Gleichgewicht halten. Hierin besteht der D'Alembert'- 
sche Satz, und wir haben uns nur die unwesentliche 
Aenderung erlaubt, von den Kräften, statt von den 
durch die Kräfte erzeugten Bewegungsgrössen zu 
sprechen, wie dies D'Alembert (in seinem „Traite de 
dynamique", 1743) gethan hat. 

Da sich das System 7, 7', 7" das Gleichge- 
wicht hält, so lässt sich auf dasselbe das Princip der 
virtuellen Verschiebungen anwenden. Dies gibt 
ebenfalls eine Form des D'Alembert'schen Satzes. Eine 
andere Form erhalten wir auf folgende Art. Die 



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^ 



Die weitere Verwendung der Prinoipien u. s. w. 331 

Kräfte P, P', . . . . sind die Resultirenden der Compo- 

nenten W, W . . . . und F, V Nehmen wir also 

die Kräfte — P, — P'.... mit TT, TT'.... und F, F'.... 
zusammen, so besteht Gleichgewicht. Das Kraftsystem 
— P, TF, F ist im Gleichgewicht. Nun ist aber das 
System der F für sich im Gleichgewicht. Demnach ist 
auch das System — P, W im Gleichgewicht, oder auch 
P, — W im Gleichgewicht. Fügt man also den an- 
greifenden Kräften die wirklichen Kräfte mit entgegen- 
gesetztem Zeichen hinzu, so besteht vermöge der Ver- 
bindungen Gleichgewicht. Auch auf das System P, — W 
lässt sich, wie dies Lagrange in seiner analytischen 
Mechanik gethan hat, das Princip der virtuellen Ver- 
schiebungen anwenden. 

Dass zwischen dem System P und dem System — W 
Gleichgewicht besteht, lässt sich 
noch in einer andern Form aus- _ 

sprechen. Man kann sagen, das + Il_ 

System W ist dem System P äqui- 
valent. In dieser Form haben Her- Fig. no. 
mann („Phoronomia", 1716) und 

Euler („Commentarien der Petersburger Akademie, ältere 
Reihe" Bd. 7, 1740) den Satz, welcher von dem D'Alem- 
bert' sehen nicht wesentlich verschieden ist, verwendet. 

5. Erläutern wir uns den D'Alem- 
bert'schen Satz durch Beispiele. An 
einem masselosen Wellrad mit den 
Radien J?, r sind die Lasten P und Q 
angehängt, welche nicht im Gleichge- 
wicht sind. Wir zerlegen die Kraft P 
in TF, welche die wirkliche Bewegung 
an der freien Masse hervorbringen 
könnte und F, setzen also P= TF-f- F, Fi m 

und ebenso Q = W + V\ da wir v ' 

hier von jeder Bewegung ausser der Verticalen absehen 
können. Es ist also F= P— W und V = Q — TF', 
und da die Verbindungskräfte F, V miteinander im 
Gleichgewicht sind F • R=V • r. Setzen wir für 



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332 Drittes Kapitel 

F, V die Wertbe, so erhalte» wir die Gleichung 
(P_ W)R=*(Q—W)r . . . . 1) 
welche sich auch direct ergibt, wenn man die »weit« 
Form des D'Alembert'schen Satzes verwendet. Ans den 
Umständen der Aufgabe erkennen wir leicht, daaa es 
siph um eine gleichförmig beschleunigte Bewegung han- 
delt, und dass wir also nur die Beschleunigung au er- 
mitteln haben. Bleiben wir im terrestrischen Maass- 
system, so haben wir die Kräfte W und W\ welche 

p Q 

an den Massen — und -*- die Beschleunigungen, y ; und 

p 

y # hervorbringen, weshalb also W = — y<, TF'sx— y'. 

y y * 

Ausserdem wissen wir, dass y' = — Y^r- Die Glei- 

chung 1 übergeht dadurch in die Form 

aus welcher sich ergibt 

p J> Q y 

T = jw+W* Bg und f8rndr auch 

# PJB — ör , _ _. ^ 

Y = — pp2 . n " 2 r ^ wodurch die Bewegung be- 
stimmt ist. 

Man sieht ohne weiteres, dass man zu demselben 
Resultat gelangt, wenn man die Begriffe statisches Mo- 
ment und Trägheitsmoment verwendet. Es ergibt sich 
dann die Winkelbeschleunigung 

__ PB — Qr _ PE-r-Qr 

9 "■£ JB 2 + ö r2 *"^^ 2 + «^^ , 

9 9 

und weil y = B 9, y' = — r 9, erhält man wieder die 
frühern Ausdrücke. 



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Die weitere Verwendung der Principien u. 8. w. 383 

Wenn die Massen und die Kräfte gegeben sind, ist 
die Aufgabe, die Bewegung zu suchen, eine bestimmte. 
Nehmen wir nun an, es *ei die Beschleunigung y ge- 
geben, mit welcher sich P bewegt, und es seien jene 
Lasten P und Q zu suchen, welche diese Beschleunigung 
bedingen. Bann erhält man aus der Gleichung 2 leicht 

P s= ^4 — ' ^> -}Z — , also eine Beziehung zwischen 
(g — i)R* 

P und Q. Die eine der beiden Lasten bleibt dann 
willkürlich, und die Aufgabe ist in dieser Form eine 
unbestimmte, welche auf unendlich viele verschiedene 
Weisen gelöst werden kann. 

Der folgende Fall diene als zweites Beispiel. Ein 
Gewicht P ist auf einer verticalen 
Geraden A B beweglich und durch 
einen Faden, der über eine Rolle 
C fuhrt, mit einem Gewicht Q ver- 
bunden. Der Faden bildet mit AB 
den variablen . Winkel a. Die Be- 
wegung kann hier keine gleichförmig 
beschleunigte sein. Wenn wir aber 
nur verticale Bewegungen betrach- 
ten, so können wir für jeden Werth 
von a die augenblickliche Beschleu- 
nigung y und y' von P und Q sehr leicht angeben. 
Indem wir ganz wie im vorigen Fall verfahren, finden wir 

Q =z W + 7', ferner 

V cos a = V oder, weil y' = — y coa a 

Iq -f — cos a y ) cos a = P y und hieraus 

P — Q cos « 
T== #cosa 2 +P * 9 

, P — #cosoc 

Y = — t{ o , P cos ol • g. 

1 QCOBOL 2 + P 




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'334 Drittes Kapitel. 

Man kann dasselbe Resultat wieder sehr leicht ge- 
winnen, wenn man die Begriffe statisches Moment und 
Trägheitsmoment in etwas verallgemeinerter Form ver- 
wendet, was durch das Folgende sofort verständlich 
wird. Die Kraft, oder das statische Moment, welches 
auf P wirkt, ist P — Q cos q. Das Gewicht Q bewegt 
sich aber cos q mal so schnell als P, demnach ist seine 
Masse cos q 2 mal zu rechnen. Die Beschleunigung, 
welche P erhält, ist also 

___ P — Q cos q P — Q cos q 

— COS OL 4 H 

Ebenso ergibt sich der entsprechende Ausdruck für 
y'. Es liegt diesem Verfahren die einfache Bemerkung 
zu Grunde, dass bei der Bewegung der Massen die Kreis- 
bahn unwesentlich, dagegen das Geschwindigkeits- 
oder Verschiebungs verhältniss der Massen wesentlich 
ist. Die hier angedeutete Erweiterung des Begriffes 
Trägheitsmoment kann oft mitVortheil verwendet werden. 

6. Nachdem die Anwendung des D'Alembert'schen 
Satzes genügend veranschaulicht ist, wird es uns nicht 
schwer, über die Bedeutung desselben klar zu werden. 
Die Bewegungs fragen verbundener Punkte werden er- 
ledigt, indem die bei Gelegenheit der Gleichgewichts- 
untersuchungen gewonnenen Erfahrungen über die 
Wechselwirkung verbundener Körper herangezogen wer- 
den. Wo diese Erfahrungen nicht ausreichen würden, 
vermöchte auch der D'Alembert'sche Satz nichts zu ver- 
richten, wie dies durch die angeführten Beispiele ge- 
nügend nahe gelegt wird. Man muss sich also hüten, 
zu glauben, dass der D'Alembert'sche Satz ein allgemei- 
ner Satz sei, welcher Specialerfahrungen überflüssig 
macht. Seine Kürze und scheinbare Einfachheit beruht 
eben nur auf der Anweisung auf schon vorhandene 
Erfahrungen. Die genaueste auf eingehender Erfahrung 
beruhende Sachkenntniss kann uns durchaus nicht er- 



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Die weitere Verwendung der Prineipien n. 8. w. 335 

spart werden. Wir müssen sie entweder an dem vor- 
gelegten Fall selbst, diesen direct untersuchend, ge- 
winnen, oder schon an einem andern Fall gewonnen 
haben, und zu dem vorliegenden Fall mitbringen. In 
der That lernen wir durch den D'Alembert'schen Satz, 
wie unsere Beispiele zeigen, nichts, was wir nicht auf 
anderm Wege auch lernen könnten. Der Satz hat den 
Werth einer Schablone zur Lösung von Aufgaben, die 
uns einigermaassen der Mühe des Nachdenkens über 
jeden neuen Fall überhebt, indem sie die Anweisung 
enthält, allgemein bekannte und geläufige Erfahrungen 
zu verwenden. Der Satz fördert nicht so sehr das 
Durchblicken der Vorgänge, als die praktische 
Bewältigung derselben. Der Werth des Satzes ist 
ein ökonomischer. 

Haben wir eine Aufgabe nach dem D'Alembert'schen 
Satz gelöst, so können wir uns bei den Gleichgewichts- 
erfahrungen beruhigen, deren Anwendung der Satz ein- 
schliesst. Wollen wir aber den Vorgang recht klar 
durchblicken, d. h. die einfachsten bekannten mechani- 
schen Elemente in demselben wiedererkennen, so müssen 
wir weiter vordringen, und jene Gleichgewichtserfahrun- 
gen entweder durch die Newton'schen (wie dies S. 267 
geschehen ist) oder durch die Huyghens'schen ersetzen. Im 
erstem Fall sieht man diebeschleunigten Bewegungen, 
welche durch die Wechselwirkung der Körper bedingt 
sind, im Geiste vorgehen. Im zweiten Fall betrachtet 
man direct die Arbeiten, von welchen nach der Huy- 
ghens'schen Auffassung die lebendigen Kräfte abhängen. 
Diese Betrachtung ist besonders bequem, wenn man das 
Princip der virtuellen Verschiebungen verwendet, um 
die Gleichgewichtsbedingung des Systems V oder P — W 
auszudrücken. Der D'Alembert'sche Satz sagt dann, 
dasß die Summe der virtuellen Momente des Systems 
V oder des Systems P — W der Null gleich ist. Die 
Elementararbeit der Verbindungskräfte ist, wenn man 
von der Dehnung der Verbindungen absieht, der Null 
gleich. Alle Arbeiten werden dann nur von dem 



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336 Drittes Kapitel. 

System P verrichtet, und die durch das System W zum 
Vorschein kommenden Arbeiten müssen dann gleich sein 
jenen des Systems P. Alle möglichen Arbeiten rühren, 
von den Dehnungen der Verbindungen abgesehen, von 
den angreifenden Kräften her. Wie man sieht, ist der 
D'Alembert'sche Satz in dieser Form nicht wesentlich 
verschieden von dem Satz der lebendigen Kräfte. 

7. Für die Anwendung des D'Alembert'schen Satzes ist 
es bequem, jede eine Masse m angreifende Kraft P in 
drei zueinander senkrechte Componenten X, Y", Z pa- 
rallel den Axen eines rechtwinkeligen Coordinatensystems, 
jede wirkliche Kraft W in die entsprechenden Com- 
ponenten m£, WK], wj, wobei §, tj, £ die Beschleu- 
nigungen nach den Coordinatenrichtungen bedeuten, und 
jede Verschiebung ebenso in drei Verschiebungen 8 x, 
8 y, 8 z zu zerlegen. Da die Arbeit jeder Kraftcompo- 
nente nur bei der parallelen Verschiebung ins Spiel 
kommt, so ist das Gleichgewicht des Systems (P, — W) 
gegeben durch 

2{(X-w$)8s + (r— W7 ))8y + (Z— m$hz}=o 1) 

oder 

2(X8#+ Yhy + Zhz) = SroßSs + rfiy + £8*) . 2) 

Die beiden Gleichungen sind ein unmittelbarer Aus- 
druck des eben ausgesprochenen Satzes über die mög- 
liche Arbeit der angreifenden Kräfte. Ist diese Arbeit 
= o, so ergibt sich der specielle Fall des Gleichge- 
wichts. Das Princip der virtuellen Verschiebungen 
fliesst als ein specieller Fall aus dem gegebenen Aus- 
druck des D'Alembert'schen Satzes, was ganz natürlich 
ist, da sowol im allgemeinen als im besondern Fall 
die Erfahrungserkenntniss der Bedeutung der Ar- 
beit das Wesentliche ist. 

Die Gleichung 1 liefert die nöthigen Bewegungs- 
gleichungen, indem man so viele der Verschiebungen 
8#, hy, hz als möglich vermöge ihrer Relationen zu den 
übrigen durch die letztern ausdrückt und die Coeffi- 



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Die weitere Verwendung der Principien u. b. w. 337 

cienten der übrig bleibenden willkürlichen Verschie- 
bungen = o setzt, wie dies bei den Anwendungen des 
Princips der virtuellen Verschiebungen erläutert wurde. 
Hat man einige Aufgaben nach dem D 'AI embert' sehen 
Satz gelöst, so lernt man einerseits die Bequemlichkeit 
desselben schätzen, und gewinnt andererseits die Ueber- 
zeugung, dass man in jedem Fall, sobald man das Be- 
dürfhiss hierfür hat, durch Betrachtung der elementaren 
mechanischen Vorgänge dieselbe Aufgabe auch direct 
mit voller Einsicht lösen kann, und zu denselben Re- 
sultaten gelangt. Die Ueberzeugung von der Ausführ- 
barkeit dieses Verfahrens macht, wo es sich um 
mehr praktische Zwecke handelt, die jedesmalige Aus- 
führung unnöthig. 

6, Der Satz der lebendigen Kräfte. 

1. Der Satz der lebendigen Kräfte ist wie bekannt 
zuerst von Huyghens benutzt worden. Johann und Da- 
niel Bernoulli hatten nur für eine grössere Allgemein- 
heit des Ausdrucks zu sorgen, nur wenig hinzuzufügen. 
Wenn jp, p\ p" . . . . Gewichte, *w, *w', m" die zu- 
gehörigen Massen, A, A', A" . . . . die Falltiefen der 
freien oder verbundenen Massen, v\ v', v" ... die er- 
langten Geschwindigkeiten sind, so besteht die Be- 
ziehung 

Wären die Anfangsgeschwindigkeiten nicht = o, son- 
dern v oi t>o> fo**»> 80 würde sich der Satz auf den 
Zuwachs der lebendigen Kraft durch die geleistete Ar- 
beit beziehen und lauten 

Si?A = 42m(i;»t;J). 

Der Satz bleibt noch anwendbar, wenn p nicht Ge- 
wichte, sondern irgendwelche constante Kräfte und h 
nicht verticale Fallhöhen, sondern irgendwelche im 
Sinne der Kräfte beschriebene Wege sind. Treten ver- 

AlACH. 90 



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338 



Drittes Kapitel. 



änderliche Kräfte auf, so haben an die Stelle der Aus- 
drücke p A, p' h' . . . die Ausdrücke fp d s, fp 1 d s' ... 
zu treten, in welchen p die veränderlichen Kräfte und 
ds die im Sinne derselben beschriebenen Wegelemente 
bedeuten. Dann ist 

fpds+fp' ds' + ... = $2m(vlv?) oder 

2fpds = i2m(vlv;) 1) 

2. Zur Erläuterung des Satzes der lebendigen Kräfte 
betrachten wir zunächst dieselbe einfache Aufgabe, 
welche wir nach dem D'Alembert'schen 
Satz behandelt haben. An einem 
Wellrad mit den Radien 22, r hängen 
die Gewichte P, Q. Sobald eine Be- 
wegung eintritt, wird Arbeit geleistet, 
durch welche die erlangte lebendige 
Kraft bestimmt ist. Dreht sich der 
Apparat um den Winkel a, so ist 
die geleistete Arb eit 
P • Bol — Q .ra = a(PÄ-ör). 
Die erzeugte lebendige Kraft ist, 
wenn dem Drehungswinkel <z die erlangte Winkelge- 
schwindigkeit 9 entspricht 

9 2 ^ g 2 2g K ^ v ' 




Fig. 173. 



Es besteht demnach die Gleichung 
<x(PB-Qr)=^{PE' + Qr*). 



1) 



Da wir nun hier mit einer gleichförmig beschleunigten 
Bewegung zu thun haben, so besteht zwischen dem 
Winkel a, der erlangten Winkelgeschwindigkeit 9 und der 
Winkelbeschleunigung \J> dieselbe Beziehung, welche 
beim freien Fall zwischen s, v, g besteht. Ist für den 



freien Fall s = — , so ist hier a 
%9 



= 51 
2<J>* 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 339 



Führt man diesen Werth von a in die Gleichung 1 ein, 
so findet sich die Winkelbeschleunigung 

PB — Qr 
y = pp2i/) 2 ^» unc ^ ^ e aDS °l u ^ e Beschleunigung der 

Last P ist dann 
PR—Qr 



7 = 



B g, wie dies früher gefunden wurde. 



PW + Qrf 

Als zweites Beispiel betrachten wir einen masselosen 
Cylinder vom Radius r, in dessen Mantel diametral 
einander gegenüber sich zwei gleiche Massen m befinden, 
und der ohne zu gleiten durch das Gewicht dieser 





Fig. 174. 



an der schiefen Ebene von der Elevation a ab- 
rollt. Zunächst überzeugen wir uns, dass wir die 
lebendige Kraft der Rotation und der fortschreitenden 
Bewegung einfach summiren können, um die gesammte 
lebendige Kraft darzustellen. Die Axe des Cylinders 
hätte die Geschwindigkeit u längs der Länge der schiefen 
Ebene erlangt, und v sei die absolute Rotationsge- 
schwindigkeit des Cylindermantels. Die Rotationsge- 
schwindigkeiten v der beiden Massen m bilden mit der Pro- 
gressivgesch windigkeit u die Winkel ^ und ^' Fig. 175 
wobei ^-f-^' = 180°. Die Gesammtgesch windigkeiten w 
und z genügen also den Gleichungen 



w 2 = u 2 + v 2 — 2 uv cos ^ 
z 2 = u 2 -f- v 2 — 2 u v cos V. 



22 « 



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340 Drittes Kapitel. 

Weil nun cos Sr = — cos ür', so folgt 
w 2 -f *• = 2 u 2 + 2 v 2 oder 

Dreht sich der Cylinder um den Winkel 9, so legt m 
durch die Rotation den Weg ry zurück und die Axe 
des Cylinders verschiebt sich ebenfalls um r 9. Wie 
diese Wege verhalten sich auch die Geschwindigkeiten v 
und m, welche demnach gleich sind. Die gesammte 
lebendige Kraft lässt sich demnach durch 2 m u 2 aus- 
drücken. Legt der Cylinder auf der Länge der schiefen 
Ebene den Weg l zurück, so ist die geleistete Arbeit 
2 m g ' l sin a = 2 m u 2 und demnach u = y g l . sin a. 
Vergleicht man hiermit die beim Gleiten auf der 
schiefen Ebene erlangte Geschwindigkeit Y2g l sin a, 
so sieht man, dass die betrachtete Vorrichtung sich nur 
mit der halben Fallbeschleunigung bewegt, welche ein 
gleitender Körper unter denselben Umständen (ohne 
Bücksicht auf die Reibung) annimmt. Die ganze Ueber- 
legung wird nicht geändert, wenn die Masse gleich- 
massig über den Cylindermantel vertheilt ist. Eine 
ähnliche Betrachtung lässt sich für eine auf der schiefen 
Ebene abrollende Kugel ausführen, woraus man sieht, 
dass Galilei's Fallexperiment in Bezug auf das Quanti- 
tative einer Correctur bedarf. 

Legen wir nun die Masse m gleichmässig auf den 
Mantel eines Cylinders vom Badius* J?, der mit dem 
masselosen Cylinder vom Badius r, welcher auf der 
schiefen Ebene abrollt, conaxial und fest verbunden ist. 

v H 

Da in diesem Fall — = — , so liefert der Satz der 
u r 

B 2 ) 



(E 2 \ 
1 H 2") un ^ 



U=z 




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Die weitere Verwendung der Principien u. b. w. 341 

Für — = 1 erhält die Fallbeschleunigung den frühem 

g R 

Werth — - . Für sehr grosse Werthe von — wird die 

ja 

Fallbeschleunigung sehr klein. Für — =00 kann also 

kein Abrollen eintreten. 

Als drittes Beispiel betrachten wir eine Kette von 
der Gesammtlänge Z, welche zum Theil auf einer Ho- 
rizontalebene, zum 
Theil auf einer schie- 
fen Ebene von dem 
Elevationswinkel a 
liegt. Denken wir 

uns die Unterlage Fig% 116m 

sehr glatt, so zieht 
der kleinste überhängende Theil der Kette den andern 
nach sich. Ist (jl die Masse der Längeneinheit, und 
hängt bereits das Stück x über, so liefert der Satz der 
lebendigen Kräfte für die gewonnene Geschwindigkeit v 
die Gleichung 




\klv* __ 



»a 



2 = |i«^yBina = |X^— sin«, 

oder v = x\[ g sm a • In diesem Fall ist also die 

erlangte Geschwindigkeit dem zurückgelegten Wege pro- 
portional. Es findet dasselbe Gesetz statt, welches 
Galilei zuerst als Fallgesetz vermuthete. Die Betrachtung 
lässt sich also wie oben (S. 231) weiter führen. 

4. Die Gleichung 1 der lebendigen Kräfte kann immer 
angewendet werden, wenn für die bewegten Körper der 
ganze Weg und die Kraft, welche in jedem Wegelement 
ins Spiel kommt, bekannt ist. Es hat sich aber durch 
die Arbeiten von Euler, Daniel Bernoulli und Lagrange 
herausgestellt, dass es Fälle gibt, in welchen man den 



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342 



Drittes Kapitel. 



Satz der lebendigen Kräfte anwenden kann, ohne den 
Verlauf der Bewegung zu kennen. Wir werden später 
sehen, dass sich auch Clairaut in dieser Richtung ein 
Verdienst erworben hat. 

Schon Galilei wusste, dass die Geschwindigkeit eines 
schweren fallenden Körpers nur von der durchsetzten 
Verticalhöhe abhängt, nicht von dem Wege oder der 
Form der Bahn, welche er durchlaufen hat. Huyghens 
findet die lebendige Kraft eines schweren Massensystems 
von den Verticalhöhen der Massen abhängig. Euler 
konnte einen Schritt weiter gehen. Wird ein Körper K 
gegen ein festes Centrum nach irgendeinem Gesetz an- 
gezogen, so lässt sich der Zuwachs der lebendigen Kraft 
bei geradliniger Annäherung aus der Anfangs- und End- 
entfernung (r , r,) berechnen. 
Derselbe Zuwachs ergibt sich 
aber, wenn K überhaupt aus 
der Entfernung r in die Ent- 
fernung r t übergeht, unabhängig 
von der Form des Weges 
K B. Denn nur auf die radia- 
len Verschiebungselemente ent- 
fallen Arbeitselemente und zwar 
dieselben wie zuvor. 

Wird K gegen mehrere feste 
Centren C, C, C" . . . gezogen, 
so hängt der Zuwachs der leben- 
digen Kraft von den Anfangs- 
entfernungen r n , r ', r . . . und von den Endentfernungen 
r, r', r" . . ., also von der Anfangslage und Endlage 
von K ab. Daniel Bernoulli hat diese Ueberlegung 
noch weitergeführt und gezeigt, dass auch bei gegen- 
seitigen Anziehungen beweglicher Körper die Aenderung 
der lebendigen Kraft nur durch die Anfangslagen und 
Endlagen dieser Körper bestimmt ist. Für die ana- 
lytische Behandlung der hierher gehörigen Aufgaben 
hat Lagrange am meisten gethan. Verbindet man einen 
Punkt mit den Coordinaten a, ö, c mit einem Punkt 




Fig. 177 a. 



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Die weitere Verwendung der Principien u. 8. w. 343 

mit den Coordinaten #, y, z, bezeichnet mit r die Länge 
der Verbindungslinie und mit a, ß, y deren Winkel mit 
den Axen der x, y, z, so ist nach der Bemerkung von 
Lagrange 

x — a dr Q y — b dr 

COS OL = = , COS ß = = -r—, 

r dx r dy 

z — c dr 

cos y = = — , 

1 r dz 

weil r 2 = (x — a) 2 + (y — &) 2 + (5 — c) 2 . 

Ist also f (r) = d • , , die Kraft zwischen beiden 

^ v ' dr 

Punkten, so sind die Componenten 

X = / ( r ) cos a = — 3-^ -5— = — -7^ , 

r = / (r) cos = __ - = -jj- , 



^ / x dF(r) dr 

Z=f (r) cos T = -—Li _ = 



dF(r) 
dr dz dz 



Die Kraftcomponenten sind also die partiellen Ab- 
leitungen einer und derselben Function von r oder 
der Coordinaten der sich anziehenden Punkte. Auch wenn 
mehrere Punkte in Wechselwirkung sind, ergibt sich 

dx 

Y= — 
dy 

wobei U eine Function der Coordinaten der Punkte 
ist, welche später von Hamilton Kraftfun et ion genannt 
worden ist. 



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344 Drittes Kapitel. 

Formen wir mit Hülfe der gewonnenen Anschauungen 
und unter den gegebenen Voraussetzungen die Glei- 
chung 1 für rechtwinkelige Coordinaten um, so erhalten 
wir 2f(Xdx + J dy + Z dz) = 2 i*w (vi. v;) oder weü 
der Ausdruck links ein vollständiges Differential ist 

2( / — — dx + -^— dy + -v— dz\ = 
\J dx dy dz ) 

2fd U = 2 (üi - U.) = 2 \ m (vlv$, 
wobei Ux eine Function der Endwerthe, U dieselbe 
Function der Anfangswerthe der Coordinaten ist. Die 
Gleichung hat sehr viele Anwendungen erfahren, und 
drückt nur die Erkenntniss aus, dass unter den be- 
zeichneten Umständen die Arbeiten und demnach auch 
die lebendigen Kräfte nur von den Lagen oder Co- 
ordinaten der Körper abhängen. 

Denkt man sich alle Massen fixirt, und nur eine 
einzige bewegt, so ändert sich die geleistete Arbeit nur 
nach Maassgabe von U. Die Gleichung U= const 
stellt eine sogenannte Niveaufläche (oder Fläche gleicher 
Arbeit) vor. Eine Bewegung in derselben führt keine 
Arbeitsleistung herbei. 



7. Der Satz des Kleinsten Zwanges. 

1. Gauss hat (Crelle's „Journal für Mathematik", IV, 
1829, S. *233) ein neues Gesetz der Mechanik, den Satz 
des kleinsten Zwanges ausgeprochen. Er bemerkt, 
dass bei der Form, welche die Mechanik historisch an- 
genommen hat, die Dynamik sich auf die Statik grün- 
det (wie z. B. der D'Alembert'sche Satz auf das Prin- 
cip der virtuellen Verschiebungen), während man eigent- 
lich erwarten sollte, dass auf der höchsten Stufe der 
Wissenschaft die Statik sich als ein specieller Fall der 
Dynamik darstellen würde. Der zu besprechende Gauss'- 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 345 

sehe Satz ist nun von der Art, dass er sowol dyna- 
mische als statische Fälle umfasst; er entspricht also 
in dieser Richtung der Forderung der wissenschaftlichen 
und logischen Aesthetik. Es wurde schon bemerkt, 
dass dies eigentlich auch beim D'Alembert'schen Satz 
in der Lagrange'schen Form und bei der angeführten 
Ausdrucksweise zutrifft. Ein wesentlich neues Prin- 
cip der Mechanik, bemerkt Gauss, könne nicht mehr auf- 
gestellt werden, was aber die Auffindung neuer Gesichts- 
punkte, von welchen aus die mechanischen Vorgänge 
betrachtet werden können, nicht ausschliesst. Ein solcher 
neuer Gesichtspunkt wird nun durch den Gauss'- 
schen Satz angegeben. 

2. Es seien m m t . . . . Massen, die sich in irgend- 
welchen Verbindungen befinden. Wären die Massen 
frei, so würden sie durch die angreifenden Kräfte in 
einem sehr kleinen Zeitelement die Wege a b, a,b t . . . . 
zurücklegen, während sie in- 
folge der Verbindungen 
in demselben Zeitelement 
die Wege ac, a t c t .. .. be- 
schreiben. Die Bewegung 
der verbundenen Punkte 
findet nun nach dem Gauss'- 
schen Satz so statt, dass bei 
der wirklichen Bewegung 

die Summe m (bc) 2 + w, (6, c,) 2 -K = 2 m (6c) 2 

ein Minimum wird, d. h. kleiner ausfällt als bei jeder an- 
dern bei denselben Verbindungen denkbaren Bewegung. 
Wenn jede Bewegung eine grössere Summe 2 m ( b c) 2 
darbietet als die Ruhe, so besteht Gleichgewicht. Der 
Satz schliesst also statische und dynamische Fälle in 
gleicher Weise ein. 

Wir können die Summe 2w(&c) 2 kurz die Ab- 
weichungssumme oder die Abweichung von der un- 
gehinderten Bewegung nennen. Dass bei Bildung 
der Abweichungssumme die im System vorhandenen Ge- 
schwindigkeiten aus der Betrachtung fallen, weil durch 




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346 Drittes Kapitel. 

dieselben die relativen Lagen von a, b y c nicht geän- 
dert werden, liegt auf der Hand. 

3. Der neue Satz vermag den D'Alembert'schen zu 
ersetzen und lässt sich, wie Gauss zeigt, aus dem letz- 
tern ableiten, wodurch die Gleichwerthigkeit beider Sätze 
nachgewiesen ist. Die angreifenden Kräfte führen 
die freie Masse m in einem Zeitelement durch a &, die 
wirklichen Kräfte dieselbe Masse vermöge der Verbin- 
dungen in derselben Zeit durch a c. Wir zerlegen a b 
in a c und c b. Dies führen wir für alle Massen aus. 
Die Kräfte, welche den Wegen c b, c l b l . . . . entsprechen, 
und welche denselben proportional sind, werden also 
vermöge der Verbindungen nicht wirksam, sondern halten 

-, sich an den Verbindungen das Gleich- 

3. p gewicht. Führen wir von den End- 

Nv 7\ lagen c, c p c n . . . . die virtuellen Ver- 

^^vp* )T Schiebungen c y, c t y ; , . . . . aus, welche 
Fig. m m ^ c ^ c t b t . ... die Winkel °T, $, .... 

bilden, so lässt sich, da den c &, c ,b r ... 
proportionale Kräfte (nach dem D'Alembert'schen Satz) 
im Gleichgewicht sind, das Princip der virtuellen Ver- 
schiebungen anwenden. Es ist also 

2 c b • c y cos ^ ^ o 1) 

Nun haben wir 
(by) 2 = (bc) 2 + (cy) 2 — 2bc . cycos* 
(& T )2 — (& c )2 — ( Cy )2 __ 2 b c • cy cos % 

2w?(&y) 2 — 2w(äc) 2 = 2w(cy) 2 — 22w&c-cycos^ 2) 

Da nun nach 1 das zweite Glied der rechten Seite 
der Gleichung 2 nur = o oder negativ sein kann, die 
Summe 2 m (c y) 2 also durch die Subtraction nie ver- 
mindert, sondern nur vermehrt werden kann, so ist 
auch die linke Seite von 2 stets positiv, also 2 m (b y) 2 
immer grösser als 2 m (b c) 2 , d. h. jede denkbare Ab- 
weichung von der ungehinderten Bewegung ist immer 
grösser als diejenige, welche wirklich stattfindet. 

4. Wir wollen den Abweichungsweg b c für das sehr 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 347 

kleine Zeitelement t kürzer mit s bezeichnen und mit 
Scheffler (Schlömilch's „Zeitschrift für Mathematik", 

YT 3 

III, 197) bemerken, dass s= ^r-, wobei y die Be- 

schleunigung bedeutet, und dass folglich die Abweichungs- 
summe 2*ns 8 auch in den Formen 

T 3 T 3 T 4 

2 w* • s • s = — 2wy-s=- 2.p • s = — 2 wiy* 

dargestellt werden kann. Hierin bedeutet p die von 
der freien Bewegung ablenkende Kraft. Da der con- 
stante Factor auf die Minimumbestimmung keinen Ein- 
fluss hat, so können wir sagen, die Bewegung findet 

so statt, dass 2ms 2 .. 1) 

oder 2i? 8 2) 

oder 2my 3 3) 

ein Minimum wird. 

5. Wir wollen zunächst die dritte Form zur Behand- 
lung einiger Beispiele verwenden. Als 
erstes Beispiel wählen wir wieder die 
Bewegung des Wellrades durch Ueber- 
wucht mit den schon mehrmals ver- 
wendeten Bezeichnungen. Wir haben 
die wirkliche Beschleunigung y von P 
und y, von Q so zu bestimmen, dass 

j(ff - Y) s + -j ip - Y,) s °™ Mini- 

mum wird, oder da y, = — y — , dass ***• 119m 




P(>— y) 3 + C^+y^-] = N den kleinsten Werth 
nt. Setzen wir zu diesem Zweck 



annimmt. Setzen wir zu diesem Zweck 
dN 

*\ 

so findet sich y = __ Q , *: Q B g* wie bei den frühern 
1 PB i -\-Qr i 

Behandlung8 weisen derselben Aufgabe. 



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348 Drittes Kapitel. 

Die Fallbewegung auf der schiefen Ebene diene als 
zweites Beispiel. Hierbei verwenden wir die erste 
Form 2 ms 2 . Da wir nur mit einer Masse zu thun 
haben, so suchen wir jene Fallbeschleunigung y für die 
schiefe Ebene, durch welche das Quadrat des Ab- 
weichungsweges (s 3 ) ein Minimum wird. Es ist Fig. 180 

,, = K) > + (^f- 2 (4^¥) 8i,,a ' 

d (s 3 ) 
und indem wir — ^— - = o setzen, finden wir mit Hin- 
dy 

weglassung der constanten Factoren 2 y — 2 ^ sin a = o 
oder y = g • sin <x, wie es aus den Galilei'schen Unter- 
suchungen bekannt ist. 

Dass der Gauss'sche Satz auch Gleichgewichtsfälle 



a a! 




^ Im' 



mL 

Fig. 180. Fig. 181. 

begreift, möge das folgende Beispiel zeigen. An den 
Hebelarmen a, a' befinden sich die schweren Massen 
w, w'. Der Satz fordert, dass m (g — y) 3 -f- m' (# — - y*) 3 

ein Minimum werde. Nun ist y ' = — y . Wenn 

aber die Massen den Hebelarmen verkehrt proportio- 

nirt sind, so ist — ■. = — , und y' = — y — 7 . Demnach 
1 m a • 4 m' 



+ Y—t f) =^ ein Minimum 

dN 
werden. Aus der Gleichung -r— = o ergibt sich 

m (1 -\ , I y = oodery = o. Das Gleichgewicht 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 349 




Fig. 182. 



bietet also in diesem Falle die kleinste Abweichung 
von der freien Bewegung. 

Jeder neu aufgelegte Zwang vermehrt die Ab- 
weichungssumme, aber immer so wenig als möglich. Wer- 
den zwei oder mehrere Systeme miteinander verbunden, so 
findet die Bewegung mit der kleinsten Abweichung von 
den Bewegungen der unverbundenen Systeme statt. 

Vereinigen wir z. B. mehrere einfache 
Pendel zu einem linearen zusammengesetz- 
ten Pendel, so schwingt dieses mit der 
kleinsten Abweichung von der Bewegung 
der einzelnen Pendel. Für die Excursion a 
hat das einfache Pendel die Beschleunigung 
g • sina in seiner Bahn. Bezeichnet y • sina 
die Beschleunigung, welche derselben Ex- 
cursion in der Entfernung 1 von der Axe 
am zusammengesetzten Pendel entspricht, so wird 
2 m (g sin a — r y sin a) 2 oder 2 m (g — r y) 2 ein Mi- 

mmum. Demnach ist 2 m (g — r y) r =o und v = g = - . 

Die Aufgabe erledigt sich daher in der einfachsten 
Weise, aber freilich nur weil in dem Gauss'schen Satze 
schon alle die Erfahrungen stecken, welche von 
Huyghens, den Bernoullis und Andern im Laufe der 
Zeit gesammelt worden sind. 

6. Die Vergrösserung der 
Abweichung von der freien Be- 
wegung durch jeden neu aufge- 
legten Zwang lässt sich durch fol- 
gende Beispiele erläutern. Ueber 
zwei fixe Rollen A y B und eine 
bewegliche Rolle ist ein Faden 
geschlungen, der beiderseits mit 
P belastet ist, während an der 
beweglichen Rolle das Gewicht 
2P + j) hängt. Die bewegliche Rolle sinkt dann mit 

IQ 

der Beschleunigung — ~- — • g. Stellen wir die Rolle 
AP+p 



rDü 



PÜ 



fffjß 
GP 



tf 



2P + p 

Fig. 183. 



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350 Drittes Kapitel. 

A fest, so legen wir dem System einen neuen Zwang 

auf, und die Abweichung von der freien Bewegung 

wird vergrössert. Die an B hängende Last ist dann 

als vierfache Masse in Rechnung zu bringen, weil sie sich 

mit der doppelten Geschwindigkeit bewegt. Die beweg- 

p 
liehe Bolle sinkt mit der Beschleunigung — • g. 

6 P + P 
Eine leichte Rechnung zeigt, dass im zweiten Fall die 
Abweichungssumme grösser ist als im ersten. 

Eine Anzahl n gleicher Ge- 
nP /^ wichte^) sind auf einer glatten Ho- 

X C/f rizontalebene an n beweglichen 

^ ** Rollen befestigt, über welche in 

der aus der Figur ersichtlichen 
Weise eine Schnur gezogen und 
am freien Ende mit p belastet ist. 
Je nachdem alle Rollen beweg- 
lich, oder alle bis auf eine 
fixirt sind, erhalten wir mit 
Rücksicht auf das Geschwindig- 
keitsverhältniss der Massen in 
Fig 184. * Bezug auf das bewegende p, 

für letzteres die Beschleunigung 

- — , g beziehungsweise — g. Wenn alle n -f- 1 

1 + 4 n 5 

Massen beweglich sind, erhält die Abweichungssumme 

den Werth — =-4- , welcher grösser wird, wenn man 

4n+ 1 

f», die Zahl der beweglichen Massen, verkleinert. 

7. Wir denken uns einen Körper vom Gewicht Q 

auf einer Horizontalebene auf Rollen beweglich und 

durch eine schiefe Ebene begrenzt. Auf der schiefen 

Ebene liegt ein Körper vom Gewicht P. Man erkennt 

schon instinetiv, dassPmit grösserer Beschleunigung 

sinkt, wenn Q beweglich ist und ausweichen kann, als 

wenn Q fixirt wird, also die Fallbewegung von P mehr 

behindert. Der Falltiefe h von P soll eine Horizontal- 




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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 351 

geschwindigkeit v und eine Verticalgeschwindigkeit u 
von P, hingegen eine Horizontalgeschwindigkeit w von 
Q entsprechen. Wegen der Erhaltung der Quantität 
der Horizontalbewegung (bei welcher nur innere Kräfte 
wirken) ist 

P . v = Q w und aus einleuchtenden geometrischen 
Gründen (Fig. 185) ist ferner 

u = (v -f- w) tang a. 
Die Geschwindigkeiten sind demnach 
u = u 



v = 



10 = 



p 



P + Q 



cot a • w, 



cot OL • w. 




Fig. 185. 



Mit Rücksicht auf die geleistete Arbeit Ph liefert 
der Satz der lebendigen Kräfte die Gleichung 



Pu 2 P / 
Ph = --4-— I — -£— 



cot 



\ 3 W 2 



+ 



«L- P - cota) U -. 



Hebt man 



PQ 



cota 8 als Factor heraus, und führt 



P+Q 

die sich ergebenden Kürzungen aus, so erhält man 



ffh=(l + 



Q cos 
P+Q sin" 



a 2 \ w^ 
ä*JlT 



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352 Drittes Kapitel. 

Um die Verticalbeschleunigung y zu finden, mit wel- 
cher die Falltiefe h zurückgelegt wurde, bemerken wir, 

u 2 
dass h = —- . Führt man diesen Werth für h in die 
2y 

letzte Gleichung ein, so findet sich 
(P+Q)sina* 
T "~ Psina 2 + Q '*' 
Für Q = oo wird y = g sin a 2 wie auf einer festen 
schiefen Ebene. Für Q = o wird y = g wie im freien 
Fall. Für sin a = 1 ist y = g wie im freien Fall. Für 
endliche Werthe von Q = m P erhalten wir für 
(1 4- m) sin a a ^ . 
* = m + sina» • #>P ■» «'. »«1 

1 + W >1. 



sin a 3 + m 

Die Fixirung von Q als neu aufgelegter Zwang ver- 
grössert also die Abweichung von der freien Bewegung. 

Wir haben zur Ableitung von y in dem eben be- 
trachteten Fall den Satz der Erhaltung der Quantität 
der Bewegung und den Satz der lebendigen Kräfte ver- 
wendet. Den Gauss'schen Satz anwendend, würden wir 
denselben Fall in folgender Weise behandeln. Den mit 
u, v, w bezeichneten Geschwindigkeiten entsprechen die 
Beschleunigungen y, o, e. Mit Bücksicht darauf, dass nur 
der Körper P im freien Zustande die Verticalbeschleu- 
nigung g haben würde, die übrigen Beschleunigungen 
aber den Werth =o annehmen würden, haben wir 

P PO 

— (£-Y) 3 + — ° 2 +— ** = N 
9 9 9 

zu einem Minimum zu machen. Da die ganze Aufgabe 
nur einen Sinn hat, solange die Körper P und Q sich 
berühren, so lange also y = (ö -f- e) tang a, so erhal- 
ten wir 

%f if yf 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 353 

Bilden wir die Differentialquotienten nach den beiden 
noch vorhandenen unabhängigen Veränderlichen 5 und e, 
so findet sich 

dN . dN 

= o und — - — = o, oder 



dh dz 

— [ff — (° + e) tg a] Ptg a + PS = o und. 

— [ff— (o + s)tgajPtga + C6 = ö. 

Aus diesen beiden Gleichungen folgt unmittelbar 
P 5 — Q e = o, und schliesslich für y derselbe Werth, 
den wir oben erhalten haben. 

Dieselbe Aufgabe wollen wir noch aus einem andern 
Gesichtspunkt betrachten. Der Körper P legt unter 
dem Winkel ß gegen den Horizont den Weg s zurück, 
dessen Horizontal- und Verticalcomponenten v und u 
seien, während Q den Horizontalweg tv beschreibt. Die 
Kraftcomponente, welche nach der Richtung von s wirkt, 
ist P« sinß, demnach die Beschleunigung nach dieser 
Richtung mit Rücksicht auf die relativen Bewegungs- 
geschwindigkeiten der Körper P und Q 

P • sin ß 

ff ff \ s ) 

Mit Rücksicht auf die sich unmittelbar ergebenden 
Gleichungen 

Qw = Pv 
v = s cos ß 

U = V tg ß, 

findet man die Beschleunigung nach 8 
Q sinß 
C + Pcosß 3 ^ 
und die zugehörige Verticalbeschleunigung 

Q sin ß* 



T ~ G + Pcosß* '*» 



Mach. 



23 



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354 Drittes Kapitel 

welcher Ausdruck, sobald wir durch Verwendung der 
bereits angeführten Gleichung u= (v -\- w) tga für die 
Winkelfunctionen von ß, jene von a einsetzen, wieder 
die schon angegebene Form annimmt. Mit Hülfe des 
erweiterten Begriffes der Trägheitsmomente gelangen 
wir also zu demselben Ergebniss. 

Endlich wollen wir dieselbe Aufgabe in der directesten 
Weise behandeln. Der Körper P fällt auf der beweg- 
lichen schiefen Ebene nicht mit der Verticalbeschleu- 
nigung g wie im freien Fall, sondern mit der Vertical- 
beschleunigung y. Er erleidet also eine verticale Gegen- 

P 

kraft — (g — y). Da P und Q, von der Reibung ab- 
gesehen, nur durch einen gegen die schiefe Ebene nor- 
malen Druck S aufeinander wirken können, so ist 

p 

— (9 — y) = /S cos a und 

' . Q P « 

ösma = — e = — o. 
9 9 

Hieraus folgt 

P Q 

— (9 — v) = -^- e cot a und mit Hülfe von 

9 l 9 

y = (o + e) tanga 

schliesslich wie oben 

(P+Q) sin a 3 



P sin a 3 + Q 



1) 



e Q sin a cos a 

8 = "rH 2 1 n 9 ...... 2) 

P sin a J + Q 

P sin a cos a 

Setzen wir P = Q , und a = 45°, so finden wir für 
diesen Specialfall y=$g, 5=^^, t=\g. Für 

PO. g* 

• — = — = 1 findet sich die Abweichungssumme = — . 



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Die weitere Verwendung der Prinoipien u. 8. w. 355 

Fixirt man die schiefe Ebene , so findet sich die ent- 

9 2 
sprechende Summe = ^-. Würde sich der Körper P 

auf einer fixen schiefen Ebene von der Elevation ß, 

wobei tgß=-~, also in derselben Bahn bewegen, in 
o 

welcher er sich auf der beweglichen Ebene bewegt, so 

ff 2 
wäre die Abweichungssumme nur — . Er wäre dann 

5 

aber auch wirklich weniger behindert, als wenn er durch 
Verschieben von Q dieselbe Beschleunigung erlangt. 
8. Die behandelten Beispiele haben wol bereits 
fühlbar gemacht, dass eine wesentlich neue Einsicht 
durch den Gauss'schen Satz nicht geboten wird. Ver- 
wenden wir die Form 3 des Satzes, indem wir alle 
Kräfte und Beschleunigungen nach den drei zueinander 
senkrechten Coordinatenrichtungen zerlegen, und den 
Buchstaben dieselbe Bedeutung geben wie in Gleichung 1 
(S. 318), so tritt an die Stelle der Abweichungssumme 
2 m y 2 der Ausdruck 

*-»-[(H; + (! T i) , +£--o'];<' 

und wegen der Minimumbedingung 

dN= 2 s»»[(^- «)*«■+ (J - -n ) du + ' 

oder • 

2[(X— m§d% + (Y— mY])rfT) + (Z— mQdi] = o. 

Bestehen keine Verbindungen, so liefern die Coefficienr 
ten der alsdann willkürlichen d£, di\^ d£ einzeln; = q 
gesetzt, die Bewegungsgleichungen. Bestehen aber/Ver? 
bindungen, so haben wir zwischen d£, ch\i > d%, (ftesolbeÄ 
Relationen wie oben in Gleichung ^,(S> £18) äwis$heö 
hx, 6y, bis. Die Bewegungsgleicliüjigen. :werj&en; 4ie- 

23* 



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356 Drittes Kapitel. 

selben, wie dies die Behandlung desselben Beispiels 
nach dem d'Alembert'schen und Gauss'schen Satz sofort 
lehrt. Der erstere Satz liefert nur die Bewegungs- 
gleichungen unmittelbar, der zweite erst durch Differen- 
tiiren. Sucht man nach einem Ausdruck, welcher durch 
DifFerentiiren die d'Alembert'schen Gleichungen liefert, 
so kommt man von selbst auf den Gauss'schen Satz. 
Der Satz ist also nur in der Form und nicht in der 
Sache neu. Auch den Vorzug, statische und dynamische 
Aufgaben zu umfassen, hat er vor der Lagrange'schen 
Form des d'Alembert'schen Satzes nicht voraus, wie 
dies schon bemerkt wurde. (Vgl. S. 318). 

Einen mystischen oder metaphysischen Grund des 
Gauss'schen Satzes brauchen wir nicht zu suchen. 
Wenn auch der Ausdruck „kleinster Zwang" sehr an- 
sprechend ist, so fühlen wir doch sofort, dass mit dem 
Namen noch nichts Fassbares gegeben ist. Die Ant- 
wort auf die Frage, worin dieser Zwang besteht, können 
wir nicht bei der Metaphysik, sondern nur bei den 
Thatsachen holen. Der Ausdruck 2 (S. 329) oder 4 
(S. 337), welcher ein Minimum wird, stellt die Arbeit 
dar, welche in einem Zeitelement die Abweichung der 
gezwungenen Bewegung von der freien hervorbringt. 
Diese Abweichungsarbeit ist bei der wirklichen Be- 
wegung kleiner als bei jeder andern denkbaren. 

Haben wir die Arbeit als das Bewegungsbestimmende 
erkannt, haben wir den Sinn des Princips der virtuellen 
Verschiebungen so verstanden, dass nur da keine Be- 
wegung eintritt, wo keine Arbeit geleistet werden kann, 
so macht es uns auch keine Schwierigkeit, zu erkennen, 
dass umgekehrt jede Arbeit, die in einem Zeitelement 
geleistet werden kann, auch wirklich geleistet wird. 
Die Arbeitsverminderung durch die Verbindungen in 
einem Zeitelement beschränkt sich also auf den durch 
die Gegenarbeiten aufgehobenen Theil. Es ist also 
wieder nur eine neue Seite einer bereits bekannten 
Thatsache, die uns hier begegnet. 

Das erwähnte Verhältniss tritt schon in den ein- 



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Die weitere Verwendung der Principien n. 8. w. 357 

fachsten Fällen hervor. Zwei Massen tn und m seien 
in A, die eine von der Kraft p, die andere von der 
Kraft q afficirt. Verbinden wir sie miteinander, so folgt 
die Masse 2 m der resultirenden Kraft r. Werden die 
Wege in einem Zeitelement für die freien Massen durch 
AC> AB dargestellt, so ist der Weg der verbundenen 
(doppelten) Masse AO = £ AD. Die Abweichungssumme 

wird tw (0 B a -f- C 3 ). Sie ist kleiner, als wenn die 

Masse am Ende des Zeitelements in M oder gar in 

einem Punkte ausserhalb B C etwa in N anlangen würde, 

wie sich dies in der einfachsten geometrischen Weise 

ergibt. Die Summe ist proportional dem Ausdruck 

« 2 -|- q* 4- 2p q cos ?F 

■ , der sich für gleiche entgegen- 

gesetzte Kräfte auf 2p 3 , für gleiche gleichgerichtete auf 
Null reducirt. 

Zwei Kräfte p und q mögen dieselbe Masse ergreifen. 
Die Kraft q werde parallel und senk- 
recht zur Richtung von p in r und 8 zer- 
legt. Die Arbeiten in einem Zeitelement 
sind den Quadraten der Kräfte pro- 
portional und ohne Verbindung durch 
P 2 +g r *=.p 3 + f 2 + s2 ausdrückbar. 
Wenn nun etwa r der Kraft p direct ent- 
gegenwirkt, tritt eine Arbeitsverminderung 
ein, und die Summe wird (p — r) 8 + s a . 
Schon in dem Princip der Zusammen- 
Setzung der Kräfte, oder der Unabhängig- t§ ' 

keit der Kräfte voneinander, liegen die Eigenschaften, 
welche der Gauss'sche Satz verwerthet. Man erkennt 
dies, wenn man sich alle Beschleunigungen gleichzeitig 
ausgeführt denkt. Lassen wir den verschwommenen 
Ausdruck in Worten fallen, so verschwindet auch 
der metaphysische Eindruck des Satzes. Wir sehen die 
einfache Thatsache, und sind enttäuscht, aber auch 
aufgeklärt. 

Die hier gegebenen Aufklärungen über das Gauss'sche 




' DigitizedbyVjOOQlC 



358 Dritte* Kapitel. 

Gesetz sind grossentheils schon in der oben citirten 
Abhandlung von Scheffler enthalten. Jene Ansichten 
Scheffler's, mit welchen wir nicht ganz einverstanden 
sein konnten, haben wir hier stillschweigend modificirt. 
So können wir z. B. das von ihm selbst aufgestellte 
Princip nicht als ein neues gelten lassen, denn es ist 
sowol der Form nach als auch dem Sinne nach mit 
dem d'Alembert-Lagrange'schen identisch. 



8. Der Satz der kleinsten Wirkung. 

1. Maupertuis hat (1747) einen Satz ausgesprochen, 
welchen er „principe de la moindre quantite d'action", 
Princip der kleinsten Wirkung, nennt. Dieses Princip 
bezeichnet er als der Weisheit des Schöpfers besonders 
angemessen. Als Maass der Wirkung betrachtet er das 
Product aus Masse, Geschwindigkeit und Weg eines 
Körpers mvs, man sieht allerdings nicht warum. 
Unter Masse und Geschwindigkeit kann man bestimmte 
Grössen verstehen, nicht so aber unter dem Weg, wenn 
nicht angegeben wird, in welcher Zeit derselbe zurück- 
gelegt wird. Meint man aber die Zeiteinheit, so ist 
die Unterscheidung von Weg und Geschwindigkeit in 
den von Maupertuis behandelten Fällen sonderbar. Es 
scheint, dass Maupertuis durch eine unklare Vermischung 
seiner Gedanken über die lebendigen Kräfte und das 
Princip der virtuellen Verschiebungen zu dem ver- 
schwommenen Ausdruck gekommen ist, dessen Undeut- 
lichkeit durch die Einzelheiten noch mehr hervor- 
treten wird. 

2. Wir wollen sehen, wie Maupertuis sein Princip 
anwendet. Sind M, m zwei unelastische Massen, G und 
c deren Geschwindigkeiten vor dem Stosse, u deren 
gemeinschaftliche Geschwindigkeit nach dem Stosse, so 
fordert Maupertuis, indem er hier die Geschwindig- 
keiten statt der Wege eintreten lässt, dass die „Wirkung" 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 359 

bei Aenderung der Geschwindigkeiten im Stoss ein 

Minimum sei. Es ist also 

M (C — u) 2 -j- m (c — ti) 2 ein Minimum und 

M (C — u) -f- m (c — u) = o, woraus 

MC+mc .. . 

u= —— -\ folgt. 

M + m 

Für den Stoss elastischer Massen haben wir bei 

gleicher Bezeichnung, wenn wir noch V und v für die 

beiden Geschwindigkeiten nach dem Stosse wählen, 

M (C — V) 2 + m (c — v) 2 ein Minimum und 

M(C— V)dV+m(c — v)dv = o . . . 1. 
Mit Rücksicht darauf, dass die Annäherungsge- 
schwindigkeit vor dem Stosse gleich ist der Entfernungs- 
geschwindigkeit der beiden Massen nach dem Stosse, 
haben wir 

— c= — (V — v) oder 

C+ V—(c -\-v) = o .' . 2. 

und d V — dv = o . . 3. 

Die Verbindung der Gleichungen 1, 2 und 3 liefert 
sehr leicht die bekannten Ausdrücke für V und v. Wie 
man sieht, lassen sich diese beiden Fälle als Vorgänge 
auffassen, in welchen eine kleinste Aenderung der le- 
bendigen Kraft durch Gegenwirkung, also eine kleinste 
Gegenarbeit stattfindet. Sie fallen unter das Gauss'- 
sche Princip. 

3. In eigenthümlicher Weise leitet Maupertuis das 
Hebelgesetz ab. Zwei Massen M und m befinden sich 
an einer Stange er, welche durch den Drehpunkt in die 
Stücke x und x — a getheilt ist. Erhält die Stange 
eine Drehung, so sind die Geschwindigkeiten und 
Wege den Hebelarmen proportional, und es soll 
M x 2 -f- m (a — x) 2 ein Minimum oder 
Mx — m(a — x) = ö werden, woraus folgt 

x = -rrrr-. — , was im Gleichgewichtsfall wirk- 



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360 Drittes KapiteL 

lieh erfüllt ist. Dagegen haben wir nun zu bemerken, 
dass erstens Massen ohne Schwere und ohne Kräfte, 
wie sie Maupertuis stillschweigend voraussetzt, immer 
im Gleichgewicht sind, und dass zweitens aus der De- 
duetion folgen würde, dass das Princip der kleinsten 
Wirkung nur im Gleichgewichtsfall erfüllt ist, was 
zu beweisen doch nicht des Autors Absicht ist. 

Wollte man die Behandlung dieses Falles mit dem 
vorigen in möglichste Uebereinstimmung bringen, so 
müsste man annehmen, dass die schweren Massen M 
und m sich fortwährend die kleinstmögliche Aenderung 
der lebendigen Kraft beibringen. Dann wäre, wenn 
wir die Hebelarme kurz mit a, b, die in der Zeitein- 
heit erlangten Geschwindig- 

__ a-1 keiten mit u und v, die 

M t A ; Hl Beschleunigung der Schwere 

X 3l-X m & 9 bezeichnen, 

Fig. i8i. M (g —u) 2 + m (g — v)* 

ein Minimum oder 
M(g — u)du + m(g — v)dv=o, und wegen der 
Hebelverbindung 

u __ _ v_ 
a ~~~ b 

du = z-dv> 

o 

aus welchen Gleichungen sofort richtig folgt 

Ma — mb - Ma — mb _ 

U = a Ma* + mb* g > • = -* Ma* + mb* 9 ' 
und für den Gleichgewichtsfall u = v = o 
Ma — mb = o. 
Auch diese Ableitung also, wenn man dieselbe zu 
berichtigen sucht, führt zum Gauss'schen Princip. 

4. Auch die Lichtbewegung behandelt Maupertuis 
nach dem Vorgange von Fermat und Leibnitz in seiner 
Weise, nimmt aber hier die „kleinste Wirkung" wieder in 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 361 

einem ganz andern Sinn. Für die Brechung soll der 
Ausdruck m • A B + n • B B ein Minimum sein, wobei 
AB und BB die Lichtwege im ersten und zweiten 
Medium, m und n die zugehörigen Geschwindigkeiten be- 
deuten. Allerdings erhält man, wenn B der Minimumbe- 
dingung entsprechend bestimmt wird, -t-£ = — = const. 

smß ffi 

Allein vorher bestand die „Wirkung* 4 in der Aenderung 
der Ausdrücke Masse X Geschwindigkeit X Weg, hier 
besteht sie in der Summe derselben. Vorher kamen 
die in der Zeiteinheit zurückgelegten Wege, jetzt 
kommen die überhaupt durchlaufenen Wege in Be- 
tracht. Haben wir nicht m AB — n B B oder (m — »). 
(AB — BB) als ein Minimum 
zu betrachten, und warum nicht? 
Nimmt man aber auch die Mau- 
pertuis'Bche Auffassung an, so 
kommen doch die reciproken 
Werthe der Lichtgeschwindig- 
keiten statt der wirklichen zum 
Vorschein. 

Wie man sieht, kann von F{ J88 

einem Maupertuis'schen Prin- 

cip eigentlich nicht die Bede sein, sondern nur von einer 
verschwommenen symbolischen Formel, welche mit 
Hülfe grosser Ungenauigkeit und einiger Gewalt verschie- 
dene bekannte Fälle unter einen Hut bringt. Es war noth- 
wendig hierauf einzugehen, weil Maupertuis' Leistung 
noch immer mit einem gewissen historischen Nimbus 
umgeben ist. Fast scheint es, als ob etwas von dem 
frommen Glauben der Kirche in die Mechanik über- 
gegangen wäre. Doch ist Maupertuis 9 Streben, einen 
weitern Blick zu thun, wenn auch seine Kräfte nicht 
zureichten, nicht ganz erfolglos gewesen. Euler, viel- 
leicht auch Gauss, ist durch diese Versuche angeregt 
worden. 

5. Euler meint, man könne die Naturerscheinungen 
sowol aus den wirkenden Ursachen wie aus dem End- 




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362 Drittes Kapitel. 

zweck begreifen. Nimmt man den letztern Standpunkt 
ein, so wird man von vornherein vermuthen, dass jede 
Naturerscheinung ein Maximum o der Minimum dar- 
bietet. Welcher Art dieses Maximum oder Minimum 
sei, kann allerdings durch metaphysische Betrachtungen 
schwer ermittelt werden. Löst man aber z. B. mecha- 
nische Aufgaben in der gewöhnlichen Weise, so kann 
man bei genügender Aufmerksamkeit den Ausdruck 
finden, welcher in allen Fällen zu einem Maximum oder 
Minimum wird. Euler wird also durch seinen meta- 
physischen Hang nicht irregeführt, und geht viel 
wissenschaftlicher vor als Maupertuis. Er sucht einen 
Ausdruck, dessen Variation = o gesetzt, die gewöhn- 
lichen Gleichungen der Mechanik liefert. 

Für einen Körper, der sich unter dem Einfluss von 
Kräften bewegt, findet Euler den gesuchten Ausdruck 
in der Form fvds, wobei ds das Wegelement und v 
die zu demselben gehörige Geschwindigkeit bedeutet. 
Dieser Ausdruck wird nämlich für die Bahn, welche 
der Körper wirklich einschlägt, kleiner als für jede 
andere unendlich nahe Nachbarbahn mit demselben An- 
fangs- und Endpunkte, welche man dem Körper auf- 
zwingen möchte. Man kann also auch umgekehrt da- 
durch, dass man die Bahn sucht, welche fvds zu 
einem Minimum macht, diese Bahn selbst bestimmen. 
Die Aufgabe fv ds zu einem Minimum zu machen, hat 
natürlich, wie dies Euler als selbstverständlich voraus- 
setzt, nur einen Sinn, wenn v von dem Orte der Ele- 
mente d s abhängt, wenn also für die wirkenden Kräfte 
der Satz der lebendigen Kräfte gilt, oder eine Kraft- 
function besteht, d. h. wenn v eine blosse Function 
der Ooordinaten ist. Für die Bewegung in einer Ebene 
würde der Ausdruck dann die Form 



y>(*,*)^i+(|) 3 - d * 



\dx) 
annehmen. In den einfachsten Fällen ist der Euler'sche 



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Die weitere Verwendung der Principien u. 8. w. 363 

Säte leicht zu prüfen. Wirken keine Kräfte, so bleibt 
v constant und die Bewegungscurve wird eine Gerade, 
für welche fv d $ = vf d $ zweifellos kürzer wird als 
für jede andere Curve zwischen denselben Endpunkten. 
Auch ein Körper, der sich ohne Kräfte auf einer krummen 
Fläche ohne Reibung bewegt, behält auf derselben seine 
Geschwindigkeit bei, und beschreibt auf der Fläche eine 
kürzeste Linie. 

Betrachten wir die Bewegung eines geworfenen 
Körpers in einer Parabel ABO, so ist auch für die- 
selbe fv d $ kleiner als für eine andere Nachbarcurve, 
ja selbst als für die Gerade AD zwischen denselben 
Endpunkten. Die Geschwindigkeit hängt hier nur von 
der verticalen Höhe ab, welche der Körper durch- 
laufen hat, sie ist also für alle Curven in derselben 
Höhe über dieselbe. Theilen wir durch ein System 
von horizontalen Geraden die Curven 
in entsprechende Elemente, so fallen 
zwar für die obern Theile der Gera- 
den A D die mit denselben v zu mul- 
tiplicirenden Elemente kleiner aus 
als für AB, für die untern Theile 
D B, B C kehrt sich aber dieses Ver- 
hältniss um, und da gerade hier die 
grössern v ins Spiel kommen, so fällt 
dennoch für A B die Summe kleiner 




Fig. 189. 



aus. 



Legen wir den Anfangspunkt der Coördinaten nach 
A, rechnen wir die Abscisse x vertical abwärts positiv, 
und nennen y die zu derselben senkrechte Ordinate, 
so ist 

fV2ff(a + x) Y 1 + (j^ • dx zu einem Mini- 

o 

mum zu machen, wobei g die Beschleunigung der 
Schwere und a die Falltiefe bedeutet, welche der An* 



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364 Drittes Kapitel. 

fangsgeschwindigkeit entspricht. Die Variationsrechnung 
ergibt als Bedingung des Minimums 



V~2^(a + *; 



— = C oder 



~5 — == ^^zzzzzzzzz^^m oder 



y 






und 







y = — 1/2^(a + a;) — C 2 + C, wobei C und C 
Integrationsconstante bedeuten , welche in G = 1/2 0a 

und C = übergehn, wenn man für x = 0, — = — = 

ay 

und y = nimmt, wodurch 

y = 2 l/ a # wird. Man erhält also auf diesem Wege 

die bekannte parabolische Wurfbahn. 

6. Lagrange hat später aus drücklich hervorgehoben, 
dass der Euler'sche Satz nur in jenen Fällen anwend- 
bar ist, in welchen der Satz der lebendigen Kräfte gilt. 
Jacobi hat gezeigt, dass man eigentlich nicht behaupten 
kann, dass für die wirkliche Bewegung fv ds ein Mi- 
nimum ist, sondern nur, dass die Variation dieses Aus- 
druckes beim Uebergang zu einem unendlich nahen 
Nachbarweg = wird. Diese Bedingung trifft wol 
im allgemeinen mit einem Maximum oder Minimum zu- 
sammen, sie kann aber auch statthaben, ohne dass ein 
Maximum oder Minimum vorhanden ist, und die Mini- 
mumeigenschaft insbesondere hat gewisse Grenzen. Be- 



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Die weitere Verwendung der Prinoipien u. s. w. 365 

wegt sich z. B. ein Körper auf einen Anstoss hin auf 
einer Kugelfläche, so beschreibt er einen grössten Kreis, 
im allgemeinen eine kürzeste Linie. Ueberschreitet 
aber die Länge des grössten Kreises 180°, so lässt sich 
leicht nachweisen, dass es dann kürzere unendlich nahe 
Nachbarwege zwischen den Endpunkten gibt. 

7. Es ist also bisher nur gezeigt worden, dass man 
die gewöhnlichen Bewegungsgleichungen erhält, indem 
man die Variation von f v d s der Null gleichsetzt. Da 
nun die Eigenschaften der Bewegung der Körper oder 
der zugehörigen Bahnen sich immer durch der Null 
gleichgesetzte Differentialausdrücke definiren lassen, da 
ferner die Bedingung, dass die Variation eines Integral- 
ausdrucks der Null gleich werde, ebenfalls durch 
Differentialausdrücke, welche der Null gleichgesetzt 
werden, gegeben ist, so lassen sich ohne Zweifel noch 
viele andere Integralausdrücke erdenken, welche durch 
Variation die gewöhnlichen Bewegungsgleichungen lie- 
fern, ohne dass diese Integralausdrücke deshalb eine 
besondere physikalische Bedeutung haben müssten. 

8. Auffallend bleibt es immer, dass ein so ei nf acher 
Ausdruck wie fvds die berührte Eigenschaft hat, und 
wir wollen nun versuchen, den physikalischen Sinn 
desselben zu ermitteln. Hierbei werden uns die Ana- 
logien zwischen der Massenbewegung und der Licht- 
bewegung, sowie zwischen der Massenbewegung und 
dem Fadengleichgewicht sehr nützlich sein, welche von 
Johann Bernoulli, beziehungsweise von Möbius bemerkt 
worden sind. 

Ein Körper, auf den keine Kraft wirkt, der also eine 
constante Geschwindigkeit und Richtung beibehält, be- 
schreibt eine Gerade. Ein Lichtstrahl in einem ho- 
mogenen Medium (von überall gleichem Brechungsexpo- 
nenten) beschreibt eine -Gerade. Ein Faden, der nur 
an seinen Endpunkten von Kräften ergriffen wird, bil- 
det eine Gerade. 

Ein Körper, der sich auf einer krummen Bahn von A 
nach B bewegt, und dessen Geschwindigkeit t; = <p(x,y, &) 



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366 Drittes Kapitel. 

von den Coordinaten abhängt, beschreibt zwischen A 
und B eine Curve, für welche fvds im allgemeinen 
ein Minimum ist. Dieselbe Curve kann ein von A nach 
B verlaufender Lichtstrahl beschreiben, wenn der 
Brechungsexponent des Mediums n = 9 (#, y, z) die- 
selbe Function der Coordinaten ist, und in diesem Fall 
wird f n d s ein Minimum. Dieselbe Curve kann end- 
lich auch ein von A nach B verlaufender Faden ein- 
nehmen, wenn dessen Spannung S = 9 (x t y, z) die 
obige Function der Coordinaten ist, und wieder wird 
für diesen Fall f S d s ein Minimum. 

Aus einem Fall desFadengleichgewichtslässt sich 
der entsprechende Fall der Massenbewegung leicht in 
folgender Weise herleiten. An dem Element d$ eines 
Fadens wirken zu beiden Seiten die Spannungen S, S', 
und wenn auf die Längeneinheit 
des Fadens die Kraft P entfallt, 
noch die Kraft P • d s. Diese 
drei Kräfte, welche wir der 
Grösse und Richtung nach durch 
BA, BC, BD darstellen, hal- 
ten sich das Gleichgewicht. Tritt 
nun ein Körper mit einer der 
FijTIüo. *~* Grösse und Richtung nach durch 
A B dargestellten Geschwindig- 
keit v in das Bahnelement ds ein, und erhält in dem- 
selben die Geschwindigkeitscomponente B F ' = — B D, 
so geht er mit der Geschwindigkeit 1/ = B fort. Ist 
Q eine der P entgegengesetzte beschleunigende Kraft, 
so entfällt auf die Zeiteinheit die Beschleunigung Q, 

Q 

auf die Fadenlängeneinheit — und auf das Faden- 

Q 

element der Geschwindigkeitszuwachs — d s. Die Be- 
wegung findet also nach der Fadencurve statt, wenn 
wir zwischen den Kräften P und den Spannungen S 
am Faden einerseits, den beschleunigenden Kräften Q, 




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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 367 

welche die Masse ergreifen, und ihren Geschwindig* 
keiten v andererseits die Beziehung festsetzen: 

P: — $- = S:v. 
v 

Durch das Zeichen — ist der Gegensatz der Richtung 
zwischen P und Q fixirt. 

Ein kreisförmiger geschlossener Faden ist im Gleich- 
gewicht, wenn zwischen der überall constanten Faden- 
spannung S und der radial auswärts auf die Längen- 
einheit entfallenden Kraft P die Beziehung besteht 

o 

P = — , wobei r der Kreisradius ist. Ein Körper be- 
wegt sich mit der constanten Geschwindigkeit v im 
Kreise, wenn zwischen der Geschwindigkeit und der 
radial einwärts wirkenden beschleunigenden Kraft Q 
die Beziehung besteht 

«- = iLoder« = ^. 
v r r 

Ein Körper bewegt sich mit constanter Geschwin- 
digkeit v in einer beliebigen Curve, wenn stets nach 
der Richtung gegen den Krümmungsmittelpunkt des 

Elementes eine beschleunigende Kraft Q = — auf den- 
selben wirkt. Ein Faden verläuft mit constanter 
Spannung S nach einer beliebigen Curve, wenn auf die 
Längeneinheit desselben vom Krümmungsmittelpunkt des 

Elementes weg eine Kraft P = — wirkt. 

r 

In Bezug auf die Lichtbewegung ist ein dem Kraft- 
begriff analoger Begriff nicht gebräuchlich. Die Ab- 
leitung der entsprechenden Lichtbewegung aus einem 
Fadengleichgewicht oder einer Massenbewegung 
muss daher in anderer Weise stattfinden. Eine Masse be- 
wege sich mit der Geschwindigkeit A B = v. Fig. 191. 
Nach BD wirke eine Kraft, welche den Geschwindigkeits- 



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368 



Drittes Kapitel. 



Zuwachs BE bedingt, sodass durch die Zusammen- 
setzung der Geschwindigkeiten B = A B und B JE 
die neue Geschwindigkeit B F = v 1 entsteht. Zerlegt 
man die Geschwindigkeiten v, v 1 in Componenten pa- 
rallel und senkrecht zu jener Kraft, so erkennt man, dass 
nur die Parall el comp orten te durch die Kraftwirkung 
geändert wird. Dann ist aber, wenn k die senkrechte 
Gomponente heisst, und die Winkel von v und v' mit 
der Kraftrichtung mit a, a' bezeichnet werden, 



K = V ' 


sin a 




h = v' 


• sina' 


oder 


ßin a 


v' 





H 



K 



sm a v 

Denken wir uns einen Lichtstrahl, welcher nach der 
Richtung von v eine zur Kraftrichtung 
senkrechte brechende Ebene durch- 
setzt, und hierbei aus einem Medium 
vom Brechungsexponenten n in ein 
Medium vom Brechungsexponenten n' 

übergeht, wobei — ; = — 7, so be- 
»' v 

schreibt dieser Lichtstrahl denselben 
Weg, wie der gedachte Körper. 
Will man eine Massenbewegung 
durch eine Lichtbewegung (in 
derselben Curve) nachahmen, so hat 
Fig. 191. man überall die Brechungsexponen- 

ten n den Geschwindigkeiten pro- 
portional zu setzen. Um die Brechungsexponenten n 
aus den Kräften abzuleiten, ergibt sich zunächst für die 
Geschwindigkeit 

d i— - ) = Pdq und analog 

.*$) = ***' 

wobei P die Kraft und dq ein Wegelement nach der 



\ 


B 


E 
D 


1 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. >w. 369 



Richtung derselben bedeutet. Heisst ds das Bahnele- 
ment und a der Winkel desselben gegen die Kraft- 
richtung, so ist 



'(t)- 



P cos a • ds 



P COBOL ' ds. 



Für die Bahn eines geworfenen Körpers erhielten wir 
unter den oben angegebenen Voraussetzungen y= 2*\/lix. 
Dieselbe parabolische Bahn kann ein Lichtstrahl be- 
schreiben, wenn für den Brechungsexponenten das Ge- 
setz n = Y2g (a~{~ x) angenommen wird. 

9. Wir wollen nun näher untersuchen, wie die frag- 
liche Minimumeigenschaft mit 
der Form der Curve zu- 
sammenhängt. Nehmen wir 
zunächst eine gebrochene Ge- 
rade ABC an, welche die 
Gerade M N durchschneidet, 
setzen AB = s, BC = s', 
und suchen die Bedingung da- 
für, dass v > s -{- v' • s' für 
die durch die festen Punkte 
A und B hindurchgehende 
Linie ein Minimum werde, 
wobei v und v' oberhalb und 
unterhalb M N einen verschiedenen, aber constanten 
Werth haben soll. Verschieben wir den Punkt B un- 
endlich wenig nach D, so bleibt den neue Linienzug 
durch A und G dem ursprünglichen parallel, wie dies 
die Zeichnung symbolisch andeutet. Der Werth des 
Ausdrucks 

v s + v' s' wird hierbei um 
— v m sin a -f- v ' m sm ol' 
vermehrt , wenn m = D B, oder um 
— v sin a -I- v' sin a'. 




Fig. 192. 



Mach. 



24 



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370 



Drittes Kapitel. 



der 



Es ist demnach die Bedingung des Minimums, dass 

— t; sin a -f- v 1 sin a' = o 

sin a v' 

sin a' v 

s «' 
Soll der Ausdruck — A — T ein Minimum werden, so 

ergibt sich ganz analog 

sin a v 
sm ol w 

Wenn wir zunächst einen nach ABC gespannten 
Faden betrachten, dessen Spannungen S und S' ober 
und unter M N verschieden sind, 
bo handelt es sich um das Mi- 
nimum von S • s -f- S' • s'. Um 
einen anschaulichen Fall vor Augen 
zu haben, denken wir uns den 
Faden zwischen A und B ein- 
mal, zwischen B und dreimal 
gewunden, und schliesslich ein 
Gewicht P angehängt. Dann ist 
S = P, S' = 3 P Verschieben 
wir den Punkt B um m, so 
drückt die Verminderung des 
Ausdrucks S s + S' s' die Ver- 
mehrung der Arbeit aus, 
welche das angehängte Gewicht P hierbei leistet. Ist 
— S m ' sin a -f- S' m sin a' = o, so wird keine Arbeit 
geleistet. Mit dem Minimum von S s + S' • s' fallt 
also ein Maximum von Arbeitsleistung zusammen, und 
somit ist der Satz der kleinsten Wirkung in diesem 
Fall nur eine andereForm des Satzes der virtuellen 
Verschiebungen. 

AB C sei nun ein Lichtstrahl, dessen Geschwindig- 
keiten v und v' ober und unter M N sich beispiels- 
weise wie 3 zu 1 verhalten mögen. Ein Lichtstrahl 
bewegt sich zwischen A und B so, dass er in einem 




Fig. 193. 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 371 

Minimum von Zeit von A nach B gelangt. Das hat 
einen einfachen physikalischen Grund. Das Licht geht 
in Form von Elementarwellen auf verschiedenen Wegen 
von A nach B. Wegen der Periodicität des Lichts 
zerstören sich aber die Wellen im allgemeinen, und nur 
die, welche in gleichen Zeiten, also mit gleichen Phasen 
eintreffen, geben ein Resultat. Dies findet aber nur 
für die Wellen statt, welche auf dem Minimumwege 
und dessen nächsten Nachbar wegen anlangen. Deshalb 
ist für den vom Lichte thatsächlich eingeschlagenen Weg 

s s' 

1 j- ein Minimum. Da die Brechungsexponenten n 

den Lichtgeschwindigkeiten v umgekehrt proportionirt 
sind, so ist auch 

n • s + n' ' s' ein Minimum. 

Bei Betrachtung einer Massenbewegung tritt uns 
die Bedingung, dass v s -f- v' s' ein 
Minimum sei , als etwas Neues ent- 
gegen. Erhält eine Masse beim 
•Ueberschreiten eines Niveaus M N 
eine Geschwindigkeitsvermehrung von 
v auf v' durch die Wirkung einer 
nach D B gerichteten Kraft, so ist 
für den wirklich eingeschlagenen Weg 
v sin öl = v' sin a' = Je. Diese 
Gleichung, welche zugleich die 
Bedingung des Minimums ist, 
drückt nichts anderes aus, als 
dass nur die der Kraftrichtung parallele Ge- 
schwindigkeitscomponente eine Veränderung 
erleidet, während die zu derselben senkrechte 
Componente k ungeändert bleibt. Der Euler'sche 
Satz gibt also auch hier nur den Ausdruck einer ge- 
läufigen Thatsache in neuer Form. 

Zu dieser 1883 gegebenen Darstellung habe ich Fol- 
gendes hinzuzufügen. Man sieht, dass das Princip der 

24* 



c 

M 


k 


A 
Dk. 


N 




B 


\ 


fi 



Fig. 194. 



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372 Drittes Kapitel. 

kleinsten Wirkung, und so auch alle andern Minimum- 
principien der Mechanik, nichts anderes ausdrücken, als 
dass in den betreffenden Fällen gerade so viel ge- 
schieht, als unter den gegebenen Umständen ge- 
schehen kann, als durch dieselben bestimmt und 
zwar eindeutig bestimmt ist. Die Ableitung von 
Gleichgewichtsfällen aus der eindeutigen Bestimmtheit 
wurde schon besprochen, und dieselbe wird noch an einer 
spätem Stelle in Betracht gezogen. In Bezug auf die 
dynamischen Fälle ist aber die Bedeutung der eindeu- 
tigen Bestimmtheit besser und durchsichtiger, 
als es mir gelungen war, von J. Petzoldt dargestellt 
worden in seiner Schrift: „Maxima, Minima und Oeko- 
nomie" (Altenburg 1891). Er sagt daselbst (S. 11): 
„Bei allen Bewegungen lassen sich also die wirklich 
genommenen Wege immer als ausgezeichnete Fälle 
unter unendlich vielen denkbaren auffassen. Ana- 
lytisch heisst das aber nichts Anderes als: es müssen 
sich immer Ausdrücke finden lassen, welche dann, wenn 
ihre Variation der Null gleichgesetzt wird, die Differen- 
tialgleichungen der Bewegung liefern, denn die Variation 
verschwindet ja nur, wenn das Integral einen einzig- 
artigen Werth annimmt." 

In der That sieht man, dass in dem eben behandelten 
Beispiel ein Geschwindigkeitszuwachs lediglich im Sinne 
der Kraft eindeutig bestimmt ist, dass dagegen zu- 
wachsende Geschwindigkeitscomponenten senkrecht gegen 
die wirksame Kraft unendlich viele ganz gleichberech- 
tigte denkbar wären, die also durch das Princip der 
eindeutigen Bestimmtheit ausgeschlossen sind. Ich stimme 
Petzoldt vollkommen bei, wenn er sagt: „Somit sind 
die Sätze von Euler und Hamilton und nicht minder 
der von Gauss nichts Anderes als analytische Aus- 
drücke für die Erfahrungstatsache, dass die 
Naturvorgänge eindeutig bestimmte sind." Die 
„Einzigartigkeit" des Minimums ist entscheidend. 

10. Die oben angeführte Minimumbedingung 
— v sin ol + v' sin a' = o 



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Die weitere Verwendung der Prinoipien u. b. w. 373 

können wir, wenn wir von einer endlichen geknickten Ge- 
raden zu Curvenelementen übergehen, auch so schreiben 

— v sin a -f- (v + dv) sin (a -f- da) = o 

oder 

d (v sin a) = o 

oder endlich 

v sin a = const. 

Entsprechend erhalten wir für die Fälle der Licht- 
bewegung 

d (n sin a) = o, n sin a = const 



A*¥\— 



sin a 
= const 



und für das Fadengleichgewicht 

d {ß sin a) = 0, S sin a = const. 

Um das Vorgebrachte gleich durch ein Beispiel zu 
erläutern, betrachten wir die para- 
bolische Wurfbahn, wobei also a stets 
den Winkel a des Bahnelementes 
gegen die Verticale bedeutet. Die Ge- 
schwindigkeit sei v = 1/2 9 (« + x )i 
und die Axe der y sei horizontal. Die 
Bedingung v • sin a = const, oder 
dy 




Fig. 195. 



y2g(a + x) -j- = const. fällt mit der- 

jenigen zusammen, welche die Va- 
riationsrechnung ergibt, und wir 
kennen nun den einfachen physikalischen Sinn der- 
selben. Denken wir uns einen Faden, dessen Spannung 
S=. *J/2 g (a ■+- #), was etwa erreicht werden könnte, wenn 
man auf parallele in einer Verticalebene liegende horizon- 
tale Schienen Rollen ohne Reibung legen, zwischen diesen 
den Faden entsprechend winden, und schliesslich ein Ge- 
wicht anhängen würde, so erhalten wir für das Gleichge- 
wicht wieder die obige Bedingung, deren physikalischer 



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374 Drittes Kapitel. 

Sinn nun einleuchtet. Die Form des Fadens wird pa- 
rabolisch, wenn wir die Distanzen der Schienen unend- 
lich klein werden lassen. In einem Medium, dessen 
Brechungsexponent nach dem Gesetz n = |/2 g (a -f- x) 
oder dessen Lichtgeschwindigkeit nach dem Gesetz 



v = ==. in verticaler Richtung variirt, beschreibt 

Y2g(a + x) 

ein Lichtstrahl eine parabolische Bahn. Würde man in 

einem solchen Medium v = *J/2 g (a -f- x) setzen , so 
würde der Strahl eine Cycloide beschreiben, für welche 



ds 




nicht fy 2g (a + x) • ds, sondern / === ein 

Minimum wäre. 

11. Bei Vergleichung eines Fadengleichgewichts mit 
der Massenbewegung kann 
man statt des mehrfach durch- 
gewundenen Fadens einen ein- 
fachen homogenen Faden an- 
wenden, wenn man denselben 
einem passenden Kraffcsystem 
unterwirft, welches die ver- 
langten Spannungen bewirkt. 
Man bemerkt leicht, dass die 

Kraftsysteme, welche die Spannung, beziehungsweise die 
Geschwindigkeit, zu gleichen Functionen der Coordina- 
ten machen, verschieden sind. Betrachtet man z. B. die 
Schwerkraft, so ist v = V2 g (a -\- x). Ein Faden unter 
dem Einfluss der Schwere bildet aber eine Kettenlinie, 
für welche die Spannung durch die Formel S = m — nx 
gegeben ist, wobei m und n Constanten sind. Die Ana- 
logie zwischen dem Fadengleichgewicht und der Massen- 
bewegung ist wesentlich dadurch bedingt, dass für den 
Faden, der Kräften unterworfen ist, welchen eine Kraft- 
function U entspricht, im Gleichgewichtsfalle die leicht 
nachweisbare Gleichung U + S = const besteht. Die 



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Die weitere Verwendung der Prineipien u. s. w. 375 

oben für die einfachen Fälle gegebene physikalische 
Interpretation des Satzes der kleinsten Wirkung lässt 
sich auch in complicirtern Fällen festhalten, wenn man 
sich Scharen von Flächen gleicher Spannung, gleicher 
Geschwindigkeit oder gleicher Brechungsexponenten 
construirt denkt, welche den Faden, die Bewegungsbahn 
oder die Lichtbahn in Elemente theilen, und nun unter 
ol den Winkel dieser Elemente gegen die zugehörigen 
Flächennormalen versteht. Lagrange hat den Satz 
der kleinsten Wirkung auf ein System von Massen ausge- 
dehnt, und in der Form gegeben 

8 2 m/v ds = o. 

Bedenkt man, dass durch die Verbindung der Massen 
der Satz der lebendigen Kräfte, welcher die wesent- 
liche Grundlage des Satzes der kleinsten Wirkung ist, 
nicht aufgehoben wird, so findet man auch für diesen 
Fall letztern Satz gültig und physikalisch verständlich. 



9. Der HamütQri'sche Satz. 

1. Es wurde schon bemerkt, dass sich verschiedene 
Ausdrücke erdenken lassen, welche so beschaffen sind, 
dass durch Nullsetzung der Variationen derselben die 
gewöhnlichen Bewegungsgleichungen gewonnen werden. 
Einen solchen Ausdruck enthält der Hamilton'sche Satz 



bf\u+T)dt = o 

*0 



oder 

\hU+hT)dt = o 



ft 



in welchem S U und 8 T die Variationen der Arbeit 
und der lebendigen Kraft bedeuten, die aber für die An- 
fangs- und Endzeit verschwinden müssen. Der Hamil- 
ton'sche Satz ist leicht aus dem d'Alembert'schen ab- 
zuleiten und umgekehrt letzterer aus dem erstem, weil 



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376 Drittes Kapitel. 

beide eigentlich identisch und nur der Form nach ver- 
schieden sind. 1 

2. Wir wollen, von weitläufigem Untersuchungen 
absehend, zur Darlegung der Identität beider Sätze 
ein Beispiel benutzen, und zwar dasselbe, welches 
uns zur Erläuterung des d'Alemb er t' sehen Satzes schon 
gedient hat. Wir betrachten die Bewegung des Well- 
rades durch Ueberwucht. Wir können statt der wirk- 
lichen Bewegung des Wellrades uns eine von derselben 
unendlich wenig verschiedene in derselben Zeit ausge- 
führte, denken, welche zu Anfang und zu Ende mit der 
wirklichen genau zusammenfällt. Dadurch entstehen in 
jedem Zeitelement dt Aenderungen der 
Arbeit (8 TT) und der lebendigen Kraft 
(51), derjenigen Werthe U und T, 
welche bei der wirklichen Bewegung 
vorhanden wären. Der obige Integral- 
ausdruck ist aber für die wirkliche 
Bewegung = o, und kann also auch zur 
Bestimmung derselben benutzt werden. Fi ^ 

Aendert sich in einem Zeitelement dt 
der Drehungswinkel um a gegen denjenigen, welcher 
bei der wirklichen Bewegung vorhanden wäre, so ist 
die entsprechende Aenderung der Arbeit 

6 U=(PB — Qr)a= Mol. 

Für die Winkelgeschwindigkeit o ist die lebendige 
Kraft 




ariation 5 <•) wird 



und für die Variation 5 o wird 



1 VgL.z. B. Kirchhoff, Vorlesungen über mathematische 
Physik, Mechanik, S. 25, und Jacobi, Vorlesungen über 
Dynamik, S. 58. 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 377 

Variirt aber der Drehungswinkel in dem Elemente 

dt um a, so ist 80 = -r-— und 
dt 

~9 
Der Integralausdruck hat also die Form 



» t-4 ('«• + «'•) -j7=» -,r- 



yt*" + *s-]"- 



Da 



80 ist 



'0 






/( jf -4?)»-" + M — 

Der zweite Theil der linken Seite fallt aber, weil zu 
Anfang und zu Ende der Bewegung a = vorausge- 
setzt wird, aus. Wir erhalten demnach 



'1 



was, weil a in jedem Zeitelement willkürlich ist, nicht 
bestehen kann, wenn nicht allgemein 

tut dN 

ist. Mit Rücksicht auf die Bedeutung der Buchstaben 
gibt dies die schon bekannte Gleichung 

du __ PB — Qr 
dt — PB* + Qr* 9 ' 



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378 Drittes Kapitel. 

Man könnte umgekehrt von der für jede mögliche 
Verschiebung gültigen Gleichung 

(—-£)—• 

welche der d'Alembert'sche Satz gibt, zu dem Ausdruck 
von diesem zu 

A M ' +s w) d '=' 

'o 
übergehen. 

3. Als ein zweites noch einfacheres Beispiel betrach- 
ten wir die verticale Fallbewegung. Für jede unend- 
lich kleine Verschiebung s besteht die Gleichung 

(dv\ 
mg — m -tt-J s = 0, in welcher die Buchstaben die 

conventioneile Bedeutung haben. Folglich besteht auch 
die Gleichung 

welche vermöge der Beziehungen 



/(« 



, (m v s) d v ds 

d — = m — s + wv-r- und 
dt dt dt 

/d{mvs).. ( \ 

— [ —dt=(mvs) = o, 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 379 

falls s an beiden Grenzen verschwindet in 
h 



f(mgs + mv^)dt = o, 



*0 

also in die Form des Hamilton 1 sehen Satzes übergeht. 
So verschieden also die mechanischen Sätze auch 
aussehen, enthalten sie doch nicht den Ausdruck ver- 
schiedener Thatsachen, sondern gewissermaassen nur 
die Betrachtung verschiedener Seiten derselben That- 
sache. 



10. Einige Anwendungen der Sätze der Mechanik auf 
hydrostatische und hydrodynamische Aufgaben. 

1. Wir wollen die gegebenen Beispiele für die An- 
wendung der Sätze der Mechanik, welche sich auf 
Systeme von starren Körpern bezogen, noch durch 
einige hydrostatische und hydrodynamische Anwendungen 
ergänzen. Wir -besprechen zunächst die Gleichge- 
wichtsgesetze einer schwerlosen Flüssigkeit, die nur 
unter dem Einfluss der sogenannten Molecularkräfte 
steht. Wir wollen bei unserer Ueberlegung von den 
Schwerkräften absehen. Wir können aber nach Plateau 
eine Flüssigkeit auch in Verhältnisse bringen, in welchen 
dieselbe sich so befindet, als ob keine Schwerkräfte 
vorhanden wären. Dies geschieht z. B., wenn wir 
Olivenöl in eine Alkohol -Wassermischung von dem 
speeifischen Gewichte des Oels eintauchen. Nach dem 
Satz des Archimedes wird das Gewicht der eltheile 
in einem solchen Gemenge eben getragen und die 
Flüssigkeit verhält sich in der That wie schwerlos. 

2. Denken wir zunächst an eine frei im Räume be- 
findliche schwerlose Flüssigkeitsmasse. Wir wissen von 
den Molecularkräften zunächst, dass sie nur auf sehr 
kleine Entfernungen wirken. Um ein Theilchen a, ft, c 
im Innern der Flüssigkeitsmasse können wir mit der 



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380 Drittes Kapitel. 

Entfernung, auf welche die Molecularkräfte keine mess- 
bare Wirkung mehr üben, als Radius eine Kugel be- 
schreiben, die sogenannte Wirkungssphäre. Diese Wir- 
kungssphäre ist um die Theilchen a, ft, c herum gleich- 
massig und regelmässig mit andern Theilchen erfüllt. 
Die resultirende Kraft auf die Theilchen a, 5, c re- 
ducirt sich also auf Null. Nur jene Theile, deren Ent- 
fernung von der Oberfläche kleiner ist als der Radius 
der Wirkungssphäre, befinden sich in andern Kraftver- 
hältnissen als die Theilchen im Innern. Betrachten 
wir sämmtliche Krümmungsradien der Oberflächenele- 
mente der Flüssigkeitsmasse als sehr gross gegen den 
Eadius der Wirkungssphäre, so können wir eine Ober- 
flächenschicht von der Dicke des Radius der Wirkungs- 
sphäre abschneiden, in welcher sich nun die Theilchen 





Fig. 198. Fig. 199. 



in andern physikalischen Verhältnissen befinden als im 
Innern. Führen wir ein Theilchen a im Innern von 
a nach b oder c, so bleibt es in denselben physikalischen 
Verhältnissen, und dasselbe gilt von den Theilchen, 
welche die von dem erstem verlassenen Räume ein- 
nehmen. Arbeit kann auf diese Weise nicht geleistet 
werden. Arbeit wird im Gregentheil nur geleistet, wenn 
ein Theilchen aus der Oberflächenschicht ins Innere 
oder aus dem Innern in die Oberflächenschicht geführt 
wird. Arbeit kann also nur geleistet werden bei Ver- 
änderung der Grösse der Oberfläche. Es kommt hier- 
bei zunächst gar nicht darauf an, ob etwa die Dichte 
in der Oberflächenschicht dieselbe ist wie im Innern, 
oder ob sie durch die ganze Dicke der Schicht con- 



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/ o 



Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 381 

stant ist. Wie man leicht erkennt, bleibt die Arbeits- 
leistung an die Veränderung der Oberfläche auch noch 
gebunden, wenn die fragliche Flüssigkeitsmasse in eine 
andere Flüssigkeit eingetaucht ist, wie dies bei Pla- 
teau's Versuchen der Fall war. 

Wir müssen nun fragen, ob bei Verkleinerung der 
Oberfläche durch Ueberführung von Theilchen ins Innere 
die Arbeit positiv oder negativ ist, d. h. ob Arbeit ge- 
leistet oder hierbei aufgewandt wird. Da zwei sich 
berührende Flüssigkeitstropfen von selbst in einen zu- 
sammenfliessen, wobei sich die Oberfläche verkleinert, 
so ergibt sich eine Arbeitsleistung (positive Arbeit) bei 
Verkleinerung der Oberfläche. Van der Mensbrughe 
hat die positive Arbeitsleistung bei Verkleinerung 
der Flüssigkeitsoberfläche durch 
ein anderes sehr schönes Experi- 
ment demonstrirt. Man taucht ein 
Drahtquadrat in Seifenlösung und 
legt auf die sich bildende Seifen- 
haut einen benetzten geschlossenen 
Fig. 200. Faden. Stösst man die vom Faden 

eingeschlossene Flüssigkeit durch, 
so zieht sich die umgebende Seifenhaut zusammen, und 
der Faden begrenzt ein kreisförmiges Loch der Flüssig- 
keitsplatte. Da der Kreis die grösste Fläche bei ge- 
gebenem Fadenumfang vorstellt, so hat sich also die 
übrigbleibende Flüssigkeitshaut auf ein Minimum von 
Fläche zusammengezogen. 

Wir erkennen nun ohne Schwierigkeit Folgendes. 
Eine schwerlose, den Molecularkräften unterworfene 
Flüssigkeit wird bei jener Form im Gleichgewicht sein, 
bei welcher ein System von virtuellen Verschiebungen 
keine Veränderung der Oberflächengrösse hervorbringt. 
Als virtuelle Verschiebungen können aber alle unend- 
lich kleinen Formänderungen angesehen werden, welche 
ohne Veränderung des Flüssigkeitsvolums zulässig sind. 
Gleichgewicht besteht also für jene Formen, für welche 
eine unendlich kleine Deformation eine Oberflächen- 



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382 Drittes Kapitel. 

Variation = o hervorbringt. Für ein Minimum von 
Oberfläche bei gegebenem Flüssigkeitsvolum erhalten 
wir stabiles, für ein Maximum von Oberfläche la- 
biles Gleichgewicht. 

Die Kugel bietet die kleinste Oberfläche bei ge- 
gebenem Volum dar. Für eine freie Flüssigkeitsmasse 
wird sich also die Kugelform als Form des stabilen 
Oleichgewichts herstellen, für welche ein Maximum von 
Arbeit geleistet ist, also keine Arbeit zu leisten mehr 
übrigbleibt. Haftet die Flüssigkeit zum Theil an 
starren Körpern, so ist die Form an Nebenbedingungen 
geknüpft, und die Aufgabe wird complicirter. 

3. Um den Zusammenhang zwischen der Oberflächen- 
grösse und Oberflächenform zu untersuchen, schlagen 
wir folgenden Weg ein. Wir denken uns die ge- 
schlossene Oberfläche der Flüssigkeit ohne Volums- 
änderung unendlich wenig variirt. Die ursprüngliche 
Oberfläche zerschneiden wir 
durch zwei Scharen von (zu- 
einander senkrechten) Krüm- 
mungslinien in rechtwinkelige 
unendlich kleine Elemente. 
In den Ecken dieser Elemente 
errichten wir auf die ur- Fig. 201. 

sprüngliche Oberfläche Nor- 
malen und lassen durch dieselben die Ecken der ent- 
sprechenden Elemente der variirten Oberfläche be- 
stimmen. Einem Element d der ursprünglichen Ober- 
fläche entspricht dann ein Element dO' der variirten 
Oberfläche; dO wird in dO 1 durch eine unendlich 
kleine Verschiebung 8 n nach der Normale auswärts oder 
«inwärts und eine entsprechende Grössenveränderung 
übergeführt. 

Es seien dp, dq die Seiten des Elementes d 0. 
Dann gelten für die Seiten dp', d q' des Elementes d 0' 
die Beziehungen 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 383 

8 n) 



äq' = dq(l +?£-}, 



wobei r und r' die Krümmungsradien der die Krümmungs- 
linienelemente p, q berührenden Hauptschnitte, die so- 
genannten Hauptkrümmungsradien, vorstellen. Wir 
rechnen in der üblichen Weise den Krümmungsradius 
eines nach aussen convexen Elementes positiv, jenen 
eines nach aussen concaven Elementes negativ. Für die 
Variation des Elementes erhalten wir dann 

5 dO = dO'—dO = dpdq(l + ^\(l + *^\ — dpdq. 

j« Mit Vernachlässigung der höheren 

Potenzen von 8 n finden wir 




8 • dO 



£+£).. 



- dO. 



Fig. 202. 



Die Variation der gesammten Ober- 
fläche wird ausgedrückt durch 

hO=f{± r +±-)hn.dO . 1) 

und die Normalverschiebungen müssen 
so gewählt werden, dass zugleich 

fbn- dO = o . . .2) 

d. h. die Summe der Räume, welche durch Hinaus- 
und Hineinschieben der Oberflächenelemente entstehen 
(die letztern negativ gerechnet) Null wird, dass also das 
Volum constant bleibt. 

Die Ausdrücke 1 und 2 können nur dann beide zu- 
gleich allgemein = o gesetzt werden, wenn — -| j- 

für alle Punkte der Oberfläche denselben Werth hat. 
Dies sehen wir leicht durch folgende Ueberlegung. 
Die Elemente d der ursprünglichen Oberfläche stellen 
wir uns symbolisch durch die Elemente der Linie A X 



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384 Drittes Kapitel. 

vor, und tragen auf dieselben als Ordinaten in der 
Ebene E die Normalverschiebungen bn auf, und zwar 
die Verschiebungen auswärts nach oben als positive, 
die Verschiebungen einwärts nach unten als negative. 
Wir verbinden die Endpunkte dieser Ordinaten zu einer 
Curve und bilden deren Quadratur, wobei Flächen ober- 
halb A X als positiv, unterhalb als negativ gelten. Bei 
allen Systemen von 8 w, bei welchen die Quadratur = o 
wird, ist auch der Ausdruck 2 der Null gleich, und 
alle solche Systeme von Verschiebungen sind zulässig 
(virtuell). 

Tragen wir nun als Ordinaten in der Ebene E die 

zu den Elementen dO gehörigen Werthe von 1 T 

auf. Wir können uns jetzt leicht einen Fall denken, 
in welchem die Aus- 
drücke 1 und 2 zu- E 
gleich den Werth 
Null annehmen. Hat k Jfifryujtf&yJ^yMJJ&fiTfik X. 

aber 1 — T einen E 

r r 

verschiedenen Fig. 203. 

Werth für verschie- 
dene Elemente, so können wir immer, ohne den Null- 
werth des Ausdrucks 2 zu ändern, die & n so verthei- 
len, dass der Ausdruck 1 von der Null verschieden 

wird. Nur wenn 1 7 für alle Elemente denselben 

r r 

Werth hat, ist nothwendig und allgemein mit dem Aus- 
druck 2 zugleich der Ausdruck 1 der Null gleichge- 
setzt. 

Aus den beiden Bedingungen 1 und 2 folgt also 

— | ,- = const, d. h. die Summe der reciproken Werthe 

r v 

der Hauptkrümmungsradien (oder der Krümmungsradien 

der Hauptnormalschnitte) ist im Gleichgewichtsfalle 

über die ganze Oberfläche constant. Durch diesen Satz 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 385 

ist die Abhängigkeit der Oberflächen grosse von der 
Oberflächen form klargelegt. Der hier entwickelte Ge- 
dankengang wurde zuerst in viel ausführlicherer und 
umständlicherer Weise von Gauss eingeschlagen. Es hat 
aber keine Schwierigkeit, das Wesentliche desselben an 
einem einfachem Fall, wie es hier geschehen ist, in 
Kürze darzustellen. 

4. Eine ganz freie Flüssigkeitsmasse nimmt, wie be- 
reits erwähnt, die Kugelform an, und bietet ein abso- 
lutes Minimnm der Oberfläche dar. Die Gleichung 

1 r= const wird hier in der Form -=r- = const, 

r r B 

wobei B der Kugelradius ist, sichtlich erfüllt. Wird 
die freie Flüssigkeitsoberfläche durch zwei starre Kreis- 
ringe begrenzt, deren Ebenen einander parallel sind, 
und welche so liegen, dass die Verbindungslinie der 
Mittelpunkte zu jenen Ebenen senkrecht ist, so nimmt 
die Oberfläche die Form einer Rotationsfläche an. Die 
Natur der Meridiancurve und das von der Fläche ein- 
geschlossene Volum sind durch den Radius der Ringe 
B, den Abstand der Kreisebenen und den Werth der 

Summe 1 T für die Rotationsfläche bestimmt. 

r r' 

Die Rotationsfläche wird eine Cylinderfläche, wenn 

1 , 1 1 . 1 1 • A 

T + V=T+~ = B wi 

Für 1 7 = 0, wobei also ein Normalschnitt con- 

r r 

vex, der andere concav ist, wird die Meridiancurve 
eine Kettenlinie. Plateau hat die hierher gehörigen 
Fälle dargestellt, indem er 2 Kreisringe aus Draht in 
dem Alkohol-Wassergemisch mit Oel übergössen hat. 
Wir denken uns eine Flüssigkeitsmasse, welche von 
Flächentheilen begrenzt ist, für welche der Ausdruck 

j , einen positiven, und von andern Flächen- 

T T 

Mach. 25 



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386 Drittes Kapitel. 

theilen, für welche derselbe einen negativen Werth hat, 
oder wie wir kurz sagen wollen, von convexen und 
concaven Flächentheilen. Unschwer erkennt man, dass 
die Verschiebung der Flächen demente nach der Nor- 
male auswärts an concaven Flächentheilen eine Ver- 
kleinerung, an convexen eine Vergrösserung der Fläche 
zur Folge hat. Es wird also Arbeit geleistet, wenn 
concave Flächentheile auswärts, convexe einwärts 
sich bewegen. Es wird auch schon Arbeit geleistet, wenn 
ein Flächentheil sich auswärts bewegt, an welchem 

■ 1 7 = -f" a ist, während ein gleicher Flächentheil, 

für welchen 1 , > a ist, sich einwärts bewegt. 

T T 

Solange also verschieden gekrümmte Flächentheile 
eine Flüssigkeitsmasse begrenzen, werden die convexen 
Theile einwärts, die concaven auswärts getrieben, bis 

die Bedingung ^fck.ir = const für die ganze Ober- 



^k* 



fläche erfüllt ist. Auch wenn eine zusammen- 
hängende Flüssigkeitsmasse mehrere gesonderte Ober- 
flächentheile hat, welche durch starre Körper begrenzt 
sind, muss für den Gleichgewichtszustand der Werth 

des Ausdrucks 1 -. für alle freien Oberflächen- 

r r' 

theile derselbe sein. 

Wenn man z. B. den Baum zwischen den beiden er- 
wähnten Kreisringen (im Alkohol-Wassergemisch) mit 
Oel erfüllt, so kann man bei passender Oelmenge eine 
Cylinderfläche erhalten, die mit zwei Kugelabschnitten 
als Basisflächen combinirt ist. Die Krümmungen der 
Mantel- und Basisflächen stehen nun in der Beziehung 

— •] = 1 oder p = 2 .ß, wobei p den Kugel- 

M ©o p p 

radius und It den Radius des Kreisringes vorstellt. 
Plateau hat diese Folgerung durch den Versuch be- 
stätigt. 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 387 

5. Betrachten wir eine schwerlose Flüssigkeitsinasse, 
welche einen Hohlraum umschliesst. Die Bedingung, 

dass 1 7 denselben Werth für die innere und 

r r 

äussere Oberfläche der Flüssigkeit haben soll, ist hier 
nicht erfüllbar. Im Gegentheil, da diese Summe für 
die geschlossene äussere Fläche immer einen grössern 
positiven Werth hat, als für die geschlossene innere 
Fläche, so wird die Flüssigkeit Arbeit leistend von der 
äussern nach der innern Fläche strömen und den Hohl- 
raum zum Verschwinden bringen. Hat aber der Hohl- 
raum einen flüssigen oder gasförmigen Inhalt, der unter 
einem gewissen Druck steht, so kann die bei dem er- 
wähnten Vorgang geleistete Arbeit durch die bei der 
Compression aufgewandte Arbeit compensirt werden, 
und dann tritt Gleichgewicht ein. 

Denken wir uns eine Flüssigkeit, welche 
zwischen zwei einander sehr nahe liegen- 
den ähnlichen und ähnlich liegenden 
Flächen eingeschlossen ist. Eine solche 
Flüssigkeit stellt eine Blase vor. Sie 
kann nur mit Hülfe eines Ueberdruckes 
des eingeschlossenen Gasinhaltes im Gleich- 

Fig. 204. * 1 j 

gewicht sein. Hat die Summe 1 7 

für die äussere Fläche den Werth -f- a > 80 nft t sie für 
die innere Fläche sehr nahe den Werth — a. Eine 
ganz freie Blase wird stets die Kugelform annehmen. 
Denken wir uns eine derartige kugelförmige Blase, von 
deren Dicke wir absehen, so beträgt bei Verkleinerung 
des Kadius r um dr die gesammte Oberflächenver- 
minderung 16 • rizdr. Wird also für die Verminderung 
der Oberfläche um die Flächeneinheit die Arbeit A ge- 
leistet, so ist A • 16 r k dr die gesammte Arbeit, welche 
im Gleichgewichtsfalle durch die auf den Inhalt vom 
Drucke p aufgewendete Compressionsarbeit p*±r 2 Tzdr 

25* 




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388 Drittes Kapitel. 

compensirt sein muss. Hieraus folgt = 1?» aus 

- T 

welcher Gleichung sich A berechnen lässt, wenn r ge- 
messen und p durch ein in die Blase eingeführtes Ma- 
nometer bestimmt wird. 

Eine offene kugelförmige Blase kann nicht be- 
stehen. Soll eine offene Blase eine Gleichgewichtsform 

sein, so muss die Summe 1 — T nicht nur über jede 

der beiden Grenzflächen für sich constant, sondern sie 
muss auch für beide gleich sein. Bei der entgegen- 
gesetzten Krümmung derselben folgt ( ? = o. 

T r 

Hierbei ist also für alle Punkte r = — r'. Die Fläche ist 
eine sogenannte Fläche von nullgleicher Krümmung, 
sie ist eine Minimumfläche und ihre Elemente sind, wie 
leicht ersichtlich, stets sattelförmig. Man erhält solche 
Flächen, indem man irgendeine geschlossene Baumcurve 
aus Draht darstellt und diesen Draht in Seifenlösung 
taucht. Die Seifenhaut nimmt von selbst die Form der 
erwähnten Fläche an. 

6. Die Gleichgewi chtsfiguren der Flüssigkeiten, welche 
aus dünnen Häuten bestehen, haben eine besondere 
Eigenschaft. Die Arbeit der Schwerkräfte äussert sich 
an der ganzen Masse der Flüssigkeit, die Arbeit der 
Molecularkräfte nur an einer Oberflächenschicht. Im 
allgemeinen überwiegt die Arbeit der Schwerkraft. 
Bei dünnen Häuten treten aber die Molecularkräfte 
in ein sehr günstiges Yerhältniss zu den Schwer- 
kräften, so zwar, dass die betreffenden Figuren ohne 
besondere Veranstaltung in der freien Luft darge- 
stellt werden können. Derartige Figuren erhielt Pla- 
teau durch Eintauchen des Kantengerüstes eines Poly- 
eders (aus Draht) in Seifenlösung. Es bilden sich hier- 
bei ebene Flüssigkeitsplatten, welche mit den Draht- 
kanten und untereinander zusammenhängen. Wenn ebene 
dünne Flüssigkeitsplatten so zusammenhängen, dass sie 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 389 

in einer (hohlen) Kante aneinanderstossen, so ist für 

die Flüssigkeitsoberfläche das Gesetz 1 r =const 

nicht mehr erfüllt, denn diese Summe hat für die ebenen 
Flächen den Werth Null, für die hohle Kante aber 
einen sehr grossen negativen Werth. Nach den bisher 
gewonnenen Anschauungen sollte also die Flüssigkeit 
aus den Platten, deren Dicke immer geringer würde, 
ausströmen und bei den Kanten austreten. Diese Be- 
wegung findet auch statt. Wenn aber die Dicke der 
Platten bis zu einer gewissen Grenze abgenommen hat, 
so tritt aus physikalischen Gründen, welche, wie es 
scheint, noch nicht vollkommen bekannt sind, ein 
Gleichgewichtszustand ein. 

Wenn auch an diesen Figuren die Grundgleichung 

1 ; = const nicht mehr erfüllt ist, weil sehr dünne 

r r 

Flüssigkeitsplatten (namentlich zäher Flüssigkeiten) etwas 
andere physikalische Verhältnisse darbieten, als die- 
jenigen, von welchen wir ausgegangen sind, so zeigen 
auch diese Figuren noch immer ein Minimum der Ober- 
fläche. Die Flüssigkeitsplatten, welche mit den Drath- 
kanten und untereinander in Zusammenhang bleiben, 
stossen immer zu je dreien unter nahe gleichen Winkeln 
von 120° in einer Kante zusammen, und je 4 Kanten 
schneiden sich abermals unter nahe gleichen Winkeln 
in einer Ecke. Es lässt sich geometrisch nachweisen, 
dass diese Verhältnisse einem Minimum von Oberfläche 
entsprechen. In der ganzen Mannichfaltigkeit der hier 
besprochenen Erscheinungen drückt sich also immer 
nur die Thatsache aus, dass die Molecularkräfte durch 
Verminderung der Oberfläche (positive) Arbeit leisten. 
7. Die Gleichgewichtsfiguren , welche Plateau durch 
Eintauchen der Kantengerüste von Polyedern in Seifen- 
lösung erhielt, bilden Systeme von Flüssigkeitsplatten, 
die eine wunderbare Symmetrie darbieten. Es drängt 
sich da die Frage auf: Was hat das Gl ei chge wicht über- 



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390 



Drittes Kapitel. 



haupt mit Symmetrie und Regelmässigkeit zu schaffen? 
Die Aufklärung liegt nahe. An jedem symmetrischen 
System ist zu jeder symmetriestörenden Deformation eine 
gleiche entgegengesetzte möglich. Beiden entspricht zu- 
gleich eine positive oder eine negative Arbeit. Eine, 
wenn auch nicht hinreichende, Bedingung dafür, dass 
der Gleichgewichtsform ein Maximum oder Minimum von 
Arbeit entspreche, ist somit durch die Symmetrie erfüllt. 
Regelmässigkeit ist mehrfache Symmetrie. Wir dürfen 
uns also darüber nicht wundern, dass die Gleichge- 
wichtsformen oft symmetrisch und regelmässig sind. 

8. Die mathematische Hydrostatik hat sich an einer 
speciellen Aufgabe, betreffend die Gestalt der Erde, 

■&&Ö 



2 

Fig. 205. 



3 



entwickelt. Physikalische und astronomische Anhalts- 
punkte führten bekanntlich Newton und Huyghens zu 
der Ansicht, dass die Erde ein abgeplattetes Rotations- 
ellipsoid sei. Newton versuchte diese Abplattung zu 
berechnen, indem er sich die rotirende Erde als flüssig 
dachte, und annahm, dass alle von der Oberfläche zum 
Centrum geführten Flüssigkeitsfäden auf letzteres den- 
selben Druck ausüben müssten. Huyghens hingegen 
ging von der Annahme aus, dass die Kraftrichtungen auf 
den Oberflächenelementen senkrecht seien. Bouguer ver- 
einigt beide Annahmen. Clairault endlich zeigt (Theorie 
de la figure de la terre, Paris 1743), dass auch die Er- 
füllung beider Bedingungen das Bestehen des Gleich- 
gewichts nicht sichert. 

Clairault geht von folgender Ueberlegung aus. Wenn 



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Die weitere Verwendung der Principien u. 8. w. 391 

die flüssige Erde im Gleichgewicht ist, so können wir 
uns ohne Störung des Gleichgewichts einen beliebigen 
Theil derselben erstarrt denken, sodass nur ein mit 
Flüssigkeit gefüllter Kanal AB von beliebiger Form 
übrigbleibt, in welchem die Flüssigkeit ebenfalls im 
Gleichgewicht sein wird. Das Gleichgewicht in einem 
solchen Kanal ist nun leichter zu untersuchen. Besteht 
es in jedem derartigen denkbaren Kanal, so ist auch 
die ganze Masse im Gleichgewicht. Nebenbei bemerkt 
Clairault, dass man den Newton'schen Grundsatz erhält, 
wenn man den Kanal durch das Centrum (wie Fig. 205 
in 2), und den Huyghens'schen, wenn man denselben 
an der Oberfläche führt, wie in 3. 

Der Kern der Frage liegt aber nach Clairault in einer 
andern Bemerkung. In jedem denkbaren Kanal, auch in 
einem in sich zurück laufenden, muss die Flüssigkeit 





Fig. 206. 



Fiff. 207. 



im Gleichgewicht sein. Wenn also der Kanal Fig. 206 an 
den beliebigen Stellen M und N quer durchschnitten 
wird, so müssen beide Flüssigkeitssäulen MPN und 
MQN auf die Schnittflächen bei M und N den gleichen 
Druck ausüben. Der Druck der Flüssigkeitssäule in 
einem Kanal an den Enden darf also gar nicht von der 
Länge und Form der Säule, sondern nur von der 
Lage der Enden abhängen. 

Denken wir uns einen Kanal MN Fig. 207 von beliebiger 
Form in der fraglichen Flüssigkeit auf ein rechtwinkeliges 
Coordinatensystem bezogen. Die Flüssigkeit sei von der 
constanten Dichte p und die Kraftcomponenten X, Y, Z 



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392 Drittes Kapitel. 

nach den Coordinatenrichtungen, welche auf die Massen- 
einheit der Flüssigkeit wirken, seien Functionen der 
Coordinaten x, y, z dieser Masse. Ein Längenelement 
des Kanals heisse d s, dessen Projectionen auf die Axen 
seien dx, dy, dz. Die Kraftcomponenten, welche nach 
der Richtung des Kanals auf die Masseneinheit wirken, 

dx du d ss 

sind dann X -=— , Y—?-, Z—=-, Die Gesammtkraft, 
ds ds as 

welche das Massenelement g qd s des Kanals, wobei q 
der Querschnitt, nach der Richtung von ds treibt, ist 

, /_ dx , ^dy , „ dz\ 
pq äs(x- + Yf s + Z Ts ). 

Dieselbe muss durch den Zuwachs des Druckes beim 
Durchschreiten des Längenelementes im Gleichgewicht 
gehalten werden, und ist also q • dp gleichzusetzen. 
Wir erhalten demnach dp = p (Xdx -f- Ydy -\- Zdz). 
Der Unterschied des Druckes (p) zwischen den Enden 
M und N ergibt sich, wenn man diesen Ausdruck von 
M bis N integrirt. Da aber dieser Unterschied gar 
nicht von der Form des Kanals, sondern nur von der 
Lage der Enden M und N abhängen soll, so muss 
$(Xdz + Ydy + Zdz\ oder bei constanter Dichte 
auch X dx + Ydy + Zdz, ein vollständiges Differential 
sein. Hierzu ist bekanntlich nothwendig, dass 

x=— r=— z= — 

dx ' dy ' dz ' 

wobei U eine Function der Coordinaten vorstellt. Das 
Gleichgewicht einer Flüssigkeit ist also nach 
Clairault überhaupt nur möglich, wenn dieselbe 
von Kräften beherrscht wird, welche sich als 
die partiellen Ableitungen einerund derselben 
Function der Coordinaten darstellen lassen. 

9. Die Newton'schen Schwerkräfte, und überhaupt alle 
Centralkräfte, d. h. solche Kräfte, welche die Massen 
nach den Richtungen ihrer Verbindungslinien ausüben, 
und welche Functionen der Entfernungen dieser Massen 



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Die weitere Verwendung der Prinoipien u. s. w. 393 

voneinander sind, haben die verlangte Eigenschaft. 
Unter dem Einfluss solcher Kräfte kann das Gleichge- 
wicht der Flüssigkeiten bestehen. Kennen wir die 
Function £7, so können wir die obige Gleichung durch 

(dU , . du . t dU j \ 

dp =*[in dx+ -dj d y + -dj d <) 

oder dp = p d U und p = p U + const • ersetzen. 

Der Inbegriff aller Punkte , für welche TJ = const, 
ist eine Fläche, die sogenannte Niveaufl äche. Für die- 
selbe ist auch p = const. Da durch die Natur der 
Function TJ alle Kraftverhältnisse, und wie wir eben 
sehen, auch alle Druckverhältnisse bestimmt sind, so 
geben die Druckverhältnisse eine Abbildung der Kraft- 
verhältnisse, wie dies bereits S. 91 bemerkt worden ist. 

In der eben vorgeführten Betrachtung Clairault's liegt 
unzweifelhaft der Grundgedanke der Lehre von der 
Kraftfunction oder vom Potential, welche später so 
erfolgreich von Laplace, Poisson, Green, Gauss u. A. ent- 
wickelt worden ist. Ist einmal die Aufmerksamkeit 
auf die erwähnte Eigenschaft gewisser Kräfte, sich als 
Ableitungen derselben Function TJ darzustellen, hinge- 
lenkt, so erkennt man es sofort als sehr vortheilhaft und 
ökonomisch, statt der Kräfte selbst die Function TJ 
zu untersuchen. 

Wenn wir die Gleichung 

dp = $(Xdx+ Ydy +Zde) = gdU 
betrachten, so sehen wir, dass Xdx -f- Ydy -f- Zde 
das Element der Arbeit vorstellt, welche die Kräfte an 
der Masseneinheit der Flüssigkeit bei der Verschiebung ds 
(deren Projectionen dx % dy, dz sind) leisten. Führen wir 
also die Masseneinheit von einem Punkt, für welchen 
ETäCj ist, über zu irgendeinem andern Punkt, für 
welchen U= C 2 ist, oder allgemeiner von der Fläche 
U== C t zur Fläche D*= (7 2 , so haben wir, gleichgültig 
auf welchem Wege die Ueberführung geschah, dieselbe 
Arbeit geleistet. Zugleich bieten alle Punkte der ersten 



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394 Drittes Kapitel. 

Fläche in Bezug auf jene der zweiten Fläche dieselbe 
Druckdifferenz dar, so zwar, dass 

ft— ft =P( C a — °i)i 
wobei die mit demselben Index bezeichneten Grössen 
derselben Fläche angehören. 

10. Denken wir uns eine Schar solcher sehr nahe 
aneinander liegender Flächen, von welchen je zwei auf- 
einander folgende um denselben sehr kleinen Arbeits- 
betrag verschieden sind, also die Flächen U= (7, 
U=C+dC, U=C + 2dC u. s. w. 

Man erkennt, dass eine Masse in einer und der« 
selben Fläche verschoben 
keine Arbeit leistet. Die 
Kraftcomponente , welche 
in das Flächenelement ent- 
fällt, ist demnach = o. 
Die Richtung der Ge- 
sammtkraft, welche auf 
die Masse wirkt, steht dem- 
nach überall senkrecht 
auf dem Flächenelement. 
Nennen wir dn das Ele- 
ment der Normalen, wel- 
ches zwischen zwei auf- 
einander folgende Flächen liegt, und / die Kraft, welche 
eine Masseneinheit durch dieses Element von der einen 
zur andern Fläche überführt, so ist die Arbeit/ • dn = dC. 

dC 
Die Kraft* / = — — , weil d C als constant vorausge- 
d n 

setzt wurde, ist überall umgekehrt proportional dem 
Abstände der betrachteten Flächen. Sind also einmal 
die Flächen U bekannt, so sind die Kraftrichtungen 
durch die Elemente einer Schar von Curven gegeben, 
die auf diesen Flächen überall senkrecht stehen, und 
die Abstände der Flächen veranschaulichen uns die 
Grösse der Kräfte. Diese Flächen und Curven be- 
gegnen uns auch in den übrigen Gebieten der Physik. 




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Die weitere Verwendung der Prineipien u. 8. w. 395 



Wir finden sie als Potentialniveaus und Kraftlinien im 
Gebiete der Elektrostatik und des Magnetismus, als 
Isothermenflächen und Stromlinien im Gebiete der. 
Wärmeleitung, als Niveauflächen und Stromcurven bei 
Betrachtung der elektrischen und Flüssigkeitsströmungen. 
11. Wir wollen nun den Hauptgedanken Clairault's noch 
durch ein sehr einfaches Beispiel erläutern. Wir denken 
uns zwei zueinander senkrechte Ebenen, welche die Ebene 
des Papiers in den Geraden X und T senkrecht 
schneiden. Wir nehmen an, es gebe eine Kraftfunction 
U= — xy, wobei *, y die Abstände von jenen beiden 

Ebenen bedeuten. 
Dann sind die Kraft- 
componenten parallel 
zu OX und Ybe- 
ziehungsweise 

X = — = 




und 



dx 

dU 

dy 



■= — x. 



Fig. 209. 



Die Niveauflächen 
sind Cylinderflächen, 
deren Erzeugende 
senkrecht zur Ebene 
des Papiers stehen, und deren Leitlinien, xy = const, 
gleichseitige Hyperbeln sind. Die Kraftlinien erhält man, 
wenn man in der Zeichnungsebene das ersterwähnte Cur- 
vensystem um 45 ° um dreht. Uebergeht die Massen- 
einheit von dem Punkte r nach auf dem Wege r p 0, 
oder r q 0, oder auf irgendeinem ander Wege, so ist die 
geleistete Arbeit stets p X Oq* Denken wir uns einen 
geschlossenen mit Flüssigkeit gefüllten Kanal OprqO> so 
ist die Flüssigkeit in demselben im Gleichgewicht. Legen 
wir an irgendwelchen zwei Stellen Querschnitte, so er- 
leidet jeder derselben von beiden Seiten denselben Druck, 



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396 Drittes Kapitel. 

Wir wollen nun das Beispiel ein wenig modificiren. 
Die Kräfte seien nun X = — y, Y= — a, wobei a 
einen constanten Werth hat. Es gibt jetzt keine 

d U 

Function U von der Beschaffenheit, dass X = — — 

dx 

und I = — = — wäre, denn hierzu müsste — — = — — 
dy dy . dx 

sein, was augenscheinlich nicht zutrifft. Es gibt also 
keine Kraftfunction und auch keine Niveauflächen. 
Führt man die Masseneinheit von r über p nach 0, so 
ist die geleistete Arbeit oXOg. Findet die Ueber- 
führung auf dem Wege r qO statt, so ist hingegen die 
Arbeit aXOq + OpXÖq. Wäre der Kanal OprqO 
mit Flüssigkeit erfüllt, so könnte dieselbe nicht im 
Gleichgewicht sein, sondern müsste in dem Sinne OprqO 
fortwährend rotiren. Derartige in sich zurücklaufende 
und endlos fortbestehende Ströme erscheinen uns als 
etwas unserer Erfahrung durchaus Fremdes. Hiermit 
ist aber die Aufmerksamkeit auf eine wichtige Eigen- 
schaft der Naturkräfte geleitet, auf die Eigenschaft 
nämlich, dass die von denselben geleistete Arbeit als 
eine Function der Coordinaten dargestellt werden kann. 
Wo wir Ausnahmen von diesem Satz bemerken, sind 
wir geneigt dieselben für scheinbare zu halten, und sind 
bemüht, uns dieselben aufzuklären. 

12. Wir betrachten nun einige Fälle der Flüssig- 
keitsbewegung. Der Begründer der Lehre von der- 
selben ist Torricelli. Durch Beobachtung der aus der 
Bodenöffnung eines Gefässes ausfliessenden Flüssig- 
keit fand er folgenden Satz. Wenn man die Zeit 
der Entleerung eines Gefässes in n gleiche Theile 
theilt, und die in dem letzten (n) ten Theile ausgeflossene 
Menge als Einheit annimmt, so fliesst in dem (n — l)* 611 
(n — 2) ten , (n — 3) ten u. s. w. Theil beziehungsweise die 
Menge 3, 5 , 7 u. s. w. aus. Die Aehnlichkeit zwischen 
der Fallbewegung und der Flüssigkeitsbewegung tritt bei 
dieser Beobachtung klar hervor. Nun bietet sich leicht 



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Die weitere Verwendung der Prineipien u. s. w. 397 

die Bemerkung dar, dass sich die sonderbarsten 
Folgerungen ergeben würden, wenn die Flüssigkeit, mit 
Hülfe ihrer aufwärts gekehrten Ausflussgeschwindigkeit 
sich über den Spiegel der Flüssigkeit im Gefasse 
erheben könnte. Torricelli bemerkt auch, dass sie 
höchstens bis zu dieser Höhe steigen kann, und nimmt 
an, dass sie genau zu dieser Höhe steigen würde, wenn 
man alle Widerstände beseitigen könnte. Von den 
Widerständen abgesehen, ist also die Ausflussgeschwin- 
digkeit v aus der Bodenöffnung eines Gefasses an die 
Höhe der Flüssigkeit h in dem Gefasse durch die 
Gleichung gebunden v = ]/ 2 g Ä, d. h. die Ausflussge- 
schwindigkeit ist die Endgeschwindigkeit, welche beim 
freien Fall durch die Druckhöhe h erlangt würde, denn 
mit dieser Geschwindigkeit kann die Flüssigkeit eben 
wieder bis zu dem Spiegel aufsteigen.* 

Der Satz von Torricelli schliesst sich unsern übrigen 
Erfahrungen gut an, allein man empfindet noch das 
Bedürfniss einer genaueren Einsicht. Varignon hat ver- 
sucht, den Satz aus der Beziehung zwischen der Kraft 
und der von derselben erzeugten Bewegungsquantität 
abzuleiten. Die bekannte Beziehung pt=mv gibt in 
dem vorliegenden Falle, wenn wir mit a die Fläche 
der Bodenöffnung, mit h die Druckhöhe, mit s das 
speciflsche Gewicht, mit g die Beschleunigung frei 
fallender Körper, mit v die Ausflussgeschwindigkeit, 
und mit t einen kleinen Zeittheil bezeichnen 

_ olvxs ' 

a h s • t = — — • v oder v* = gh. 
ff 

Hierbei stellt a h s den durch die Zeit T auf die 
Flüssigkeitsmasse wirkenden Druck vor. Be- 



* Die altern Forscher leiten ihre Sätze in der unvollstän- 
digen Form von Proportionen ab, und setzen daher meist 
nur v proportional V gh oder VIT 



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398 Drittes Kapitel. 

rücksichtigen wir noch, dass v eine Endgeschwindigkeit 
ist, so erhalten wir genauer 

v 
ahs • t = 2 • v 

9 
und die richtige Formel 

v* = 2gh. 

13. Daniel Bernoulli hat die Flüssigkeitsbewegungen 
mit Hülfe des Satzes der lebendigen Kräfte unter- 
sucht. Wir wollen den vorliegenden Fall von diesem Ge- 
sichtspunkte aus behandeln, den Gedanken aber in etwas 
' mehr moderner Form durchführen. Die Gleichung, die 

wir zu verwenden haben, ist p s = — — . In einem Ge- 

fäss Fig. 210 von dem Querschnitte g, in welchem Flüssig- 
keit vom specifischen Gewicht s auf die Druckhöhe h 
eingegossen ist, sinkt der Spiegel um 
die kleine Grösse dh, und es tritt "* m=r 



hierbei die Flüssigkeitsmasse y 



-Qo 



dh 



g 

mit der Geschwindigkeit v aus. Die I^Qr — 
geleistete Arbeit ist dieselbe, als ob Fig. 210. 

das Gewicht q • dh • s durch die Höhe 
h gesunken wäre. Auf die Bewegungsform im Ge- 
fässe kommt es hierbei gar nicht an. Es ist einer- 
lei, ob die Schicht q • dh direct durch die Boden- 
öffnung herausfällt, oder sich nach a begibt, während 
die Flüssigkeit von a nach &, jene von b nach c 
verdrängt wird, und jene von c ausfliesst. Die Arbeit 
bleibt immer q • dh • s • Ä. Indem wir diese Arbeit 
der lebendigen Kraft der ausgeflossenen Flüssigkeit 
gleichsetzen, finden wir 

,, , q • dh • 8 t> 2 

q • dh • s • h = — . 

9 2 



oder v = V 2ffh. 



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Die weitere Verwendung der Principien u. 8. w. 399 

Nur die Voraussetzung wird bei dieser Ent Wickelung 
gemacht, dass die gesammte im Gefass geleistete Ar- 
beit als lebendige Kraft der ausgeflossenen Flüssigkeit 
erscheint, dass also die Geschwindigkeiten im Gefässe 
selbst und die daselbst durch Reibung aufgezehrten 
Arbeiten vernachlässigt werden können. Diese Vor- 
aussetzung entfernt sich bei genügend weiten Gefassen 
nicht sehr von der Wahrheit. 

Sehen wir von der Schwere der Flüssigkeit in dem 
Gefäss ab, und denken wir uns dieselbe durch einen 
beweglichen Kolben, auf dessen Flächeneinheit der Druck 
p entfallt, belastet. Bei Verschiebung des Kolbens 
um die Strecke dh tritt das Flüssigkeitsvolum q • dh 
aus. Nennen wir p die Dichte der Flüssigkeit und v 
deren Geschwindigkeit, so ist 

q*p*dh = q'dh-g— oder v = y z3L 

P • 
Unter demselben Druck strömen also verschiedene 

Flüssigkeiten mit Geschwindigkeiten aus, welche der 
Wurzel ihrer Dichte umgekehrt proportionirt sind* 
Man meint gewöhnlich diesen Satz unmittelbar auf die 
Gase übertragen zu können. Die Form desselben ist 
auch richtig, die Ableitung aber, die man häufig an- 
wendet, schliesst einen Irrthum ein, wie wir sofort 
sehen werden. 

14. Wir betrachten zwei nebeneinander befindliche 
Gefasse Fig. 211, welche durch eine kleine Wandöffnung 
am Boden miteinander verbunden sind. Zur Bestimmung 
der Druckflussgeschwindigkeit durch diese Oeffnung er- 
halten wir, unter denselben Voraussetzungen wie vorher, 

„ „ 7 N dh'S v 2 . , 

qdh'Sfa—hz) = Z—y Y oder V = V*9<fo — Ä 2 ). 

Sehen wir von der Schwere der Flüssigkeit, ab, und 
denken uns in den Gefassen durch Kolben den Druck 

p t und p 2 hervprgebracht, so ist v = y ü£j &*' 



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400 



Drittes Kapitel. 



Wären beispielsweise die gleichen Kolben mit den 

p 
Gewichten P und — belastet, so würde das Gewicht 

P 
P um die Höhe h sinken, und — sich um dieselbe 

' P 

Höhe erheben , sodass die geleistete Arbeit -— h übrige 

bliebe, welche die lebendige Kraft der durchmessenden 
Flüssigkeit erzeugen würde. 

Ein Gas würde sich unter den angegebenen Um- 
ständen anders verhalten. Ueberströmt es aus dem 
Gefass mit der Belastung P in jenes mit der Be- 

P 
lastung — , so sinkt ersteres Gewicht um Ä, letzteres 

aber, da sich das Gas unter dem halben Druck auf das 
doppelte Volum ansdehnt, steigt um 2Ä, sodass also 

P 
die Arbeit Ph —2Ä = o verrich- 
tet wird. Es muss also im Fall eines 
Gases noch eine andere Arbeit ge- 
leistet werden, welche das Durch- 
fliessen bewirkt. Diese Arbeit leistet 
das Gas selbst, indem es sich ausdehnt, 
und durch seine Expansivkraft 
einen Druck überwindet. Die Expansivkraft p und das 
Volum w eines Gases stehen in der bekannten Be- 
ziehung pwz=Jc, wobei k eine Constante ist (so lange 
die Temperatur des Gases unverändert bleibt). Dehnt 
sich das Gasvolum unter dem Druck p um d w aus, so 
ist die geleistete Arbeit 

^dw 




Fig. 211. 



r P dw=k fi 



w 



Bei Ausdehnung von w bis w, oder von dem Druck 
p bisp, finden wir die Arbeit 



**£)-"«(t)- 



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Die weitere Verwendung der Principien u. s. w. 401 

Denken wir uns durch diese Arbeit das Gasvolum 
w von der Dichte p mit der Geschwindigkeit v be- 
wegt, so erhalten wir 



»V- 



*&)• 



Die Durchflussgeschwindigkeit bleibt also der Wurzel 
der Dichte verkehrt proportionirt, allein der Betrag 
derselben ist verschieden von demjenigen, welcher nach 
der frühern Auffassung sich ergeben würde. Wir 
können die Bemerkung nicht unterlassen, dass auch 
diese Betrachtung sehr mangelhaft ist. Rasche Volum- 
änderungen eines Gases sind immer mit Temperatur- 
veränderungen und folglich auch mit Aenderungen 
der Spannkraft verbunden. Fragen über die Be- 
wegung der Gase können also überhaupt nicht als 
blosse mechanische Fragen behandelt werden, sondern 
sind immer zugleich Wärmefragen. 

15. Da wir eben gesehen haben, dass ein compri- 
mirtes Gas eine Arbeit enthält, so liegt es nahe, zu 
untersuchen, ob dies nicht auch bei einer comprimirten 
Flüssigkeit der Fall ist. In der That ist jede Flüssig- 
keit, welche unter einem Drucke steht, comprimirt. 
Zur Compression gehört Arbeit, welche wieder zum 
Vorschein kommt, sobald sich die Flüssigkeit ausdehnt. 
Allein bei den tropfbaren Flüssigkeiten ist diese Arbeit 
sehr klein. Stellen wir uns Fig. 212 ein Gas und eine 
tropfbare Flüssigkeit unter gleichem Volum (welches 
wir durch A messen) und unter gleichem Druck (den 
wir durch AB bezeichnen), etwa unter dem Druck 
einer Atmosphäre vor. Sinkt der Druck auf eine 
halbe Atmosphäre, so steigt das Volum des Gases auf 
das Doppelte, jenes der Flüssigkeit aber nur um etwa 
25 Millionstheile des ursprünglichen Volums. Die Aus- 
dehnungsarbeit für das Gas wird durch die Fläche 

Mach. og 



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402 Drittes Kapitel. 

ABDC, für die Flüssigkeit durch ABLK vorge- 
stellt, wobei aber A K = • 000025 A zu setzen ist. 
Lassen wir den Druck bis auf Null abnehmen, so ist 
die ganze Arbeit der Flüssigkeit durch die Fläche 
ABI % wobei A I = • 00005 A, jene des Gases aber 
durch die zwischen A B , der unendlichen Geraden 
A CEG.. . und dem unendlichen Hyperbelast B DFH. . . 
eingeschlossene Fläche dargestellt. Die Ausdehnungs- 
arbeit der Flüssigkeiten kann also gewöhnlich vernach- 
lässigt werden. Es gibt aber Vorgänge, z. B. die 




tönenden Schwingungen der Flüssigkeiten, wobei eben 
Arbeiten dieser Art und Ordnung die Hauptrolle spie- 
len. In diesem Falle sind dann auch die zugehörigen 
Temperaturänderungen der Flüssigkeit zu beachten. 
Es ist also lediglich einem glücklichen Zusammentreffen 
der Umstände zu danken, wenn ein Vorgang mit hin- 
reichender Annäherung als ein rein mechanischer be- 
trachtet werden kann. 

16. Wir besprechen nun den Hauptgedanken, den 
Daniel Bernoulli (1738) in seiner Hydrodynamik durchzu- 
führen sucht. Wenn eine Flüssigkeitsmasse sinkt, so ist 
die Falltiefe ihres Schwerpunktes (descensus actualis) 
gleich der möglichen Steighöhe des Schwerpunktes der 
mit ihren erlangten Geschwindigkeiten behafteten und 
voneinander befreiten Flüssigkeitstheile (ascensus poten- 
tialis). Ohne Schwierigkeit erkennen wir diesen Ge- 
danken als identisch mit dem schon von Huyghens ver- 



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Die weitere Verwendung der Principien u. 8. w. 403 

wendeten. Wir denken uns ein mit Flüssigkeit gefülltes 
Gefäss, und nennen den horizontalen Querschnitt des- 
selben in dem Abstände x von der durch die Boden- 
Öffnung bestimmten Horizontalebene / (x). Die Flüssig- 
keit bewege sich, und der Spiegel derselben sinke um 

dx. Der Schwerpunkt sinkt hierbei um — ^-^= 

M 

wobei M = ff(x)dx. Ist h die potentielle Steighöhe 

der Flüssigkeit in dem Querschnitte, welcher der 

k 
Flächeneinheit gleich ist, so beträgt sie in dem 

f(xy 

Querschnitte /(#), und die potentielle Steighöhe des 
Schwerpunktes ist 
fo> , _ Pdx 

M" W 




wobei 



*-Jm- 



Für eine Verschiebung des Flüssigkeits- 
Fig. 213. spiegeis um dx ergibt sich nach dem 

ausgesprochenen Princip, da sich hierbei 
sowol N als k ändert 

— x f (x) d x = N d k + k d 2T, 
welche Gleichung von Bernoulli zur Lösung verschie- 
dener Aufgaben benutzt wird. Man sieht leicht, dass 
der Bernoulli'sche Satz nur dann mit Erfolg angewendet 
werden kann, wenn die Verhältnisse der Geschwindig- 
keiten der einzelnen Flüssigkeit stheile zueinander be- 
kannt sind. Bernoulli setzt, wie man schon aus den 
angeführten Formeln erkennt, voraus, dass alle Theile, 
welche sich zu irgendeiner Zeit in einer Horizontal- 
ebene befinden, immer in einer Horizontalebene bleiben, 
und dass die Geschwindigkeiten in verschiedenen Hori- 
zontalebenen sich umgekehrt wie die Querschnitte ver- 
halten. Es ist dies die Voraussetzung des „Parallelis- 
mus der Schichten". Dieselbe entspricht den That- 

26* 



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404 



Drittes Kapitel. 



Bachen in vielen Fällen gar nicht, in andern nur bei- 
läufig. Ist das Gefäss sehr weit gegen die Ausfluss- 
öffnung, so braucht man, wie wir bei Entwickelung des 
Torricelli 1 sehen Satzes gesehen haben, über die Bewegung 
im Gefäss gar keine Voraussetzung zu machen. 

17. Einzelne Fälle der Flüssigkeitsbewegung haben 
schon Newton und Johann Bernoulli behandelt. Wir 
wollen hier einen Fall betrachten, auf welchen sich 
unmittelbar ein bereits bekanntes Gesetz anwenden 
lässt. Eine cylindrische Heberröhre mit verticalen 
Schenkeln ist mit Flüssigkeit gefüllt. Die Länge der 
ganzen Flüssigkeitssäule sei l. 
Drückt man die Säule einerseits 
um das Stück x unter das Niveau, 
so erhebt sie sich anderseits um #, 
und die der Excursion x ent- - 
sprechende Niveaudifferenz beträgt 
2x. Wenn a den Querschnitt der 
Röhre und s das speeifische Ge- 
wicht der Flüssigkeit bedeutet, so 
entspricht 

der Excursion x 

die Kraft 2 a s x, welche, da sie 

die Masse zu bewegen hat, 

2 clsx 2g 

die Beschleunigung ; — = —7- x und für 

olIs l 



Fig. 214, 



2 Q 

die Einheit der Excursion die Beschleunigung — be- 

c 

dingt. Man erkennt, dass pendeiförmige Schwingungen 
von der Dauer 



Y 9n 



*9 
stattfinden werden. Die Flüssigkeitssäule schwingt also 



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Die weitere Verwendung der Principien u. 8. w. 405 

wie ein einfaches Pendel von der halben Länge der 
Flüssigkeitssäule. 

Eine ähnliche, aber etwas allgemeinere Aufgabe hat 
Johann Bernoulli behandelt. Die beiden Schenkel einer 
beliebig gekrümmten cylindrischen Heberröhre haben 
an den Stellen, an welchen die Flüssigkeitsspiegel sich 
bewegen, die Neigungen a und ß gegen den Horizont. 
Verschiebt man den einen Spiegel um das Stück #, so 
erleidet der andere die gleiche Verschiebung. Es ent- 
steht dadurch die Niveaudifferenz x (sin a + sin ß) und 
wir finden durch eine ähnliche Ueberlegung wie zuvor, 

und mit Beibehaltung 
derselben Bezeichnung 




t=k\T i_ 

" ^(sina+s 



sinß) 
Für das Flüssigkeits- 

Fig.aisa. P? ndel Fi S- 2U & elten 

die Pendelgesetze (von 

der Reibung abgesehen) genau auch bei grossen Schwin- 
gungsweiten, während sie für das Fadenpendel nur 
annähernd für kleine Ausweichungen gelten. 

18. Der Gesammtschwerpunkt der Flüssigkeit kann 
sich nur so hoch erheben, als er zur Erzeugung der 
Geschwindigkeiten sinken musste. Ueberall, wo dieser 
Satz eine Ausnahme zu erleiden scheint, kann man die- 
selbe eben als scheinbar nachweisen. Der Herons- 
brunnen besteht bekanntlich aus drei Gefassen, welche 
in der Ordnung von oben nach unten A, B, G heissen 
mögen. Das Wasser von A fliesst nach G ab, die aus 
C verdrängte Luft drückt auf B und treibt einen 
Wasserstrahl aufwärts, der nach A zurückfallt. Das 
Wasser aus B erhebt sich zwar bedeutend über das 
Niveau in diesem Gefass, es fliesst aber eigentlich nur 
auf dem Umwege über den Springbrunnen und das Ge- 
fass A auf das viel tiefere Niveau in G ab. 

Eine scheinbare Ausnahme von dem fraglichen Satz 



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406 



Drittes Kapitel. 



n 



8 



bietet auch der Montgolner'sche Stossheber dar, in 
welchem sich die Flüssigkeit durch ihre eigene Schwere- 
arbeit bedeutend über das ursprüngliche Niveau zu er» 
heben scheint. Die Flüssigkeit fliesst aus dem Gefäss 
A durch das lange Rohr B B und das sich 
nach innen öffnende Ventil V in das Ge- 
fäss B ab. Ist die Strömung schnell genug, 
so schliesst sich das Ventil V und wir 
haben in dem Rohre BB eine mit der 
Geschwindigkeit v behaftete plötzlich an- 
gehaltene Flüssigkeitsmasse m, welcher ihre 
Bewegungsquantität genommen werden muss. 
Geschieht dies in der Zeit t, so vermag 
während derselben die Flüssigkeit den 

Druck q = — — auszuüben, welcher 

V 

dem hydrostatischen Druck p hinzuaddirt. 
Die Flüssigkeit 
vermag also 
während dieser 
Zeit durch ein 
Ventil mit dem 
Druck p -j- q in 
einen Herons- 
ball H einzu- 
dringen, und er- 
hebt sich dem 
entsprechend in 
dem Steigrohr 
S S auf ein 
höheres Niveau 
als dasjenige, 
welches dem 
blossen Druck 
p entspricht. 

Man hat hier zu bedenken, dass immer ein beträchtlicher 
Theil der Flüssigkeit nach B abfliessen muss , bevor 
durch dessen Arbeit in dem Rohre B B die zur 




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Die weitere Verwendung der Prinoipien u. s. w. 407 

Schliessung von V nöthige Geschwindigkeit erzeugt ist. 
Nur ein kleiner Theil erhebt sich durch das Steigrohr 
S S über das ursprüngliche Niveau, während der grössere 
Theil von A nach B abfliesst. Würde man die aus 
SS tretende Flüssigkeit sammeln, so würde es sich 
leicht herausstellen, dass der Schwerpunkt dieser und 
der nach B abgeflossenen Flüssigkeit wegen der Ver- 
luste unter dem Niveau von A liegt. 

Das Princip des Stosshebers, Uebertragung der Ar- 
beit einer grossen Flüssigkeitsmasse auf einen kleinern 
Theil, welcher hierdurch eine grosse lebendige Kraft 
erhält, lässt sich in folgender sehr einfacher Weise 
anschaulich machen. Man verschliesst die enge Oeff- 
nung o eines Filtrirtrichters, und taucht denselben mit 
der weiten Oeffnung nach unten gekehrt möglichst tief 
in ein grosses Gefäss 



o 



mit Wasser. Entfernt 
man rasch den ver- 

schliessenden Finger, 

so fällt sich der Kaum 
des Trichters rasch / 

mit Wasser, wobei na- / 

türlich der Spiegel T/ *S' 

der äussern Flüssig- / 

keit etwas sinkt. Die Fig. 216. 

geleistete Arbeit ent- 
spricht dem Fall des Trichterinhaltes vom Schwerpunkt 
der Oberflächenschicht S nach dem Schwerpunkt S' des 
Trichterinhalts. Bei gehöriger Weite des Gefässes sind 
alle Geschwindigkeiten in demselben sehr klein, und fast 
die ganze erzeugte lebendige Kraft steckt in dem 
Trichterinhalt. Hätten alle Theile des Inhalts gleiche 
Geschwindigkeit, so könnten sie sich alle bis zum ur- 
sprünglichen Niveau erheben, oder die Masse als Ganzes 
könnte so hoch steigen, dass ihr Schwerpunkt mit S 
zusammenfiele. In den engern Trichterquerschnitten ist 
aber die Geschwindigkeit grösser als in den weitern, 
und erstere enthalten deshalb den weitaus grössern 



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408 Drittes Kapitel. 

Theil der lebendigen Kraft. Die betreffenden Flüssig- 
keitstheile reissen sich deshalb los und springen durch 
den Trichterhals hoch über das ursprüngliche Niveau 
hinaus, während der Rest bedeutend unter demselben 
zurückbleibt und der Gesammtschwerpunkt nicht einmal 
das ursprüngliche Niveau von S erreicht. 

19. Zu den wichtigsten Leistungen von Daniel Ber- 
noulli gehört dessen Unterscheidung des hydrostati- 
schen und hydrodynamischen Druckes. Bei Be- 
wegung der Flüssigkeiten ändert sich nämlich der Druck 
derselben, und es kann der Druck der bewegten Flüssig- 
keit nach den Umständen grösser oder kleiner sein, als 
jener der ruhenden Flüssigkeit bei gleicher Anordnung 
der Theile. Wir wollen dieses Verhältniss 
durch ein einfaches Beispiel erläutern. Das 
Gefass A, welches die Form eines Rota- 
tionskörpers mit verticaler Axe hat, werde 
stets mit einer reibungslosen Flüssig- 
keit gefüllt erhalten, sodass sich der 
Spiegel derselben bei mn nicht ändert, 
während das Ausfliessen bei Je l statt- 
findet. Den verticalen Abstand eines 
Fig. 211. Theilchens von dem Spiegel m n rechnen 
wir nach unten positiv und nennen den- 
selben z. Wir verfolgen ein prismatisches Volumele- 
ment von der horizontalen Grundfläche a und der 
Höhe ß, während es sich abwärts bewegt, und sehen, 
den Parallelismus der Schichten voraussetzend, von 
allen Geschwindigkeiten senkrecht zu z ab. Die Dichte 
der Flüssigkeit nennen wir p, die Geschwindigkeit des 
Elementes v, den Druck, der von z abhängt, p. Sinkt 
das Theilchen um d z, so gibt der Satz der lebendigen 
Kräfte 

otßpd I — ) = aßggdz — OL-j-$dz . . . 1) 

d. h. der Zuwachs der lebendigen Kraft des Elementes ist 
gleich der Arbeit der Schwere bei der betreffenden Ver- 




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Die weitere Verwendung der Principien u. 8. w. 409 

Schiebung vermindert um die Arbeit der Druckkräfte der 
Flüssigkeit. Der Druck auf die obere Fläche des Ele- 
mentes ist nämlich ap, auf die untere aber a Ip + -= — ß 1. 

Das Element erleidet also, wenn der Druck nach unten zu- 

dp 
nimmt, einen Druck a -7— • ß aufwärts, und es ist bei 
dz r ? 

der Verschiebung um d z die Arbeit a -=— ß dz in Ab- 

dz 

zug zu bringen. Die Gleichung 1 nimmt gekürzt die 
Form an 

und gibt integrirt 

p«— = p^* — p + const 2) 

Bezeichnen wir die Geschwindigkeiten in zwei ver- 
schiedenen horizontalen Querschnitten a x und a % in 
den Tiefen z x und # 2 unter dem Spiegel beziehungs- 
weise mit v t , v 3 , und die zugehörigen Drucke mit 
Pd P21 so können wir die Gleichung 2 in der Form 
schreiben 

y-W — ^) = P^(^i— *2) + 0>2— Pi) • 3) 

Legen wir den Querschnitt a x in den Spiegel, so ist 
^=0,^=0, und weil durch alle Querschnitte in 
derselben Zeit dieselbe Flüssigkeitsmenge hindurch- 
strömt a x v x =. a%v r Hieraus ergibt sich 



1 P *(** — a l\ 



Der Druck der bewegten Flüssigkeit f> 2 (der hydro- 
dynamische Druck) setzt sich zusammen aus dem Druck 



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410 Drittes Kapitel. 

der ruhenden Flüssigkeit $ge 2 (dem hydrostatischen 

Druck) und einem Druck -~ v\ j - — - J der von der 

Dichte, der Stromgeschwindigkeit und den Querschnitten 
abhängt. In den Querschnitten, welche grösser sind 
als der Spiegel der Flüssigkeit, ist auch der hydro- 
dynamische Druck grösser als der hydrostatische und 
umgekehrt. 

Um den Sinn des Bernoullf sehen Satzes noch deut- 
licher zu machen, denken wir uns die Flüssigkeit in 
dem G-efäss A schwerlos und das Ausfliessen durch 
einen constanten Druck p t auf den Spiegel hervorge- 
bracht. Die Gleichung 3 nimmt dann die Form an 

V%=Pi +-| (V? — ^ 

Verfolgen wir ein Theilchen vom Spiegel an durch das 
Gefäss, so entspricht jeder Zunahme der Stromge- 
schwindigkeit (in engern Querschnitten) eine Abnahme 
des Druckes, jeder Abnahme der Stromgeschwindigkeit 
(in weitern Querschnitten) eine Zunahme des Druckes. 
Das lässt sich auch ohne alle Rechnung leicht über- 
sehen. In dem gegebenen Falle muss jede Geschwindig- 
keitsänderung eines Flüssigkeitselementes ganz allein 
durch die Arbeit der Druckkräfte der Flüssigkeit auf- 
gebracht werden. Tritt ein Element in einen engern 
Querschnitt, in welchem eine höhere Stromgeschwindig- 
keit herrscht, so kann es diese höhere Geschwindig- 
keit nur erlangen, wenn auf die Hinterfläche des Ele- 
mentes ein grösserer Druck wirkt als auf die Vorder- 
fläche, wenn es sich also von Punkten höhern zu 
Punkten niedern Druckes bewegt, wenn im Bewegungs- 
sinne der Druck abnimmt. Denken wir uns einen 
Augenblick in dem weitern und in dem darauffolgen- 
den engern Querschnitt den Druck gleich, so findet die 
Beschleunigung der Elemente in dem engern Querschnitt 
nicht statt. Die Elemente entweichen nicht schnell ge- 



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Die weitere Verwendung der Prinoipien u. s. w. 411 



nug, drängen sich vor dem engern Querschnitt zusammen, 
und es entsteht vor diesem sofort die entsprechende 
Druckerhöhung. Die Umkehrung liegt auf der Hand. 
20. Wenn es sich um complicirtere Fälle handelt, so 
bieten schon Aufgaben über die Flüssigkeitsbewegung 
ohne Rücksicht auf die Reibung grosse Schwierigkeiten. 
Die Schwierigkeiten werden noch bedeutender, wenn 
der Einfluss der Reibung in Rechnung gezogen werden 
soll. In der That hat man bisher, obgleich diese Unter- 
suchungen schon von Newton begonnen wurden, nur 
einige wenige einfachere Fälle dieser Art bewältigen 
können. Wir begnügen uns mit einem einfachen Bei- 
spiel. Wenn wir aus einem Gefäss mit der Druckhöhe h 

die Flüssigkeit nicht 
durch eine Boden- 
öffnung , sondern 
durch ein langes 
cylindrisches Rohr 
ausströmen lassen, 
so ist die Ausfluss- 
geschwindigkeit v 
kleiner, als sie nach 
dem Torricelli'schen 
Satze sich ergeben 
sollte, da ein Theil der Arbeit durch die Reibung 
verzehrt wird. Wir finden, dass v = 1/2 g \ , wobei 
\ < h ist. Wir können h = h t -f- \ setzen, \ die 
Geschwindigkeitshöhe, h 2 die Widerstandshöhe 
nennen. Bringen wir an die cylindrische Röhre verti- 
cale Seitenröhrchen an, so steigt die Flüssigkeit in 
denselben so weit , dass sie dem Druck in dem Haupt- 
rohr das Gleichgewicht hält, und denselben anzeigt. 
Bemerkenswerth ist nun, dass am Einflussende des 
Rohres diese Flüssigkeitshöhe = h 2 ist, und dass sie 
gegen das Ausflussende nach dem Gesetz einer geraden 
Linie bis zu Null abnimmt. Es handelt sich nun darum, 
sich diese Verhältnisse aufzuklären. 

Auf die Flüssigkeit in dem horizontalen Ausflussrohr 





Fig. 218. 



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412 Drittes Kapitel. 

wirkt die Schwere dir e et nicht mehr, sondern alle 
Wirkungen werden auf dieselbe nur durch den Druck 
der umgebenden Flüssigkeit übertragen. Denken wir 
uns ein prismatisches Flüssigkeitselement von der 
Grundfläche <x und der Länge ß, in der Richtung der 
Länge um d z verschoben, so ist, wie in dem zuvor be- 
trachteten Falle, die hierbei geleistete Arbeit 

dz r dz 

Für eine endliche Verschiebung finden wir 

_ Ä V Tz dZ = ~ a ßfr»— A) • • • 1) 

Es wird Arbeit geleistet, wenn sich das Volumelement 
von einer Stelle höhern zu einer 
Stelle n i e d e r n Druckes ver- 
schiebt. Der Betrag der Arbeit 
hängt nur von der Grösse des Vo- 
lumelementes und der Differenz 
des Druckes am Anfangs- und End- 
punkt der Bewegung, nicht von der 
Länge und Form des Weges ab. 
Wäre die Abnahme des Druckes in einem Falle doppelt so 
rasch als in einem andern, so wäre die Differenz der Drucke 
auf die Vorder- und Hinterfläche, also die arbeitende 
Kraft verdoppelt, der Arbeits weg aber halbirt. Die 
Arbeit bliebe dieselbe (auf der Strecke a b oder a c in 
der Figur 219). 

Durch jeden Querschnitt q des horizontalen cylindri- 
schen Rohrs strömt die Flüssigkeit mit derselben Ge- 
schwindigkeit v. Betrachten wir, von Geschwindigkeits- 
differenzen in demselben Querschnitt absehend, ein Ele- 
ment der Flüssigkeit, welches den Röhrenquerschnitt q 
ausfüllt, und die Länge ß hat, so ist dessen lebendige 

Kraft q ß p — auf dem ganzen Wege durch die Röhre 




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Die weitere Verwendung der Principien u. b. w. 413 

unverändert. Das ist nur möglich, wenn die durch Rei- 
bung verzehrte lebendige Kraft durch die Arbeit der 
Druckkräfte der Flüssigkeit ersetzt wird. In dem Be- 
wegungssinne des Elementes muss also der Druck ab- 
nehmen, und zwar für gleiche Wegstrecken, welchen eine 
gleiche Reibungsarbeit entspricht, um gleich viel. Die 
gesammte Arbeit der Schwere, welche für ein austreten- 
des Flüssigkeitselement q ß p geleistet wird, ist q ß p g h. 
Hiervon entfallt auf die lebendige Kraft des in die 
Rohrmündung mit der Geschwindigkeit v eintretenden 

v 2 
Elementes der Antheil q ß p — , oder mit Rücksicht 

darauf, dass v = V2 gh x , der Antheil q ß p g \. Der 
Rest der Arbeit q ß p g Ä 2 wird also im Rohr verbraucht, 
wenn wir wegen der langsamen Bewegung von Ver- 
lusten im Gefäss absehen. 

Bestehen im Gefäss, am Anfang und Ende des Rohres 
beziehungsweise die Druckhöhen Ä, Ä 2 , o oder die 
Drucke p = h g p, p 2 = h 2 g p, o, so ist nach Gleichung 
1 S. 393 die Arbeit zur Erzeugung der lebendigen 
Kraft des in die Rohrmündung eintret enden Elementes 

«ßp — =ffß(|?— i> 2 ) = gß^p(Ä — Ä 2 ) = gß^pÄ 1 , 

und die Arbeit, welche durch den Druck der Flüssig- 
keit auf das die Rohrlänge durchlaufende Element über- 
tragen wird, ist 

0ßl>2 =ffß^P Ä 2» 

also diejenige > welche im Rohr eben verbraucht wird. 
Nehmen wir einen Augenblick an, der Druck würde 
vom Anfang zum Ende des Rohres nicht von p a bis 
Null nach dem Gesetz einer geraden Linie abnehmen, 
sondern die Druckvertheilung wäre eine andere, der 
Druck wäre z. B. constant durch die ganze Rohrlänge. 
Sofort werden die vorausgehenden Theile durch die 
Reibung an Geschwindigkeit verlieren, die folgenden 



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414 



Drittes Kapitel. 



werden nachdrängen und dadurch am Anfang des 
Rohres jene Druckerhöhung erzeugen, welche die con- 
stante Geschwindigkeit durch die ganze Rohrlänge be- 
dingt. Am Ende des Rohres kann der Druck nur = o 
sein, weil die Flüssigkeit daselbst nicht gehindert ist, 
jedem andern Druck sofort auszuweichen. 

Stellt man sich die Flüssigkeit unter dem Bilde 
eines Aggregates von glatten elastischen Kugeln vor, 
so sind diese Kugeln am Boden des Gefasses am 
stärksten comprimirt, treten in einem Zustande der 
Compression in das Rohr ein, und verlieren denselben 
erst allmählich im Verlauf der Bewegung. Wir wollen 
es dem Leser überlassen, sich dieses Bild weiter zu 
entwickeln. 

Es versteht sich nach einer frühern Bemerkung, 
dass die Arbeit,die 
in der Compres- 
sion der Flüssig- 
keit selbst liegt, 
sehr gering ist. 
Die Bewegung der 
Flüssigkeit ent- 
springt aus der 
Arbeit der Schwere 
im Gefäss, die sich mit Hülfe des Druckes der com- 
primirten Flüssigkeit auf die Theile im Rohr überträgt. 

Eine interessante Modifikation des eben besprochenen 
Falles erhält man, wenn man die Flüssigkeit durch 
ein Rohr ausfliessen lässt, welches aus mehreren cylin- 
drischen Stücken von verschiedener Weite zusammen- 
gesetzt ist. Der Druck nimmt dann Fig. 220 in der Aus- 
flussrichtung in den engern Röhren, in welchen ein 
grösserer Verbrauch an Reibungsarbeit stattfindet, 
rascher ab als in den weitern. Ausserdem bemerkt 
man bei jedem Uebergang in ein weiteres Rohr, also 
zu einer kleinem Stromgeschwindigkeit einen Druck- 
zuwachs (eine positive Stauung), bei jedem Ueber- 
gang in ein engeres Rohr, also zu einer grossem 




Fig. 220. 



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Yiertes Kapitel. Formelle Entwiekelung der Mechanik. 415 

Stromgeschwindigkeit, eine plötzliche Druck abnähme 
(eine negative Stauung). Die Geschwindigkeit eines 
Flüssigkeitselementes, auf welches keine directen Kräfte 
wirken, kann eben nur vermindert oder vermehrt wer- 
den, wenn es zu Punkten höhern oder niedern Druckes 
übergeht. 



VIERTES KAPITEL. 

Die formelle Entwiekelung der Mechanik. 

1. Die Isoperimeterprobleme. 

1. Sind einmal alle wichtigen Thatsachen einer Natur- 
wissenschaft durch Beobachtung festgestellt, so beginnt 
für diese Wissenschaft eine neue Periode, die deduc- 
tive, welche wir im vorigen Kapitel behandelt haben. 
Es gelingt dann, die Thatsachen in Gedanken nachzu- 
bilden, ohne die Beobachtung fortwährend zu Hülfe zu 
rufen. Wir bilden allgemeinere und complicirtere That- 
sachen nach, indem wir uns dieselben aus einfachem, 
durch die Beobachtung gegebenen wohlbekannten Ele- 
menten zusammengesetzt denken. Allein wenn wir auch 
aus dem Ausdruck für die elementarsten Thatsachen 
(den Principien) den Ausdruck für häufiger vorkommende 
complicirtere Thatsachen (Sätze) abgeleitet und überall 
dieselben Elemente erschaut haben , ist der Ent- 
wickelungsprocess der Naturwissenschaft noch nicht ab- 
geschlossen. Es folgt der deduetiven die formelle 
Entwiekelung. Es handelt sich dann darum, die vor- 
kommenden und nachzubildenden Thatsachen in eine 
übersichtliche Ordnung, in ein System zu bringen, so- 
dass jede einzelne mit dem geringsten Aufwand ge- 
funden und nachgebildet werden kann. In diese An- 
weisungen zur Nachbildung trachtet man die möglichste 



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416 Viertes Kapitel. 

Gleichförmigkeit zu bringen, sodass dieselben leicht 
anzueignen sind. Man bemerkt, dass die Perioden der 
Beobachtung, Deduction und der formellen Entwickelung 
nicht scharf voneinander getrennt sind, sondern dass 
diese verschiedenen Processe häufig nebeneinander her- 
gehen, wenngleich die bezeichnete Aufeinanderfolge im 
ganzen unverkennbar ist. 

2. Auf die formelle Entwickelung der Mechanik hat eine 
besondere Art von mathematischen Fragen, welche 
die Forscher zu Ende des 17. und zu Anfang des 
18. Jahrhunderts intensiv beschäftigt hat, einen bedeu- 
tenden Einfluss geübt. Auf diese Fragen, die sogenann- 
ten Isoperimeterprobleme, wollen wir jetzt einen 
Blick werfen. Aufgaben über die grössten und kleinsten 
Werthe gewisser Grössen, über Maxima und Minima 
wurden schon von den alten griechischen Mathematikern 
behandelt. Pythagoras soll schon gelehrt haben, dass 
der Kreis bei gegebenem Umfang unter allen ebenen 
Figuren die grösste Fläche darbietet. Auch der Ge- 
danke an eine gewisse Sparsamkeit in den Vorgängen 
der Natur war den Alten nicht fremd. Heron leitete 
das Reflexionsgesetz für das Licht aus der Annahme 
ab, dass das Licht von einem Punkt A durch Reflexion 
an M (Fig. 221) auf dem kürzesten Wege nach B gelange. 

Ist die Ebene der Zeichnung die Reflexionsebene, 
SS der Durchschnitt der reflectir enden Ebene, A der 
Ausgangs-, B der Endpunkt und M der Reflexions- 
punkt des Lichtstrahles, so erkennt man sofort, dass 
die Linie AMB\ wobei B' das Spiegelbild von B 
vorstellt, eine Gerade ist. Die Linie AMB 1 ist 
kürzer als etwa ANB', und demnach auch AMB 
kürzer als ANB. Aehnliche Gedanken cultivirt Pappus 
in Bezug auf die organische Natur, indem er z. B. die 
Form der Bienenzellen durch das Bestreben erklärt, 
möglichst an Material zu ersparen. Diese Gedanken 
fielen beim Wiederaufleben der Wissenschaften nicht 
auf unfruchtbaren Boden. Sie wurden zunächst von 
Format und Roberval aufgenommen, welche die Methode 



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Die formelle Entwicklung der Mechanik. 417 

zur Behandlung derartiger Aufgaben ausbildeten. Diese 
Forscher bemerkten, was auch schon Kepler aufge- 
fallen war, dass eine Grösse #, welche von einer 
andern x abhängt, in der Nähe ihrer grössten und 
kleinsten Werthe im allgemeinen ein eigentümliches 
Verhalten zeigt. Stellen wir x als Abscisse und y als 
Ordinate dar, so wird, wenn y mit dem Wachsen von ar 
durch einen Maximalwerth hindurchgeht, das Steigen 
in ein Fallen übergehen, beim Minimalwerth umge- 
kehrt das Fallen in ein Steigen. Die Nachbarwerthe 
des Maximal- oder Minimalwerthes werden also einan- 





der sehr nahe liegen, und die betreffenden Curven- 
tangenten werden der Abscissenaxe parallel werden. 
Zur Auffindung der Maximal- oder Minimalwerthe sucht 
man demnach diese Paralleltangenten auf. 

Diese Tang entenmethode lässt sich auch unmittelbar 
in die Rechnung übersetzen. Soll z. B. von einer ge- 
gebenen Linie a ein Stück x derart abgeschnitten wer- 
den, dass das Product der beiden Abschnitte x und 
a — x möglichst gross wird, so- betrachten wir dieses 
Product x (a — x} als die von x abhängige Grösse y. 
Für den Maximal werjth von y wird eine unendlich 
kleine Aenderung des x, etwa unr §, keine Aenderung 
des y nach sich ziehen. Wir finden also den betreffen» 
den Werth des x, indem wir setzen 

x (a — x) = (x + Q,(a — #.— : £) odPer 

ax — x 2 =z ax + a§ — x 2 — x^^x^ — £ 2 oder 

— - •••'■• : 'öo« 2x -e-§;--- 

macb. 27 



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418 



Viertes Kapitel. 



Da £ beliebig klein sein kann, ist auch 
o = a — 2a?, 

wodurch also x = — - bestimmt ist. 
2 

Man sieht, dass dieses Verfahren die Anschauung der 
Methode der Tangenten auf das Gebiet der Rech- 
nung überträgt, und zugleich schon den Keim der 
Differentialrechnung enthält. 

Fermat versuchte für das Brechungsgesetz des Lichtes 
einen dem Heroischen Reflexionsgesetz analogen Aus- 
druck zu finden. Hierdurch kam er zu der Bemerkung, 
dass das Licht von einem 
Punkt A durch Brechung über 
M nicht auf dem kürzesten 
Wege, sondern in der kürzesten 
Zeit nach B gelangt. Wenn 
der Weg AM B in der kür- 
zesten Zeit ausgeführt werden 
soll, so nimmt der unendlich 
nahe Nachbarweg ANB die- 
selbe Zeit in Anspruch. 
Ziehen wir von N aus auf 
Ä M und von M aus auf NB 
beziehungsweise die Senkrechten NP und MQ, so fallt 
vor der Brechung der Weg M P = NM sin a aus, 
nach der Brechung wächst der Weg NQ = NM sinß 
zu. Wenn also die Geschwindigkeiten im ersten und 
zweiten Medium beziehungsweise v t und t> 3 sind, so 
wird die Zeit für AMB ein Minimum sein, wenn 




Fig. 333. 



NM sing NM*in$ 



octer 



sin ql 
sinß 



— n, 



wobei n den Brechungsexponente_n bedeutet. Das 



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Die formelle Entwiokelung der Mechanik. 419 

Heron'sche Reflexionsgesetz stellt sich nun, wie Leibnitz 
bemerkt, als ein specieller Fall des Brechungsgesetzes 
dar. Für gleiche Geschwindigkeiten v x = v 2 wird näm- 
lich die Bedingung des Zeitminimums mit der Bedingung 
des Wegminimums identisch. 

Huyghens hat bei seinen optischen Untersuchungen 
die Ideen von Fermat festgehalten und ausgebildet, in- 
dem er nicht nur geradlinige, sondern auch krumm* 
" linige Lichtbewegungen in Medien von continuirlich 
von Stelle zu Stelle variirender Lichtgeschwindigkeit 
betrachtet, und auch für diese das Fermat'sche Gesetz 
als gültig erkannt hat. In allen Lichtbewegungen 
schien sich somit bei aller Mannichfaltigkeit als Grund« 
zug das Bestreben nach einem Minimum von Zeit- 
aufwand auszusprechen. 

3. Aehnliche Maximum- oder Minimumeigenschafken 
zeigten sich auch bei Betrachtung mechanischer Natur- 
vorgänge. Wie schon bei einer andern Gelegenheit er- 
wähnt wurde, war es Johann Bernoulli bekannt, dass 
eine frei aufgehängte Kette diejenige Form annimmt, 
für welche der Schwerpunkt der Kette möglichst tief 
zu liegen kommt. Diese Einsicht lag natürlich dem 
Forscher sehr nahe, der zuerst die allgemeine Bedeu- 
tung des Satzes der virtuellen Verschiebungen erkannte. 
Durch diese Bemerkungen angeregt, fing man überhaupt 
an, Maximum-Minimumeigenschaften genauer zu unter- 
suchen. Den mächtigsten Anstoss erhielt die bezeichnete 
wissenschaftliche Bewegung durch das von Johann Ber- 
noulli aufgestellte Problem der Brachystochrone. 
In einer Verticalebene liegen zwei Punkte A, B. Es soll 
diejenige Curve in dieser Ebene angegeben werden, 
durch welche ein Körper, der auf derselben zu bleiben 
gezwungen ist, in der kürzesten Zeit von A nach B 
fallt. Die Aufgabe wurde in sehr geistreicher Weise 
von Johann Bernoulli selbst, ausserdem aber noch von 
Leibnitz, L'Hopital, Newton und Jakob Bernoulli gelöst. 

Die merkwürdigste Lösung ist jene von Johann Ber- 
noulli selbst. Er bemerkt, dass Aufgaben dieser Art 

27* 



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420 • Yiertes Kapitel. 

swar nicht für die Fallbewegung, wohl aber für die Licht- 
bewegung schon gelöst seien. Er denkt sich also die Fall- 
bewegung in zweckmässiger Weise durch eine Licht- 
bewegung ersetzt (vgl. S. 365). Die beiden Punkte A 
und B sollen sich in einem Medium befinden, in welchem 
die Lichtgeschwindigkeit vertical nach unten nach dem- 
selben Gesetz zunimmt wie die Fallgeschwindigkeit* Das 
Medium soll etwa aus horizontalen Schichten mit nach 
unten abnehmender Dichte bestehen, sodass v =^^2gh 
die Lichtgeschwindigkeit in einer Schicht bedeutet, 
welche in der Tiefe 7* unter 
A liegt. Ein Lichtstrahl, 
der bei dieser Anordnung 
von A nach B gelangt, be- 
schreibt diesen Weg in der 
kürzesten Zeit, und gibt zu- 
gleich die Curve der kür- 
zesten Fallzeit an. 

Nennen wir den Neigungswinkel des Ourvenelementes 
gegen die Verticale, also gegen die Schichtennormale für 
verschiedene Schichten a, a', d'\ und die zugehörigen 
Geschwindigkeiten v r i?', v" . . • , so ist 




sina sma sina 



k = const, 



öder wenn wir die. Verticaltiefe unter A mit x y die 
horizontale Entfernung von A mit y und den Curven- 
bogen mit s bezeichnen 
dy 



m 



= k. Hieraus folgt 



dy 2 = k 2 v 2 ds 2 = k 2 v 2 (dx 2 + dy 2 ) 
und mit Rücksicht darauf, dass v = Y2g x 

dy=zdx\/< — - — , wobei a= -r— 7*. 
V a — x 2gk 2 



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Die formelle Ent Wickelung der Mechanik. 421 

Dies ist die Differentialgleichung einer Cycloide, 
welche ein Punkt der Peripherie eines Kreises vom 

a 1 

Radius r = — = *— — =-r- durch Rollen auf einer Ge- 
2 4g k* 

raden beschreibt. 

Um die Cycloide zu finden, welche durch A und B 
hindurchgeht, bedenken wir, dass alle Cycloiden, da 
sie durch ähnliche Constructionen zu Stande kommen, 
ähnlich sind, und wenn sie durch Rollen auf AD von 
dem Punkte A aus entstehen, auch in Bezug auf den 
Punkt A ähnlich liegen. Wir ziehen also durchs B 
eine Gerade und construiren irgendeine Cycloide, welche 
dieselbe in B' schneidet; der Radius des Erzeugungs- 
kreises sei r'. Dann ist der Radius des Erzeugungs- 

, AB 
kreises der gesuchten Cycloide r = r —rjp* 

Die Art, wie Johann Ber- 
noulli, noch ohne alle Me- 
thode, blos durch seine geo- 
metrische Phantasie die 
Aufgabe mit einem Blick 
löst, und wie er das zu- 
fallig schon Bekannte hier- 
bei zu benutzen weiss, ist 
wirklich bemerkenswerth und wunderbar schön. Wir 
erkennen in Johann Bernoulli eine wahre auf dem Ge- 
biet der Naturwissenschaft thätige Künstlernatur. Sein 
Bruder Jakob Bernoulli war ein ganz anderer wissen- 
schaftlicher Charakter. Ihm ward viel mehr Kritik, 
aber viel weniger schöpferische Phantasie zutheil. 
Auch Jakob Bernoulli löste dieselbe Aufgabe, wenn- 
gleich in viel mehr schwerfälliger Weise. Dafür unter- 
liess er aber nicht, die allgemeine Methode zur Behand- 
lung dieser Klasse von Aufgäbet mit grosser Gründlich- 
keit zu entwickeln. Wir finden so in den beiden 
Brüdern die beiden Seiten des wissenschaftlichen Ta* 
lentes, welche sich in den grössten Naturforschern) wie 



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422 



Viertes Kapitel 



z. B. Newton, in ungewöhnlicher Stärke vereinigt finden, 
getrennt vor. Wir werden bald sehen, wie diese beiden 
Fähigkeiten, weil an verschiedene Personen gebunden, 
miteinander in heftigen offenen Kampf gerathen, der 
unter andern Umständen unbemerkt in derselben Person 
hätte austoben können. 



.-£25^^*-«. 




Titelvigaette bu; Leibaitzii et Johaun. Bern oullii comer dum epistolioum 
Lausannae et Genevae, Bousquet, 1745. 

4. Jakob Bernoulli findet, dass man bisher haupt- 
sächlich untersucht habe, für welche Wert he einer ver- 
änderlichen Grösse eine davon abhängige veränder- 
liche Grösse (oder Function derselben) einen grössten 
oder kleinsten Werth annimmt. Nun soll aber unter 
unzähligen Curven eine aufgefunden werden, welche 
eine gewisse Maximum- oder Minimumeigenschaft dar- 
bietet. Das sei eine Aufgabe ganz neuer Art, bemerkt 
Jakob Bernoulli richtig, und erfordere eine neue Methode. 

Die Grundsätze, deren sich Jakob Bernoulli (Acta eru- 
ditorum 1697) zur Lösung der Aufgabe bedient, sind 
folgende : 

1) Wenn eine Curve eine Maximum-Minimumeigen- 



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Die formelle Entwicklung der Mechanik. 423 

schaft darbietet, so bietet jedes noch so kleine Stück 
der Curve dieselbe Eigenschaft dar. 

2) So wie die Nachbarwerthe des Maximal- oder 
Minimalwerthes einer Grösse für unendlich kleine 
Aenderungen der unabhängig Variablen dem Maximal- 
oder Minimal werthe gleich werden, so behält jene 
Grösse, welche für die gesuchte Curve ein Maximum 
oder Minimum werden soll, für die unendlich nahen 
Nachbarcurven denselben Werth. 

3) Ausserdem wird für den besondern Fall der 
Brachystochrone nur noch angenommen, dass die er- 
langte Fallgeschwindigkeit v = *\/2g h sei , wobei h die 
Falltiefe bedeutet. 

Denkt man sich ein sehr kleines Stück ABC der 
fraglichen Curve gegeben, zieht 
durch B eine Horizontale, und 
lässt das Curvenstück in ABC 
übergehen, so erhält man durch 
ganz analoge Betrachtungen, 
wie wir dieselben bei Be- 
sprechung des Fermat'schen 
Gesetzes angestellt haben, die 
Fig. 225. bereits bekannte Beziehung 

zwischen den Sinusen der 
Neigungswinkel der Curvenelemente gegen die Verticale 
und den Fallgeschwindigkeiten. Hierbei hat man nach 
1 vorauszusetzen, dass auch das Stück ABC brachy- 
stochron sei, und nach 2, dass AD C in derselben Zeit 
durchfallen werde wie ABC. Die Kechnung Ber- 
noulli's ist sehr umständlich, das Wesen derselben liegt 
aber auf der Hand, und mit den angedeuteten Sätzen ist 
die Aufgabe gelöst. 

Mit der Lösung der Aufgabe der Brachystochrone 
legte Jakob Bernoulli nach der damaligen Sitte der 
Mathematiker folgende allgemeinere „Isoperimeter- 
aufgabe" vor: > 
„Unter allen zwischen denselben zwei festen Punkten 
gelegenen isoperimetrischen Curven (d. h. Curven von 




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424 



Viertes Kapitel. 



gleichem Umfange oder gleicher Länge) diejenige zu 
finden, welche bewirkt, dass der von einer andern Curve, 
deren jede Ordinate eine gewisse bestimmte Function 
der derselben Abscisse entsprechenden Ordinate oder 
des entsprechenden Bogens der zu suchenden Curve ist, 
ferner den Ordinaten ihrer Endpunkte und dem zwischen 
diesen gelegenen Theile der Abscissenaxe eingeschlossene 
Flächenraum ein Maximum oder Minimum ist." 

Es sei z. B. die durch B und N hindurchgehende 
Curve BFN so zu bestimmen, dass sie unter allen 
durch B und N hindurchgehenden Curven von gleicher 
Länge die Fläche BZN zu einem Maximum macht, 
wobei die Ordinate PZ= (PF)\ L M = (L K) n u. s. w. 
Die Beziehung zwischen den 
Ordinaten für BZN und den 
entsprechenden Ordinaten für 
BFN sei durch die Curve 
BH gegeben. Wir ziehen, 
um BZ aus BF abzuleiten, 
FGH senkrecht zu B G, wo- 
bei B G wieder senkrecht zu 
BN ist. Hierbei soll nun 
PZ = GH sein, und ebenso für die übrigen Ordinaten. 
Wir setzen BB = y, PF=x, P Z = x tt . Johann Ber- 
noulli gab sofort eine Auflösung der Aufgabe in der Form 





Z 




M 


R. 








/ 


\ 


P 


L ) 


«/ 


\ 






/ G 


l 


^K 



N 



Fig. 226. 



-A 



dx 



Va* n — i 



,2n ' 



wobei a eine willkürliche Constante bedeutet. Für n = 1 
wird 



-/* 



x dx 
Va*—x* 



— a — y^ — x\ 



also BFN ein Halbkreis über B N als Durch- 
messer und die Fläche BZN ist dann auch gleich der 
Fläche BFN. Für diesen speciellen Fall ist die 



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Die formelle Entwickelung der Mechanik. 425 

Lösung auch richtig, dies gilt aber nicht von der all- 
.gemeinen Formel. 

Hierauf erbot sich Jakob Bernoulli, erstens den Ge- 
dankengang seines Bruders zu errathen, zweitens die 
"Widersprüche und Fehler in demselben nachzuweisen, 
und drittens die wahre Auflösung zu geben. Die gegen- 
seitige Eifersucht und Gereiztheit der beiden Brüder 
kam hierdurch zum Ausbruch und führte zu einem 
unerquicklichen bittern und heftigen Streite, der bis zu 
dem Tode Jakob's währte. Nach Jakob's Tode gestand 
Johann seinen Irrthum ein, und nahm die richtige Me- 
thode seines Bruders an. 

Jakob Bernoulli hat wol richtig errathen, dass Jo- 
hann wahrscheinlich durch die Ergebnisse seiner Unter- 
suchungen über die Kettenlinie und die Segelcurve ver- 
führt, wieder eine indirecte Lösung versucht hat, in- 
dem er sich BFN mit Flüssigkeit von variablem spe- 
cifischem Gewicht gefüllt .gedacht, und die Curve B FN 
für die tiefste Lage des Schwerpunktes bestimmt hat. 
Setzt man die Ordinate PZ = p, so soll in der Ordi- 
nate PF—X das specifische Gewicht der Flüssig- 

P 
keit — sein, und analog in jeder andern Ordinate. 

x . P • dy 

Bas Gewicht eines verticalen Fadens ist dann , 

X 

und dessen Moment in Bezug auf B N ist 

4**^ = 4^. 

Für die tiefste Lage des Schwerpunktes wird also 
i/P dy °der fp dy = B ZN ein Maximum. Hierbei 
wird aber, wie Jakob Bernoulli richtig bemerkt, über- 
sehen, dass mit der Variation der Curve BFN auch 
das Gewicht der Flüssigkeit variirt, und die Ueber- 
iegung in dieser einfachen Form nicht mehr zulässig ist. 
Jakob Bernoulli selbst löst die Aufgabe, indem er 
wieder annimmt, dass auch das kleine Curvenstück FF m 
Fig. 227 noch die verlangte Eigenschaft hat, und indem 



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426 



Viertes Kapitel. 




er von den vier aufeinander folgenden Punkten F F t F tt 
F nn die beiden äussersten FF ltl als fest betrachtend, F t 
und F lf so variirt, dass die Bogenlänge FF l F u F m un- 
verändert bleibt, was natürlich nur bei Verschiebung 
von zwei Punkten möglich ist. Den complicirten und 
schwerfälligen Rechnungen wollen wir nicht folgen. 
Das Princip derselben ist mit dem eben gesagten deut- 
lich bezeichnet. Nach Jakob Bernoulli wird bei Fest- 
haltung der obigen Bezeichnung 

p dx 

fp dy ein Maximum und 
(a — p) äx 

{ütdif= W^^P 

fp dy ein Minimum. 

Die Mishelligkeiten unter den beiden Brüdern waren 
allerdings bedauerlich. Allein das Genie des einen und 
die Gründlichkeit des andern haben doch die schönsten 
Früchte getragen durch die Anregung, welche Euler 
und Lagrange aus den behandelten Aufgaben schöpften. 

5. Euler (Problematis isoperimetrici solutio generalis. 
Com. Acad. Petr. T. VI, 1738) hat zuerst eine allgemeinere 
Methode zur Behandlung der fraglichen Maximum-Mini- 
raumaufgaben oder Isoperimeterprobleme gegeben, wenn 
auch noch immer sich auf umständliche geometrische Be- 
trachtungen stützend. Er theilt auch die hierher ge- 
hörigen Probleme, ihre Verschiedenheit klar erkennend 
und überblickend, in folgende Classen. 

1) Es soll von allen Curven diejenige bestimmt wer- 
den, für welche eine Eigenschaft A ein Maximum oder 
Minimum ist. 

2) Es soll von allen Curven, welche eine und die- 
selbe Grösse -4 gemeinsam haben, diejenige bestimmt 
werden, für welche B ein Maximum oder Minimum ist. 

3) Es soll von allen Curven, welche i und jB ge- 



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Die formelle Entwickelung der Mechanik, 427 

meinsam haben, diejenige bestimmt werden, welche G 
zu einem Maximum oder Minimum macht u. s. w. 

Ein« Aufgabe der ersten Classe ist z. B. die Auf- 
findung der kürzesten Curve, welche durch M und N 
hindurchgeht. Wird die durch M und N hindurch- 
gehende Curve von der gegebenen Länge A gesucht, 
welche den Flächenraum M PN zu einem Maximum 
macht, so liegt eine Aufgabe der zweiten Classe vor. 
Eine Aufgabe der dritten Classe ist es, unter alle* Curven 
von der gegebenen Länge A, welche durch Jf, JV" hin- 
durchgehen und den gleichen Flächenraum MPN=B 
begrenzen, diejenige zu finden, welche durch Rotation 
um MN die kleinste Rotationsfläche beschreibt u. s. w. 
Wir wollen gleich hier bemerken, dass 
die Aufsuchung eines absoluten Maxi- 
T mums oder Minimums ganz ohne alle 
^ Nebenbedingungen keinen Sinn hat* 
In der That haben z. B. auch alle 
Curven, unter welchen bei der ersten 
Aufgabe die kürzeste gesucht wird, 
die gemeinsame Eigenschaft, dass sie 
„. nn& durch die Punkte M und N hindurch- 

ttg. 228. 

gehen. 

Zur Lösung der Aufgaben der ersten Classe genügt 
die Variation von zwei Curvenelementen oder von einem 
Curvenpunkt. Bei Behandlung der Aufgaben der zweiten 
Classe müssen drei Elemente (oder zwei Curvenpunkte) 
variirt werden, da das variirte Stück mit dem nicht 
variirten die Eigenschaft A y und weil B ein Maximum 
oder Minimum sein soll, auch den Werth B gemein 
haben muss, also zwei Bedingungen erfüllen soll. 
Ebenso verlangt die Lösung der Aufgaben der dritten 
Classe die Variation von vier Curvenelementen u. s. w. 

Man sieht, dass man bei Behandlung der Aufgabe 
einer höhern Classe auch ihre Umkehrungen löst. Für 
die dritte Classe variirt man z. B. vier Curvenelemente 
so, dass das variirte Curvenstück mit dem ursprüng- 
lichen die Werthe A und B (und weil ein Maximum 



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428 "' Viertes Kapitel. 

oder Minimum werden soll) auch C gemein hat. Die- 
selben Bedingungen müssen aber auch erfüllt werden^ 
wenn unter allen Curven mit gemeinsamem i? und C 
diejenige mit einem Maximum oder Minimum von A, 
oder unter allen Curven mit gemeinsamem A und C, 
diejenige mit einem Maximum oder Minimum von B 
gesucht werden soll. So schliesst, um ein Beispiel aus 
der zweiten Classe zu geben, der Kreis unter allen 
Linien von gleicher Länge A die grösste Fläche B ein, 
und der Kreis hat auch unter allen Curven, welche 
dieselbe Fläche B umschliessen, die kürzeste Länge A. 
Da die Bedingung dafür, dass die Eigenschaft A ge- 
meinsam oder dass sie ein Maximum sein soll, ganz in 
derselben Weise ausgedrückt wird, so erkannte Euler 
die Möglichkeit, die Aufgaben der höhern Classen auf 
die Aufgaben der ersten Classe zurückzuführen. Soll 
z. B. unter allen Curven mit dem gemeinsamen Werth 
A die Curve gefunden werden, Welche B zu einem 
Maximum macht, so suche man die Curve, für welche 
A-\-mB ein Maximum wird, wobei m eine willkür- 
liche Constante bedeutet. Soll bei einer Veränderung 
der fraglichen Curve A -f- m B für beliebige Werthe 
von m seinen Werth nicht ändern, so ist dies allgemein 
nur möglich, indem hierbei die Aenderung von A für 
sich und jene von B für sich = o wird. 

6. Euler hat noch einen andern wichtigen Fortschritt 
herbeigeführt. Bei der Behandlung der Aufgabe, die 
Brachystochrone im widerstehenden Mittel zu finden, 
welche von Herrmann und ihm versucht worden war, er- 
gaben sich die vorhandenen Methoden als unzureichend. 
Für die Brachystochrone im luftleeren Raum hängt näm- 
lich die Geschwindigkeit nur von der Falltiefe ab. Die 
Geschwindigkeit in einem Curvenstück hängt gar nicht 
von den andern Curvenstücken ab. Man kann dann 
in der That sagen, dass« jedes beliebig kleine Curven- 
stück ebenfalls brachystochron ist. Im widerstehenden 
Mittel ist dies anders. Die ganze Länge und Form 
der vorausgehenden Bahn hat Einflus3 auf die Gesohwin- 



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Die formelle Entwickelung der Mechanik. 429 

digkeit in dem Element. Die ganze Curve kann brachy- 
stochron sein, ohne dass jedes kleine Stück diese Eigen« 
schaft aufzuweisen braucht» Durch derartige Betrach- 
tungen erkannte Euler, dass das von Jakob Bernoulli 
eingeführte Princip keine allgemeine Gültigkeit habe, 
sondern, dass in Fällen der angedeuteten Art eine um- 
ständlichere Behandlung nöthig sei. 

7. Durch die Menge der Aufgaben und die übersicht- 
liche Ordnung derselben gelang es Euler nach und 
nach im Wesentlichen dieselben Methoden zu finden, 
welche nachher Lagrange in seiner Weise entwickelt hat, 
und deren Inbegriff den Namen Variationsrechnung 
führt. Johann Bernoulli fand also durch Analogie eine 
zufällige Lösung einer Aufgabe, Jakob Bernoulli ent- 
wickelte zur Lögung analoger Probleme eine geome- 
trische Methode. Euler verallgemeinerte die Pro- 
bleme und die geometrische Methode. Lagrange endlich 
befreite sich gänzlich von der Betrachtung der geome- 
trischen Figur und gab eine analytische Methode. Er 
bemerkte nämlich, dass die Zuwüchse, welche Functionen 
durch Aenderung der Functionsform erfahren, voll- 
kommen analog sind den Zuwüchsen durch Aenderung 
defc unabhängig Variablen. Um den Unterschied beider 
Zuwüchse festzuhalten, bezeichnet er erstere mit 8, 
letztere, mit d. Durch Beachtung der Analogie ist aber 
Lagrange in den Stand gesetzt, sofort die Gleichungen 
hinzuschreiben, welche zur Lösung der Maximum-Mini- 
mumaufgabe führen. Eine weitere Begründung dieses 
Gedankens, welcher sich als sehr fruchtbar erwiesen hat, 
hat Lagrange nie gegeben, ja nicht einmal versucht. 
Seine Leistung ist eine ganz eigenthümliche. Er erkennt 
mit grossem ökonomischen Scharfblick die Grundlagen, 
welche ihm genügend sicher und brauchbar erscheinen, um. 
auf denselben ein Gebäude zu errichten. Die. Grundsätze 
selbst rechtfertigen sich durch ihre Ergiebigkeit. Statt 
sich mit der Ableitung der Grundsätze zu beschäftigen, 
zeigt er, mit Welchem Erfolg man sie benutzen kann. 
(Essai d'une nouvelle mithode- etc. Mise. Taur. 1762). 



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430 Viertes Kapitel. 

Wie schwer es den Zeitgenossen und Nachfolgern ge- 
worden ist, sich ganz in den Gedanken von Lagrange 
hineinzufinden, davon kann man sich leicht über- 
zeugen. Euler bemüht sich vergeblich, sich den Unter- 
schied einer Variation und eines Differentials dadurch 
aufzuklären, dass er sich Constanten in der Function 
enthalten denkt, mit deren Veränderung die Form der 
Function sich ändert. Die Zuwüchse des Werthes der 
Function, welche von den Zuwüchsen dieser Constanten 
herrühren, sollen nun die Variationen sein, während die 
Zuwüehse der Function, welche Zuwüchsen der unab- 
hängig Variablen entsprechen, die Differentiale sind. 
Es ergibt sich durch diese Ansicht eine eigenthümlich 
ängstliche engherzige und inconsequente Auffassung der 
Variationsrechnung, welche sicherlich an jene Lagrange's 
nicht hinanreicht. Noch Lindelöf s modernes sonst aus- 
gezeichnetes Buch leidet an diesem Uebelstand. Eine 
Vollkommen zutreffende Darstellung des Lagrange'schen 
Gedankens hat unsers Eraehtens erst Jellett gegeben. 
Er scheint das ausgesprochen zu haben, was Lagrange 
vielleicht nicht ganz auszusprechen vermochte, vielleicht 
auch auszusprechen für überflüssig hielt. 

8. Die Auffassung Jellett' s ist in Kürze folgende. So 
wie man die Werthe mancher Grössen als constant, 
die Werthe anderer als veränderlich betrachtet, unter 
den letztern Grössen aber wieder unabhängig (oder 
willkürlich) veränderliche von abhängig veränderlichen 
(variablen) unterscheidet, so kann man auch eine 
Functionsform als bestimmt oder unbestimmt (ver- 
änderlich) ansehen. Ist eine Functionsform y = 9 (x) 
veränderlich, so kann sich der Werth der Function y 
öowol durch einen Zuwachs dx der unabhängig Va- 
riable x, als auch durch eine Veränderung der Form, 
Üebergang von 9 zu qp r ändern. Die erstere Aenderung 
ist das Differential d y, die letztere die Variation ojr* 

Es ist also d y = 9 (x + d x) — 9 (x) und. 

o^ = 9 r 0r) — <p(*). 



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Die formelle Entwicklung der Mechanik. 431 

Die Werthänderung einer unbestimmten Function 
durch Formänderung schliesst noch keine Aufgabe ein, 
sowie die Werthänderung einer unabhängig Variablen 
auch keine Aufgabe enthält. Man kann eben jede be- 
liebige Formänderung und damit jede beliebige Werth- 
änderung annehmen. Eine Aufgabe entsteht erst,, wenn 
die Werthänderung einer der Form nach bestimmten 
Function F von einer (darin enthaltenen) unbestimmten 
Function 9, welche durch die Formänderung der letz- 
tern herbeigeführt wird t angegeben werden solL Wenn 
z. B. eine ebene Curve von unbestimmter Form y = 9 (x) 
vorliegt, so ist die Bogenlänge derselben zwischen 
den Abscissen x und Xi 

Xq Xo 

eine bestimmte Function dieser unbestimmten Function. 
Sobald eine feste Form der Curve angenommen ist, 
kann sofort der Werth von S angegeben werden. Für 
jede beliebige Formänderung der Curve ist die Werth- 
änderung der Bogenlänge 5 S bestimmbar. In dem ge- 
gebenen Beispiel enthält die Function S nicht direct 
die Function y, sondern deren ersten Differential- 

dy 
quotienten -=—, der aber selbst wieder von y abhängt. 
dx 

Wenn u = F{y) eine bestimmte Function einer unbe- 
stimmten y = 9 (#), so ist 

5« = F (y + 8 y) - F(t,) = ^^ 8y. 
Es sei u = Fly, -==-! eine bestimmte Function von 



<-'tä) 



y = 9 (jc), einer unbestimmten Function. Für Form- 
änderungen von 9 ändert sich- der Werth von y um &y 



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432 Viertes Kapitel 

und jener von -=^- um o>-^-. Die entsprechende Werth- 
änderung von u ist 

dy dy dx 

dx 

dti 
Der Ausdruck h -r- wird nach der Definition, er- 
da? 

halten durch 

dy _ d{y + &#) dy __ dhy 



dx dx dx dx 

Ebenso findet man ohne Schwierigkeit 
% d 2 y d 2 hy a 

Wir gehen nun an die Aufgabe, zu untersuchen, für 
welche Form der Function y = 9 (x) der Ausdruck 

\dx % 

in welchem 

dy d*y 



a=ß 



•- vir „ dy d V \ 



bedeutet, einen Maximal* oder Minimalwerth annimmt, 
wobei also 9 eine unbestimmte , . F eine bestimmte 
Function bezeichnet. Der Werth U kann sich ändern 
durch Veränderung der Grenzen x , x x , denn die Aen- 
derung der unabhängig Variablen x als solche hat ausser 
den Grenzen keinen Einfluss auf U. Betrachten wir 
,e Grenzen als fest, so haben wir auf x .weiter nicht 
u achten. Ausserdem ändert sich aber der Werth 



£ 



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Die formelle Entwickelung der Mechanik. 433 

von U nur durch die Formänderung von y = 9 (#), 
welche eine Werthänderung von 

dy d*y dy dy* 

u. s. w. herbeiführt. Die gesammte Aenderung von U, 
welche wir mit D U bezeichnen, und um die Maximum- 
Minimumbedingung auszudrücken = setzen, besteht 
aus dem Differential d U und der Variation o U % sodass 

DU=dU+bü=o. 
Wir finden nun 

D U = V X dx x — V dx + hfvdx = 

V x dx x — V dx + fh V • dx = 0. 

Hierbei sind V x dx x und V dx die Elemente, welche 
bei Aenderung der Grenzen zuwachsen und ausfallen. 
Nach dem Obigen haben wir ferner 

da? d# 2 

dy V d dy ^ d **y dx\ + '" 
dx dx 2 

Zur Abkürzung setzen wir 

dV - N dV -P _iL_p 

4a? da? 2 



Mach. 



28 



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434 Viertes Kapitel. 

Dann ist also 

o/Ve*r = 

Hier wird die Uebersicht dadurch erschwert, dass in 
dem Ausdruck rechter Hand nicht nur 5y, sondern auch 

die Ausdrücke — -=-¥— , — ... u. a. w. vorkommen, 

welche zwar voneinander abhängen, aber in nicht un- 
mittelbar ersichtlicher Weise. Dieser Uebelstand kann 
behoben werden, indem man die bekannte Formel 

fudv — uv — fvdu 
wiederholt anwendet. Hierdurch wird 

_ dly dP if . , Pdtp a 

Wir erhalten demnach, diese Integrationen consequent 
zwischen den Grenzen ausführend, für die Bedingung 
D Z7 = o den Ausdruck 

o = V x dx x — V dx 

+('.-S+-) I »*-(*'-* + -W 
+(^- i g+-),(S) 1 -(^-S+-).fö). 

+ 



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Die formelle Entwiokelung der Mechanik. 435 

welcher unter dem Integralzeichen nur mehr hy ent- 
hält. 

Hierbei sind die Glieder der ersten Zeile unab- 
hängig von der Formänderung der Function, und hängen 
nur von der Aenderung der Grenzen ab. Die Glieder 
der folgenden Zeilen, mit Ausnahme der letzten, hängen 
von der Formänderung der Function lediglich an den 
Grenzen ab, und die Indices 1, 2 zeigen an, dass für 
die allgemeinen Ausdrücke die Grenzwerthe einzusetzen 
sind. Der Ausdruck der letzten Zeile endlich hängt 
von der Formänderung der Function in ihrer ganzen 
Ausdehnung ab. Fassen wir alle Glieder mit Ausnahme 
jener der letzten Zeile unter der Bezeichnung a t — a 
zusammen, und nennen den Ausdruck in der Klammer 
der letzten Zeile ß, so ist 

o = a x — <x + / ß • hy • dx. 

Aus dieser Gleichung folgt aber 

a i — «o = o 1) 

und l$hydx = o 2) 

Wäre nicht jedes der Glieder für sich gleich Null, so 
wäre eines durch das andere bestimmt. Es kann aber 
nicht das Integrale einer unbestimmten Function durch 
die Werthe derselben an den Grenzen allein gegeben 
sein. Soll also allgemein 

ß hy dx = o 

sein, so ist, weil die hy in der ganzen Ausdehnung will- 

28* 



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ß 



436 Viertes Kapitel. 

kürlich sind, dies nur möglich, wenn ß = o. Es ist 
also durch die Gleichung 

die Natur der Function y = 9 (x) , welche den Aus- 
druck U zu einem Maximum oder Minimum macht, be- 
stimmt. Die Gleichung 3 hat schon Euler gefunden. 
Dagegen hat erst Lagrange die Verwendung der 
Gleichung 1 zur Bestimmung der Function durch die 
Grenzbedingungen gelehrt. Die Form der Function 
y = 9 (x) ist zwar im allgemeinen durch die Gleichung 
3, welcher sie genügen muss, bestimmt, allein dieselbe 
enthält eine Anzahl willkürlicher Constanten, deren 
Werth erst durch die Bedingungen an den Grenzen 
fixirt wird. In Bezug auf die Bezeichnung bemerkt 
Jellett wol mit Recht, dass die Schreibweise der bei- 
den ersten Glieder V l hx l — V hx in Gleichung 1, 
welche Lagrange anwendet, eine Inconsequenz sei, und 
setzt für die Zuwüchse der unabhängig Variablen 
die gewöhnlichen Zeichen dx x , dx . 

9. Um den Gebrauch der gefundenen Gleichungen zu 
erläutern, suchen wir die Functionsform , welche 



yV i+ fö)'" 



zu einem Minimum macht, die kürzeste Linie. Hier ist 

Alle Ausdrücke ausser 

dy 



p — dV _ dx 

l ~~ d Jy ~ 

dx 



V 1 + (S" 



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Die formelle Entwicklung der Mechanik. 437 
verschwinden in der Gleichung 3, und dieselbe wird 

— - ^ = o, was besagt, dass P. und folglich auch die 
dx 

du 
einzige darin enthaltene Variable — — von x unabhängig 

dx 

ist. Demnach ist - — = a und y = ax + b, worin 
d x 

a und b Constanten bedeuten. 

Die Gonstanten a, b sind durch die Grenzbedingungen 

zu bestimmen. Soll die Gerade durch die Punkte 

#o> #o> un< * x i> Vi hindurchgehen, so ist 

y = a* + & \ m) 

y l =ax 1 +b f 
und die Gleichung 1 fallt weg, weil dx = dx x = o, 

hy = hy x = o. Die Coefficienten 5 —^, 8 -j-^- u. s. w. 

fallen von selbst aus. Durch die Gleichungen m allein 
werden also die Werthe von a und b bestimmt. 

Sind nur die Grenzwerthe x , x x gegeben, dagegen 
y Q1 y t unbestimmt, so wird dx = dx x = o, und die 
Gleichung 1 nimmt die Form an 



: (hy x — hy ) = o, 



Vl+a 2 

welche bei der Willkürlichkeit von &y und hy x nur 
erfüllt sein kann, wenn a = o ist. Die Gerade ist in 
diesem Fall y = 6, in einem beliebigen Abstand pa- 
rallel der Abscissenaxe, da b unbestimmt bleibt. 

Man bemerkt, dass im allgemeinen die Gleichung 1 
und die Nebenbedingungen (in dem obigen Beispiele m) 
sich in Bezug auf die Constantenbe Stimmung ergänzen. 
Soll 



•-ß^+W 



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438 Viertes Kapitel. 

ein Minimum werden, so liefert die Integration der 
zugehörigen Gleichung 3 






Ist Z ein Minimum, so ist es auch 2tcZ, und die ge- 
fundene Curve liefert um die Abscissenaxe rotirt die 
kleinste Umdrehungsfläche. Einem Minimum von Z ent- 
spricht auch die tiefste Lage des Schwerpunktes der 
homogen schwer gedachten Curve, welche demnach 
eine Kettenlinie ist. Die Bestimmung der Constanten 
c, cf geschieht wie oben mit Hülfe der Grenzbedingungen. 

Bei Behandlung mechanischer Aufgaben unterscheidet 
man die in der Zeit wirklich eintretenden Zuwüchse 
der Coordinaten dx, dy, dz von den möglichen Ver- 
schiebungen hx, 5y, hz, welche man (z. B. bei Ver- 
wendung des Princips der virtuellen Verschiebungen) in 
Betracht zieht. Letztere sind im allgemeinen keine Varia- 
tionen, d. h. keine Werthänderungen, welche von Form- 
änderungen einer Function herrühren. Nur wenn wir ein 
mechanisches System betrachten, welches ein Continuum 
ist, wie z. B. ein Faden, eine biegsame Fläche, ein elas- 
tischer Körper, eine Flüssigkeit, können wir die 8#, 8y, 
hz als unbestimmte Functionen der Coordinaten x, y, e 
ansehen, und haben es dann mit Variationen zu thun. 

Wir haben hier keine mathematischen Theorien zu 
entwickeln, sondern den eigentlich naturwissenschaft- 
lichen Theil der Mechanik zu behandeln. Die Geschichte 
der Isoperimeterprobleme und der Variationsrechnung 
musste aber berührt werden, weil die betreffenden 
Untersuchungen einen grossen Einfluss auf die Ent- 
wickelung der Mechanik geübt haben. Der Blick in 
Bezug auf allgemeinere Eigenschaften von Systemen 
überhaupt , und auf Maximum - Minimumeigenschaften 
insbesondere, wurde durch die Beschäftigung mit den 
erwähnten Aufgaben so geschärft, dass man derartige 
Eigenschaften an mechanischen Systemen sehr leicht 



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Die formelle Entwickelung der Mechanik. 439 

entdeckte. In der That drückt man seit Lagrange all- 
gemeinere mechanische Sätze gern in Form von Maximum- 
Minimumsätzen aus. Diese Vorliebe bliebe unverständ- 
lich ohne Eenntniss der historischen Entwickelung. 



2. Theologische animistische und mystische Gesichtspunkte 
in der Mechanik. 

1. Wenn wir in eine Gesellschaft eintreten, in welcher 
eben von einem recht frommen Manne die Rede ist, 
dessen Namen wir nicht gehört haben, so werden wir 
an den Geheimrath X oder den Herrn v. Y denken, 
wir werden aber schwerlich zuerst und zunächst auf 
einen tüchtigen Naturforscher rathen. Dennoch wäre 
es ein Irrthum zu glauben, dass dieses etwas gespannte 
Yerhältniss zwischen der naturwissenschaftlichen und 
theologischen Auffassung der Welt, welches sich zeit- 
weilig zu einem erbitterten Kampfe steigert, zu allen 
Zeiten und überall bestanden habe. Ein Blick auf die 
Geschichte der Naturwissenschaft überzeugt uns vom 
Gegentheil. 

Man liebt es, die Conflicte der Wissenschaft mit der 
Theologie, oder besser gesagt mit der Kirche, zu schil- 
dern. Und in der That ist dies ein reichhaltiges und 
dankbares Thema. Einerseits ein stattliches Verzeich- 
niss von Sünden der Kirche gegen den Fortschritt, 
andererseits eine ansehnliche Reihe von Märtyrern, unter 
welchen keine Geringern als Giordano Bruno und 
Galilei sich befinden, und unter welche einzutreten selbst 
einem so frommen Manne wie Descartes nur durch die 
günstigsten Umstände knapp erspart wurde. Allein 
diese Conflicte sind genügend dargestellt worden, und 
wenn man allein diese Conflicte betont, stellt man die 
Sache einseitig dar, und wird ungerecht. Man kommt 
dann leicht zu der Ansicht, die Wissenschaft sei nur 
durch den Druck der Kirche niedergehalten worden, 
und hätte sich sofort zu ungeahnter Grösse erhoben. 



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440 Viertes Kapitel. 

wenn nur dieser Druck gewichen wäre. Allerdings 
war der Kampf der Forscher gegen die fremde äussere 
Gewalt kein unbedeutender. Der Kirche war auch 
in diesem Kampfe kein Mittel zu schlecht, welches 
zum Siege verhelfen konnte, und sie ist hierbei eigen- 
nütziger, rücksichtsloser und grausamer vorgegangen 
als irgendeine andere politische Partei. Einen nicht 
geringen Kampf hatten aber auch die Forscher mit 
ihren eigenen hergebrachten Ideen zu bestehen, nament- 
lich mit dem Vorurtheil, dass alles theologisch be- 
handelt werden müsse. Nur allmählich und langsam 
wurde dieses Vorurtheil überwunden. 

2. Lassen wir die Thatsachen sprechen, und machen 
wir zunächst einige persönliche Bekanntschaften! 

Napier, der Erfinder der Logarithmen, ein strenger 
Puritaner, welcher im 16. Jahrhundert lebte, war neben- 
bei ein eifriger Theologe. Er verlegte sich auf höchst 
sonderbare Speculationen. Er schrieb eine Auslegung 
der Apokalypse mit Propositionen und mathematischen 
Beweisen. Proposition 26 behauptet z. B., dass der 
Papst der Antichrist sei, Proposition 36 lehrt, dass die 
Heuschrecken die Türken und Mohammedaner seien u.a. w. 

Wenn wir auch kein besonderes Gewicht darauf legen, 
dass Blaise Pascal (17. Jahrhundert), einer der genialsten 
Denker auf dem Gebiete der Mathematik und Physik, 
höchst orthodox und ascetisch war, dass er trotz seines 
milden Charakters zu Rouen einen Lehrer der Philo- 
sophie aus voller Ueberzeugung als Ketzer denun- 
cirte, dass die Heilung seiner Schwester durch Be- 
rührung einer Reliquie einen tiefen Eindruck auf 
ihn machte, und dass er dieselbe als ein Wunder an- 
sah, wenn wir auch darauf kein Gewicht legen, weil 
seine ganze zu religiöser Schwärmerei neigende Familie 
in diesem Punkte sehr schwach war, so gibt es doch 
noch andere Beispiele dieser Art genug. Die tiefe 
Religiosität Pascal's zeigt sich in seinem Entschlüsse, 
die Wissenschaften gänzlich aufzugeben, und nur dem 
€hristenthum zu leben. Wenn er Trost suche, pflegte 



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Die formelle Entwiokelung der Mechanik. 441 

er zu sagen, so könne er denselben nur bei den Lebren 
des Christenthums finden, und alle Weisheit der Welt 
könne ihm nichts nützen. Dass er es mit der Bekeh- 
rung der Ketzer aufrichtig meinte, zeigen seine „Lettres 
provinciales", in welchem er gegen die horrenden Spitz- 
findigkeiten eiferte, die von den Doctoren der Sorbonne 
eigens erfunden worden waren, um die Jansenisten zu 
verfolgen. Sehr merkwürdig ist Pascal's Briefwechsel mit 
verschiedenen Theologen, und wir erstaunen nicht wenig, 
wenn Pascal in einem dieser Briefe ganz ernsthaft die 
Frage discutirt, ob der Teufel auch Wunder wirken könne. 

Otto von Guericke, der Erfinder der Luftpumpe, be- 
schäftigt sich gleich zu Anfang seines vor kaum 200 
Jahren verfassten Buches mit dem Wunder des Josua, 
welches er mit dem Kopernicanischen System in Einklang 
zu bringen sucht. Und vor den Untersuchungen über 
den leeren Raum und über die Natur der Luft finden 
wir Fragen über den Ort des Himmels, über den Ort 
der Hölle u. s. w. Wenn Guericke auch alle diese 
Fragen möglichst vernünftig zu beantworten sucht, so 
sieht man doch, was sie ihm zu schaffen machen, die- 
selben Fragen, die heute ein gebildeter Theologe nicht 
einmal auf werfen wird. Und in Guericke haben wir 
einen Mann nach der Reformation vor uns! 

Auch Newton verschmähte es nicht, sich mit der Er- 
klärung der Apokalypse zu beschäftigen. Es war in 
solchen Dingen schwer mit ihm zu sprechen. Als Halley 
sich einmal einen Scherz über theologische Discussionen 
erlaubte, soll er ihn kurz mit der Bemerkung abgewiesen 
haben: „Ich habe diese Dinge studirt, Sie nicht!" 

Bei Leibnitz, dem Erfinder der besten Welt und der 
prästabilirten Harmonie, welche Erfindung in Voltaire's 
anscheinend komischem, in Wirklichkeit aber tief ernstem 
philosophischen Roman „Candide" ihre gebührende Ab- 
fertigung gefunden hat, brauchen wir nicht zu ver- 
weilen. Er war bekanntlich fast ebenso sehr Theologe 
als Philosoph und Naturforscher. 

Wenden wir uns an einen Mann des vorigen Jahr- 



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442 Viertes Kapitel. 

hunderte. Euler in seinen „Briefen an eine deutsche 
Prinzessin" behandelt • mitten unter naturwissenschaft- 
lichen Fragen auch theologisch-philosophische. Er be- 
spricht die Schwierigkeit, bei der gänzlichen Verschieden- 
heit von Körper und Geist, die für ihn feststeht, die 
Wechselbeziehung beider zu begreifen. Zwar will ihm 
das von Descartes und seinen Nachfolgern entwickelte 
System des Occasionalismus nicht recht gefallen, wonach 
Gott zu jeder Absicht der Seele die entsprechende Be- 
wegung des Körpers ausführt, weil die Seele selbst 
dies nicht im Stande ist. Er verspottet auch nicht 
ohne Witz die prästabilirte Harmonie, nach welcher von 
Ewigkeit her Einklang zwischen den Bewegungen des 
Körpers und den Absichten der Seele hergestellt ist, 
obgleich beide einander gar nichts angehen, gerade so 
wie zwischen zwei verschiedenen, aber genau gleich- 
gehenden Uhren. Er bemerkt, dass nach dieser An- 
sicht sein eigener Leib ihm eigentlich so fremd sei, 
wie der eines Khinoceros mitten in Afrika, welcher 
ebensowol in prästabilirter Harmonie mit seiner Seele 
sein könnte. Hören wir ihn selbst. Man schrieb da- 
mals fast nur lateinisch. Wollte ein deutscher Gelehrter 
einmal besonders herablassend sein, und deutsch schrei- 
ben, so schrieb er französisch: „Si dans le cas d'un 
dereglement de mon corps Dieu ajustait celui d'un 
Rhinoceros, ensorte, que ses mouvements fussent telle- 
ment d'accord avec les ordres de mon ame, qu'il levät 
la patte au moment que je voudrais lever la main, et 
ainsi des autres Operations, ce serait alors mon corps. 
Je me trouverais subitement dans la forme d'un Rhi- 
noceros au milieu de TAfrique, mais non obstant cela 
mon ame continuerait les memes Operations. J'aurais 
egalement l'honneur d'ecrire ä V. A., mais je ne sais 
pas comment eile recevrait mes lettres." Fast möchte 
man glauben, Eulern hätte die Lust angewandelt, einmal 
Voltaire zu spielen. Und doch, so sehr er mit seiner 
Kritik den Nagel auf den Kopf trifft, ist ihm die Wechsel- 
wirkung von Leib und Seele ein Wunder. Und doch 



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Die formelle Entwicklung der Mechanik. 443 

hilft er sich in höchst sophistischer Weise über die 
Freiheit des Willens hinweg. Um uns eine Vorstellung 
davon zu verschaffen, welche Fragen damals ein Natur- 
forscher behandeln konnte, bemerken wir, dass Euler 
in seinen physikalischen „Briefen" über die Natur der 
Geister, über die Verbindung von Leib und Seele, über 
die Freiheit des Willens, über den Einfluss der Freiheit 
auf die Ereignisse der Welt, über das Gebet, über das 
physische und moralische Uebel, über die Bekehrung 
der Sünder und ähnliche Stoffe Untersuchungen anstellt. 
Dies geschieht alles in derselben Schrift, welche so viele 
klare physikalische Gedanken und die schöne Dar- 
stellung der Logik mit Hülfe der Kreise enthält. 

3. Diese Beispiele mögen vorläufig genügen. Wir 
haben sie mit Absicht unter den ersten Naturforschern 
gewählt. Was wir bei diesen Männern an Theologie 
gefunden haben, gehört ganz ihrem innersten Privat- 
leben an. Sie sagen uns öffentlich Dinge, zu welchen 
sie nicht gezwungen sind, von welchen sie auch schweigen 
können. Es sind nicht fremde ihnen aufgedrungene 
Ansichten, es sind ihre eigenen Meinungen, welche sie 
vorbringen. Sie fühlen sich durch die Theologie nicht 
gedrückt. In einer Stadt und an einem Hofe, die 
Lamettrie und Voltaire beherbergten, bestand für Euler 
kein Grund seine Ueberzeugungen zu verbergen. 

Nach unserer heutigen Meinung hätten diese Männer 
mindestens bemerken sollen, dass die Fragen dort nicht 
hingehören, wo sie dieselben behandeln, dass es keine 
naturwissenschaftlichen Fragen sind. Mag dieser Wider- 
spruch zwischen überkommenen theologischen und selbst- 
geschaffenen naturwissenschaftlichen Ueberzeugungen uns 
immer einen sonderbaren Eindruck machen, nichts be- 
rechtigt uns, diese Männer deshalb geringer zu achten. 
Denn das eben beweist ihre gewaltige Geisteskraft, dass . 
sie trotz der beschränkten Anschauungen ihrer Zeit, von 
welchen sich ganz frei zu machen ihnen nicht vergönnt 
war, ihren Gesichtskreis doch so erweitern, und uns zu 
einem freiem Standpunkte verhelfen konnten. 



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444 Viertes Kapitel. 

Der Unbefangene wird nicht mehr darüber im Zweifel 
sein, dass das Zeitalter, in welches die Hauptentwickelung 
der Mechanik fiel, theologisch gestimmt war. 
Theologische Fragen wurden durch alles angeregt, und 
hatten auf alles Einfluss. Kein Wunder also, wenn 
auch die Mechanik von diesem Hauch berührt wurde. 
Das Durchschlagende der theologischen Stimmung wird 
noch deutlicher, wenn wir auf Einzelheiten eingehen. 

4. Die antiken Anregungen durch Heron und Pappus 
wurden schon im vorigen Kapitel besprochen. Galilei 
finden wir zu Anfang des 17. Jahrhunderts mit Fragen 
über die Festigkeit beschäftigt. Er zeigt, dass hohle 
Röhren eine grössere Biegungsfestigkeit darbieten als 
massive Stäbe von gleicher Länge und gleichem Material, 
und wendet diese Erkenntniss sofort an, um die For- 
men der Thierknochen zu erläutern, welche gewöhnlich 
hohle Röhren vorstellen. Man kann dieses Verhältniss 
ohne Schwierigkeit durch einen flach gefalteten und 
durch einen zusammengerollten Bogen Papier anschau- 
lich machen. Ein einerseits befestigter und andererseits 
belasteter horizontaler Balken kann ohne Schaden für 
die Festigkeit und mit Materialgewinn am belasteten 
Ende dünner genommen werden. Galilei bestimmt die 
Form des Balkens von in jedem Querschnitt gleichem 
Widerstand. Er bemerkt endlich noch, dass geometrisch 
ähnliche Thiere von sehr verschiedener Grösse den Ge- 
setzen der Festigkeit auch in sehr ungleichem Maasse 
entsprechen würden. 

Die bis in die feinsten Einzelheiten zweckmässigen 
Formen der Knochen, Federn, Halme und anderer or- 
ganischer Gebilde, die in der That geeignet sind , auf 
den gebildeten Beschauer einen tiefen Eindruck zu 
machen, sind bis auf den heutigen Tag unzähligemal 
zu Gunsten einer in der Natur waltenden Weisheit an- 
geführt worden. Betrachten wir z. B. die Schwung- 
feder eines Vogels. Der Kiel ist eine hohle Röhre, 
die gegen das freie Ende hin an Dicke abnimmt, also 
zugleich ein Körper von gleichem Widerstände. Jedes 



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Die formelle Entwickelung der Mechanik. 445 

Blättchen der Federfahne wiederholt ähnliche Verhält- 
nisse im Kleinen. Es würde bedeutende technische 
Kenntnisse erfordern, eine solche Feder in ihrer Zweck- 
mässigkeit auch nur nachzubilden, geschweige denn sie 
zu erfinden. Wir dürfen aber nicht vergessen, dass 
nicht die blosse Bewunderung, sondern die Erforschung 
die Aufgabe der Wissenschaft ist. Es ist bekannt, in 
welcher Weise Darwin nach seiner Theorie der An- 
passung diese Fragen zu lösen sucht. Dass die Dar- 
winsche Auflösung eine vollständige sei, kann billig 
bezweifelt werden; Darwin selbst bezweifelt es. Alle 
äussern Umstände vermöchten nichts, wenn nicht etwas 
da wäre, was sich anpassen will. Darüber aber kann 
kein Zweifel sein, dass die Darwinsche Theorie der erste 
ernste Versuch ist, an die Stelle der blossen Bewun- 
derung der organischen Natur die Erforschung zu setzen. 
Des Pappus Ideen über die Bienenzellen werden noch 
im 18. Jahrhundert lebhaft discutirt. Wood erzählt in 
seiner 1867 erschienenen Schrift: „Ueber die Nester 
der Thiere", folgende Geschichte: „Maraldi war die 
grosse Regelmässigkeit der Bienenzellen aufgefallen. 
Er maass die Winkel der rautenförmigen Grenzflächen 
und fand dieselben 109 ° 28' und 70° 32'. Reaumur in 
der Ueberzeugung, dass diese Winkel mit der Oekono- 
mie der Zelle zusammenhängen müssten, bat den Mathe- 
matiker König, jene Form eines sechsseitigen durch drei 
Rauten geschlossenen Gefässes zu berechnen, bei welcher 
der grösste Inhalt mit der kleinsten Oberfläche zu- 
sammentrifft. Reaumur erhielt die Antwort, dass die 
Winkel der Rauten 109° 26' und 70° 34' betragen 
müssten. Der Unterschied betrug also zwei Minuten. 
Maclaurin, von dieser Uebereinstimmung nicht befriedigt, 
wiederholte die Messung von Maraldi, fand sie richtig, 
und bemerkte bei Wiederholung der Rechnung einen 
Fehler in der von König verwendeten Logarithmentafel. 
Nicht die Bienen also, sondern der Mathematiker hatte 
gefehlt, und die Bienen hatten zur Aufdeckung des 
Fehlers verholfen! „Wem es bekannt ist, wie manKrystalle 



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446 Viertes Kapitel. 

misst, und wer eine Bienenzelle gesehen hat, welche 
ziemlich rohe und nicht spiegelnde Flächen hat, der 
wird es bezweifeln, dass man beim Messen der Zellen 
eine Genauigkeit von zwei Minuten erreichen kann. 
Man muss also die Geschichte für ein frommes mathe- 
matisches Märchen halten, abgesehen davon, dass nichts 
daraus folgt, wenn sie wahr ist. Nebenbei sei bemerkt, 
dass die Aufgabe mathematisch zu unvollständig ge- 
stellt worden ist, um beurtheilen zu können, wie weit 
die Bienen sie gelöst haben. 

Die im vorigen Kapitel erwähnten Ideen von Heron 
und Fermat über die Lichtbewegung erhielten durch 
Leibnitz sofort eine theologische Färbung und spielten, 
wie erwähnt, eine hervorragende Rolle bei Entwickelung 
der Variationsrechnung. In Leibnitzens Briefwechsel 
mit Johann Bernoulli werden unter mathematischen 
wiederholt auch theologische Fragen berührt. Nicht 
selten wird auch in biblischen Bildern gesprochen. So 
sagt z. B. Leibnitz, das Problem der Brachystochrone 
hätte ihn angezogen wie der Apfel die Eva. 

Maupertuis, der bekannte Präsident der berliner 
Akademie und Günstling Friedriche des Grössen, hat 
der theologisirenden Richtung der Physik einen neuen 
Anstoss gegeben durch Aufstellung seines Princips der 
kleinsten Wirkung. In der Schrift, welche die Auf- 
stellung dieses Princips enthält, und zwar in sehr unbe- 
stimmter Form, und in welcher Maupertuis einen ent- 
schiedenen Mangel an mathematischer Schärfe zeigt, 
erklärt er sein Princip für dasjenige, welches der Weis- 
heit des Schöpfers am besten entspräche. Maupertuis 
war geistreich, aber kein starker Kopf, er war ein Pro- 
jectenmacher. Dies zeigen seine kühnen Vorschläge, eine 
Stadt zu gründen, in der blos lateinisch gesprochen 
würde, ein grosses, tiefes Loch in die Erde zu graben, 
um neue Stoffe zu finden, psychologische Untersuchungen 
mit Hülfe des Opiums und der Section von Affen an- 
zustellen, die Bildung des Embryo durch die Gravi- 
tation zu erklären u. s. w. Er ist von Voltaire 



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Die formelle Entwicklung der Mechanik. 447 

scharf kritisirt worden in seiner „Histoire du docteur 
Akakia", welche bekanntlich den Bruch zwischen Fried- 
rich und Voltaire herbeigeführt hat. 

Maupertuis' Princip wäre wol bald wieder vom 
Schauplatz verschwunden, allein Euler benutzte die 
Anregung. Er Hess als wahrhaft bedeutender Mensch 
dem Princip den Namen, Maupertuis den Ruhm der 
Erfindung, und machte ein neues wirklich brauchbares 
Princip daraus. Was Maupertuis meinte, lässt sich 
schwer ganz klar machen. Was Euler meint, kann man 
an einfachen Beispielen leicht zeigen. Wenn ein Körper 
gezwungen ist, auf einer festen Fläche, z. B. der Erd- 
oberfläche, zu bleiben, so bewegt er sich auf einen An- 
stoss hin so, dass er zwischen seiner Anfangs- und 
Endlage den kürzesten Weg nimmt. Jeder andere Weg, 
den man ihm vorschriebe, würde länger sein und mehr 
Zeit erfordern. Das Princip findet Anwendung in der 
Theorie der Luft- und Wasserströmungen auf der Erd- 
oberfläche. Den theologischen Standpunkt hat Euler 
beibehalten. Er spricht sich dahin aus, dass man nicht 
allein aus den physikalischen Ursachen, sondern auch 
aus dem Zweck die Erscheinungen erklären könne. 
„Da nämlich die Einrichtung der ganzen Welt die vor- 
züglichste ist, und da sie von dem weisesten Schöpfer 
herstammt, wird nichts in der Welt angetroffen, woraus 
nicht irgendeine Maximum- oder Minimumeigenschaft her- 
vorleuchtete; deshalb kann kein Zweifel bestehen, dass 
alle Wirkungen in der Welt ebensowol durch die Methode 
der Maxim a und Minima aus den Zwecken wie aus den 
wirkenden Ursachen selbst abgeleitet werden können." x 

5. Auch die Vorstellungen von der Unveränderlich- 
keit der Menge der Materie, von der Unveränderlich- 



1 Quum enim mundi universi fabrica sit perfectissima, 
atque a creatore sapientissimo absoluta, nihil omnino in 
mundo contingit, in quo non maximi minimive ratio quae- 
piam eluceat; quam ob rem dubium prorsus est nullum, 
quin omnes mundi effectus ex causis finalibus, ope methodi 
maximorum et minimorum, aeque feliciter determinari quae- 



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448 Viertes Kapitel. 

keit der Summe der Bewegung, von der Unzerstörbar- 
keit der Arbeit oder Energie, welche die ganze heutige 
Naturwissenschaft beherrschen, sind unter dem Einflüsse 
theologischer Ideen herangewachsen. Sie sind angeregt 
durch einen schon erwähnten Ausspruch von Descartes 
in den Principien der Philosophie, nach welchen die zu 
Anfang erschaffene Menge der Materie und Quantität 
der Bewegung unverändert bleibt, wie dies allein mit 
der Beständigkeit des Schöpfers der Welt verträglich 
sei. Die Vorstellung von der Art, wie die Summe der 
Bewegung zu rechnen sei, hat sich von Descartes auf 
Leibnitz und später bei den Nachfolgern sehr bedeutend 
modißcirt, und es ist nach und nach das entstanden, was 
man heute „Gesetz der Erhaltung der Energie" nennt. 
Der theologische Hintergrund hat sich aber nur sehr 
allmählich verloren. Ja es lässt sich nicht leugnen, dass 
auch heute noch manche Naturforscher mit dem Gesetz 
der Erhaltung der Energie eine eigene Mystik treiben. 

Durch das ganze 16. und 17. Jahrhundert bis gegen 
das Ende des 18. Jahrhunderts war man geneigt, 
überall in den physikalischen Gesetzen eine besondere 
Anordnung des Schöpfers zu sehen. Dem aufmerk- 
samen Beobachter kann aber eine allmähliche Umbildung 
der Ansichten nicht entgehen. Während bei Descartes 
und Leibnitz Physik und Theologie noch vielfach ver- 
mengt sind, zeigt sich später ein deutliches Streben, 
zwar nicht das Theologische ganz zu beseitigen, aber 
dasselbe von dem Physikalischen zu sondern. Es wird 
das Theologische an den Anfang oder das Ende einer 
physikalischen Untersuchung verlegt. Es wird das 
Theologische womöglich auf die Schöpfung concentrirt, 
um von da an für die Physik Raum zu gewinnen. 

Gegen das Ende des 18. Jahrhunderts trat nun eine 
Wendung ein, welche äusserlich auffällt, welche wie ein 



ant, atque ex ipsis causis efficientibus. (Methodus inveniendi 
lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes. Lau- 
sannae 1741.) 



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Die formelle Entwicklung der Mechanik. 449 

plötzlich gethaner Schritt aussieht, die aber im Grunde 
nur eine nothwendige Consequenz des angedeuteten 
Entwickelungsganges ist. Nachdem Lagrange in einer 
Jugendarbeit versucht hatte, die ganze ' Mechanik auf 
das Euler'sche Princip der kleinsten Wirkung zu grün- 
den, erklärt er bei einer Neubearbeitung desselben 
Gegenstandes, er wolle von allen theologischen und 
metaphysischen Speculationen als sehr precären, und 
nicht in die Wissenshaft gehörigen, gänzlich absehen. 
Er fuhrt einen Neubau der Mechanik auf andern Grund- 
lagen aus, und kein Sachverständiger kann dessen Vor- 
züge verkennen. Alle spätem bedeutenden Naturforscher 
haben sich der Auffassung von Lagrange angeschlossen, 
und damit war im Wesentlichen die heutige Stellung 
der Physik zur Theologie gegeben. 

6. Fast drei Jahrhunderte waren also nöthig, bis 
die Ansicht, dass Theologie und Naturwissenschaft zwei 
verschiedene Dinge seien, von ihrem ersten Aufkeimen 
bei Eopernicus bis Lagrange sich zur vollen Klarheit 
entwickelt hat. Dabei ist nicht zu verkennen, dass den 
grössten Geistern, wie Newton, diese Wahrheit immer klar 
war. Nie hat Newton trotz seiner tiefen Religiosität 
die Theologie in naturwissenschaftliche Fragen einge- 
mengt. Zwar schliesst auch er seine „Optik", während 
noch auf den letzten Seiten der helle klare Geist 
leuchtet, mit dem Ausdruck der Zerknirschung über die 
Nichtigkeit alles Irdischen. Allein seine optischen 
Untersuchungen selbst enthalten im Gegensatz zu jenen 
Leibnitzens nicht die Spur von Theologie. Aehnliches 
kann man von Galilei und Huyghens sagen. Ihre 
'Schriften entsprechen fast vollständig dem Standpunkt 
von Lagrange, und können in dieser Richtung als 
classisch gelten. Die Anschauung und Stimmung einer 
Zeit darf aber nicht nach den Spitzen, sondern muss 
nach dem Mittel gemessen werden. 

Um den geschilderten Vorgang einigermaassen zu be- 
greifen, haben wir Folgendes zu überlegen. Es ist 
selbstverständlich, dass auf einer Gulturstufe, auf welcher 

Mach. 90 



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450 Viertes Kapitel 

die Eeligion fast die einzige Bildung, also auch die 
einzige Weltanschauung ist, noth wendig die Meinung 
besteht, dass alles theologisch zu betrachten sei, und 
dass diese Betrachtungsweise auch überall ausreichen 
müsse. Versetzen wir uns , in die Zeit, da man mit der 
Faust die Orgel schlug, da man das Einmaleins schrift- 
lich vor sich haben musste, wenn man rechnen wollte, 
da man so manches mit der Faust verrichtete, was man 
heute mit dem Kopfe thut, so werden wir von einer 
solchen Zeit nicht verlangen, dass sie gegen ihre eigenen 
Ansichten kritisch zu Werke gehe. Mit der Erweiterung 
des Gesichtskreises durch die grossen geographischen, 
technischen und naturwissenschaftlichen Entdeckungen 
und Erfindungen des 15. und 16. Jahrhunderts, mit der 
Auffindung von Gebieten, auf welchen mit dieser An- 
schauung nicht auszukommen war, weil dieselbe vor 
Kenntniss dieser Gebiete sich gebildet hatte, weicht all- 
mählich und langsam dieses Vorurtheil. Schwerverständ- 
lich bleibt immer die grosse Freiheit des Denkens, die 
im frühen Mittelalter vereinzelt, zuerst bei Dichtern, 
dann bei Forschern auftritt. Die Aufklärung muss da- 
mals das Werk einzelner ganz ungewöhnlicher Menschen 
gewesen sein, und nur an ganz dünnen Fäden mit den 
Anschauungen des Volkes zusammengehangen haben, 
mehr geeignet, an diesen Anschauungen zu zerren, und 
sie zu beunruhigen, als dieselben umzugestalten. Erst 
in der Literatur des 18. Jahrhunderts scheint die Auf- 
klärung einen breitern Boden zu gewinnen. Huma- 
nistische, philosophische, historische und Naturwissen- 
schaften berühren sich da, und ermuthigen sich gegen- 
seitig zu freierm Denken. Jeder, der diesen Aufschwung 
und diese Befreiung auch nur zum Theil durch die 
Literatur miterlebt hat, wird lebenslänglich ein ele- 
gisches Heimweh empfinden nach dem 18. Jahrhundert. 
7. Der alte Standpunkt ist also aufgegeben. Nur 
an der Form der Sätze der Mechanik erkennt man noch 
deren Geschichte. Diese Form bleibt auch so lange 
befremdlich, als man ihren Ursprung nicht berücksich- 



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Die formelle Entwicklung der Mechanik. 45] 

tigt. Die theologische Auffassung wich nach und nach 
einer sehr nüchternen, welche aber mit einem bedeu- 
tenden Gewinn an Aufklärung verbunden war, wie wir 
dies in Kürze andeuten wollen. 

Wenn wir sagen, das Licht bewege sich auf einem 
Wege kürzester Zeit, so können wir dadurch manches 
überschauen. Wir wissen aber noch nicht, warum das 
Licht die Wege kürzester Zeit vorzieht. Mit der An- 
nahme der Weisheit des Schöpfers verzichten wir auf 
weitere Einsicht. Wir wissen heute, dass sich das Licht 
auf allen Wegen bewegt, dass aber nur auf den 
Wegen kürzester Zeit die Lichtwellen sich so verstär- 
ken, dass ein merkliches Resultat zu Stande kommt. 
Das Licht scheint sich also nur auf Wegen kürzester 
Zeit zu bewegen. Nach Beseitigung des Vorurtheils 
fand man alsbald Fälle, in welchen neben der vermeint- 
lichen Sparsamkeit der Natur die auffallendste Ver- 
schwendung auftritt. Solche hat z. B. Jacobi in Bezug 
auf das Euler'sche Princip der kleinsten Wirkung nach- 
gewiesen. Manche Naturerscheinungen machen also blos 
deshalb den Eindruck der Sparsamkeit, weil sie nur 
dann sichtbar hervortreten, wenn eben zufallig ein Zu- 
sammensparen der Effecte stattfindet. Dies ist derselbe 
Gedanke im Gebiete des Unorganischen, welchen Darwin 
im Gebiete der organischen Natur ausgeführt hat. Wir 
erleichtern uns instinctiv die Auffassung der Natur, in- 
dem wir die uns geläufigen ökonomischen Vorstellungen 
auf dieselbe Überträgen. 

Zuweilen zeigen die Naturvorgänge darum eine Maxi- 
mum- oder Minimumeigenschaft, weil in diesem Falle 
des Grössten oder Kleinsten die Ursachen weiterer Ver- 
änderung wegfallen. Die Kettenlinie weist den tiefsten 
Schwerpunkt auf, weil nur bei dem tiefsten Schwerpunkt 
kein weiterer Fall der Kettenglieder mehr möglich ist. 
Die Flüssigkeiten unter dem Einfluss der Molecularkräffce 
bieten ein Minimum der Oberfläche dar, weil stabiles 
Gleichgewicht nur bestehen kann, wenn die Molecular- 
kräffce die Oberfläche nicht weiter verkleinern können. Das 

2D* 



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452 Viertes Kapitel. 

Wesentliche liegt also nicht im Maximum oder Minimum, 
sondern in dem Wegfall der Arb eit von diesem Zustande 
aus, welche Arbeit eben das Bestimmende der Ver- 
änderung ist. Es klingt also viel weniger erhaben, ist 
aber dafür viel aufklärender, ist zugleich richtiger und 
allgemeiner, wenn man, statt von dem Ersparungs- 
bestreben der Natur zu sprechen, sagt: „Es geschieht 
immer nur so viel, als vermöge der Kräfte und Um- 
stände geschehen kann." 

Man kann nun mit Kecht die Frage aufwerfen: 
Wenn der theologische Standpunkt, welcher zur Auf- 
stellung der mechanischen Sätze geführt hat, ein ver- 
fehlter war, wie kommt es, dass gleichwol diese Sätze 
im Wesentlichen richtig sind? Darauf lässt sich leicht 
antworten. Erstens hat die theologische Anschauung 
nicht den Inhalt der Sätze geliefert, sondern nur die 
Färbung des Ausdrucks bestimmt, während der Inhalt 
sich durch Beobachtung ergeben hat. Aehnlich würde 
eine andere herrschende Anschauung, z. B. eine mer- 
cantile gewirkt haben, die muthmaasslich auch auf 
Stevin's Denkweise Einfluss geübt hat. Zweitens ver- 
dankt die theologische Auffassung der Natur selbst 
ihren Ursprung dem Streben, einen umfassendem 
Blick zu thun, also einem Streben, welches auch der 
Naturwissenschaft eigen ist, und welches sich ganz wohl 
mit den Zielen derselben verträgt. Ist also auch die 
theologische Naturphilosophie als eine verunglückte 
Unternehmung, als ein Rückfall auf eine niedere Cultur- 
stufe zu bezeichnen, so brauchen wir doch die gesunde 
Wurzel, aus welcher sie entsprossen ist, welche von 
jener der wahren Naturforschung nicht verschieden ist, 
nicht zu verwerfen. 

In der That kann die Naturwissenschaft durch blosse 
Beachtung des Einzelnen nichts erreichen, wenn sie 
nicht zeitweilig auch den Blick ins Grosse richtet. Die 
Galilei'schen Fallgesetze, das Huyghens'sche Princip der 
lebendigen Kräfte, das Princip der virtuellen Ver- 
schiebungen, selbst der MassenbegrifF, konnten, wie wir 



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Die formelle Elitwickelung der Mechanik. 453 

uns erinnern, nur gewonnen werden, indem abwechselnd 
das Einzelne und das Ganze der Naturvorgänge be- 
trachtet wurde. Man kann bei der Nachbildung der 
mechanischen Naturvorgänge in Gedanken von den 
Eigenschaften der einzelnen Massen (von den Elementar- 
gesetzen) ausgehen , und . das Bild des Vorganges zu- 
sammensetzen. Man kann sich aber auch an die Eigen- 
schaften des ganzen Systems (an die Integralgesetze) 
halten. Da aber die Eigenschaften einer Masse immer 
Beziehungen zu andern Massen enthalten, z. B. in der 
Geschwindigkeit und Beschleunigung schon eine Be- 
ziehung auf die Zeit, also auf die ganze Welt liegt, 
so erkennt man, dass es reine Elementargesetze eigent- 
lich gar nicht gibt. Es wäre also inconsequent, wenn 
man den doch unentbehrlichen Blick auf das Ganze, 
auf allgemeinere Eigenschaften, als weniger sicher aus- 
schliessen wollte. Wir werden nur, je allgemeiner ein 
neuer Satz, und je grösser dessen Tragweite ist, mit 
Rücksicht auf die Möglichkeit des Irrthums, desto 
bessere Proben für denselben verlangen. 

Die Vorstellung von dem Wirken eines Willens und 
einer Intelligenz in der Natur ist keineswegs durch 
den christlichen Monotheismus allein erzeugt. Dieselbe 
ist vielmehr dem Heidenthum und dem Fetischismus 
vollkommen geläufig. Das Heidenthum sucht den 
Willen und die Intelligenz nur im Einzelnen, während 
der Monotheismus den Ausdruck derselben im Ganzen 
vermuthet. Einen reinen Monotheismus gibt es übrigens 
thatsächlich nicht. Der jüdische Monotheismus der 
Bibel ist von dem Glauben an Dämonen, Zauberer und 
Hexen durchaus nicht frei, der christliche Monotheis- 
mus des Mittelalters ist an solchen heidnischen Vor- 
stellungen noch viel reicher. Von dem bestialischen 
Sport, den Kirche und Staat mit dem Hexenfoltern und 
Hexenverbrennen getrieben haben, und der wol 
grösstenteils nicht durch Gewinnsucht, sondern eben 
durch die erwähnten Vorstellungen bedingt war, wollen 
wir schweigen. Tylor hat in seiner lehrreichen Schrift 



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454 Viertes Kapitel. 

„Ueber die Anfänge der Cultur" das Zauberwesen, den 
Aberglauben und Wunderglauben, der sich bei allen 
wilden Völkern findet, studirt, und mit den Meinungen 
des Mittelalters über Hexerei verglichen. Die Aehn- 
lichkeit ist in der That auffallend. Und was im 16. 
und 17. Jahrhundert in Europa so häufig war, das 
Hexenverbrennen, das wird heute noch in Centralafrika 
fleissig betrieben. Auch bei uns finden sich noch, wie 
Tylor nachweist, Spuren dieser Zustände in einer Un- 
zahl von Gebräuchen, deren Verständniss uns mit dem 
veränderten Standpunkt verloren gegangen ist. 

8. Die Naturwissenschaft ist diese Vorstellungen nur 
sehr langsam los geworden. Noch in dem berühmten 
Buche von Porta („Magia naturalis"), welches im 16. 
Jahrhundert erschien, und wichtige physikalische Ent- 
deckungen enthält, finden sich Zaubereien und Teufeleien 
aller Art, welche jenen des indianischen „Medicin- 
mannes" wenig nachgeben. Erst durch Gilberts Schrift 
„De magnete" (1600) wurde diesem Spuk eine ge- 
wisse Grenze gesetzt. Wenn noch Luther persönliche 
Begegnungen mit dem Teufel gehabt haben soll, wenn 
Kepler, dessen Muhme als Hexe verbrannt worden war, 
und dessen Mutter beinahe dasselbe Schicksal ereilt 
hätte, sagt, die Hexerei lasse sich nicht leugnen, und 
wenn er nicht wagt, sich frei über die Astrologie aus- 
zusprechen, so kann man sich die Denkweise der weniger 
Aufgeklärten lebhaft vorstellen. 

Auch die heutige Naturwissenschaft weist in ihren 
„Kräften" noch Spuren des Fetischismus auf, wie Tylor 
richtig bemerkt. Und dass die heidnischen An- 
schauungen von der gebildeten Gesellschaft nicht über- 
wunden sind, können wir an dem albernen abgeschmack- 
ten Spiritistenspuk sehen, welcher jetzt die Welt erfüllt. 

Es hat einen triftigen Grund, dass diese Vorstellungen 
sich so hartnäckig behaupten. Von den Trieben, welche 
den Menschen mit so dämonischer Gewalt beherrschen, 
die ihn nähren, erhalten und fortpflanzen, ohne sein 
Wissen und seine Einsicht, von diesen Trieben, deren 



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Die formelle Entwicklung der Mechanik. 455 

gewaltige pathologische Ausschreitungen uns das Mittel- 
alter vorführt, ist nur der kleinste Theil der wissen- 
schaftlichen Analyse und der begrifflichen Erkenntniss 
zugänglich. Der Grundzug aller dieser Triebe ist das 
Gefühl der Zusammengehörigkeit und Gleichartigkeit mit 
der ganzen Natur, welches durch einseitige intellectuelle 
Beschäftigung zeitweilig übertäubt, aber nicht erstickt 
werden kann, welches gewiss auch einen gesunden 
Kern hat, zu welch monströsen religiösen Vorstellungen 
es auch Anlas s gegeben haben mag. 

9. Wenn die französischen Encyklopädisten des 18. 
Jahrhunderts dem Ziel nahe zu sein glaubten, die ganze 
Natur physikalisch-mechanisch zu erklären, wenn Laplace 
einen Geist fingirt, welcher den Lauf der Welt in alle 
Zukunft anzugeben vermöchte, wenn ihm nur einmal 
alle Massen mit ihren Lagen und Anfangsgeschwindig- 
keiten gegeben wären, so ist diese freudige Ueber- 
schätzung der Tragweite der gewonnenen physikalisch- 
mechanischen Einsichten im 18. Jahrhundert verzeihlich^ 
ja ein liebenswürdiges, edles, erhebendes Schauspiel, 
und wir können diese intellectuelle, einzig in der Ge- 
schichte dastehende Freude lebhaft mitempfinden. 

Nach einem Jahrhundert aber, nachdem wir besonnener 
geworden sind, erscheint uns die projectirte Weltan- 
schauung der Encyklopädisten als eine mechanische 
Mythologie im Gegensatz zur animistischen der 
alten Religionen. Beide Anschauungen enthalten unge- 
bührliche und phantastische Uebertreibungen einer ein- 
seitigen Erkenntniss. Die besonnene physikalische For- 
schung wird aber zur Analyse der Sinnesempfindungen 
führen. Wir werden dann erkennen, dass unser Hunger 
nicht so wesentlich verschieden von dem Streben der 
Schwefelsäure nach Zink, und unser Wille nicht so sehr 
verschieden von dem Druck des Steines auf die Unterlage 
ist, als es gegenwärtig den Anschein hat. Wir werden 
uns dann der Natur wieder näher fühlen, ohne dass 
wir nöthig haben, uns selbst in eine uns nicht mehr 
verständliche Staubwolke von Molecülen, oder die Natur 



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456 Viertes Kapitel. 

in ein System von Spukgestalten aufzulösen«. Die 
Richtung, in welcher die Aufklärung durch eine lange 
und mühevolle Untersuchung zu erwarten ist, kann na- 
türlich nur vermuthet werden. Das Resultat anti- 
cipiren, oder es gar in die gegenwärtigen wissen- 
schaftlichen Untersuchungen einmischen zu wollen, hiesse 
Mythologie statt Wissenschaft treiben. 

Die Naturwissenschaft tritt nicht mit dem Anspruch 
auf, eine fertige Weltanschauung zu sein, wohl aber mit 
dem Bewusstsein, an einer künftigen Weltanschauung 
zu arbeiten. Die höchste Philosophie des Naturforschers 
besteht eben darin, eine unvollendete Weltanschauung 
zu ertragen, und einer scheinbar abgeschlossenen, aber 
unzureichenden vorzuziehen. Die religiösen Ansichten 
bleiben jedes Menschen eigenste Privatsache, solange 
er mit denselben nicht aufdringlich wird, und sie nicht 
auf Dinge überträgt, die vor ein anderes Forum ge- 
hören. Selbst die Naturforscher verhalten sich, je nach 
der Weite ihres Blickes und je nach ihrer Werthschätzung 
der Consequenz, in dieser Richtung höchst verschieden. 

Die Naturwissenschaft fragt gar nicht nach dem, was 
einer exacten Erforschung nicht zugänglich, oder noch 
nicht zugänglich ist. Sollten aber einmal Gebiete der 
exacten Forschung erreichbar werden, die es jetzt noch 
nicht sind, nun dann wird wol kein wohlorganisirter 
Mensch, keiner, der es mit sich und andern ehrlich 
meint, Anstand nehmen, die Meinung über ein Ding 
mit dem Wissen von einem Ding zu vertauschen. 

Wenn wir die heutige Gesellschaft oft schwanken 
sehen, wenn sie ihren Standpunkt auch in derselben 
Frage je nach der Stimmung und Lebenslage wechselt, 
wie die Register einer Orgel, wenn dies nicht ohne 
tiefen Gemüthsschmerz abgehen kann, so ist dies eine 
natürliche nothwendige Folge der Halbheit und des 
Uebergangszustandes ihrer Ansichten. Eine zureichende 
Weltanschauung kann uns nicht geschenkt werden, wir 
müssen sie erwerben! Nur dann aber, wenn man dem 
Verstände und der Erfahrung freien Lauf lässt, wo sie 



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Die formelle Entwicklung der Mechanik. 457 

allein zu entscheiden haben, werden wir uns hoffent- 
lich zum Wohle der Menschheit langsam, allmählich aber 
sicher, jenem Ideale einer einheitlichen Weltan- 
schauung nähern, welches allein verträglich ist mit der 
Oekonomie eines gesunden Gemüthes. 

3. Die analytische Mechanik. 

1. Newton* s Mechanik ist eine rein geometrische. 
Er entwickelt seine Sätze von gewissen Annahmen aus- 
gehend mit Hülfe von Constructionen an der Figur. 
Der Gang ist häufig so künstlich, dass, wie schon Laplace 
bemerkt hat, eine Auffindung der Sätze auf diesem 
Wege nicht wahrscheinlich ist. Man erkennt auch, dass 
die Newton'schen Darstellungen nicht ebenso aufrichtig 
sind, als jene von Galilei und Huyghens. Die Methode 
Newton's wird, sowie jene der alten Geometer, auch als 
die synthetische bezeichnet. 

Zieht man aus gegebenen Voraussetzungen eine 
Folgerung, so nennt man diesen Vorgang synthetisch. 
Sucht man umgekehrt zu einem Satz oder zu den 
Eigenschaften einer Figur die Bedingungen auf, so geht 
man analytisch vor. Das letztere Verfahren ist haupt- 
sächlich erst, durch Anwendung der Algebra auf die 
Geometrie in ausgedehntem Gebrauch gekommen. Es 
ist deshalb üblich geworden, das rechnende Verfahren 
überhaupt das analytische zu nennen. Was heute analy- 
tische Mechanik im Gegensatze zur Newton'schen Mecha- 
nik heisst, ist genau genommen rechnende Mechanik. 

2. Der Grund zur analytischen Mechanik ist von Euler 
gelegt worden (Mechanica, sive motus scientia analytice 
exposita, Petrop. 1736). Während aber Euler' s Ver- 
fahren noch dadurch an die alte geometrische Methode 
erinnert, dass er alle Kräfte bei krummlinigen Be- 
wegungen in Tangential- und Normalkräfte zerlegt, 
begründet Maclaurin (A complete System of fluxions, 
Edinb. 1742) einen wesentlichen Fortschritt. Er nimmt 
alle Zerlegungen nach drei unveränderlichen Richtungen 



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458 Viertes Kapitel. 

vor, wodurch alle Rechnungen eine viel grössere Symme- 
trie und Uebersichtlichkeit gewinnen. 

3. Auf die höchste Stufe der Entwicklung ist end- 
lich die analytische Mechanik durch Lagrange gebracht 
worden. Lagrange (Mecanique analytique, Paris 1788) 
bestrebt sich, alle noth wendigen Ueberlegungen ein für 
allemal abzuthun, möglichst viel in einer Formel 
darzustellen. Jeden vorkommenden Fall kann man nach 
einem sehr einfachen symmetrischen und übersichtlichen 
Schema behandeln, und was noch zu überlegen bleibt, 
wird durch rein mechanische Kopfarbeit ausgeführt. Die 
Lagrange'sche Mechanik ist eine grossartige Leistung in 
Bezug auf die Oekonomie des Denkens. 

In der Statik geht Lagrange von dem Princip der 
virtuellen Verschiebungen aus. Auf eine Anzahl Massen- 
punkte m l , wa 2 , *w 3 . . . ., welche in gewissen Verbindungen 
stehen, wirken die Kräfte P t , P 2 , P 3 . . . . Erhalten 
diese Punkte die unendlich kleinen mit den Verbin- 
dungen verträglichen Verschiebungen p %1 p 2 , p z . . . ., so 
ist für den Gleichgewichtsfall 2 Pp = o , wobei wir 
von dem bekannten Ausnahmefall, in welchem die 
Gleichung in eine Ungleichung übergeht, absehen. 

Beziehen wir nun das ganze System auf ein recht- 
winkeliges Coordinatensystem. Die Coordinaten der 
Massenpunkte seien x x y x z x , x 2 y 2 # 2 . . . . Die Kräfte 
mögen in die Componenten X t , Y 1 Z li X 2 Y 2 Z 2 parallel 
den Coordinatenaxen, und die Verschiebungen ebenfalls 
parallel den Axen in 8^, hy t , 8^, 8# 2 , &# 2 » &*2 • • • • 
zerlegt werden. Bei Bestimmung der Arbeit kommt 
für jede Kraftcomponente nur die parallele Verschiebung 
ihres Angriffspunktes in Betracht, und der Ausdruck 
des Princips ist 

2(X8s + Yhy + Zbz) = o . . . 1) 

wobei alle Indices für die einzelnen Punkte einzusetzen, 
und die betreffenden Ausdrücke zu summiren sind. 

Als Grundformel der Dynamik wird das D'Alem- 
bert'sche Princip verwendet. Auf die Massenpunkte 



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Die formelle Entwiokelung der Mechanik. 459 

rn x vn ü m 3 .... mit den Coordinaten x x y x 2 X , x 2 # 2 ^2 •••• 
wirken die Kraftcomponenten X x Y x Z x , X2 Y 2 Z 2 . . • . 
ein. Vermöge der Verbindungen führen aber die 
Massen Bewegungen aus, welche durch andere Kräfte 
d 2 x x d 2 y x d 2 z x 

an den freien Massen hervorgebracht werden könnten. 
Die angreifenden Kräfte X, Y, Z . . . . und die wirk- 
lichen Kräfte 

d 2 x d 2 y d 2 z 

m , , , m * 9 m 



wir 



dt 2 ' d* 2 ' d* 3 ••" 

halten sich aber an dem System das Gleichgewicht. Das 

Princip der virtuellen Verschiebungen anwendend finden 

(*—!?)"}=• • • 2) 

4. Lagrange trägt, wie man sieht, dem Herkommen 
Rechnung, indem er die Statik der Dynamik vorausschickt. 
Dieser Gang war durchaus kein nothwendiger. 
Man kann ebenso gut von dem Satze ausgehen, dass 
die Verbindungen (von deren Dehnung man absieht) 
keine Arbeit leisten, oder dass alle mögliche geleistete 
Arbeit von den angreifenden Kräften herrührt. Dann 
kann man von der Gleichung 2 ausgehen, welche dies 
ausdrückt, und welche für den Fall des Gleichgewichtes 
(oder der unbeschleunigten Bewegung) sich auf 1 als 
einen speciellen Fall zurückzieht. Dadurch würde aus der 
analytischen Mechanik ein noch consequenteres System. 

Die Gleichung 1, welche für den Gleichgewichtsfall 
das der Verschiebung entsprechende Arbeitselement = 
setzt, ergibt leicht die Folgerungen, welche schon S. 64 
besprochen wurden. Ist 

„_dV dV dV 



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460 Viertes Kapitel. 

sind also X, F, Z die partiellen Ableitungen derselben 
Function der Coordinaten, so ist der ganze Ausdruck 
unter dem Summenzeichen die totale Variation 8 V von V. 
Ist dieselbe = o , so ist V selbst im allgemeinen ein 
Maximum oder Minimum. 

5. Wir wollen zunächst den Gebrauch der Gleichung 1 
durch ein einfaches Beispiel erläutern. Sind alle An- 
griffspunkte der Kräfte voneinander unabhängig, so 
liegt eigentlich keine Aufgabe vor. Jeder Punkt ist 
dann nur im Gleichgewicht, wenn die ihn ergreifenden 
Kräfte, also auch deren Componenten = o sind. Alle 
hx, 5 y, hz . . . sind dann vollkommen willkürlich, und die 
Gleichung 1 kann also nur allgemein bestehen, wenn die 
Coefficienten aller bx, hy, hz . . . . der Null gleich sind. 

Bestehen aber Gleichungen zwischen den Coordi- 
naten der einzelnen Punkte, d. h. sind die Punkte nicht 
unabhängig voneinander beweglich, so sind diese von der 
Form F (x x , y x , z x , x 2 , y 2 , z 2 ....)== o oder kürzer 
F = o. Dann bestehen auch zwischen den Verschiebungen 
Gleichungen von der Form 

.dF. dF. dF. . dF % . 

dx x 1 dy x x dz x 1 dx 2 * x * 

die wir kurz mit D F = o bezeichnen wollen. Besteht 
ein System aus n Punkten, so entsprechen diesen 3» 
Coordinaten und die Gleichung 1 enthält 3n Grössen 
8#, hy, hz . . . . Bestehen nun zwischen den Coordinaten 
m Gleichungen von der Form JP=o, so sind hiermit 
zugleich m Gleichungen D F= o zwischen den Varia- 
tionen hx, hy,hz... gegeben. Aus denselben lassen 
sich m Variationen durch die übrigen ausdrücken, und 
in Gleichung 1 einsetzen. Es bleiben also Sn — tn will- 
kürliche Verschiebungen in 1 übrig, deren Coefficienten 
= o gesetzt werden. Hierdurch entstehen 3n — m 
Gleichungen zwischen den Kräften und Coordinaten, 
zu welchen die tn Gleichungen (F = o) hinzugefügt 
werden. Man hat also im ganzen Sn Gleichungen, die 



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Die formelle Entwickelung der Mechanik. 461 

zur Bestimmung der 3n Coordinaten der Gleichgewichts- 
lage genügen, wenn die Kräfte gegeben sind und die 
Gleichgewichtsform des Systems gesucht wird. 

Ist umgekehrt die Form des Systems gegeben, und 
sucht man die Kräfte, welche das Gleichgewicht erhal- 
ten, so bleibt die Aufgabe unbestimmt. Man kann 
dann zur Bestimmung der 3tt Krafbcomponenten nur 
3 n — m Gleichungen verwenden, da die m Gleichungen 
(F = o) die Kraft comp Orienten gar nicht enthalten. 

Als Beispiel wählen wir einen 
um den Anfangspunkt der Coor- 
dinaten in der Ebene X Y dreh- 
baren Hebel M= a, um dessen 
Endpunkt M ein zweiter Hebel 
MN=b beweglich ist. In M 
Fig. 229. und N, deren Coordinaten x, y 

und x x y x heissen mögen, greifen 
die Kräfte X, Y beziehungsweise X x , Y l an. 
Die Gleichung 1 hat hier die Form 

Xix + X x hx x + Yhy + Y x hy x =o . . 3) 

Gleichungen von der Form F= o existiren im gegebenen 
Fall zwei, und zwar 

(*i— *)• + (*! -*)•-»■ = «»/ '•''*> 

Die Gleichungen DF= o lauten nun 

xhx -\-yhy = 1 

(x x — x) hx x — (x x —x)hx + (y x — y) hy x — \ . 5) 

Ü/i— y)5#=o J 

Wir können in unserm Fall zwei der Variationen aus 

5) durch die andern bestimmen und in 3) einsetzen. 

Auch zum Zwecke der Elimination hat Lagrange ein 

ganz gleichförmiges systematisches Verfahren angewandt, 

welches ganz mechanisch ohne weiteres Nachdenken 

ausgeführt werden kann. Wir wollen dasselbe gleich 

hier benutzen. Es besteht darin, dass jede der 



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462 Viertes Kapitel. 

Gleichungen 5) mit einem noch unbestimmten Coefficienten 
X, \l multiplicirt, und zu 3) addirt wird. Hierdurch er- 
gibt sich 

[X+\x — (!.(#! — x)]hx + [X t + pt(* 1 — x)]hx t I __ 
[Y+^y-^y.-y^hy + [Y l + { ,(y l -y)]hy l f" ' 

Die Coefficienten der vier Verschiebungen können 
nun ohne weiteres = o gesetzt werden. Denn zwei 
Verschiebungen sind willkürlich, die beiden andern 
Coefficienten aber können durch die noch freie Wahl 
yon X und |x der Null gleich gemacht werden, was 
einer Elimination der beiden letztern Verschiebungen 
gleichkommt. 

Wir haben also die vier Gleichungen 

X + \x JJL (^ — X) = 

X 1 +[l(x 1 —x) = o . 

Betrachten wir zunächst die Coordinaten als gegeben 
und suchen die das Gleichgewicht erhaltenden Kräfte. 
Die beiden Werthe von X und pi sind natürlich durch die 
Annullirung zweier Coefficienten bestimmt. Es folgt 
aus der zweiten und vierten Gleichung 

a = , a = - also 

Xl —x r y x — y 

x i == x i— * m 

*i y.-y ; 

d. h. die bei N angreifende Gesammtkraft hat die 
Richtung M N. Aus der ersten und dritten Gleichung 
erhalten wir 

l=z —X + \i(x l —x) ^ = — F + f* (ffi — y) 
x * y ' 

demnach nach einfacher Reduction 
X + X, x 



y+r t 



8) 



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Die formelle. Entwickelung der Mechanik. 463 

d. h. die Resultirende der in M und N angreifenden 
Kräfte hat die Richtung OM 1 . 

Die vier Kraffccomponenten unterliegen also nur den 
zwei Bedingungen 7) und 8.) Die Aufgabe ist also eine 
unbestimmte, was in der Natur der Sache liegt, da es 
nicht auf die absolute Grösse der Kraftcomponenten, 
sondern nur auf die Kraft Verhältnisse ankommt. 

Nehmen wir die Kräfte als gegeben an und suchen wir 
die vier Coordinaten, so können wir die Gleichungen 
6) ganz in derselben Weise behandeln. Zu denselben 
treten aber die Gleichungen 4) hinzu. Wir haben also 
nach Beseitigung von X, p. die Gleichungen 7), 8) und 
die beiden Gleichungen 4). Aus denselben ergibt sich 
leicht 

q(X+X t ) 



x = 



y = 



q(r+r t ) 



a(X+X t ) __»*!_ 

1 *t//V i V \2 I /TT . xr \Q I - 



V(x+ *,)»+ (r + ii)» ^ yxj + r? 



1 Die mechanische Bedeutung der Einführung der un- 
bestimmten Coefficienten X, ja lässt sich in folgender Weise 
darlegen. Die Gleichungen 6) drücken das Gleichgewicht 
zweier freien Punkte aus, auf welche ausser den Kräften 
X, Y, X n Y x noch Kräfte wirken, die den übrigen Aus- 
drücken entsprechen, und welche diese Kraftcomponenten 
eben annulliren. Der Punkt N z. B. ist im Gleichgewicht, 
wenn X x durch die der Grösse nach noch unbestimmte 
Kraft fji (x x — x) und Y x durch \l (y x — y) vernichtet wird. 
Die Richtung dieser von der Verbindung herrührenden 
und dieselbe ersetzenden Zusatzkraft ist aber bestimmt. 
Nennen wir ot den Winkel, den sie mit der Abscissenaxe 
einschliesst, so ist 

ta ng a-'* (y '- y) = y^=g. 

(X (x x —x) X x — X 

d. h. die von der Verbindung herrührende Kraft hat die 
Richtung von 6. 



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464 Viertes Kapitel. 

„ _ a(r+r,) bT t 



womit die Aufgabe gelöst ist. So einfach dieses Bei- 
spiel ist, wird es doch genügen, um die Art und den 
Sinn der Lagrange'schen Behandlungsweise deutlich zu 
machen. Der Mechanismus der Methode ist einmal für 
alle Fälle überlegt, und man hat bei Anwendung des- 
selben auf einen besondern Fall fast nichts mehr zu 
denken. Das ausgeführte Beispiel ist zugleich so ein- 
fach, dass es durch den blossen Anblick der Figur ge- 
löst werden kann. Man hat also bei Einübung des 
Verfahrens den Vortheil einer leichten Controle. 

6. Wir wollen nun die Anwendung der Gleichung 2), 
des D'Alembert'schen Satzes in der Lagrange'schen 
Form, erläutern. Auch hier entsteht keine Aufgabe, 
wenn alle Massen voneinander unabhängig sind. In 
diesem Falle folgt jede Masse den zugehörigen Kräften. 
Die Variationen hx, 8y, hz . . . . sind dann vollkommen 
willkürlich, und jeder Coefficient wird für sich = o ge- 
setzt. Für die Bewegung von n Massen erhält man 
auf diese Weise 3n gleichzeitig geltende Differential- 
gleichungen. 

Bestehen aber Bedingungsgleichungen (F= o) zwischen 
den Coordinaten, so führen diese zu andern (D F = o) 
zwischen den Verschiebungen oder Variationen. Mit 
letztern verfährt man ganz wie 
bei Anwendung der Gleichung 1). 
Es muss nur bemerkt werden, dass 
man schliesslich die Gleichungen 
F = o, sowol in undifferentiirter 
als in differentiirter Form ver- 
wenden muss, wie dies am besten ^ 23Q 
durch die folgenden Beispiele 
klargestellt wird. 

Ein schwerer Massenpunkt m befinde sich in einer 
Verticalebene (X Y) auf einer gegen den Horizont ge- 




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Die formelle Entwickelung der Mechanik. 465 

neigten Geraden y = ax beweglich. Die Gleichung 2) 
wird hier 

und weil X = o, T = — mg 

?!?*'+(' + !&)*>— •••••> 

An die Stelle von JP = o tritt hier 

y = ax 10) 

und für DF= o erhalten wir 

hy = ahx. 

Dadurch übergeht 9), weil by ausfallt, und bx will- 
kürlich bleibt, in die Form 

d 2 x ( d*y" 






Durch Differentiiren von 10) (F = o) folgt 

d^y d 3 x 

~dT*~ a dl r 
und demnach 

Wir erhalten also durch Integriren von 11) 
— a t 2 

•"r+p'i + M + ' 

und 

wobei & und c Integrationsconstanten sind, welche 
durch die Anfangslage und Anfangsgeschwindigkeit von m 

Mach. qa 



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£66 Viertes Kapitel. 

bestimmt werden. Dieses Resultat kann leicht ganz direct 
gefunden werden. 

Einige Vorsicht bei Anwendung der Gleichung 1) ist 
nothwendig, wenn F— o die Zeit enthält. Das Ver- 
fahren Hierbei mag durch folgendes Beispiel erläutert 
werden. Wir betrachten den frühern Fall, nehmen aber 
an, dass die Gerade mit der Beschleunigung y vertical 
aufwärts bewegt werde. Wir gehen wieder von der 
Gleichung 9) 

JF = o wird durch 

y =ax + y-j 12) 

vertreten. 

Um i)F=o zu bilden, variiren wir 12) nur nach 
X und y, denn es handelt sich nur um die mögliche 
Verschiebung bei einer augenblicklich gegebenen 
Form des Systems, keineswegs um die Verschiebung, 
welche in der Zeit wirklich eintritt. Wir setzen also 
wie vorher -" 

hy = ahx 
und erhalten wie zuvor 

d*x , / , d 2 y\ 

«• + ('+ *?) — • I3): 

Um aber eine Gleichung in x allein zu erhalten, 
haben wir, weil in 13) x und y durch die wirkliche 
Bewegung miteinander verknüpft sind, 12) nach t zu 
differentiiren, und die gefundene Beziehung 
d 2 y d 2 x , 

Eur Substitution in 13) zu benutzen, wodurch die Gleichung 
d*x , / , , \ 

entsteht, die durch Integration 



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Die formelle Entwiokelung der Mechanik. 467 

y — fqr^ fr + t)J g" + abt + ac gibt * 

Liegt ein schwerloser Körper m auf der bewegten Ge- 
raden, so erhalten wir die Gleichungen 

— a * 2 , * i . 
X = s Y r- bt 4- C 



y= , , -i -t + a b* + ae > 



l + a a 

welche sich leicht durch die Ueberlegung ergeben, dass* 
m sich auf der mit der Beschleunigung y aufwärts be- 
wegten Geraden so verhält, als ob er auf der ruhenden 
Geraden die Beschleunigung y abwärts hätte. 

7. Um uns das Verfahren mit der Gleichung 12) im 
vorigen Beispiel noch klarer zu machen, überlegen wir 
Folgendes. Die Gleichung 2), der D'Alembert'sche Satz, 
sagt, dass alle mögliche Arbeit bei einer Verschiebung 
von . den angreifenden Kräften und nicht von den Ver- 
bindungen herrührt. Dies ist aber nur 
richtig, solange man von der Ver- 
änderung der Verbindungen in der 
Zeit absieht. Aendern sich die Ver- 
bindungen mit der Zeit, so leisten sie 
F% g ^23i. ** aucn Arbeiten, lind man kann auf die 
wirklich in der Zeit eintretenden Ver- 
schiebungen nur darin die Gleichung 2) anwenden, wenn 
man unter die angreifenden Kräfte'auch diejenigen ein- 
rechnet, welche die Veränderung der Verbindungen 
bewirken. 

Eine schwere Masse m sei auf einer zu Y paral- 
lelen Geraden beweglich. Die Gleichung der letzteren; 
welche ihre Lage mit der Zeit ändert, sei 

* = yf (f = f . ... . V . p 14) 

30* 



m 



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468 Viertes Kapitel. 

Der D'Alembert'sche Satz liefert wieder die Gleichung 
9), da aber aus D F= o, hx = o folgt, so zieht sich 
dieselbe auf 

(' + §)*'— 15) 

zurück, in welcher hy ganz willkürlich ist. Daher folgt 



und 

wozu noch 14), d. i. 






ai = y- kommt. 

Es liegt auf der Hand, dass 15) nicht die ganze ge- 
leistete Arbeit bei der in der Zeit wirklich eintretenden 
Verschiebung, sondern nur jene bei der möglichen auf 
der momentan fix gedachten Geraden angibt. 

Denken wir uns die Gerade masselos, parallel zu sich 
selbst in einer Führung durch die Kraft my bewegt, 
so tritt an die Stelle der Gleichung 2) 

H- w S) 8 *+(-^- w S) 8y=<> ' 

und da hier hx, hy vollkommen willkürlich sind,, er- 
halten wir die beiden Gleichungen 

welche dieselben Resultate liefern wie zuvor. Die 
scheinbar verschiedene Behandlung solcher Fälle liegt 
blos an der kleinen Inconsequenz , welche dadurch ent- 
steht, dass man der bequemeren Rechnung wegen nicht 



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Die formelle Entwickelung der Mechanik. 469 

gleich von vorn herein al 1 e vorhandenen Kräfte berück- 
sichtigt, sondern einen Theil erst nachträglich in 
Betracht zieht. 

8. Da die verschiedenen mechanischen Sätze nur ver- 
schiedene Seiten derselben Thatsache ausdrücken, so 
lässt sich einer leicht aus dem andern herleiten, wie 
wir dies erläutern wollen, indem wir den Satz der 
lebendigen Kräfte aus der Gleichung 2 S. 459 entwickeln. 
Die Gleichung 2 bezieht sich auf augenblicklich mögliche 
(virtuelle) Verschiebungen. Sind die Verbindungen von 
der Zeit unabhängig, so sind auch die wirklich ein- 
tretenden Bewegungen virtuelle Verschiebungen. Der 
Satz ist also auch auf diese anwendbar. Wir können 
dann für hx, hy, bz auch dx, dy, dz % die in der Zeit 
stattfindenden Verschiebungen schreiben, und setzen 

2 (X dx + Y dy + Zdz) = 

_ <d*x d*y dh. \ 

Der Ausdruck rechts kann auch geschrieben werden 
_ (d 2 xdx., d 2 y dy Jx d*z dz _\ 



»«-[GD'+töWH» 



mv* 



dx 
indem man für dx einführt -fr dt u. 8. w., was auch 

bei dem Ausdruck linker Hand geschehen kann, und indem 
man mit v die Geschwindigkeit bezeichnet. Hieraus folgt 

/2 (X dx + Ydy + Zrfjr) = 2 i m (v 2 —v 2 ) 

wobei v die Geschwindigkeit am Anfang und v jene 
am Ende der Bewegung bedeutet. Das Integral links 
lässt sich immer finden, wenn man im Stande ist das- 
selbe auf eine Variable zu reduciren, also den Verlauf 
der Bewegung in der Zeit, oder doch den Weg kennt, 
welchen die beweglichen Punkte durchlaufen. Sind aber 



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470 Viertes Kapitel. 

X, F, Z die partiellen Ableitungen derselben Function 
U der Coordinaten, also 

ir- dU V - dU 7- dU 

wie es immer stattfindet, wenn nur sogenannte Central- 
kräfte vorhanden sind, so ist diese Eeduction unnöthig: 
Es ist dann der ganze Ausdruck links ein vollständiges 
Differential. Wir haben dann 

2(17— 17,) = 2 !■»(»> — tf), 
d. h. die Differenz der Eraftfunctionen (Arbeiten) am 
Anfang und Ende der Bewegung ist gleich der Diffe- 
renz der lebendigen Kräfte am Anfang und Ende der 
Bewegung. Die lebendigen Kräfte sind dann ebenfalls 
Functionen der Coordinaten. 

Es seien beispielsweise für einen in der - .X Y-Ebene 
beweglichen Körper X = — y, Y = — x y so haben wir 

/(— y dx—x dy) = — fd (xy) = 

^!/o-^ = Jw (v* — 4) 

Sind aber X = — a, F= — #, so ist das Integrale 
linker Hand — f{aclx-\-xdy). Dasselbe kann ange- 
geben werden, sobald man den Weg kennt, welchen 
der Körper durchlaufen hat, d. h. sobald y als Function 
von x gegeben ist. Wäre z. B. y=px 2 , so würde 
das Integrale 

~f(a + 2p **) dx = a (x —x) + 2p ( *° ~* ) ' . 

Der Unterschied der beiden Fälle besteht darin, 
dass im ersten die Arbeit lediglich eine Function der 
Coordinaten ist, dass eine Kraftfunction existirt, das* 
das Arbeitselement ein vollständiges Differential ist, so- 
dass also durch die Anfangs- und Endwerthe der Co- 
ordinaten die Arbeit gegeben ist, während sie im zwei- 
ten Fall von dem ganzen Ueberführungswege abhängt. 

9. Die einfachen hier angeführten Beispiele , welche an 



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Die formelle Entwickelung der Mechanik. 471 

sich gar keine Schwierigkeiten bieten, dürften genügen, 
um den Sinn der Operationen der analytischen Mechanik 
zu erläutern. Neue principielle Aufklärungen über 
die Natur der mechanischen Vorgänge darf man von 
der analytischen Mechanik nicht erwarten. Vielmehr 
muss die principielle Erkenntniss im wesentlichen ab- 
geschlossen sein, bevor an den Aufbau einer analyti- 
schen Mechanik gedacht werden kann, welche nur die 
einfachste praktische Bewältigung der Aufgaben zum 
Ziel hat. Wer dieses Verhältniss verkennen würde, 
dem würde Lagrange's grosse Leistung, welche auch 
hier eine wesentlich ökonomische ist, unverständlich 
bleiben. Poinsot ist von diesem Fehler nicht ganz frei- 
zusprechen. 

Erwähnt muss werden, dass durch Möbius, Hamilton, 
Grassmann u. A. eine neue Formwandlung der Mechanik 
sich vorbereitet, indem die genannten Forscher mathe- 
matische Begriffe entwickelt haben, welche sich genauer 
und unmittelbarer den geometrischen Vorstellungen an- 
schliessen, als jene der gewöhnlichen analytischen Geo- 
metrie, wodurch also die Vortheile analytischer Allge- 
meinheit und geometrischer Anschaulichkeit vereinigt 
werden. Biese Wandlung liegt freilich noch ausser- 
halb der Grenzen einer historischen Darstellung. 

4. Die Oekonomie der Wissenschaft 

1. Alle Wissenschaft hat Erfahrungen zu ersetzen 
oder zu ersparen durch Nachbildung und Vorbildung 
von Thatsachen in Gedanken, welche Nachbildungen 
leichter zur Hand sind als die Erfahrung selbst, und 
dieselbe in mancher Beziehung vertreten können. Diese 
ökonomische Function der Wissenschaft, welche deren 
Wesen ganz durchdringt, wird schon durch die allge- 
meinsten Ueberlegungen klar. Mit der Erkenntniss des 
ökonomischen Charakters verschwindet auch alle Mystik 
aus der Wissenschaft. Die Mittheilung der Wissen* 
scliaft durch den Unterricht bezweckt, einem Individuum 



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472 Viertes Kapitel. 

Erfahrung zu ersparen durch Uebertragung der Erfah- 
rung eines andern Individuums. Ja es werden sogar 
die Erfahrungen ganzer Generationen durch die schrift- 
liche Aufbewahrung in Bibliotheken spätem Generationen 
übertragen, und diesen daher erspart. Natürlich ist auch 
die Sprache, das Mittel der Mittheilung, eine ökono- 
mische Einrichtung. Die Erfahrungen werden mehr oder 
weniger vollkommen in einfachere, häufiger vorkommende 
Elemente zerlegt, und zum Zwecke der Mittheilung, stets 
mit einem Opfer an Genauigkeit, symbolisirt. Diese 
Symbolisirung ist bei der Lautsprache durchgängig 
noch eine rein nationale, und wird es wol noch lange 
bleiben. Die Schriftsprache nähert sich aber allmäh- 
lich dem Ideale einer internationalen Universalschrift, 
denn sie ist keine reine Lautschrift mehr. Wir müssen, 
die Zahlzeichen, die algebraischen und mathematischen 
Zeichen überhaupt, die chemischen Zeichen, die musika- 
lische Notenschrift, die (Brücke'sche) phonetische Schrift, 
schon als Theile einer künftigen Universalschrift betrach- 
ten, die zum Theil schon sehr abstracter Natur und fast 
ganz international sind. Die Analyse der Farben ist phy- 
sikalisch und physiologisch auch bereits so weit, dass 
eine unzweideutige internationale Bezeichnung der phy- 
sikalischen Farben und der Farbenempfindungen keine 
principiellen Schwierigkeiten mehr hat. Endlich liegt 
in der chinesischen Schrift eine wirkliche Begriffsschrift 
vor, welche von verschiedenen Völkern phonetisch ganz 
verschieden gelesen, aber von allen in demselben Sinne 
verstanden wird. Ein einfacheres Zeichensystem könnte 
diese Schrift zu einer universellen machen. Die Be- 
seitigung des conventionellen und historisch zufalligen 
aus der Grammatik, und die Beschränkung der Formen 
auf das Nothwendige, wie dies im Englischen fast er- 
reicht ist, wird der Einführung einer solchen Schrift 
vorausgehen müssen. Der Vortheil einer solchen Schrift 
läge nicht allein in deren Allgemeinheit. Das Lesen 
einer derartigen Schrift wäre von dem Verstehen der- 
selben nicht verschieden. Unsere Kinder lesen oft, was 



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Die formelle Entwicklung der Mechanik. 473 

sie nicht verstehen. Der Chinese kann nur lesen, was 
er versteht. 

2. Wenn wir Thatsachen in Gedanken nachbilden, so 
bilden wir niemals die Thatsachen überhaupt nach, 
sondern nur nach jener Seite, welche für uns wichtig 
ist, wir haben hierbei ein Ziel, welches unmittelbar 
oder mittelbar aus einem praktischen Interesse hervor- 
gewachsen ist. Unsere Nachbildungen sind immer Ab- 
stractionen. Auch hierin spricht sich ein ökonomischer 
Zug aus. 

Die Natur setzt sich aus den durch die Sinne ge- 
gebenen Elementen zusammen. Der Naturmensch fasst 
aber zunächst gewisse Complexe dieser Elemente her- 
aus, die mit einer relativen Stabilität auftreten, und 
die für ihn wichtiger sind. Die ersten und ältesten 
Worte sind Namen für „Dinge". Hierin liegt schon ein 
Absehen von der Umgebung der Dinge, von den fort- 
währenden kleinen Veränderungen, welche diese Com- 
plexe erfahren, und welche als weniger wichtig nicht 
beachtet werden. Es gibt in der Natur kein unver- 
änderliches Ding. Das Ding ist eine Abstraction, der 
Name ein Symbol für einen Comp lex von Elementen, 
von deren Veränderung wir absehen. Dass wir den 
ganzen Complex durch ein Wort, durch ein Symbol 
bezeichnen, geschieht, weil wir ein Bedürfniss haben, 
alle zusammengehörigen Eindrücke auf einmal wach zu 
rufen. Sobald wir auf einer höhern Stufe auf diese 
Veränderungen achten, können wir natürlich nicht zu- 
gleich die Un Veränderlichkeit festhalten, wenn wir nicht 
zum „Ding an sich" und ähnlichen widerspruchsvollen 
Vorstellungen gelangen wollen. Die Empfindungen sind 
auch keine „Symbole der Dinge". Vielmehr ist das „Ding" 
ein Gedankensymbol für einen Empfindungscomplex von 
relativer Stabilität. Nicht die Dinge (Körper), sondern 
Farben, Töne, Drucke, Räume, Zeiten (was wir gewöhn- 
lich Empfindungen nennen) sind eigentliche Elemente 
der Welt. 

Der ganze Vorgang hat lediglich einen ökonomischen 



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474 Viertes Kapitel. 

Sinn. Wir beginnen bei Nachbildung der Thatsachen 
mit den stabilem gewöhnlichen uns geläufigen Com- 
plexen, und fügen nachträglich das Ungewöhnliche corri- 
girend hinzu. Wenn wir z. B. von einem durchbohrten 
Cy linder, von einem Würfel mit abgestutzten Ecken 
sprechen, so ist dies genau genommen eigentlich ein 
Widerspruch , wenn wir nicht die eben angegebene 
Auffassung annehmen. Alle Urtheile sind derartige 
Ergänzungen und Correcturen schon vorhandener Vor- 
stellungen. 

3. Wenn wir von Ursache und Wirkung sprechen, so 
heben wir willkürlich jene Momente heraus, auf deren 
Zusammenhang wir bei Nachbildung einer Thatsache in 
der für uns wichtigen Richtung zu achten haben. In 
der Natur gibt es keine Ursache und keine Wirkung. 
Die Natur ist nur einmal da. Wiederholungen gleicher 
Fälle, in welchen A immer mit B verknüpft wäre, also 
gleiche Erfolge unter gleichen Umständen, also das 
Wesentliche des Zusammenhanges von Ursache und 
Wirkung, existiren nur in der Abstraction, die wir zum 
Zweck der Nachbildung der Thatsachen vornehmen. 
Ist uns eine Thatsache geläufig geworden, so bedürfen 
wir dieser Heraushebung der zusammenhängenden Merk- 
male nicht mehr, wir machen uns nicht mehr auf das 
Neue, Auffallende aufmerksam, wir sprechen nicht mehr 
von Ursache und Wirkung. Die Wärme ist die Ursache 
der Spannkraft des Dampfes. Ist uns das Verhältniss 
geläufig geworden, so stellen wir uns den Dampf gleich 
mit der zu seiner Temperatur gehörigen Spannkraft 
vor. Die Säure ist die Ursache der Röthung der 
Lackmustinctur. Später gehört aber diese Röthung unter 
die Eigenschaften der Säure. 

Hume hat sich zuerst die Frage vorgelegt: Wie kann 
ein Ding A auf ein anderes B wirken? Er erkennt 
auch keine Causalität, sondern nur eine uns gewöhn- 
lich und geläufig gewordene Zeitfolge an. Kant hat 
richtig erkannt, dass nicht die blosse Beobachtung unsf 
die Nothwendigkeit der Verknüpfung von A und B 



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Die formelle Entwickelung der Mechanik. 475 

lehren kann. Er nimmt einen angeborenen Verstandes- 
begriff an, unter welchen ein in der Erfahrung gegebener 
Fall subsumirt wird. Schopenhauer, der- im wesent- 
lichen denselben Standpunkt hat, unterscheidet eine 
vierfache Form des „Satzes vom zureichenden Grunde", 
die logische, physische, mathematische Form, und das 
Gesetz der Motivation. Diese Formen unterscheiden 
sich aber nur nach dem Stoff, auf welchen sie ange- 
wandt werden, welcher theils der äussern und theils 
der inner n Erfahrung angehört. 

Die naive und natürliche Aufklärung scheint folgende 
zu sein. Die Begriffe Ursache und Wirkung entstehen 
erst durch das Bestreben, die Thatsachen nachzubilden. 
Zunächst entsteht nur eine Gewohnheit der Verknüpfung 
von A und B, C und D, E und F u. s. w. Beobachtet 
man, wenn man schon viele Erfahrung besitzt, eine Ver- 
knüpfung von M und N, so erkennt man oft M als 
aus A, C, E, und Na\s aus 2?, D, .F bestehend, deren 
Verknüpfung schon geläufig ist, und uns mit einer 
höhern Autorität gegenübertritt. Dadurch erklärt es sich, 
dass der erfahrene Mensch jede neue Erfahrung mit 
•andern Augen ansieht als der Neuling. Die neue Er- 
fahrung tritt der ganzen altern gegenüber. In der 
That gibt es also einen „Verstandesbegriff", unter 
welchen jede neue Erfahrung subsumirt wird; derselbe 
ist aber durch die Erfahrung selbst entwickelt. Die Vor- 
stellung von der Nothwendigkeit des Zusammen- 
hanges von Ursache und Wirkung bildet sich wahr- 
scheinlich durch unsere willkürliche Bewegung, und 
die Veränderungen, welche wir mittelbar durch diese 
hervorbringen, wie dies Hume flüchtig angenommen, 
selbst aber nicht aufrecht gehalten hat. Wichtig ist es 
für die Autorität der Begriffe Ursache und Wirkung, 
dass sich dieselben instinctiv und unwillkürlich ent- 
wickeln, dass wir deutlich fühlen, persönlich nichts zur 
Bildung derselben beigetragen zu haben. Ja, wir 
können sogar sagen, dass das Gefühl für Causalität 
nicht vom Individuum erworben, sondern durch die 



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476 Viertes Kapitel. 

Entwicklung der Art vorgebildet sei. Ursache und 
Wirkung sind also Gedankendinge von ökonomischer 
Function. Auf die Frage, warum sie entstehen, lässt 
sich keine Antwort geben. Denn eben durch die Ab- 
straktion von Gleichförmigkeiten erlernen wir erst die 
Frage „warum". 

4. Fassen wir die Einzelheiten der Wissenschaft ins 
Auge, so tritt ihr ökonomischer Charakter noch mehr 
hervor. Die sogenannten beschreibenden Wissenschaften 
müssen sich vielfach damit begnügen, einzelne That- 
sachen nachzubilden. Wo es angeht wird das Gemein- 
same mehrerer Thatsachen ein für allemal herausge- 
hoben. Bei höher entwickelten Wissenschaften gelingt 
es, die Nachbiidungsanweisung für sehr viele Thatsachen 
in einen einzigen Ausdruck zu fassen. Statt z. 6. die 
verschiedenen vorkommenden Fälle der Lichtbrechung 
uns einzeln zu merken, können wir alle vorkommenden 
sofort nachbilden oder vorbilden, wenn wir wissen, dass 
der einfallende, der gebrochene Strahl und das Loth 

in einer Ebene liegen und - — - = n ist. Wir haben 

sin ß 

dann statt der unzähligen Brechungsfalle bei ver- 
schiedenen Stoffcombinationen und Einfallswinkeln nur 
diese Anweisung und die Werthe der n zu merken, 
was viel leichter angeht. Die ökonomische Tendenz 
ist hier unverkennbar. In der Natur gibt es auch kein 
Brechungsgesetz, sondern nur verschiedene Fälle der 
Brechung. Das Brechungsgesetz ist eine zusammen- 
fassende concentrirte Nachbildungsanweisung für uns, 
und zwar nur bezüglich der geometrischen Seite der 
Thatsache. 

5. Am weitesten nach der ökonomischen Seite sind 
die Wissenschaften entwickelt, deren Thatsachen sich 
in nur wenige gleichartige abzählbare Elemente zer- 
legen lassen, wie z. B. die Mechanik, in welcher wir 
nur mit Räumen, Zeiten, Massen zu thun haben. Die 
ganze vorgebildete Oekonomie der Mathematik kommt 
diesen Wissenschaften zugute. Die Mathematik ist eine 



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Die formelle Entwickelang der Mechanik. 477 

Oekonomie des Zählens. Zahlen sind Ordnu gszeichen, 
die aus Rücksichten der Ueb ersieht und Ersparung 
selbst in ein einfaches System gebracht sind. Die 
Zähloperationen werden als von der Art der Objecto 
unabhängig erkannt, und ein für allemal eingeübt. 
Wenn ich zu 5 gleichartigen Objecten 7 hinzufüge, 
so zähle ich zur Bestimmung der Summe zuerst noch 
einmal alle durch, dann bemerke ich, dass ich von 5 
gleich weiter zählen kann, und bei mehrmaliger Wieder- 
holung solcher Fälle erspare ich mir das Zählen ganz, 
und antieipire das bereits bekannte Resultat des 
Zählens. 

Alle Rechnungsoperationen haben den Zweck, das 
directe Zählen zu ersparen, und durch die Resultate 
schon vorher vorgenommener Zählprocesse zu ersetzen. 
Wir wollen dieselbe Zähloperation nicht öfter wieder- 
holen, als es nöthig ist. Schon die vier Species ent- 
halten reichliche Belege für die Richtigkeit dieser Auf- 
fassung. Dieselbe Tendenz führt aber auch zur Algebra, 
welche die formgleichen Zähloperationen, soweit sie 
sich unabhängig von dem Werthe der Zahlen ausführen 
lassen, ein für allemal darstellt. Aus der Gleichung 

x* — y* 

J =x — y 



x + y 

lernen wir z. B., dass die complicirtere Zähloperation 
links, sich stets durch die einfachere rechts ersetzen 
lässt, was auch x und y für Zahlen sein mögen. Wir 
ersparen uns dadurch die complicirtere Operation in 
jedem künftigen Fall auszuführen. Mathematik ist die 
Methode, neue Zähloperationen soweit als möglich, 
und in der sparsamsten Weise durch bereits früher 
ausgeführte, also nicht zu wiederholende, zu ersetzen. 
Es kann hierbei vorkommen, dass die Resultate von 
Operationen verwendet werden, welche vor Jahrhunder- 
ten wirklich ausgeführt worden sind. 

Anstrengendere Kopfoperationen können oft durch 



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478 



Viertes Kapitel. 



mechanische Kopfoperationen mit Vortneil ersetzt wer- 
den. Die Theorie der Determinanten verdankt z. B. 
ihren Ursprung der Bemerkung, dass es nicht nöthig 
ist, die Auflösung der Gleichungen von der Form 

«i * + h V + <>i = o 
a 2 x + 6 2 y + c % = o 



aus welchen sich ergibt 






_P 

N 



a, c« — a 9 c< 



2 v \ 



a l b 2 — a 2 b i 






jedesmal aufs neue durchzuführen, sondern, dass man 
die Auflösung aus den Coefficienten herstellen kann, 
indem man dieselben nach einem gewissen Schema an- 
schreibt und in mechanischer Weise mit denselben 
operirt. Es ist 



und analog 



\ a * b 2 



== d x b 2 — a 2 b x = IT 



c 2 b 2 



= P, 



a c Q 



= Q- 



Bei mathematischen Operationen kann sogar . eine 
gänzliche Entlastung des Kopfes eintreten, indem man 
einmal ausgeführte Zähloperationen durch mechanische 
Operationen mit Zeichen symbolisirt, und statt die 
Hirnfunction auf Wiederholung schon ausgeführter 
Operationen zu verschwenden, sie für wichtigere Fälle 
spart. Aehnlich sparsam verfährt der Kaufmann, indem 
er, statt seine Kisten selbst herumzuschieben, mit An- 
weisungen auf dieselben operirt. Die Handarbeit des 
Rechners kann sogar noch duroh Rechenmaschinen 



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Die formelle Entwicklung der Mechanik. 479 

übernommen werden. Solcher Maschinen gibt es be- 
kanntlich schon mehrere. Dem Mathematiker Babbage, 
der eine derartige Maschine construirt hat, waren die 
hier dargelegten Gedanken schon sehr klar. 

Nicht immer muss ein Zählresultat durch wirkliche 
Zählung, es kann auch indirect gefunden werden. Man 
kann z. B. leicht ermitteln, dass eine Curve deren 
Quadratur für die Abscisse x den Werth x m hat, einen 
Zuwachs mx m " x dx der Quadratur für den Abscissen- 
zuwachs dx ergibt. Dann weiss man auch, dass 
frnx m ~ 1 dx^=x m , d. h. man erkennt, dass zu dem 
Zuwachs mx m ~ l dx die Grösse x m gehört, sowie man 
eine Frucht an ihrer Schale erkennt. Solche durch 
Umkehrung zufällig gefundene Resultate werden in 
der Mathematik vielfach verwendet. 

Es könnte auffallen, dass längst geleistete wissen- 
schaftliche Arbeit wiederholt verwendet werden kann, 
was bei mechanischer Arbeit natürlich nicht angeht. 
Wenn jemand, der täglich einen Gang zu machen hat, 
einmal durch Zufall einen kürzern Weg findet, und nun 
stets denselben einschlägt, indem er sich der Abkürzung 
erinnert, erspart er sich allerdings die Differenz der 
Arbeit. Allein die Erinnerung ist keine eigentliche 
Arbeit, sondern eine Auslösung von zweckmässigerer 
Arbeit. Gerade so verhält es sich mit der Verwendung 
wissenschaftlicher Gedanken. 

Wer Mathematik treibt, ohne sich in der angedeu^ 
teten Richtung Aufklärung zu verschaffen, muss oft den 
unbehaglichen Eindruck erhalten, als ob Papier und Blei- 
stift ihn selbst an Intelligenz überträfen. Mathematik 
in dieser Weise als Unterrichtsgegenstand betrieben ist 
kaum bildender, als die Beschäftigung mit Kabbala oder 
dem magischen Quadrat. Nothwendig entsteht dadurch 
eine mystische Neigung, welche gelegentlich ihre Früchte 
trägt. 

6. Die Physik liefert nun ganz ähnliche Beispiele 
einer Oekonomie der Gedanken, wie diejenigen, welche 



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480 Viertes Kapitel. 

wir eben betrachtet haben. Ein kurzer Hinweis darauf 
wird genügen. Das Trägheitsmoment erspart uns die 
Betrachtung der einzelnen Massentheile. Mit Hülfe der 
Kraftfunction ersparen wir die Untersuchung der ein- 
zelnen Kraftcomponenten. Die Einfachheit der Ueber- 
legungen mit Hülfe der Kraftfunction beruht darauf, 
dass schon eine Menge Ueberlegungen dem Auffinden 
der Eigenschaften der Kraftfunction vorausgehen mussten. 
Die Gauss'sche Dioptrik erspart uns die Betrachtung 
der einzelnen brechenden Flächen eines dioptrischen 
Systems, und ersetzt diese durch die Haupt- und Brenn- 
punkte. Die Betrachtung der einzelnen Flächen musste 
aber der Auffindung der Haupt- und Brennpunkte vor- 
ausgehen. Die Gauss'sche Dioptrik erspart nur die 
fortwährende Wiederholung dieser Betrachtung. 

Man muss also sagen, dass es gar kein wissenschaft- 
liches Resultat gibt, welches principiell nicht auch ohne 
alle Methode gefunden werden könnte. Thatsächlich 
ist aber in der kurzen Zeit eines Menschenlebens und 
bei dem begrenzten Gedächtniss des Menschen ein 
nennenswerthes Wissen nur durch die grösste Oekono- 
mie der Gedanken erreichbar. Die Wissenschaft kann 
daher selbst als eine Minimumaufgabe angesehen wer- 
den, welche darin besteht, möglichst vollständig die 
Thatsachen mit dem geringsten Gedankenaufwand 
darzustellen. 

7. Alle Wissenschaft hat nach unserer Auffassung 
die Function Erfahrung zu ersetzen. Sie muss daher 
zwar einerseits in dem Gebiete der Erfahrung blei- 
ben, eilt aber doch andererseits der Erfahrung voraus, 
stets einer Bestätigung aber auch Widerlegung gewärtig. 
Wo weder eine Bestätigung noch eine Widerlegung 
möglich ist, dort hat die Wissenschaft nichts zu schaffen. 
Sie bewegt sich immer nur auf dem Gebiete der un- 
vollständigen Erfahrung. Muster solcher Zweige 
der Wissenschaft sind die Theorien der Elasticität und 
der Wärmeleitung, die beide den kleinsten Theilen 
der Körper nur dieselben Eigenschaften beilegen, welche 



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Die formelle Entwickelung der Mechanik. 481 

uns die Beobachtung an grössern Theilen direct kennen 
lehrt. Die Vergleichung zwischen Theorie und Er- 
fahrung kann mit der Verfeinerung der Beobachtungs- 
mittel immer weiter getrieben werden. 

Die Erfahrung allein, ohne die sie begleitenden Ge- 
danken, würde uns stets fremd sein. Diejenigen Ge- 
danken, welche auf dem grössten Gebiet festgehalten 
werden können, und am ausgiebigsten die Erfahrung 
ergänzen, sind die wissenschaftlichsten. Man geht 
bei der Forschung nach dem Princip der Continuität 
vor, weil nur nach diesem Princip eine nützliche und öko- 
nomische Auffassung der Erfahrung sich ergeben kann. 

8. Wenn wir einen langen elastischen Stab ein- 
klemmen, so kann derselbe in langsame direct be- 
obachtbare Schwingungen versetzt werden. Diese 
Schwingungen kann man sehen, tasten, graphisch ver- 
zeichnen u. s. w. Bei Abkürzung des Stabes werden 
die Schwingungen rascher, und können nicht mehr 
direct gesehen werden; der Stab gibt ein verwischtes 
Bild, eine neue Erscheinung. Allein die Tastempfindung 
ist der frühem noch ähnlich, wir können den Stab 
seine Bewegungen noch aufzeichnen lassen, und wenn 
wir die Vorstellung der Schwingungen noch fest- 
halten, so sehen wir die Ergebnisse der Versuche vor- 
aus. Bei weiterer Abkürzung des Stabes ändert sich 
auch die Tastempfindung, er fängt zudem an zu tönen, 
es tritt also wieder eine neue Erscheinung auf. Da 
sich aber nicht alle Erscheinungen auf einmal gänzlich 
ändern, sondern immer nur eine oder die andere, bleibt 
der begleitende Gedanke der Schwingung, der ja nicht 
an eine einzelne gebunden ist, noch immer nützlich, 
noch immer ökonomisch. Selbst wenn der Ton so hoch 
und die Schwingungen so klein geworden sind, dass 
die erwähnten Beobachtungsmittel der frühern Fälle 
versagen, stellen wir uns mit Vortheil noch den tönen- 
den Stab schwingend vor, und können die Schwingungen 
der dunklen Streifen im Spectrum des polarisirten 
Lichtes eines Glasstabes voraussagen. Würden alle Er- 

Mach. gj^ 



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482 Vierte« Kapitel. 

ßcheinungen bei weiterer Abkürzung plötzlich in neue 
übergeben, so würde die Vorstellung der Schwingung 
nichts mehr nützen, weil dieselbe kein Mittel mehr 
bieten würde, die neuen Erfahrungen durch die frühern 
zu ergänzen. 

Wenn wir zu den wahrnehmbaren Handlungen der 
Menschen uns unwahrnehmbare Empfindungen und Ge- 
danken, ähnlich den unserigen, hinzudenken, so hat 
diese Vorstellung einen ökonomischen Werth, indem sie 
uns die Erfahrung verständlich macht, d. h. ergänzt 
und erspart. Diese Vorstellung wird nur deshalb nicht 
als eine grosse wissenschaftliche Entdeckung betrachtet, 
weil sie sich so mächtig aufdrängt, dass jedes Kind sie 
findet. Man verfahrt ganz ähnlich, wenn man sich 
einen eben hinter einer Säule verschwundenen bewegten 
Körper, oder einen eben nicht sichtbaren Kometen mit 
allen seinen vorher beobachteten Eigenschaften in seiner 
Bahn fortbewegt denkt, um durch das Wiedererscheinen 
nicht überrascht zu werden. Man füllt die Erfahrungs- 
lücken durch die Vorstellungen aus, welche eben die 
Erfahrung an die Hand gegeben hat. 

9. Nicht jede bestehende wissenschaftliche Theorie 
ergibt sich so natürlich und ungekünstelt. Wenn z. B. 
chemische, elektrische, optische Erscheinungen durch 
Atome erklärt werden, so hat sich die Hülfsvorstellung 
der Atome nicht nach dem Princip der Continuität er- 
geben, sie ist vielmehr für diesen Zweck eigens er- 
funden. Atome können wir nirgends wahrnehmen, sie 
sind wie alle Substanzen Gedankendinge. Ja, den Atomen 
werden zum Theil Eigenschaften zugeschrieben, welche 
allen bisher beobachteten widersprechen. Mögen die 
Atomtheorien immerhin geeignet sein, eine Reihe von 
Thatsachen darzustellen, die Naturforscher, welche New- 
tons Regeln des Philosophirens sich zu Herzen ge- 
nommen haben, werden diese Theorien nur als provi- 
sorische Hülfsmittel gelten lassen, und einen Ersatz 
durch eine natürlichere Anschauung anstreben. 

Die Atomtheorie hat in der Physik eine ähnliche 



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Die formelle Entwicklung der Mechanik. 483 

Function, wie gewisse mathematische Hülfsvorstellungen, 
sie ist ein mathematisches Modell zur Darstellung der 
Thatsachen. Wenn man auch die Schwingungen durch 
Sinusformeln, die Abkühlungsvorgänge durch Exponen- 
zielle, die Fallräume durch Quadrate der Zeiten dar- 
stellt, so denkt doch niemand daran, dass die Schwingung 
an sich mit einer Winkel- oder Kreisfunction, der Fall 
an sich mit dem Quadriren etwas zu schaffen hat. 
Man hat eben bemerkt, dass zwischen den beobachteten 
Grössen ähnliche Beziehungen stattfinden wie zwischen 
gewissen uns geläufigen Functionen, und benutzt diese 
geläufigem Vorstellungen zur bequemen Ergänzung 
der Erfahrung. Naturerscheinungen, welche in ihren Be- 
ziehungen nicht jenen der uns geläufigen Functionen 
gleichen, sind jetzt sehr schwer darzustellen. Das kann 
anders werden mit den Fortschritten der Mathematik. — 
Als solche mathematische Hülfsvorstellungen können auch 
Bäume von mehr als drei Dimensionen nützlich werden, 
wie ich dies anderwärts auseinander gesetzt habe. Man 
hat deshalb nicht nöthig, dieselben für mehr zu halten 
als für Gedankendinge. 1 



1 Bekanntlich hat sich durch die Bemühungen von Loba- 
tschefsky, Bolyai, Gauss, Biemann allmählich die Einsicht 
Bahn gebrochen, dass dasjenige, was wir Baum nennen, ein 
specieller wirklicher Fall eines allgemeineren 
denkbaren Falles mehrfacher quantitativer Mannichfaltig- 
keit sei. Der Baum des Gesichtes und Getastes ist eine 
dreifache Mannichfaltigkeit, er hat drei Dimensionen, jeder 
Ort in demselben kann durch drei voneinander unabhängige 
Merkmale bestimmt werden. Es ist nun eine vierfache, oder 
noch mehrfache raumähnliche Mannichfaltigkeit denkbar. 
Und auch die Art der Mannichfaltigkeit kann anders gedacht 
werden, als sie im gegebenen Baum angetroffen wird. Wir 
halten diese Aufklärung, um die sich Biemann am meisten 
verdient gemacht hat, für sehr wichtig. Die Eigenschaften 
des gegebenen Baumes erscheinen sofort als Objecte der Er- 
fahrung, und alle geometrischen Pseudotheorien , welche 
dieselben herausphilosophiren wollen, entfallen. 

Einem Wesen, welches in der Kugelfläche leben würde 
und keinen andern Baum zum Vergleich hätte, würde sein 

31* 



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484 Viertes Kapitel. 

So verhält es sich auch mit allen Hypothesen, welche 
zur Erklärung neuer Erscheinungen herangezogen wer- 



Raum überall gleich beschaffen erscheinen. Es könnte den- 
selben für unendlich halten, und würde nur durch die Er- 
fahrung vom Gegentheil überzeugt. Von zwei Punkten 
eines grössten Kreises senkrecht zu demselben ebenfalls 
nach grössten Kreisen fortschreitend, würde dieses Wesen 
kaum erwarten, dass diese Kreise sich irgendwo schneiden. 
So kann auch für den uns gegebenen Raum nur die Er- 
fahrung lehren, ob derselbe endlich ist, ob Parallellinien 
in demselben sich schneiden u. s. w. Diese Aufklärung kann 
kaum hoch genug angeschlagen werden. Eine ähnliche Auf- 
klärung, wie sie fiiemann für die Wissenschaft herbeigeführt, 
hat sich für das gemeine Bewusstsein in Bezug auf die 
Erdoberfläche durch die Entdeckungen der ersten Welt- 
umsegler ergeben. 

Die theoretische Untersuchung der erwähnten mathe- 
matischen Möglichkeiten hat zunächst mit der Frage, ob 
denselben Realitäten entsprechen, nichts zu thun, und man 
darf daher auch nicht die genannten Mathematiker für die 
Monstrositäten verantwortlich machen, welche durch ihre Un- 
tersuchungen angeregt worden sind. Der Raum des Gesichtes 
und Getastes ist dreidimensional, daran hat nie jemand 
gezweifelt. Würden aus diesem Räume Körper verschwin- 
den, oder neue in denselben hineingerathen, so könnte die 
Frage, ob es eine Erleichterung der Einsicht und Ueber- 
sicht gewährt, sich den gegebenen Raum als Theil eines 
vier- oder mehrdimensionalen Raumes zu denken, wissen- 
schaftlich discutirt werden. Diese vierte Dimension bliebe 
darum immer noch ein Gedankending. 

So steht aber die Sache nicht. Derartige Erscheinungen 
sind vielmehr erst nach dem Bekanntwerden der neuen 
Anschauungen in Gegenwart gewisser Personen in Spiritisten- 
gesellschaften aufgetreten. Manchen Theologen, welche in 
Verlegenheit waren die Hölle unterzubringen, und den Spi- 
ritisten kam die vierte Dimension sehr gelegen. Der Nutzen 
der vierten Dimension für die Spiritisten ist folgender. Aus 
einer begrenzten Linie kann man ohne die Endpunkte zu 
passiren durch die zweite Dimension, aus einer begrenzten 
geschlossenen Fläche durch die dritte und analog aus einem 
geschlossenen Raum durch die vierte Dimension entweichen, 
ohne die Grenzen zu durchbrechen. Selbst das, was die 
Taschenspieler bisher harmlos in drei Dimensionen trieben, 
erhält nun durch die vierte Dimension einen neuen Nimbus 



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Die formelle Entwicklung der Mechanik. 485 

den. Unsere Gedanken über elektrische Vorgänge 
folgen diesen sofort, beinahe von selbst in den ge- 
wohnten Bahnen ablaufend, sobald wir bemerken, dass 
alles so vorgeht, als ob sich anziehende und abstossende 
Flüssigkeiten auf der Oberfläche der Leiter wären. 
Diese Hülfsvorstellungen selbst haben aber* mit der 
Erscheinung an sich nichts zu schaffen. Vgl. die Aus- 
führungen in meinen „Populär -wissen schaftlichen Vor- 
lesungen", S. 203 fg.; • Petzoldt's Einwendungen in 
„Vierteljahrsschr. f. w. Philosophie", 1891, und meine 
Replik in „Wärmelehre", S. 392. 



Alle Spiritistenkünste, in geschlossene Schnüre Knoten zu 
machen, oder dieselben zu lösen, aus verschlossenen Bäumen 
Körper zu entfernen, gelingen nur in Fällen, wo gar nichts 
darauf ankommt. Alles läuft auf nutzlose Spielerei hinaus. 
Ein Accoucheur, der eine Geburt durch die vierte Dimension 
bewerkstelligt hätte, ist noch nicht aufgetreten. Die Frage 
würde sofort eine ernste, wenn dies geschähe. Professor 
Simony's schöne Knotenkünste, welche sich taschenspielerisch 
sehr hübsch verwerthen lassen, sprechen nicht für, sondern 
gegen die Spiritisten. 

Es sei jedem unbenommen, eine Meinung aufzustellen 
und Beweise für dieselbe beizubringen. Ob aber ein Natur- 
forscher auf irgendeine aufgestellte Meinung in einer ernsten 
Untersuchung einzugehen werth findet, das zu ent- 
scheiden muss seinem Verstand und Instinct überlassen wer- 
den. Sollten diese Dinge sich als wahr erweisen, so werde 
ich mich nicht schämen, der letzte zu sein, der sie glaubt. 
Was ich davon gesehen habe, war nicht geeignet mich 
gläubiger zu machen. 

Als mathematisch-physikaliches Hülfsmittel habe ich selbst 
die mehrdimensionalen Räume schon vor dem Erscheinen 
der Riemann'schen Abhandlung betrachtet. Ich hoffe aber, 
dass mit dem, was ich darüber gedacht, gesagt und ge- 
schrieben habe, niemand die Kosten einer Spukgeschichte 
bestreiten wird. (Vgl. Mach, Die Geschichte und die Wur- 
zel des Satzes von der Erhaltung der Arbeit.) 



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486 Fünftes Kapitel. 

FÜNFTES KAPITEL. 

Beziehungen der Mechanik zu andern Wissensgebieten. 

1. Beziehungen der Mechanik zur Physik. 

1. Rein mechanische Vorgänge gibt es nicht. Wenn 
Massen gegenseitige Beschleunigungen bestimmen, so 
scheint dies allerdings ein reiner Bewegungsvorgang zu 
sein. Allein immer sind mit diesen Bewegungen in 
Wirklichkeit auch thermische, magnetische und elektri- 
sche Aenderungen verbunden, und in dem Maasse, als 
diese hervortreten, werden die Bewegungsvorgänge 
modificirt. Umgekehrt können auch thermische, mag- 
netische, elektrische und chemische Umstände Be- 
wegungen bestimmen. Rein mechanische Vorgänge sind 
also Abstractionen, die absichtlich oder nothgedrungen 
zum Zwecke der leichtern Uebersicht vorgenommen 
werden. Dies gilt auch von den übrigen Classen der 
physikalischen Erscheinungen. Jeder Vorgang gehört 
genau genommen allen Gebieten der Physik an, welche 
nur durch eine theils conventioneile, theils physiologische, 
theils historisch begründete Eintheilung getrennt sind. 

2. Die Anschauung, dass die Mechanik als Grund- 
lage aller übrigen Zweige der Physik betrachtet wer- 
den müsse, und dass alle physikalischen Vorgänge 
mechanisch zu erklären seien, halten wir für ein Vor- 
urtheil. Das historisch Aeltere muss nicht immer die 
Grundlage für das Verständniss des später Gefundenen 
bleiben. In dem Maasse, als mehr Thatsachen bekannt 
und geordnet werden, können auch ganz neue leitende 
Anschauungen platzgreifen. Wir können jetzt noch 
gar nicht wissen, welche von den physikalischen Er- 
scheinungen am tiefsten gehen, ob nicht die mecha- 
nischen gerade die oberflächlichsten sind, ob nicht alle 
gleich tief gehen. Auch in der Mechanik betrachten 
wir ja nicht mehr das älteste Gesetz, das Hebelgesetz, 
als die Grundlage aller übrigen. 

Die mechanische Naturansicht erscheint uns als eine 



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Beziehungen der Mechanik zu andern Wissensgebieten. 487 

historisch begreifliche, verzeihliche, vielleicht sogar 
auch vorübergehend nützliche, aber im ganzen doch 
künstliche Hypothese. Wollen wir der Methode treu 
bleiben, welche die bedeutendsten Naturforscher, Galilei, 
Newton, S. Carnot, Faraday, J. R. Mayer, zu ihren 
grossen Erfolgen geführt hat, so beschränken wir unsere 
Physik auf den Ausdruck des Thatsächlichen, ohne 
hinter diesem, wo nichts Fassbares und Prüf bares 
liegt, Hypothesen aufzubauen. Wir haben dann einfach 
den wirklichen Zusammenhang der Massenbewegungen, 
Temperaturänderungen, Aenderungen der Werthe der 
Potentialfunction , chemischen Aenderungen zu ermit- 
teln, ohne uns unter diesen Elementen anderes zu 
denken, als mittelbar oder unmittelbar durch Be- 
obachtung gegebene physikalische Merkmale oder Cha- 
rakteristiken. 

In Bezug auf die Wärmevorgänge wurde dieser Ge- 
danke schon anderwärts 1 ausgeführt, in Bezug auf 
Elektricität daselbst angedeutet. Jede Fluidums- odei 
Mediumshypothese entfallt in der Elektricität slehre als 
unnöthig, wenn man bedenkt, dass mit den Werthen 
des Potentials V und der Dielektricitätsconstanten 
alle elektrischen Umstände gegeben sind. Denkt man 
sich die Differenzen der Werthe von V durch die 
Kräfte (am Elektrometer) gemessen, und betrachtet 
nicht die Elektricitätsmenge Q, sondern V als den pri- 
mären Begriff, als eine messbare physikalische Cha- 
rakteristik, so ist (für einen einzigen Isolator) die 
Elektricitätsmenge 

_1 P(d*V , d*V , a*v\. 

wobei #, y, z die Coordinaten und dv das Volumele- 
ment bedeutet, und die Energie 



1 Mach, Die Geschichte und die Wurzel des Satzes von 
der Erhaltung der Arbeit. 



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488 Fünftes Kapitel. 

w =-8irJ v (-d^ + w + T^) dv - 

Es erscheinen dann Q und Wals abgeleitete Begriffe, 
in welchen gar keine Fluidums- oder Mediumsvorstellung 
mehr enthalten ist. Führt man die ganze Physik ana- 
log durch, so beschränkt man sich auf den begrifflichen 
quantitativen Ausdruck des Tatsächlichen. Alle un- 
nöthigen müssigen Vorstellungen und die daran ge- 
knüpften vermeintlichen Probleme entfallen. 

Die vorstehenden Zeilen, welche 1883 niedergeschrieben 
wurden, mochten damals bei der grossen Mehrzahl der 
Physiker noch wenig Anklang finden. Man wird aber 
bemerken, dass sich die physikalischen Darstellungen 
seither dem hier bezeichneten Ideale sehr genähert haben. 
Hertz' „Untersuchungen über die Ausbreitung der elek- 
trischen Kraft" (1892) geben für diese Beschreibung 
der Vorgänge durch blosse Differentialgleichungen ein 
gutes Beispiel. 

Sehr nützlich zur Beseitigung zufälliger historisch be- 
gründeter oder conventioneller Vorstellungen ist es, 
die Begriffe verschiedener Gebiete miteinander zu ver- 
gleichen, für jeden Begriff des einen Gebietes den ent- 
sprechenden des andern zu suchen. Man findet so, 
dass den Geschwindigkeiten der Massenbewegung die 
Temperaturen und die Potentialfunctionen entsprechen. 
Ein Werth der Geschwindigkeit, Potentialfunction oder 
Temperatur ändert sich nie allein. Während aber 
für die Geschwindigkeiten und Potentialfunctionen, so- 
viel wir bisjetzt sehen, nur die Differenzen in Betracht 
kommen, liegt die Bedeutung der Temperatur nicht 
blos in der Differenz gegen andere Temperaturen. Den 
Massen entsprechen die Wärmecapacitäten, der Wärme- 
menge das Potential einer elektrischen Ladung, der 
Entropie die Elektricitätsmenge u. s. w. Die Ver- 
folgung solcher Aehnlichkeiten und Unterschiede führt 
zu einer vergleichenden Physik, welche schliesslich 
einen zusammenfassenden Ausdruck sehr grosser Gebiete 



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Beziehungen der Mechanik zu andern Wissensgebieten. 489 

von Thatsachen, ohne willkürliche Zugaben, gestatten 
wird. Man wird dann zu einer homogenen Pnysik auch 
ohne Zuhülfenahme der künstlichen Atomtheorie ge- 
langen. Vgl. hierzu die Ausführungen in den „Principien 
der Wärmelehre", S. 396 fg. 

Man sieht auch leicht ein, dass durch mechanische 
Hypothesen eine eigentliche Erspar niss an wissen- 
schaftlichen Gedanken nicht erzielt werden kann. Selbst 
wenn eine Hypothese vollständig zur Darstellung eines 
Gebietes von Erscheinungen, z. B. der Wärmeer- 
scheinungen, ausreichen würde, hätten wir nur an die 
Stelle der thatsächlichen Beziehung zwischen mechani- 
schen und Wärmevorgängen die Hypothese gesetzt. 
Die Zahl der Grundthatsachen wird durch eine ebenso 
grosse Zahl von Hypothesen ersetzt, was sicherlich kein 
Gewinn ist. Hat uns eine Hypothese die Erfassung neuer 
Thatsachen durch Substitution geläufiger Gedanken nach 
Möglichkeit erleichtert, so ist hiermit ihre Leistungs- 
fähigkeit erschöpft. Man geräth auf Abwege, wenn man 
von derselben mehr Aufklärung erwartet als von den 
Thatsachen selbst. 

3. Die Entwicklung der mechanischen Naturansicht 
wurde durch mehrere Umstände begünstigt. Zunächst 
ist ein Zusammenhang aller Naturvorgänge mit mecha- 
nischen Vorgängen unverkennbar, wodurch das Bestreben 
nahe gelegt wird, die noch weniger bekannten Vorgänge 
durch die bekannteren mechanischen zu erklären. 
Ausserdem wurden im Gebiete der Mechanik zuerst 
grosse allgemeine Gesetze von weittragender Bedeutung 
erkannt. Ein derartiges Gesetz ist der Satz der leben- 
digen Kräfte 2 (Ui — U ) = 2 £ m (v\ — vi) , welcher 
sagt, dass der Zuwachs der lebendigen Kräfte eines 
Systems bei dem Uebergang desselben aus einer Lage 
in die andere dem Zuwachs der Kraftfunction (oder 
der Arbeit) gleich ist, welcher sich als eine Function 
der Anfangs- und Endlagen darstellt. Achtet man auf 
die Arbeit, welche in dem System verrichtet werden 
kann, und nennt dieselbe mit Helmholtz Spann- 



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490 Fünftes Kapitel. 

kraft S, so erscheint jede wirklich geleistete Ar- 
beit U als eine Verminderung der anfänglich vor- 
handenen Spannkraft K, dann ist S =■ K — CT, und der' 
Satz der lebendigen Kräfte nimmt die Form an 

2S + |2mt; 3 = const, 

d. h. jede Verminderung der Spannkraft wird durch 
eine Vermehrung der lebendigen Kraft ausgeglichen. 
In dieser Form nennt man den Satz auch Gesetz der 
Erhaltung der Energie, indem die Summe der 
Spannkraft (der potentiellen Energie) und der lebendigen 
Kraft (der kinetischen Energie) im System constant 
bleibt. Da nun in der Natur überhaupt für eine ge- 
leistete Arbeit nicht nur lebendige Kraft, sondern 
auch eine Wärmemenge, oder das Potential einer elek- 
trischen Ladung u. s. w. auftreten kann, so sah man 
hierin den Ausdruck eines mechanischen allen Na- 
turerscheinungen zu Grunde liegenden Vorganges. Es 
spricht sich aber hierin nichts aus, als ein unveränder- 
licher quantitativer Zusammenhang zwischen mecha- 
nischen und andern Vorgängen. 

4. Es wäre ein Irrthum zu glauben, dass ein grosser 
und weiter Blick in die Naturwissenschaft erst durch die 
mechanische Naturansicht hineingekommen ist. Derselbe 
war vielmehr zu allen Zeiten den ersten Forschern eigen 
und hat schon beim Aufbau der Mechanik mitgewirkt, 
ist also nicht erst durch diese entstanden. Galilei und 
Huyghens haben stets mit der Betrachtung des Ein- 
zelnen und des grossen Ganzen gewechselt, und sind in 
dem Bestreben nach einer einfachen und widerspruchs- 
losen Auffassung zu ihren Ergebnissen gelangt. Dass 
die Geschwindigkeiten einzelner Körper und Systeme 
an die Falltiefen gebunden sind, erkennen Galilei und 
Huyghens nur durch die genaueste Untersuchung der 
Fallbewegung im Einzelnen zugleich mit der Beachtung 
des Umstandes, dass die Körper von selbst überhaupt nur 
sinken. Huyghens betont schon bei dieser Gelegenheit 
die Unmöglichkeit eines mechanischen Perpetuum mo- 



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Beziehungen der Mechanik zu andern Wissensgebieten. 491 

bile, er hat also schon den modernen Standpunkt. Er 
fühlt die Unvereinbarkeit der Vorstellung des Per- 
petuum mobile mit den ihm geläufigen Vorstellungen der 
mechanischen Naturvorgänge. 

Die Stevin'schen Fictionen, z. B. jene der geschlossenen 
Kette auf dem Prisma, sind ebenfalls Beispiele eines 
solchen weiten Blickes. Es ist die an vielen Erfah- 
rungen geschulte Vorstellung, welche an den einzelnen 
Fall herangebracht wird. Die bewegte geschlossene 
Kette erscheint Stevin als eine Fallbewegung ohne Fall, 
als eine ziellose Bewegung, wie eine absichtliche 
Handlung, die der Absicht nicht entspricht, ein Streben 
nach einer Aenderung, das jene Aenderung nicht her- 
beiführt. Wenn die Bewegung im allgemeinen an das 
Sinken gebunden ist, so ist auch im speciellen Fall an 
die Bewegung das Sinken gebunden. Es ist das Ge- 
fühl der gegenseitigen Abhängigkeit von v und h 
in der Gleichung v = V 2g\ welches hier, wenn auch 
nicht in so bestimmter Form, auftritt. Für Stevin's 
feines Forschergefühl besteht in der Fiction ein Wider- 
spruch, der weniger tiefen Denkern entgehen kann. 

Derselbe, das Einzelne mit dem Ganzen, das Beson- 
dere mit dem Allgemeinen vergleichende Blick zeigt 
sich, nur nicht auf Mechanik beschränkt, in den Ar- 
beiten von S. Carnot. Wenn Carnot findet, dass die 
von einer höhern Temperatur t auf eine tiefere Tem- 
peratur t* für die Arbeitsleistung L abgeflossene Wärme- 
menge Q nur von den Temperaturen und nicht von 
der Natur der Körper abhängen kann, so denkt er 
ganz nach der Methode Galilei's. Ebenso verfährt J. R. 
Mayer bei Aufstellung seines Satzes der Aequivalenz 
von Wärme und Arbeit. Die mechanische Naturansicht 
bleibt ihm hierbei fremd, und er bedarf ihrer gar nicht. 
Wer die Krücke der mechanischen Naturansicht braucht, 
um zur Erkenntniss der Aequivalenz von Wärme und 
Arbeit zu gelangen, hat den Fortschritt, der darin 
liegt, nur halb begriffen. Stellt man aber auch Mayer's 
originelle Leistung noch so hoch, so ist es deshalb 



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492 Fünftes Kapitel. 

nicht nöthig, die Verdienste der Fachphysiker Joule, 
Helmholtz, Clausius, Thomson, welche sehr viel, viel- 
leicht alles, zur Befestigung und Ausbildung der 
neuen Anschauung im Einzelnen beigetragen haben, zu 
unterschätzen. Die Annahme einer Entlehnung der 
Mayer'schen Ideen erscheint uns ebenfalls unnöthig. 
Wer sie vertritt, hat zudem auch die Verpflichtung, 
sie zu beweisen. Ein mehrfaches Auftreten derselben 
Idee ist in der Geschichte nicht neu. Die Discussion 
von Personalfragen, die nach 30 Jahren schon kein 
Interesse mehr haben werden, wollen wir hier ver- 
meiden. Auf keinen Fall ist es aber zu loben, wenn 
Männer, angeblich aus Gerechtigkeit, insultirt werden, 
die schon hochgeehrt und ruhig leben würden, wenn sie 
nur ein Drittheil ihrer wirklichen Leistungen aufzu- 
weisen hätten. 

5. Wir wollen nun sehen, dass der weite Blick, 
welcher sich im Satze der Erhaltung der Energie aus- 
spricht, nicht der Mechanik eigenthümlich, sondern dass 
er an das consequente und umfassende naturwissen- 
schaftliche Denken überhaupt gebunden ist. Unsere 
Naturwissenschaft besteht in der Nachbildung der That- 
sachen in Gedanken oder in dem begrifflichen quanti- 
tativen Ausdruck der Thatsachen. Die Nachbildungs- 
anweisungen sind die Naturgesetze. In der Ueber- 
zeugung, dass solche Nachbildungsanweisungen überhaupt 
möglich sind, liegt das Causalgesetz. Das Causalgesetz 
spricht die Abhängigkeit der Erscheinungen von- 
einander aus. Die besondere Betonung des Raumes 
und der Zeit im Ausdruck des Causalge setze s ist un* 
nöthig, da alle Baum- und Zeitbeziehungen wieder auf 
Abhängigkeit der Erscheinungen voneinander hinaus- 
laufen. 

Die Naturgesetze sind Gleichungen zwischen den 
messbaren Elementen a ß y 5 . . . . <•> der Erscheinungen. 
Da die Natur veränderlich ist, so sind diese Gleichungen 
stets in geringerer Anzahl vorhanden als die Elemente. 

Verfügen wir über alle Werthe von aß 78..., durch 



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Beziehungen der Mechanik zu andern Wissensgebieten. 493 

welche z. B. die Werthe von X \k v . . . gegeben sind, so 
können wir die Gruppe aß y 8 ... . die Ursache, die 
Gruppe X (Ji v . . . die Wirkung nennen. In diesem 
Sinne können wir sagen, dass die Wirkung durch die 
Ursache eindeutig bestimmt sei. Der Satz des zu- 
reichenden Grundes, wie ihn z. B. Archimedes bei Ent- 
wickelung der Hebelgesetze anwendet, sagt also nichts, 
als dass die Wirkung durch eine Anzahl Umstände nicht 
zugleich bestimmt und unbestimmt sein kann. 

Stehen zwei Umstände a und X im Zusammenhang, so 
entspricht, bei Unveränderlichkeit der übrigen, einer 
Veränderung von a eine Aenderung von X, im allge- 
meinen aber einer Aenderung von X auch eine Aenderung 
von a. Dieses Beachten der gegenseitigen Abhängig- 
keit finden wir bei Stevin, Galilei, 
Huyghens u. s. w. Derselbe Ge- 
danke hat die Auffindung der 
Gegen ersch einungen zu bekannten 
Erscheinungen bewirkt. Der Volums- 
änderung der Gase durch Tempera- 
turänderung entspricht eineTempera- 
turänderung durch Volumsänderung, 
der Seebeck'schen Erscheinung die 
Peltier'sche u. s. w. Bei derartigen Umkehrungen muss 
man natürlich mit Rücksicht auf die Form der Ab- 
hängigkeit vorsichtig sein. Die Figur 232 macht es 
deutlich, wie jeder Veränderung von X eine merkliche 
Aenderung von a entsprechen kann, aber nicht umge- 
kehrt. Die Beziehungen zwischen den elektromagne- 
tischen und Inductionserscheinungen, die Faraday fand, 
geben hierfür ein gutes Beispiel. 

Lässt man eine Gruppe von Umständen a ß y o . . . ., 
durch welche eine andere Gruppe Xjjiv... bestimmt ist, 
von ihren Anfangswerthen zu den Endwerthen od ß' Y ; 5' . . 
übergehen, so übergeht auch X \k v . . . . in X' [X ; v .... 
Kehrt die erstere Gruppe zu ihren Anfangswerthen zu- 
rück, so geschieht dies auch mit der zweiten Gruppe. 
Hierin lie^t die „Aequivalenz von Ursache und Wirkung", 
welche Mayer wiederholt betont. 



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494 Fünftes Kapitel. 

Wenn die erstere Gruppe nur periodische Aenderun- 
gen eingeht, so kann auch die letztere nur periodische und 
keine fortwährenden bleibenden Aenderungen erfahren. 
Die so fruchtbaren Denkmethoden von Galilei, Huy- 
ghens, S. Carnot, Mayer u. A. lassen sich auf die eine 
wichtige und einfache Einsicht zurückführen, dass rein 
periodische Aenderungen einer Gruppe von 
Umständen auch nur zur Quelle von ebenfalls 
periodischen und nicht von fortdauernden und 
bleibenden Aenderungen einer andern Gruppe 
von Umständen werden können. Die Sätze, „die 
Wirkung ist der Ursache äquivalent", „Arbeit kann 
nicht aus Nichts erzeugt werden", „ein Perpetuum 
mobile ist unmöglich", sind specielle weniger be- 
stimmte und klare Formen dieser Einsicht, welche 
an sich nichts mit Mechanik allein zu schaffen hat, 
sondern dem naturwissenschaftlichen Denken überhaupt 
angehört. Hiermit entfällt jede metaphysische Mystik, 
welche dem Satze der Erhaltung der Energie noch an- 
haften könnte. 1 

Die Erhaltungsideen haben wie der Substanzbegriff 
ihren triftigen Grund in der Oekonomie des Denkens. 
Eine blosse zusammenhangslose Veränderung ohne festen 
Anhaltspunkt ist nicht fassbar und nachbildbar. Man 
fragt also, welche Vorstellung kann bei der Veränderung 
als bleibend festgehalten werden, welches Gesetz be- 
steht , welche Gleichung bleibt erfüllt, welche W e r t h e 
bleiben constant? Wenn man sagt, bei allen Brechungen 
bleibt der Exponent constant, bei allen Bewegungen 
schwerer Körper bleibt ^=9'810 m , in jedem abge- 
schlossenen System bleibt die Energie constant, so haben 
alle diese Sätze dieselbe ökonomische Function, die 
Nachbildung der Thatsachen in Gedanken zu erleichtern. 



1 Auch entfallen die monströsen Anwendungen des Satzes 
auf das ganze Weltall, wenn man bedenkt, dass jeder natur- 
wissenschaftliche Satz ein Abstractum ist, welches die 
Wiederholung gleichartiger Fälle zur Voraussetzung hat. 



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Beziehungen der Mechanik zu andern Wissensgebieten. 495 

Man vergleiche zu diesen 1883 niedergeschriebenen 
Zeilen die Ausführungen von Petzoldt über das Streben 
nach Stabilität im intellectuellen Leben („Maxima, 
Minima und Oekonomie. Vierteljahrsschr. f. w. Philo- 
sophie", 1891). 

6. In Bezug auf das Energieprincip möchte ich hier 
noch hinzufügen, was ich über die seit 1883 erschienenen, 
diesen Gegenstand behandelnden Schriften von J. Popper 
(„Die physikalischen Grundsätze der elektrischen Kraft- 
übertragung", Wien 1883), G. Helm („Die Lehre von der 
Energie", Leipzig 1887), M. Planck („Das Princip der 
Erhaltung der Energie", Leipzig 1887), F. A. Müller 
(„Das Problem der Continuität in der Mathematik und 
Mechanik", Marburg 1886) zu sagen habe. In der 
Tendenz stimmen die voneinander unabhängigen Ar- 
beiten von Popper und Helm sowol untereinander als 
auch mit meinen Untersuchungen so überein, dass ich 
nur wenig mir in gleichem Grade Sympathisches gelesen 
habe, ohne dass deshalb die individuellen Unterschiede 
aufgehoben wären. Beide Verfasser treffen namentlich 
in dem Versuch einer allgemeinen Energetik zusammen, 
und einen Ansatz zu einer solchen findet man auch 
in einer Anmerkung meiner Schrift „Ueber die Erhaltung 
der Arbeit", S. 54. Seither ist die „allgemeine Energetik" 
durch Helm, Ostwald u. A. ausführlich behandelt worden. 

Ich habe schon 1872 („Erhaltung der Arbeit", S. 42 fg.) 
dargelegt, dass die Ueberzeugung von dem Princip des 
ausgeschlossenen Perpetuum mobile sich auf die allge- 
meinere Ueberzeugung von der eindeutigen Bestimmt- 
heit einer Gruppe (mechanischer) Elemente a ß y • • • • 
durch eine Gruppe anderer Elemente xyz... gründet. 
Die nur der Form nach etwas verschiedenen Aufstellungen 
Planck's, S. 99, 138, 139, stimmen hiermit wesentlich 
überein. Uebrigens habe ich wiederholt dargelegt, dass 
alle Formen des Causalgesetzes subjectiven Trieben ent- 
springen, welchen zu entsprechen eine Notwendigkeit 
für die Natur nicht besteht, worin meine Auffassung 
jener von Popper und Helm verwandt ist. 



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496 Fünftes Kapitel. 

Auf die „metaphysischen" Gesichtspunkte, durch 
welche Mayer geleitet war, kommt Planck, S. 21 fg., 135, 
Helm S. 25 fg. zu sprechen und beide erkennen an, 
Planck S. 26 fg., Helm S. 28, dass auch Joule durch 
analoge, wenn auch unausgesprochene, Gedanken geleitet 
sein musste, welcher Ansicht ich vollkommen zustimme. 

Ueber die sogenannten „metaphysischen" Gesichts- 
punkte Mayer's, welche nach Helmholtz' Worten von 
den Anhängern der metaphysischen Speculation als das 
Höchste gepriesen werden, während sie Helmholtz als 
die schwächste Seite der Auseinandersetzung erschei- 
nen, habe ich Folgendes zu bemerken. Mit Sätzen wie: 
„aus Nichts wird Nichts", „die Wirkung ist der Ursache 
gleich" u. s. w. wird man einem Andern nichts beweisen. 
Wie wenig solche auch bis vor kurzem in der Wissen- 
schaft anerkannte leere Sätze zu leisten vermögen, 
habe ich (in „Erhaltung der Arbeit") durch Beispiele er- 
läutert. Deshalb aber erscheinen mir diese Sätze bei 
Mayer doch noch nicht als Schwächen. Sie sind im 
Gegen theil bei ihm der Ausdruck eines gewaltigen 
instin ctiven, noch unbefriedigten und ungeklärten Be- 
dürfnisses (das ich nicht gerade metaphysisch nennen 
möchte) nach einer substantiellen Auffassung dessen, 
was wir heute Energie nennen. Dass Mayer auch die 
begriffliche Kraft nicht fehlte, seinem Drang zur Klar- 
heit zu verhelfen, wissen wir heute. Mayer verhielt 
sich hierin gar nicht wesentlich anders als Galilei, 
Black, Faraday und andere grosse Forscher, wenngleich 
manche vielleicht schweigsamer und vorsichtiger waren. 

Auf diesen Punkt habe ich schon („Beiträge zur Ana- 
lyse der Empfindungen", S. 161 fg.) hingewiesen. Ab- 
gesehen davon, dass ich den Kant'schen Standpunkt 
nicht theile, ja einen metaphysischen Standpunkt über- 
haupt nicht einnehme, auch nicht den Berkeley'schen, wie 
flüchtige Leser meiner letzterwähnten Schrift angenommen 
haben, stimme ich darin mit F. A. Müller (S. 104 fg.) 
überein. Ausführliche Erörterungen über das Energieprin- 
cip finden sich in meinen „Principien der Wärmelehre". 



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Beziehungen der Mechanik zu andern Wissensgebieten. 497 
2. Beziehungen der Mechanik zur Physiologie. 

1. Alle Wissenschaft geht ursprünglich aus dem Be- 
dürfniss des Lebens hervor. Mag sich dieselbe durch 
den besondern Beruf, die einseitige Neigung und Fähig- 
keit ihrer Pfleger in noch so feine Zweige theilen, 
seine volle frische Lebenskraft kann jeder Zweig nur 
im Zusammenhange mit dem Ganzen erhalten. Nur 
durch diese Verbindung kann er seinem eigentlichen 
Ziele erfolgreich zustreben, und vor monströsen ein- 
seitigen Entwickelungen bewahrt bleiben. 

Die Theilung der Arbeit, die Beschränkung eines 
Forschers auf ein kleines Gebiet, die Erforschung dieses 
Gebietes als Lebensaufgabe, ist die nothwendige Be- 
dingung einer ausgiebigen Entwickelung der Wissen- 
schaft. Mit dieser Einseitigkeit und Beschränkung 
können erst die besondern intellectuellen ökonomischen 
Mittel zur Bewältigung dieses Gebietes die nöthige 
Ausbildung erlangen. Zugleich liegt aber hierin die 
Gefahr, diese Mittel, mit welchen man immer beschäftigt 
ist, zu überschätzen, ja dieselben, die doch nur Hand- 
werkszeug sind, für das eigentliche Ziel der Wissen- 
schaft zu halten. 

2. Durch die unverhältnissmässig grössere formelle 
Entwickelung der Physik, gegenüber den übrigen Natur- 
wissenschaften, ist nun ein derartiger Zustand unseres 
Erachtens wirklich geschaffen worden. Den Denk- 
mitteln der Physik, den Begriffen Masse, Kraft, Atom, 
welche keine andere Aufgabe haben, als ökonomisch 
geordnete Erfahrungen wach zu rufen, wird von den 
meisten Naturforschern eine Realität ausserhalb des 
Denkens zugeschrieben. Ja man meint, dass diese 
Kräfte und Massen das eigentlich zu Erforschende 
seien, und wenn diese einmal bekannt wären, dann 
würde alles aus dem Gleichgewicht und der Bewegung 
dieser Massen sich von selbst ergeben. Wenn jemand 
die Welt nur durch das Theater kennen würde, und 
nun hinter die mechanischen Einrichtungen der Bühne 

Mach. 32 



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498 Fünftes Kapitel. 

käme, so könnte er wol auch meinen, dass die wirk- 
liche Welt eines Schnürbodens bedürfe, und dass alles 
gewonnen wäre, wenn nur dieser einmal erforscht wäre. 
So dürfen wir auch die intellectuellen Hülfsmittel, die wir 
zur Aufführung der Welt auf der Gedankenbühne 
gebrauchen, nicht für Grundlagen der wirklichen 
Welt halten. 

3. In der richtigen Erkenntniss der Unterordnung 
des Specialwissens unter das Gesammtwissen liegt eine 
besondere Philosophie, die von jedem Specialforscher 
gefordert werden kann. Ihr Mangel äussert sich durch 
das Auftreten vermeintlicher Probleme, in deren Auf- 
stellung schon, einerlei ob man sie als lösbar betrachtet 
oder nicht, eine Verkehrtheit liegt. Ein solches Ueber- 
schätzen der Physik gegenüber der Physiologie, ein 
Verkennen des wahren Verhältnisses, spricht sich in der 
Frage aus, ob es' möglich sei, die Empfindungen durch 
Bewegung der Atome zu erklären? 

Forschen wir nach den Umständen, die zu einer so 
sonderbaren Frage drängen können. Zunächst bemer- 
ken wir, dass allen Erfahrungen über räumliche und 
zeitliche Verhältnisse ein grösseres Vertrau en entgegen- 
gebracht wird, dass man ihnen einen objectiveren, rea- 
leren Charakter zuschreibt, als Erfahrungen über Far- 
ben, Töne, Wärmen u. s. w. Doch kann man bei ge- 
nauerer Untersuchung sich nicht darüber täuschen, dass 
Raum- und Zeitempfindungen ebenso Empfindungen 
sind wie Farben-, Ton-, Geruchsempfindungen, nur dass 
wir in Uebersicht der erstem viel geübter und klarer 
sind als in Bezug auf letztere. Raum und Zeit sind 
wohlgeordnete Systeme von Empfindungsreihen. Die 
Grössen in den Gleichungen der Mechanik sind nichts 
als Ordnungszeichen der in der Vorstellung herauszu- 
hebenden Glieder dieser Reihen. Die Gleichungen 
drücken die Abhängigkeit dieser Ordnungszeichen von- 
einander aus. 

Ein Körper ist eine verhältnissmässig beständige 
Summe von Tast- und Lichtempfindungen, die an 



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Beziehungen der Mechanik zu andern Wissensgebieten. 499 

dieselben Kaum- und Zeitempfindungen geknüpft ist. 
Mechanische Sätze, wie z.B. jener der Gegenbeschleunigung 
zweier Massen, geben unmittelbar oder mittelbar den 
Zusammenhang von Tast-, Licht-, Raum- und Zeitem- 
pfindungen. Sie erhalten nur (durch den oft complicirten) 
Empfindungsinhalt einen verständlichen Sinn. 

Es hiesse also wol das Einfachere und näher Liegende 
durch das Complicirtere und ferner Liegende erklären, 
wollte man aus Massenbewegungen die Empfindungen 
ableiten, abgesehen davon, dass die mechanischen 
Begriffe ökonomische Mittel sind, welche zur Dar- 
stellung mechanischer und nicht physiologischer oder 
psychologischer Thatsachen entwickelt wurden. Bei 
richtiger Unterscheidung der Mittel und Ziele der 
Forschung, bei Beschränkung auf die Darstellung des 
T hat sächlichen, können solche falsche Probleme 
gar nicht auftreten. 

4. Alles Naturwissen kann nur Complexe von jenen 
Elementen nachbilden und vorbilden, die wir gewöhn- 
lich Empfindungen nennen. Es handelt sich um 
den Zusammenhang dieser Elemente. Ein solches 
Element wie die Wärme eines Körpers A hängt nicht 
nur mit andern Elementen zusammen, deren Inbegriff 
wir z. B. als eine Flamme B bezeichnen, sondern es 
hängt auch mit der Gesammtheit der Elemente unsers 
Körpers, z. B. eines Nerven N zusammen. Als Object 
und Element unterscheidet sich N nicht wesentlich, 
sondern nur conventioneil von A und B. Der Zu- 
sammenhang von A und B gehört der Physik, jener 
von A und N der Physiologie an. Keiner ist allein 
vorhanden, beide sind zugleich da. Nur zeitweilig 
können wir von dem einen oder andern absehen. Selbst 
die scheinbar rein mechanischen Vorgänge sind also 
stets auch physiologische, als solche auch elektrische, 
chemische u. s. w. Die Mechanik fasst nicht die Grund- 
lage, auch nicht einen Theil der Welt, sondern eine 
Seite derselben. 



32" 



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AN HANG. 



Belegstellen aus Galilei's Schriften. 

Dialogo sopra i due massimisistemi delmondo. Dialogo secondo. 

„Sagr. Ma quando V artiglieria si piantasse non a per- 
pendicolo, ma inclinata verso qualche parte, quäl dovrebbe 
esser'il moto della palla? andrebbe ella forse, come nel 
l'altro tiro, per la linea perpendicolare, e ritornando anco 
poi per V istessa?" 

„Simpl. Questo non farebbe ella, ma uscita del pezzo 
seguiterebbe il suo moto per la linea retta, che continua 
la dirittura della canna, se non in quanto il proprio peso 
la farebbe declinar da tal dirittura verso terra." 

„Sagr. Talche la dirittura della canna e la regolatrice del 
moto della palla: ne fuori di tal linea si muove, o muove- 
rebbe, se '1 peso proprio non la facesse declinare in giü " 

Discorsi e dimostrazioni matematiche. Dialogo terzo. 

„Attendere insuper licet, quod volocitatis gradus, qui- 
cunque in mobili repariatur, est in illo snapte natura 
indelebiliter impressus, dum externae causae accelerationis, 
aut retardationis tollantur, quod in solo horizontali piano 
contingit: nam in planis declivibus adest jam causa accele- 
rationis majoris, in acclivibus vero retardationis. Ex quo 
pariter sequitur, motum in horizontali esse quoque acter- 
num: si enim est acquabilis, non debiliatur, aut remittitur, 
et multo minus tollitur." 

Wenn auch Galilei nur allmählich zur Eenntniss des Träg- 
heitsgesetzes gelangte, wenn sich ihm dasselbe auch nur 
als ein gelegentlicher Fund darbot, die angeführten, der 
Paduaner Ausgabe von 1744 entnommenen Stellen lassen 
die Beschränkung dieses Gesetzes auf die horizontale Be- 
wegung als eine in dem behandelten Stoff begründete er- 
scheinen, und die Annahme, dass Galilei gegen das Ende 
seiner wissenschaftlichen Laufbahn die volle Kenntniss des 
Gesetzes gefehlt habe, wird sich kaum aufrechthalten lassen. 



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Chronologische Uebersicht einiger hervorragender 

Forscher und ihrer für die Grundlegung der Mechanik 

wichtigern Schriften. 

Archimede8 (287—212 v. Chr.). Deutsche Ausgabe seiner 
Werke von Ernst Nizze (Stralsund 1824). 

Leonardo da Vinci (1452—1519). Seine Manuscripte benutzt 
von H. Grothe in dessen Schrift: Leonardo da Vinci als 
Ingenieur und Philosoph (Berlin 1874). 

Guido Ubaldi (o) c Marchionibus Montis (1545 — 1607). Mecha- 
nicorum liber (Pesaro 1577). 

S. Stevinus (1548 — 1620). Beghinselen der Weegkonst 
(Leiden 1585) ; Hyponmemata mathematica (Leiden 1608). 

Galilei (1564 — 1642). Disoorsi e dimostracioni matematiohe. 
(Leiden 1638). Viele Gesammtausgaben der Galilei'schen 
Werke. 

Kepler (1571—1630). Astronomia nova (Heidelberg 1609); 
Harmonices mundi (Linz 1615); Stereometria doliorum 
(Linz 1615). Gesammtausgabe von Frisch (Frankfurt 1858). 

Marcus Marci (1595—1667). De proportione motus (Prag 
1639). 

Descartes (1596—1650). Principia philosophiae (Amster- 
dam 1644). 

Boberval (1602—1675). Sur la composition des mouvements. 
Anc. Mem. de l'Acad. de Paris, T. VI. 

Guericke (1602—1686). Experimenta Magdeburgica (Amster- 
dam 1672). 

Fermat (1608—1665). Varia Opera (Paris 1679). 

Torricelli (1608—1647). Opera geometrica (Florenz 1644). 

Wallis (1616— 1703). Mechanica sive de motu (London 1670). 

Mariotte (1620—1684). Oeuvres (Leiden 1717). 

Pascal (1623—1662). Recit de la grande experience de 
Fequilibre des liqueurs (Paris 1648) ; Traite de Fequilibre 
des liqueurs et de la pesanteur de la masse de l'air. 
(Paris 1662). 

Boyle (1627—1691). Experimenta physico mechanica (Lon- 
don 1660). 

Httyghens (1629—1695). The laws of motion on the collision 
of bodies. Philos. Trans. 1669; Horologium oscillatorium 
(Paris 1673); Opuscula posthuma (Leiden 1703). 

Wren (1632—1723). The law in the collision of bodies. 
Philos. Trans. 1669. 

Lami (1640—1715). Nouvelle maniere de demontrer les 



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502 Chronologische Uebersicht. 

principaux theoremes des elemens des mechaniques (Paris 

1687). 
Newton (1642—1726). Philosophiae naturalis principia ma- 

thematica (London 1686). 
Leibnitz (1646—1716). Acta eruditorum 1686, 1695; Leib- 

nitzii et Joh. Bernoullii comercium epistolicum (Lausanne 

u. Genf 1745). 
Jakob Bernoulli (1654—1705). Opera omnia (Genf 1744). 
Varignon (1654—1722). Projet d'une nouvelle mecanique 

(Paris 1687). 
Johann Bernoulli (1667—1748). Acta erudit. 1693; Opera 

omnia (Lausanne 1742). 
Maupertuis (1698—1759). Mem. de l'Acad. de Paris 1740; 

Mem. de l'Acad. de Berlin 1745, 1747; Oeuvres (Paris 1752). 
Maclaurin (1698—1746). A complete System of fluxions 

(Edinburgh 1742). 
Daniel Bernoulli (1700—1782). Comment. Acad. Petrop., 

T. L Hydrodynamica (Strassburg 1738). 
Euler (1707 — 1783). Mechanica sive motus scientia (Petersburg 

1736) ; Methodus inveniendi lineas curvas (Lausanne 1741). 

Viele Abhandlungen in den Schriften der berliner und 

Petersburger Akademie. 
Clairault (1713—1765). Theorie de la figure de la terre 

(Paris 1743). 
D'Alembert (1717—1783). TraitS de dynamique (Paris 1743). 
Lagrange (1736 — 1813). Essai d'une nouvelle methode pour 

determiner les maxima et minima. Mise. Taurin. 1762; 

Mecanique analytique (Paris 1788). 
Laplace (1749—1827). Mecanique Celeste (Paris 1799). 
Fourier (1768 — 1830). Theorie analytique de la chaleur 

(Paris 1822). 
Gauss (1777 — 1855). De figura fluidorum in statu aequilibrii. 

Comment. societ. Gotting 1828; Neues Princip der 

Mechanik (Crelle's Journal, IV, 1829) ; Intensitas vis mag- 

neticae terrestris ad mensuram absolutam revocata (1833) 

Gesammtausgabe (Göttingen 1863). 
Poinsot (1777—1859). Clements de statique (Paris 1804). 
Poncelet (1788—1867). Cours de mecanique (Metz 1826). 
Belanger (1790—1874). Cours de mecanique (Paris 1847). 
Möbius (1790—1867). Statik (Leipzig 1837). 
Coriolis (1792—1843). Traite de mecanique (Paris 1829). 
C. G. J. Jacobi (1804—1851). Vorlesungen über Dynamik, 

herausgegeben von Clebsch (Berlin 1866.) 
B. Hamilton (1805—1865). Lectures on Quaternions 1853 — 

Abhandlungen. 
Grassmann (1809—1877). Ausdehnungslehre (Leipzig 1844). 
H. Hertz, Principien der Mechanik (Leipzig 1894). 



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REGISTER. 



Absolute MaasBe 278. 281. 
Absoluter Raum 217. 
Absolute Zeit 217. 
Aegyptische Denkmäler 1. 
Aehnlichkeit, phoronomische 159 
Analytische Mechanik 457. 
Anfänge der Wissenschaft 3. 
Amnestische Gesichtspunkte in der 

Mechanik 439. 
Anpassung der Gedanken 5. 131. 
Antrieb 272. 
Anziehung 245. 
Aporieen 9. 
Arbeit 51. 246. 273. 

— der Gompression 402. 
Archimedes 9. 82. 98. 
Aristoteles 8. 
Assyrische Denkmäler 1. 
Atomtheorie 482. 
Atwood 141. 

Ausfluss der Flüssigkeiten 396. 
Austausch der Geschwindigkeit 310. 

Sabbage 479. 
Babo, von 142. 
Balliani 133. 
Ballistisches Pendel 322. 
Belanger 272. 
Benedetti 120. 
Bernoulli, Dan. 39. 402. 

— Jak. 71. 326. 421. 

— Joh. 54. 71. 327. 365. 419. 
Beschleunigung 134. 137. 
Bewegung, gleichförmig beschleu- 
nigte 124. 

— auf der schiefen Ebene 129. 

— Zusammensetzung der 193. 
Black 116. 

Blase 387. 
Bodendruck 94. 
Boyle 115. 

Brachystochrone 419. 
Budde 236. 

Canton 87. 
Garnot 322. 487. 
Carnot'Bche Formel 322. 



Gaucby 46. 

Gausalgesetz 474. 492. 

Causalität 474. 

Cavendish 116. 

Centralkräfte 155. 

Gentrifugalkraft 151. 

Clairault 390. 

Clausius 492. 

Commandinus 81. 

Componente 34. 

Compressibilität 87. 

Continuität, Princip der 131. 481. 

Courtivron 70. 

Curtius Bufus 204. 

CycloXde 148. 

D'Alembert 247. 325. 330. 
Darwin 445. 451. 
Descartes 247. 273. 
Dimension 279. 
Druck der Flüssigkeit 94. 

— fallender Körper 144. 

Ebene, schiefe 23. 129. 
Eindeutige Bestimmtheit 373. 
Einheiten 278. 
Elasticität 260. 
Electricität 487. 
Elementargesetze 253. 453. 
Energie 272. 
Erde, Gestalt der 390. 
Erhaltung des Schwerpunktes 283. 

— der Flächen 283. 289. 

— der Energie 490. 

— der Quantität der Bewegung 283. 
Erkenntniss, instinktive 25. 78. 
Erklärung 5. 

Euler 180. 331. 361. 426. 442. 447. 
Evolute 148. 

Fadengleichgewicht 366. 

Fallapparate 141. 

Fallgesetz 122. 

Falltiefe des Schwerpunktes 61. 402. 

Faraday 116. 487. 

Fermat 416. 418. 

Fingirte Bewegung 309- 



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504 



Register. 



Flächen, Erhaltung der 283. 289. 
Flüssigkeit, Eigenschaften der 87. 

— Bewegung der 896. 411. 

— Gleichgewicht der 81. 

— Reihung der 411. 

— schwerlose 379. 

— Schwingung der 404. 
Flut 207. 

Formelle Entwickelung der Mecha- 
nik 415. ' 
Friedländer, P. und J. 236. 

Gfralilei 12. 49. 85. 107. 119. 133. 246. 

302. 304. 
Gauss 73. 344. 393. 480. 483. 
Gedankenexperiment 29. 
Gegenerscheinung 493. 
Gegenwirkung 193. 210. 
Geradeste Bahn 255. 
Geschwindigkeit 137. 
Gestalt der Erde 393. 
Gilbert 184. 

Gleichgewicht, Arten des 67. 
Gleichgewichtsfiguren 389. 
Grassmann 471. 
Gravitation 181. 
Grundgleichungen der Mechanik 

270. 
Grund, zureichender 10. 
Guericke 112. 441. 

Hamilton 375. 471. 
Hebel 8. 12. 

— materieller 263. 

— potentieller 20. 
Helm 495. 
Helmholtz 492. 
Heron 418. 444. 
Herrmann 331. 
Hertz 253. 488. 
Hipp 143. 
Homogen 278. 
Hooke 184. 
Horror vacui 105. 
Huyghens 15. 148. 419. 
Hydrodynamik 397. 
Hydrodynamischer Druck 408. 
Hydrostatik 81. 390. 
Hypothese 482. 489. 

Jacobi 73. 

Jellett 430. 

Instinktive Erkenntniss 1. 17. 25. 

Integralgesetze 253. 453. 

Johannesson 236. 

Joule 492. 

Isolation 147. 

Isoperimeterprobleme 415. 

— allgemeinere 426. 

— Classificirung der 426. 

Kegelpendel 165. 
Kepler 181. 417. 



Kettenlinie 71. 439. 

Kleinste Wirkung' 358. 

Kleinster Zwang 344. 

Kopernikus 184. 

Kräfte, Zusammensetzung 33. 192. 

Kraftbegriff, allgemeiner 186. 

Kraft, lebendige 272. 321. 337. 

— todte 272. 

— Antrieb der 272. 
Kraftfunction 393. 
Kraftlinien 395. 
Kraftmaass 275. 
Krümmungskreis 148. 
Krümmungelinie 383. 
Ktesibius 105. 

Laborde 142. 

Lagrange 13. 62. 429. 449. 458. 

Lami 192. 

Lange 232. 

Laplace 393. 455. 

Lasswitz 156. 

Leibnitz 275. 441. 

Lichtbewegung 444. 

Lippich 142. 

Luftpumpe 114. 

Maasse, absolute 269. 278. 281. 

— terrestrische 281. 
MacGregor 236. 
Maclaurin 457. 
Marci, Marcus 301. 
Mariotte 117. 
Maschinen 8. 
Masse 186. 212. 
Mathematik 476. 
Maupertuis 65. 358. 446. 
Mayer, J. B. 247. 487. 491. 
Mechanische Naturansicht 486. 
Mersenne 109. 

Minimum der Oberfläche 382. 
Mittelpunkt des Stosses 322. 
Möbius 365. 471. 
Moment, statisches 173. 
Montgolfier 406. 
Morin 142. 
Müller, F. A. 495. 
Mystik der Wissenschaft 439. 
Mystische Gesichtspunkte in der 
Mechanik 439. 

Mapier 440. 

Neumann, C. 253. 

Newton 35. 180. 441. 449. 487. 

Niveaufiächen 92. 393. 

Oberfläche, Miniraum der 382. 

Oberflächengefäss 85. 

Oberflächenspannung 381. 

Oekonomie derWissenschaft 471. 481. 

Oerstedt 88. 

Ort, absoluter 217. 

Ostwald 495. 



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Register. 



505 



Pappus 444. 

Parabel 145. 

Parallelismus der Schichten 403. 

Pascal 52. 86. 96. 109. 440. 

Pearson 236. 

Pendel 128. 144. 156. 162. 

— zusammengesetztes 167. 

— ballistisches 322. 
Perier 110. 

Petzoldt 372. 485. 495. 
Phoronomische Aehnlichkeit 159. 

— Verwandtschaft 159. 
Physiologie 497. 
Planck 495. 

Plateau 379. 

PoggendorfTs Fallmaschine 200. 

Poinsot 180. 

Poisson 45: 393. 

Poncelet 273. 

Popper 495. 

Porta 454. 

Poselger 8. 

Potential 393. 

Quantität der Bewegung 272. 

— der Materie 188. 
Queck8ilberluftpumpe 117. 

Raum, absoluter 217. 

— mehrdimensionaler 483. 
Beactionsrad 294. 

— Umkehrung seiner Bewegung 295. 
Reibung der Flüssigkeiten 411. 
Resultirende 34. 

Richer 154. 
Riemann 154. 483. 
Roberval 58. 192. 
Robins 325. 
Rollen 48. 
Rollenzüge 48. 
Rosenberger 184. 190. 

Saugen 105. 

Scheffler 358. 

Schwerlose Flüssigkeiten 379. 

Schwerpunkt 17. 50. 

— Satz der Erhaltung des 283. 

— Steighöhe 168. 
Schwingung 157. 

— der Flüssigkeiten 404. 
Schwingungsmittelpunkt 167. 
Sectorengesetz 182. 

Segner 180. 
Seilmaschine 31. 
Seitendruck 97. 
Stevin 12. 34. 84. 
Stoss 300. 308. 
Stossheber 406. 
Stossmaschine 308. 



Stossmoment 304. 
Stossversuch Galilei's 304. 
Streintz 232. 
Superposition 147. 
Symmetrieprincip 10. 

Tangentenmethode 417. 
Taylor 329. 

Terrestrische Maasse 281. 
Theologische Ideen 439. 
Theorie 481. 
Thomson, W. 243. 492. 
Todte Kraft 272. 
Torricelli 50. 107. 397. 
Trägheit 132. 227. 

— allgemeiner Ausdruck 299. 
Trägheitsmoment 173. 
Tylor 453. 

ITbaldi 21. 

Unabhängigkeit der Kräfte vonein- 
ander 192. 

Unbestimmtheit der Newton'schen 
Aufstellungen 217. 

Ursache und Wirkung 474. 

Variationsrechnung 429. 

Varignon 35. 192. 397. 

Venturi 120. 

Vergleichende Physik 488. 

Verwandtschaft, phoronomische 159. 

Vicaire 236. 

Vinci, Leonardo da 20. 120. 

Virtuelle Verschiebung 47. 95. 

Vitruv 82. 105. 

Vi viani 107. 

Volkmann, P. 147. 

Voltaire 441. 

"Wallis 308. 

Wasser, Compressibilität 87. 

Wasserstoff 116. 

Wellrad 21. 

Weston 56. 

Wheatstone 142. 

Wirkung, kleinste 358. 

Wirkungsfähigkeit 140. 

Wohlwill 120. 132. 302. 

Wren 308. 

Wurf 144. 

Zählen 476. 
Zeit, absolute 217. 
Zeitmessung Galilei's 125. 
Zureichender Grund 10. 
Zusammensetzung der Bewegung 33. 

— der Kräfte 33. 
Zwang, kleinster 344. 



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Druck von F. A. Brockhaas in Leipzig. 



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QA 802 .M15 1897 C.1 

Die Mechanik in ihrer Entwicke 
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